Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương QN Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 1 RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC A- CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT . I- TÓM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: I- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC: 1. Công thức quy đổi độ – Rađian: 180 a    ( a tính bằng độ,  tính bằng rad) 2. Số đo góc và cung lượng giác theo độ và radian. 0  6  4  3  2 2 3 3 4  3 2 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0  1 2  2 2 –1 0 1 tan 0 3 3 1 3  3 –1 0 0 cot 3 1 3 3 0  3 3 –1 0 Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương QN Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 2 sđ(ox, ot) = a 0 + k360 0 hoặc sđ(ox, ot) =  + k2  , k  Z. (với 0 0  a < 360 0 , 0 0   < 2) sđ AB = a 0 + k360 0 hoặc sđ AB =  + k2  , k  Z. ( với 0 0  a < 360 0 , 0 0   < 2) 3. Công thức tính độ dài cung: l =  .R (  tính bằng rad) II. NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1: 1. Hằng đẳng thức lượng giác:  sin 2 x + cos 2 x = 1       22 22 sin x 1 cos x cos x 1 sin x  2 2 1 1           xx xx sin co s co s sin  1+tan 2 x = 2 1 cos x  cos 2 x =  2 1 1 tan x  cosx =   2 1 1 tan x  1+cot 2 x = 2 1 sin x  sin 2 x =  2 1 1 cot x  sinx =   2 1 1 cot x  tanx.cotx = 1  tanx =  sinx 1 cosx cot x  cotx =  cosx 1 sinx tanx  Chú ý: Trong các công thức có chứa dấu () , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận xét giá trị của cung x trên đường tròn lượng giác. 2. Cung liên kết: –x π – x π 2 – x π + x π 2 + x sin –sinx sinx cosx –sinx cosx cos cosx –cosx sinx –cosx –sinx tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx 3. Chú ý: a + b =   180 0 cosb = –cosa sinb = sina a + b =  2  90 0 cosb = sina sinb = cosa ABC sin(B + C) = sinA cos(B + C) = – cosA tan(B + C) = – tanA   B C A sin cos 22   B C A cos sin 22   B C A tan cot 22 sin(x + k2) = sinx cos(x + k2) = cosx tan(x + k) = tanx cot(x + k) = cotx III. NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2: 1.Công thức cộng: cos(a  b) = cosa.cosb sina.sinb sin(a  b) = sina.cosb  sinb.cosa tan(a  b) = tana tanb 1 tana.tanb 2.Công thức nhân: cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a =   2 2 1 tan a 1 tan a Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương QN Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 3 sin2a = 2sina.cosa =  2 2tana 1 tan a ; tan2a =  2 2tana 1 tan a 3.Công thức hạ bậc:   2 1 cos2a sin a 2 ;   2 1 cos2a cos a 2 ;    2 1 cos2a tan a 1 cos2a 4.Công thức tính theo t :  a t tan 2   2 2t sina 1t    2 2 1t cosa 1t   2 2t tana 1t 5. Công thức biến đổi tích thành tổng: 2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ] 2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b) 6. Công thức biến đổi tổng thành tích:   a b a b cosa cosb 2cos cos 22     a b a b cosa cosb 2sin sin 22 tana + tanb = ab ab sin( ) cos .cos    a b a b sina sinb 2sin cos 22   a b a b sina sinb 2cos sin 22 tana – tanb = ab ab sin( ) cos .cos  Hệ quả: cosx + sinx = 2 sin( x) 2cos( x) 44     cosx – sinx = 2 sin( x) 2 cos( x) 44     III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ABC: 1. Định lý hàm số sin và cos: a b