J Sci & Devel 2015, Vol 13, No 1: 99-109 Tạp chí Khoa học Phát triển 2015, tập 13, số 1: 99-109 www.vnua.edu.vn PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG RIÊNG TẤM BẰNG VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN (FGM) THEO LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO (HSDT) Dương Thành Huân1, Lê Minh Lư1, Trần Minh Tú2* Khoa Cơ điện, Học viện Nông nghiệp Việt Nam Khoa Xây dựng Dân dụng Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng Email*: tpnt2002@yahoo.com Ngày gửi bài: 02.10.2014 Ngày chấp nhận: 25.11.2014 TĨM TẮT Vật liệu có tính biến thiên (Functionally Graded Materials - FGM) loại vật liệu không đồng nhất, đẳng hướng có tính chất học thay đổi trơn, liên tục theo chiều dày Bài báo sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Higher Order Shear Deformation Theory - HSDT) để phân tích dao động riêng vật liệu có tính biến thiên Mơ đun đàn hồi kéo (nén) vật liệu giả thiết biến thiên theo qui luật hàm mũ, hệ số Poisson số theo tọa độ chiều dày Hệ phương trình cân động xác định theo nguyên lý Hamilton Ảnh hưởng số tỉ lệ thể tích, tỉ số kích thước đến tần số dao động riêng khảo sát Kết số so sánh với công bố tạp chí quốc tế xuất nhằm kiểm chứng mơ hình tính mà báo xây dựng Từ khóa: Dao động riêng, có tính biến thiên, lý thuyết biến dạng cắt Vibration Analysis of Functionally Graded Plates Using Higher Order Shear Deformation Theories (HSDT) ABSTRACT A higher order shear deformation theory (HSDT) was presented for free vibration analysis of simply supported (diaphragm), elastic functionally graded (FG), rectangular, plates Functionally graded materials (FGMs), although heterogeneous, are idealized as continua with their mechanical properties changing smoothly with respect to the spatial coordinates Poisson’s ratio was assumed to be constant, but their Young’s moduli and densities vary continuously in the thickness direction according to the volume fraction of constituents, which is mathematically modelled as power law function The equations of motion were obtained using Hamilton’s principle employing HSDT Navier’s solution was used to solve the equations of motion The effect of variation of material properties in terms of gradation index, the effects of aspect ratios, thickness-to-side ratio on the natural frequencies of FG plates were studied in this article The numerical results were compared with results available in the literature to validate theoretical model of the paper Keywords: Power-law functionally graded plate, shear deformation plate theory, vibration analysis MỞ ĐẦU Vật liệu có tính biến thiên (Functionally Graded Materials - FGM) loại vật liệu composite hệ có tính chất vật liệu thay đổi liên tục từ bề mặt sang bề mặt khác, hạn chế tập trung ứng suất, bong tách lớp thường gặp vật liệu composite nhiều lớp thông thường Vật liệu FGM điển hình tạo thành từ hai thành phần: gốm (ceramic) kim loại Đây loại vật liệu đẳng hướng, khơng đồng nhất, có khả chế tạo kết cấu với đặc tính mong muốn người sử dụng điều kiện làm việc cụ thể, xem loại vật liệu thông minh Để đáp ứng nhu cầu sử dụng ngày tăng, đòi hỏi phải nghiên 99 Phân tích dao động riêng vật liệu có tính biến thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) cứu, phát triển mơ hình tính tốn phù hợp nhằm dự đốn ứng xử học kết cấu vật liệu FGM Những nghiên cứu tổng quan gần phân tích tĩnh, dao động ổn định vật liệu có tính biến thiên tìm thấy báo Jha cộng (2012) Với mỏng thường sử dụng lý thuyết cổ điển Kirchhoff - Love, bỏ qua ảnh hưởng biến dạng cắt ngang Khi chiều dày tăng lên, biến dạng cắt có ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử FGM nên lý thuyết biến dạng cắt thường dùng để phân tích tấm, như: lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT), lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT) có kể đến ảnh hưởng biến dạng cắt ngang với trường chuyển vị màng biến thiên bậc cần phải đưa vào hệ số điều chỉnh cắt Việc xác định hệ số không đơn giản, nhiều tác giả đề xuất sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với thành phần chuyển vị màng độ võng biến thiên bậc cao Ví dụ, Reddy (1984, 2000) phát triển lý thuyết biến dạng cắt bậc ba (TSDT) với thành phần chuyển vị màng biến thiên theo hàm bậc ba Xiang cộng (2011, 2013) sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc n, lý thuyết Reddy xem trường hợp riêng Fares đồng nghiệp (2009) đề nghị lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với dạng biến thiên bậc bậc hai trường chuyển vị Với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đề xuất Reddy (2011), Chen cộng (2009), Pradyumna Bandyopadhyay (2008), Talha Singh (2010) phát triển sở thành phần chuyển vị màng biến thiên bậc ba độ võng biến thiên bậc hai Neves cộng (2013) phát triển lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với dạng chuyển vị màng biến thiên bậc ba bậc hai độ võng sở cải tiến công thức Carrera Cùng với việc sử dụng hàm đa thức nghiên cứu trên, hàm lượng giác sử dụng để phát triển lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Ví dụ, Zenkour (2006) trình bày lý thuyết biến dạng cắt tổng quát, 100 trường chuyển vị màng khai triển dạng hàm sin dọc theo chiều dày Mantari đồng nghiệp (2012a, b, c, d) đề xuất lý thuyết biến dạng cắt hàm lượng giác, có kể đến phân bố thích hợp biến dạng cắt ngang dọc theo chiều dày thỏa mãn điều kiện biên ứng suất không bề mặt mà không cần đến hệ số hiệu chỉnh cắt Dựa vào mơ hình Carrera cải tiến, Ferreira cộng (2011) phát triển lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với việc sử dụng hàm sin cho trường chuyển vị màng độ võng, Neves cộng (2012) đề xuất dạng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao việc sử dụng cách khai triển khác chuyển vị (như khai triển dạng hàm sin (Neves et al., 2012a) hay dạng hyperbol (Neves et al., 2012b) Ở Việt nam, năm gần nghiên cứu ứng xử học kết cấu vật liệu FGM phát triển mạnh Phân tích phi tuyến uốn, dao động ổn định FGM có cơng bố Nguyễn Đình Đức cộng (2011, 2013, 2014) Đào Huy Bích, Đào Văn Dũng đồng nghiệp (2012, 2013) sâu nghiên cứu phi tuyến tĩnh động kết cấu vỏ FGM Nhiều luận án kết cấu vỏ FGM nhiều tác Hoàng Văn Tùng, Nguyễn Thị Phương, Vũ Hồi Nam, Lê Khả Hịa,… thực Trong nghiên cứu tác giả phần lớn sử dụng lý thuyết cổ điển, lý thuyết biến dạng cắt bậc xây dựng lời giải giải tích Nguyễn Đình Đức, Phạm Hồng Cơng (2011, 2013, 2014) sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao lý thuyết bậc cao không đầy đủ Reddy Mục đích báo thiết lập hệ thức, phương trình chủ đạo FGM theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tổng quát Nghiệm giải tích theo dạng nghiệm Navier sử dụng nhằm xác định tần số dao động riêng chữ nhật FGM tựa khớp chu vi Các ví dụ số thực để kiểm chứng độ tin cậy mơ hình thuật tốn xây dựng Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú tỉ lệ thể tích Hàm tỉ lệ thể tích dạng hàm lũy thừa viết dạng sau: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Vật liệu có tính biến thiên Đối với vật liệu có tính biến thiên hai thành phần tạo thành từ kết hợp kim loại ceramic, tỷ lệ thể tích thành phần vật liệu giả thiết biến đổi theo qui luật xác định Hàm đặc trưng cho số vật liệu có tính biến thiên giả thiết dạng sau (Reddy, 2000) V ( z )  Vm  (Vc  Vm ).g ( z ) (1) 1 z g( z )     2 h p Trong đó, p số tỉ lệ thể tích Trong báo hệ số Poisson  giả thiết số, mô đun đàn hồi E khối lượng riêng  vật liệu FGM giả thiết biến thiên theo quy luật hàm lũy thừa có dạng sau: 1 z E ( z )  Em  ( Ec  Em )    2 h Trong đó: Vm số vật liệu vật liệu mặt (-h/2); Vc số vật liệu vật liệu mặt (+h/2); V(z) số vật liệu vật liệu toạ độ z bất kỳ; g(z) hàm tỉ lệ thể tích Qui luật phân bố hàm tỉ lệ thể tích sở để phân loại vật liệu FGM Phần lớn nhà nghiên cứu sử dụng hàm lũy thừa, hàm e - mũ hàm Sigmoid để mô tả biến thiên hàm (1.a) p (1.b) p 1 z (1.c)  ( z )   m  (  c   m )    2 h Hệ số Poisson giả thiết số theo chiều dày 2.2 Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 2.2.1 Trường chuyển vị Trường chuyển vị theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao điểm khai triển theo chuỗi Taylor có dạng sau (Zenkour, 2006): Bề mặt giàu kim loại Bề mặt giàu ceramic Hình Mơ hình kết cấu làm từ vật liệu FGM 101 Phân tích dao động riêng vật liệu có tính biến thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) * * u( x, y, z, t )  u0 ( x, y, t )  zx (x, y, t )  z 2u0 (x, y, t )  z3x ( x, y, t ) ; * * v( x, y, z, t )  v0 ( x, y, t )  z y ( x, y, t )  z 2v0 ( x, y, t )  z 3 y ( x, y, t ) ; (2) * * w( x, y, z, t)  w0 ( x, y, t)  zz ( x, y, t )  z 2w0 ( x, y, t )  z3z (x, y, t ) ; Trong đó: u0, v0, w0 thành phần chuyển vị điểm mặt trung bình theo phương x, y, z x , y góc xoay pháp tuyến mặt trung bình điểm xét quanh trục y, x * * * u* , v* , w0 , x , * , z  z thành phần 0 y chuyển vị bậc cao khai triển Taylor hàm chuyển vị Các thành phần biến dạng xác định từ quan hệ biến dạng chuyển vị lý thuyết đàn hồi, biểu diễn dạng vec tơ: *       z k  z    z k *  ; (3) Trong đó:     x ,  y ,  z ,  xy , yz ,  xz   uo v0 u v w w  , , z ,  , y  , x   ; y x y x   x y     x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  xz     u * v* u * v* w* w*  * * * * * *     x ,  * ,  z ,  xy ,  * ,  xz    , ,3 z* ,  o ,3 y  ,3 x*   ;  y yz y x y x   x y         k  kx , k y , k z , k xy , k yz , k xz    x , y , 2w0* , x  y , 2v0*  z , 2u0*  z  ;   y x y x   x  y   * * * * * *    * * k *  k x* , k *y , k z* , k xy , k *yz , k xz    xx , yy ,0, yx  xy , yz , xz        Q12  2.2.2 Quan hệ ứng suất - biến dạng Quan hệ tuyến tính ứng suất - biến dạng FGM đẳng hướng với mô đun đàn hồi E biến thiên dạng hàm mũ theo chiều dày trạng thái ứng suất khối viết dạng sau:   x   Q11 Q12     y  Q21 Q22    Q  z 31 Q32     0  xy       yz    xz      Q13 0 Q23 Q33 0 0 Q44 0 Q55 0 0  x     y    z         xy    yz     Q66      xz  102 E  z   Q55  Q66 1  1  2  2.2.3 Các thành phần nội lực Các thành phần nội lực định nghĩa theo (6): (5) Các thành phần ma trận độ cứng [Q] xác định bởi: 1   Q11  E  z   Q22  Q33 ; 1  1  2   E  z   Q13  Q23 ;   1  2   Q44  (4) * Nx Nx   x     * h/  Ny Ny   y       z  dz;  *  N z N z   h /2  z      xy  *    N xy N xy     Q x  Q y  * Qx  h /  xz       z  dz; *  Q y   h /  yz       Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú * M x M x   x       M y M *  h /2  y  y     z *  M z M z   h /  z      xy  *    M xy M xy     uo : z  dz;   S x  S y  * S x  h /  xz       z * S y   h /  yz       z  v0 : 3  dz; Biểu diễn thành phần ứng suất (6) (5) ta thiết lập quan hệ nội lực - biến dạng (7) sau:  xo  Nx      N y   yo   N   xyo   *   xy  N *   *  *  x  xo   N xy   xyo  * *  yo   N y     B  ;      M xy   xyo   zo   *  Nz   *   *  *   M xy   xy   N z    A  zo  ; M     x  x  M y   y   *  * M x   x   *  * M y   y  M *     z  z  Q  yz  Qx   xz   y   *  *   *  *  Q   y Qx   xz      E   yz  ;       D   ; S  yz  S x   