c 2R sinA sinB sinC    2 2 2 a b c 2bc.cosA   2 2 2 b a c 2ac.cosB   2 2 2 c a b 2ab.cosC   2. Chuyển cạnh sang góc: a = 2RsinA b = 2RsinB c = 2RsinC 3. Chuyển góc sang cạnh: a sinA 2R  2 2 2 b c a cosA 2bc   4. Công thức diện tích:       a b c 1 1 1 1 1 1 S a.h b.h c.h bcsinA acsinB absin C 2 2 2 2 2 2 abc S pr p(p a)(p b)(p c) 4R       , với   a b c p 2 R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp ABC 5. Công thức đường trung tuyến và phân giác trong các góc của ABC:   2 2 2 2 a b c a m 24   2 2 2 2 b a c b m 24   2 2 2 2 c a b c m 24 (m a , m b , m c  độ dài trung tuyến)   a 2bc A l cos b c 2   b 2ac B l cos a c 2   c 2ab C l cos a b 2 (l a , l b , l c  độ dài phân giác) B. BÀI TẬP . VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC. 1. Tính giá trị lượng giác của cung sau. 1) sina = 3 5 với 0 < a < 2  2) tana = - 2 với < a <  3) cosa = 5 1 với - 2  < a < 0 4) sina = 3 1 với a  ( 2  ,  ) 5) tana = 2 với a (, 2 3 ) Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương QN Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 4 2. Chứng minh các đẳng thức sau: 1) sin 2 x + tan 2 x = 2 1 cos x - cos 2 x 2) tan 2 x - sin 2 x = tan 2 xsin 2 x 3) 2 2 tan3 3 tan tan 1 3tan xx xx    4) 22 22 cos sin cot tan xx xx   = sin 2 xcos 2 x 5) 2 2 2 1 (1 cot )( 1) cos 1 tan x x x   = 1 6) cosx + cos(2/3 - x) + cos(2/3 - x) = 0 7) sin(a + b)sin(a - b) = sin 2 a -sin 2 b = cos 2 b - cos 2 a 8) 22 22 tan tan 1 tan tan ab ab   = tan(a +b)tan(a - b) 9) cos 3 xsinx - sin 3 xcosx = 1 4 sin4x 10) cos sin cos sin xx xx   = 1 cos2x - tan2x 11) sin 2 2sin sin 2 2sin xx xx   = -tan 2 2 x 12) sin3xcos 3 x + sin 3 xcos3x = 3 4 sin4x 13) sinx - sin2x +sin3x = 4cos 3 2 x cosxsin 2 x 14) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos 2 x 15) 4 4 2 2 2 sin cos cos cos 2(1 cos ) 2 x x x x x    3. Rút gọn các biểu thức sau: 1) A = sin(x + 5 2  ) - 3cos(x - 7 2  ) + 2sin(x +  ) 2) B=   11 sin cos 5sin 22 x x x                    3)       os os 2 sin os 2 C c c c                    4) D= 2cosa-3cos(+a)-5sin(/2-a)+cot( 3 2  - a) 5) cos( - a) - 2sin(3/2 + a) + tan( 3 2  - a ) + cot(2 - a) 4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a. 1) A = cos 4 a + cos 2 asin 2 a +sin 2 a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin 2 a 3) C = 2(sin 6 a + cos 6 a) - 3(sin 4 a + cos 4 a) 4) D = 1 cot 1 cot a a   - 2 tan 1a  5) E = 2 sin4 4cosaa + 42 cos 4sinaa 6) F = cos 2 a + sin(30 0 + a)sin(30 0 - a) 7) G = sin 6 a + cos 6 a + 3sin 2 acos 2 a 8) H = 44 66 sin cos 1 sin cos 1 aa aa   9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b) Trong đó a - b  k và m   1 thì biểu thức: A = 1 1 sin2ma + 1 1 sin 2mb (m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ). 5. Tính các biểu thức đại số. 1) Tính sin 3 a -cos 3 a biết sina -cosa = m 2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A = 1 cos2 cot tan 22 a aa   3) Biết cos( ) cos( ) ab ab   = p q . Tính tana.tanb Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương QN Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 5 4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b)  k2 tính tan 2 a .tan 2 b 5) Tính sin2x nếu: 5tan 2 x - 12tanx - 5 = 0 ( 4  < x < 2  ) 6. Không dùng