xz   y   *  S *   *   S *   yz   x  xz   y  N x N xy    o   I1uo  I 2 x  I 3u*  I 4 * ; x x y N y y  wo : *  uo : *  vo : N xy 2.3 Hệ phương trình cân động Hệ phương trình cân động tương ứng với trường chuyển vị bậc cao thiết lập theo nguyên lý Hamilton có dạng (8):    *  I1vo  I 2 y  I 3v o  I 4 * ; y Qx Qy    o   I1 wo  I 2 z  I w*  I 4 * ; z x y N * y  y * N xy x    *  S y  I vo  I 4 y  I vo  I 6 y* * * Qx Qy    *   2M z  I wo  I 4 z  I wo  I 6 z* x y M x M xy    *   Qx  I uo  I 3 x  I uo  I 5 x* ; x y * * M x M xy *    *  :   3Qx  I 4uo  I 5 x  I 6uo  I 7 x* x y * x  y : * y  : M y y M * y y   M xy x * M xy x  *  *  Q y  I vo  I 3 y  I vo  I 5 y ;    *  3Q*  I vo  I 5 y  I vo  I 7 y* y  z : S x S y    *   N z  I wo  I 3 z  I wo  I 5 z* x y  z* : * * S x S y    *   N z*  I wo  I 5 z  I wo  I 7 z* x y Trong thành phần mơ men qn tính ly tâm tính theo cơng thức sau: I1 , I , I , I , I , I , I7  Trong đó: ma trận  A ,  B ,  D ,  E  ma trận độ cứng Các phần tử ma trận tính tốn theo công thức phần phụ lục báo x * * N x N xy    *   2S x  I 3uo  I 4 x  I 5uo  I 6 x* x y  w* : o  x :  h h      1, z , z , z , z , z , z dz (9) 2.4 Nghiệm Navier Với chữ nhật với chiều dài a chiều rộng b với bốn biên tựa khớp Có thể chọn dạng nghiệm hệ phương trình dạng chuỗi lượng giác kép (10):  u0   u 0mn cos  x.sin  y eit ; m1 n1 103 Phân tích dao động riêng vật liệu có tính biến thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT)  v0    v0mn sin  x.cos  y eit ; m1 n 1  w0    w 0mn sin  x.sin  y eit ; m1 n 1  x    xmn cos x.sin  y eit ; 1 m1 n1  y   S    M 1 1   ymn sin  x.cos  y eit ; * 0mn cos  x.sin  y eit ; * 0mn sin  x.cos  y eit ;  m1 n 1  * u0   u m1 n1  * v0   v m1 n 1  * w0  * 0mn  w   sin  x.sin  y eit ; *  xmn   động riêng (tần số vịng hệ tọa độ góc) với dạng thứ m theo phương x dạng thứ n theo phương y Nhờ trợ giúp phần mềm  cos x.sin  y e it ;   * ymn Matlab giải tốn tìm trị riêng phương trình S    M   ta tìm tần số dao m1 n 1 * y  Trong đó: [S] ma trận hệ số độ cứng, [M] ma trận khối lượng  tần số dao  m1 n 1 * x u0mn    0  v0mn     w0 m n      0  x m n      0  ym n         zm n    u*      0mn     v* m n     *     w0 m n     *  0  x m n     *  0  y m n     *  0  z m n  sin  x.cos  y eit ; động riêng  FGM m1 n 1  * z  KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN  *  zmn sin  x.sin  y eit  m1 n 1  z  Ví dụ 1: Kiểm chứng kết số thuật tốn chương trình tính tự viết mơi   zmn sin  x.sin  y eit ;  m1 n 1 trường Matlab Xét hình vng (b/a = 1) liên kết gối Trong đó: tựa đơn giản chu vi với chiều dày h = i  1 ;   m / a ; 0,01 (m), tỉ số a/h = 10, vật liệu FGM Al/Al2O3   n / b ; m , n  1, 3, 5, ; với tính chất vật liệu thành phần:  tần số vòng Thay thành phần chuyển vị (10) vào biểu thức biến dạng (4), thay thành phần biến dạng vào biểu thức thành phần nội lực (7) Sau thay thành phần nội lực vào hệ phương trình cân động (8) ta nhận hệ phương trình cân theo chuyển vị Đồng hóa hệ số hệ phương trình ta nhận phương trình xác định tần số dao động riêng có dạng (11) sau: 104 Kim loại (Al): Em  70 (GPa);  m  702 ( kg / m ) Ceramic (Al203): Ec  380 (GPa);  m  800 ( kg / m ) ; Tần số dao động riêng không thứ nguyên (m = n = 1) trình bày bảng so sánh với lời giải bán đàn hồi trích dẫn theo (2008) lời giải theo lý thuyết chuyển vị bậc cao đơn giản (với ẩn chuyển vị) Huu-Tai Thai (2013), lời giải theo lý thuyết Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú   h c / Ec Bảng Tần số dao động riêng không thứ nguyên vuông FGM với thành phần vật liệu Al/Al2O3 số tỉ lệ thể tích p thay đổi Phương pháp Tỉ số Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) a/h 