máy tính hãy tính giá trị các biểu thức : 1) A = cos20 0 cos40 0 cos60 0 cos80 0 2) B = cos 7  .cos 4 7  .cos 5 7  3) C = sin6 0 .sin42 0 .sin66 0 .sin78 0 4) Tính: E = sin5 0 .sin15 0 sin25 0 .sin35 0 . sin85 0 5) Tính: F = sin 18  .sin 3 18  .sin 5 18  .sin 7 18  . sin 9 18  6) A = sin37 0 .cos53 0 + sin127 0 .cos397 0 7) A = tan110 0 + cot20 0 8) Tính sin15 0 và cos15 0 8) A = tan20 o .tan40 o .tan60 o .tan80 o b) B = 1 2sin10 o - 2sin70 o , M = cos 5  - cos 2 5  c) C = sin 4 16  + sin 4 3 16  + sin 4 5 16  + sin 4 7 16  d) D = tan 2 12  + tan 2 3 12  + tan 2 5 12  e) E = tan9 o - tan27 o - tan63 o + tan81 o . f) F = cos 6 16  + cos 6 3 16  + cos 6 5 16  + cos 6 7 16  g) G 1 = sin18 o .cos18 o ; G 2 = sin36 o .cos36 o h) H = cos 2 7  + cos 4 7  + cos 6 7  i) I = sin 5  + sin 23 5  + sin 6  + cos 13 5  k) K = cos 5  + cos 2 5  + cos 3 5  + cos 4 5  9. Với a ≠ k (k  Z) chứng minh: a) cosa.cos2a.cos4a cos16a = sin32 32.sin a a b) cosa.cos2a.cos4a cos2 n a = 1 1 sin 2 2 sin n n a a   10. Tính: A = cos20 o .cos40 o .cos60 o . 11. Tính: A = sin6 o .sin42 o .sin66 o .sin78 o . 12. Tính: A = cos 7  . cos 4 7  . cos 5 7  . 13. Tính: cos 65  . cos 2 65  . cos 4 65  . cos 8 65  . cos 16 65  . cos 32 65  . 14.Tính: sin 18  .sin 3 18  .sin 5 18  .sin 7 18  . sin 9 18  . 15. Tính: cos 15  .cos 2 15  .cos 3 15  .cos 4 15  cos 7 15  . 16. Tính: sin5 o . sin15 o .sin25 o sin85 o . 17. Tính: 96 3 .sin 48  .cos 48  . cos 24  . cos 12  . cos 6  . 18. Tính: 16.sin10 o .sin30 o .sin50 o .sin70 o . 19. Tính: sin10 o .sin20 o .sin30 o sin80 o . 20. Tính: cos9 o . cos27 o . cos45 o . cos63 o . cos81 o . cos99 o . cos117 o . cos135 o . cos153 o . cos171 o . 21. Tính: A = cos 5  + cos 2 5  B = cos 5  + cos 3 5  7. Chú ý các công thức sau: 1) 4sinx.sin( 3  - x)sin( 3  + x) = sin3x 2) 4cosx.cos( 3  - x)cos( 3  + x) = cos3x 3) tanx.tan( 3  - x)tan( 3  + x) = tan3x 4) cosa.cos2a.cos4a cos2na = 1 1 sin 2 . 2 sin n n a a   Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương QN Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 6 5) Để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1) n . cos(a +nx). thì nhân 2 vế với 2cos 2 x nếu cos 2 x  0. 8.Các bài tập khác: 1. Chứng minh rằng : a) cos15 sin15 cos15 sin15 oo oo   = 3 b) sin 75 cos75 cos75 sin75 oo oo   = 1 3 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) A = sin3x.sin 3 x + cos3x.cos 3 x b) B = 1 cos sin x x  [1 + 2 2 (1 cos ) sin x x  ] c) C = cos3x.cos 3 x - sin3x.sin 3 x 3. Chứng minh rằng : a) 4.cosx.cos( 3  - x).cos( 3  + x) = cos3x. b) 4.sinx.sin( 3  - x).sin( 3  + x) = sin3x. c) tanx.tan( 3  - x).tan( 3  + x) = tan3x. Áp dụng tính: A = sin20 o .sin40 o .sin80 o . B = cos10 o .cos20 o .cos30 o cos80 o . C = tan20 o .tan40 o .tan60 o .tan80 o . 4. Chứng minh rằng : a) sin 6 x + cos 6 x = 5 8 + 3 8 cos2x b) tanx = 1 cos2 sin 2 x x  Áp dụng tính: A = sin 6 ( 24  ) + cos 6 ( 24  ) B = tan 2 ( 12  ) + tan 2 (3. 12  ) + tan 2 (5. 12  ) 5. Chứng minh rằng: a) sin 4 x = 3 1 1 cos2 cos4 8 2 8 xx b) sin 8 x + cos 8 x = 35 7 1 cos4 cos 64 16 16 xx Áp dụng tính A = sin 8 ( 24  ) + cos 8 ( 24  ) B = sin 4 ( 16  ) + sin 4 (3. 16  ) + sin 4 (5. 16  ) + sin 4 (7. 