0.5 10 10 0,0578 0,0492 0,0443 0,0381 0,0364 HSDT-S (Hosseini, 2010) 0,0577 0,0490 0,0442 0,0381 0,0363 FSDT (Huu- Tai Thai, 2013) 0,0577 0,0492 0,0445 0,0383 0,0363 HSDT (Bài báo) 0,0578 0,0491 0,0443 0,0381 0,0364 Quasi-3D (Matsunaga, 2008)  0,06 Quasi-3D [Matsunaga] HSDT-S [Huu-Tai Thai et al] 0,05 FSDT [Hosseini et al] HSDT (Bài báo) 0,04 0,03 p 0,02 10 Hình Đồ thị quan hệ tần số không thứ nguyên số thể tích p biến dạng cắt bậc (với ẩn chuyển vị) Hoseimi (2010) Ví dụ 2: Khảo sát ảnh hưởng tỉ số chiều dày kích thước cạnh (a/h) Từ bảng hình vẽ ta thấy tần số dao Xét hình vng (b/a = 1) liên kết gối tựa đơn giản chu vi với chiều dày h = 0,01 (m), tỉ số a/h = 10, vật liệu FGM Al/Al2O3 với tính chất vật liệu thành phần (như Ví dụ 1) Chỉ số tỉ lệ thể tích p = 1; m = n = động riêng khơng thứ ngun tính theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tương đồng với kết tham chiếu cho thấy độ tin cậy lời giải mà tác giả xây dựng Tần số dao động riêng không thứ nguyên giảm nhiều số tỉ lệ thể tích p tăng lên, số tỉ lệ thể tích p lớn tốc độ thay đổi tần số dao động riêng giảm dần làm việc vật liệu lúc gần với vật liệu kim loại Giá trị tần số không thứ nguyên   h c / Ec tính tốn kiểm chứng theo lý thuyết khác (Matsunaga, 2008; Hosseini, 2010; Huu- Tai Thai, 2013) Tần số dao động riêng không thứ nguyên thể bảng biểu diễn đồ thị hình 105 Phân tích dao động riêng vật liệu có tính biến thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Bảng Tần số dao động riêng không thứ nguyên   h c / Ec vuông FGM Al/Al2O3 tỉ số cạnh - chiều dày (a/h) thay đổi Phương pháp Chỉ số tỉ lệ thể tích p Quasi-3D (Matsunaga, 2008) Tỉ số a/h 10 20 50 0,1640 0,0443 0,0114 0,0018 HSDT-S (Hosseini, 2010) 0,1631 0,0442 0,0115 0,0018 FSDT (Huu- Tai Thai, 2013) 0,1650 0,0454 0,0115 0,0018 HSDT (Bài báo) 0,1640 0,0443 0,0113 0,0018  0,16 0,14 Quasi-3D [Matsunaga] 0,12 HSDT-S [Huu-Tai Thai et al] FSDT [Hosseini et al] 0,10 HSDT (Bài báo) 0,08 0,06 0,04 0,02 a/h 0,00 10 15 20 Hình Đồ thị quan hệ tần số dao động riêng không thứ nguyên theo tỉ số a/h Từ bảng hình vẽ cho thấy với một giá trị số thể tích (p = 1), tỉ số kích thước a/h lớn (tấm mỏng), tần số dao động riêng không thứ nguyên giảm, giảm nhanh khoảng < a/h < 20, a/h > 20 thay đổi chậm dần Ví dụ 3: Khảo sát ảnh hưởng tỉ số kích Đặc biệt, dày (a/h = 5) có sai lệch đáng kể kết tính theo lý thuyết khác nhau, lời giải báo trùng với kết tính theo lời giải bán đàn hồi cho thấy độ xác mơ hình bậc cao tổng qt dày nguyên 106 thước cạnh (a/b) Xét chữ nhật FGM với chiều dày h = 0,01 (m), tỉ số a/h = 5, số tỉ lệ thể tích p = 1, m = n = Tần số dao động riêng không thứ  FGM chữ nhật tỉ số cạnh (a/b) thay đổi (a/b = 1; 1.5; 2; 2.5; 3) trình bày bảng Đồ thị biến thiên tần số dao động riêng không thứ nguyên theo tỉ số a/b biểu diễn hình Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú Bảng Tần số không thứ nguyên   h c / Ec hình chữ nhật FGM Al/Al2O3 tỉ số kích thước cạnh (a/b) thay đổi Phương pháp Tỉ số a/h = Tỉ số a/b HSDT (Bài báo) 1,5 2,5 0,1640 0,1216 0,1063 0,0991 0,0951  0,18 HSDT 0,15 0,13 0,10 0,08 0,05 0,03 a/b 0,00 1,5 2,5 Hình Đồ thị quan hệ tần số khơng thứ ngun tỉ số kích thước a/b Từ bảng hình vẽ ta thấy tần số dao động riêng giảm dần tỉ số kích thước a/b tăng lên KẾT LUẬN Bài báo xây dựng lời giải giải tích phân tích dao động riêng chữ nhật tựa khớp chu vi vật liệu có tính biến thiên sở lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Ảnh hưởng tỉ lệ kích thước cạnh/chiều dày (a/h), tham số vật liệu (chỉ số tỉ lệ thể tích p) đến tần số dao động riêng khảo sát Kết cho thấy, tần số dao động riêng giảm đáng kể số tỉ lệ thể tích tăng lên So với lý thuyết cổ điển (CPT), lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT), lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tổng quát đòi hỏi khối lượng tính tốn lớn (12 ẩn số chuyển vị) cho kết xác với dày mà không cần phải sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt Độ tin cậy lời giải giải tích mà báo xây dựng kiểm chứng với lời giải bán đàn hồi, với lời giải theo lý thuyết biến dạng cắt bậc bậc cao đơn giản TÀI LIỆU THAM KHẢO Dao Huy Bich, Dao Van Dung, Vu Hoai Nam, Nguyen Thi Phuong (2013) Nonlinear static and dynamic buckling analysis of imperfect eccentrically stiffened functionally graded circular cylindrical thin shells under axial compression International Journal of Mechanical Sciences, 74: 190-200 Dao Huy Bich, Dao Van Dung, Vu Hoai Nam (2012) Nonlinear dynamical analysis of eccentrically stiffened functionally graded cylindrical panels Composite Structures, 94: 2465-2473 Chen CS, Hsu CY, Tzou GJ (2009) Vibration and stability of functionally graded plates based on a higher-order deformation theory J Reinf Plast Compos, 28(10): 1215-34 Nguyen Dinh Duc, Hoang Van Tung (2011) Mechanical and thermal postbuckling of higher order shear deformable functionally graded plates on elastic foundations Composite Structures, 93: 2874-2881 107 Phân tích dao động riêng vật liệu có tính biến thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong (2014) Nonlinear postbuckling of an eccentrically stiffened thin FGM plate resting on elastic foundations in thermal environments Thin-Walled Structures, 75: 103-112 Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong (2013) Nonlinear postbuckling of symmetric S-FGM plates resting on elastic foundations using higher order shear deformation plate theory in thermal environments Composite Structures, 100: 566-574 DaoVan Dung, Le Kha Hoa, Nguyen Thi Nga, Le Thi Ngoc Anh (2013) Instability of eccentrically stiffened functionally graded truncated conical shells under mechanical loads Composite Structures, 106: 104-113 Fares ME, Elmarghany MK, Atta D (2009) An efficient and simple refined theory for bending and vibration of functionally graded plates Compos Struct, 91(3): 296-305 Ferreira AJM, Carrera E, Cinefra M, Roque CMC, Polit O (2011) Analysis of laminated shells by a sinusoidal shear deformation theory and radial basis functions collocation, accounting for through-the-thickness deformations Compos Part B: Eng, 42(5): 1276-84 Jha D.K, Tarun Kant, Singh R.K (2012) Higher order shear and normal deformation theory for natural frequency of functionally graded rectangular plates Nuclear Engineering and Design 250: 8-13 Huu-Tai Thai, Seung-Eock Kim (2013) A simple higher-order shear deformation theory for bending and free vibration analysis of functionally graded plates Composite Structures, 96: 165-173 Hosseini-Hashemi Sh, H Rokni Damavandi Taher, H Akhavan, M Omidi (2010) Free vibration of functionally graded rectangular plates using firstorder shear deformation plate theory Applied Mathematical Modelling, 34: 1276-1291 Huu-Tai Thai, Dong-Ho Choi (2013) A simple firstorder shear deformation theory for the bending and free vibration analysis of functionally graded plates Composite Structures, 101: 332-340 Kant.T, Swaminathan.K (2001) Analytical solutions for free vibration of laminated composite and sandwich plates based on a higher-order refined theory Composite Structures, 53: 73-85 Mantari JL, Oktem AS, Guedes Soares C (2012a) A new higher order shear deformation theory for sandwich and composite laminated plates Compos Part B: Eng, 43(3): 