16  ) 6. Tính: cos( 2 7  ) + cos( 4 7  ) + cos( 6 7  ) 22. Tính cos( 5  ) + cos( 2 5  ) + cos( 3 5  ) + cos( 4 5  ) 7. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b). Tính: tana.tanb. 24. CMR: 00 00 sin75 cos75 sin75 cos75   = 1 3 VẤN ĐỀ 2. BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC. I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. + A + B + C =  + ab < c < a + b + a 2 = b 2 + c 2 - 2a.b.cosC + 2 sin sin sin a b c R A B C    + S = 11 . .sin ( ) . 2 2 4 aa abc a h ab C pr p a r R      Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương QN Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 7 S = ( )( )( )p p a p b p c   Trong đó: p = 2 abc r: bán kính đường tròn nội tiếp r a : bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A. + Đường trung tuyến : m a 2 = 2 2 2 24 b c a  m b 2 = 2 2 2 24 a c b  m c 2 = 2 2 2 24 b a c  + Đường phân giác: l a = 2 .cos 2 A bc bc l b = 2 .cos 2 B ac ac l a = 2 .cos 2 C ab ab + Mở rộng định lí sin và cosin: cotA = 2 2 2 4 b c a s  cotB = 2 2 2 4 a c b s  cotC = 2 2 2 4 a b c s  II-BÀI TẬP : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC. 1. sinA + sinB + sinC = 4cos 2 A .cos 2 B .cos 2 C . 2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC. 3. sin3A+sin3B+sin3C = -4cos 3 2 A cos 3 2 B cos 3 2 C . 4. sin4A+sin4B+sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C. 5. cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin 2 A .4sin 2 B .4sin 2 C . 6. cos2A+cos2B+cos2C = -1-4cosA.cosB.cosC. 7. cos3A+cos3B+cos3C =1- 4sin 3 2 A sin 3 2 B sin 3 2 C . 8. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC. 9. cos4A+cos4B+cos4C = -1+ 4cos2Acos2Bcos2C. 10. tan2A +tan2B + tan2C = tan2A.tan2B.tan2C. 11. cotA.cotB + cotB.cotgC + cotC.cotA = 1 12. tan 2 A tan 2 B + tan 2 B tan 2 C + tan 2 C tan 2 A =1 13. cot 2 A +cot 2 B + cot 2 C = cot 2 A cot 2 B cot 2 C . 14. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 - 2cosA.cosB.cosC. 15. cos 2 2A + cos 2 2B + cos 2 2C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C. 16. 2 a m + 2 b m + 2 c m = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2 ). 17. la = 2 .cos 2 A bc bc = 2 bc . . .( )bc p p a . 18. r = p.tan 2 A tan 2 B tan 2 C = sin sin 22 cos 2 BC a A . 19. R = C 4.cos .cos .cos 2 2 2 p AB . 20. r = 4R.cos 2 A . cos 2 B . cos 2 C . III. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC. 1. Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau: S = 22 ( ).sin .sin 2.sin( ) a b A B AB   = 1 4 (a 2 sin2B + b 2 sin2A) = p 2 .tan 2 A tan 2 B tan 2 C = 2R 2 .sinA.sinB.sinC. 2. Chứng minh các đẳng thức sau: Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương QN Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 8 a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0 b) (b - c)cot 2 A +(c - a)cot 2 B + (a - b)cot 2 C = 0. c) (b 2 - c 2 )cotA +(c 2 - a 2 )cotB+(a 2 - b 2 )cotC = 0. d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB+(a + b)cosC. e) sin 2 BC = bc a  cos 2 A . f) cos 2 BC = bc a  sin 2 A . g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C). h) cosA + cosB = 2 ab c  sin 2 2 C . i) 1 r = 1 a h + 1 b h + 1 c h . 3. Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng: a) 2sinA = sinB + sinC. b) tan 2 B . tan 2 C = 1 3 . 