1489-99 Mantari JL, Oktem AS, Guedes Soares C (2012b) A new trigonometric shear deformation theory for isotropic, laminated composite and sandwich plates Int J Solids Struct, 49(1): 43-53 Mantari JL, Oktem AS, Guedes Soares C (2012c) Bending response of functionally graded plates by 108 using a new higher order shear deformation theory Compos Struct, 94(2): 714-23 Mantari JL, Guedes Soares C (2012d) Generalized hybrid quasi-3D shear deformation theory for the static analysis of advanced composite plates Compos Struct, 94(8): 2561-75 Matsunaga H (2008) Free vibration and stability of functionally graded plates according to a 2-D higher-order deformation theory Compos Struct, 82(4): 499-512 Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E, Roque CMC, Cinefra M, Jorge RMN, et al (2012a) A quasi-3D sinusoidal shear deformation theory for the static and free vibration analysis of functionally graded plates Compos Part B: Eng, 43(2): 711-25 Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E, Cinefra M, Roque CMC, Jorge RMN, et al (2012b) A quasi3D hyperbolic shear deformation theory for the static and free vibration analysis of functionally graded plates Compos Struct, 94(5): 1814-25 Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E, Cinefra M, Roque CMC, Jorge RMN, et al (2013) Static, free vibration and buckling analysis of isotropic and sandwich functionally graded plates using a quasi-3D higher-order shear deformation theory and a meshless technique Compos Part B: Eng, 44(1): 657-74 Pradyumna S, Bandyopadhyay JN (2008) Free vibration analysis of functionally graded curved panels using a higher-order finite element formulation J Sound Vib, 318(1-2): 176-92 Reddy JN (2000) Analysis of functionally graded plates Int J Numer Methods Eng, 47(1-3): 663-84 Reddy JN (1984) A simple higher-order theory for laminated composite plates J Appl, Mech, 51: 745-52 Reddy JN (2011) A general nonlinear third-order theory of functionally graded plates Int J Aerosp Lightweight Struct, 1(1):1-21 Talha M, Singh BN (2010) Static response and free vibration analysis of FGM plates using higher order shear deformation theory Appl Math Model, 34(12): 3991-4011 Xiang S, Kang GW (2013) A nth-order shear deformation theory for the bending analysis on the functionally graded plates Eur J Mech - A/Solids, 37: 336-43 Xiang S, Jin YX, Bi ZY, Jiang SX, Yang MS (2011) A n-order shear deformation theory for free vibration of functionally graded and composite sandwich plates Compos Struct, 93(11):2826-32 Zenkour AM (2006) Generalized shear deformation theory for bending analysis of functionally graded plates Appl Math Model, 30(1): 67-84 Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú PHỤ LỤC Các ma trận  A ,  B ,  D  ,  E  cơng thức (7) có dạng sau:  A =  B =  D = E = Trong hệ số H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7 tính theo cơng thức sau: H1 , H , H , H , H , H , H  h h   1, z, z , z , z , z , z dz 109 ... lên, biến dạng cắt có ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử FGM nên lý thuyết biến dạng cắt thường dùng để phân tích tấm, như: lý thuyết biến dạng cắt bậc (FSDT), lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Lý. . .Phân tích dao động riêng vật liệu có tính biến thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) cứu, phát triển mơ hình tính tốn phù hợp nhằm dự đốn ứng xử học kết cấu vật liệu FGM... màng biến thiên theo hàm bậc ba Xiang cộng (2011, 2013) sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc n, lý thuyết Reddy xem trường hợp riêng Fares đồng nghiệp (2009) đề nghị lý thuyết biến dạng cắt bậc cao