4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác. Chứng minh rằng: a) r = 4R.cos 2 A . cos 2 B . cos 2 C . b) IA.IB.IC = 4Rr 2 . c) cosA + cosB + cosC = 1 + r R 5. Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng đó được xác định theo công thức sau: d = 3 2 r(tan 2 C - tan 2 A ) 6. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc. CMR : b 2 + c 2 = 5a 2 . 7. Chứng minh rằng: cos 2 a A l + cos 2 b B l cos 2 c C l = 1 a + 1 b + 1 c . 8. Ch. minh rằng các trung tuyến AA' và BB' vuông góc với nhau khi: cotC = 2(cotA + cotB). 9. Cho c b = b c m m ≠ 1 chứng minh rằng : 2cotA = cotB + cotC. 10. Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến. gọi  = AMB . Chứng minh rằng: a) cot = 22 4 bc s  . b) cot = cotC - cotB. c) cot = 2sin( ) 2sin sin Bc BC  11. Chứng minh rằng c b là nghiệm của phương trình: (1 + x 2 -2xcosA)(b 2 - bc) = a 2 (1 - x). 12. Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x 2 - 2x +2); (x 2 + 2x + 2). Với giá trị nào của x (dương) thì tam giác đó tồn tại. 13. Cho m a = c. Chứng minh rằng: a) bcosC = 3cosB. b) tanB = 3tanC. c) sinA = 2sin(B - C). 14. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ số k cho trước. CMR :a) tanB.tanC = 1 + k. b) tanB + tanC = ktanA c) cos(B - C) = (1+ 2 k )cosA. 15. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng : cot 2 A cot 2 C = 3. 16. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tanA.tanB = 6; tan tan A C =3. Chứng tỏ rằng: tanA, tanB, tanC theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng. Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương QN Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 9 17. Tam giác ABC có cot 2 A , cot 2 B , cot 2 C theo thứ tự lập một cấp số cộng. CMR : a, b, c theo thứ tự cũng lập một cấp số cộng. 18. Tam giác ABC có: cotA, cotB, cotC hteo thứ tự lập một cấp số cộng. Chứng minh rằng a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng. 19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tanA = tanB + tanC. Chứng minh rằng : a) tanB.tanC = 3. b) cos(B- C) = 2cosA. IV – ĐỊNH DẠNG TAM GIÁC CÂN. A. Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi: 1. atanA+btanB =(a+b)tan 2 AB 2. 2tanB + tanC = tan 2 B.tC. 3. sin sin 1 (tan tan ) cos cos 2 AB AB AB    4. 22 22 22 cos cos 1 (cot cot ) sin sin 2 AB AB AB    5. 2sin .sin cot 2 sin C A B C  6. sin 33 .cos sin .cos 2 2 2 2 A B B A  7. (p - b)cot .tan 22 CB p 8. 22 1 cos 2 sin 4 B a c B ac    9. a 2 sin2B +b 2 sin2A=c 2 cot 2 C 10. a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0 11. sin 33 .cos sin .cos 2 2 2 2 A B B A  12. a = 2b.cosC. Chứng minh  ABC cân tại A. B. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu : 1. 2 2 sin tan sin tan BB CC  2. (b 2 + c 2 )sin(C-B) = (C 2 - B 2 )sin(B- C) 3. 2 2 ( ) 1 cos( ) 2. 1 cos2 b c B C bB      4. sin(B - C)= 22 2 bc a  V. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG. A. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là: 1. cos2a + cos2B + cos2C = -1 2. tan2A + tan2B + tan2C = 0 3. sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC B. Chứng minh tam giác vuông khi: 1. cos cos sin .sin b c a B C B C  2. cot 2 B = ac b  3. 1 cot ( ) sin a A c b A c b     Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương QN Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 10 4. 1 cot sin bc A Aa   5. cot2C = 1 (cot cot ) 2 CB 6. cos( ) tan sin sin( ) BC B A C B    7. sin cos sin cos AB tgA BA    8. sin 2 B = 2 ac a  9. cos 22 B c a a   10. tan 2 B c a ca    11. cos(B - C) = 2 2bc a 12. S = 2 1 sin 2 4 aB 13. sin sin sin .cos .cos 11 cos cos BC A B C BC    14. 1 + cot(45 0 - B) = 2 1 cot A 15. sin 4 C + 2sin 4 A + 2sin 4 B = 2sin 2 C(sin 2 A + sin 2 B) 16. 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15 17. cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0 C. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau. 1. sin3A + sin3B + sin3C = 0 2. sin4A + sin4B + sin4C = 0 3. sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB 4. a 3 = b 3 + c 3 5. c = Ccos2B + Bsin2B 6. (1+cotA)(1 + cotB) = 2 7. sin 2 A + sin 2 B =5sin 2 C 8. 1 1 1 a b c l  9. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C  2 10. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C  1 11. Ch.minh nếu  ABC có: sin 2 A = sin 2 B .sin 2 C thì tan 2 B . tan 2 C = 1 2 và ngược lại. 12. Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a 2 = bc + c 2 [...]... 17 4 Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh 22 Các góc của tam giác ABC thỏa mãn: cotA + cotB + cotC = tan Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác A B C + tan + tan 2 2 2 dùng cho HS khá giỏi 10NC 14 Lê Trinh Tường Trưng Vương QN THPT Chứng minh tam giác ABC đều 23 CMR,tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn điều kiện: sinA+ inB+sinC =sin2A+sin2B+sin2C thì tam giác ABC là tam giác đều 25 Tam giác nhọn ABC... = tanA + tanB + tanC 2 2 2 18 Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: cot C B A + cot cot = 9 Chứng minh  ABC là 2 2 2 tam giác đều 19 Cho tam giác ABC thỏa mãn: a.cos A  b.cos B  c.cos C 1  abc 2 (A, B, C là các góc của tam giác a = BC, b = CA, c = AB) Chứng minh tamgiác ABC là tam giác đều 20 Chứng minh để tam giác đều, điều kiện cần và đủ là: 21 Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cosA.sinB.sinC + p...  Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều cos A cos B cos C sin A sin B sin C 2 2 2 26 CMR, nếu  ABC thỏa mãn điều kiện: sin2A + sin2B + sin2C thì tam giác ABC đều 27 Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn: 1  1  1 sin 2 2 A sin 2 2 B sin 2 2C  1 2.cos A.cos B.cos C Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều 28 Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc A, B, C của tam giác đó thỏa mãn hệ... B, C là 3 góc nhọn của một tam giác Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức 1 1 1    (cot A  cot B  cot C )  3 sin a sin B sin C 18 Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn CMR: (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA > 2 Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao? VI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Hàm lồi lõm ( Không có trong... Vương QN THPT 13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại trung điểm H của AD Chứng minh rằng tanB.tanC = 2 14 Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a Chứng minh rằng: sin l B C sin = lb c 2 2 2 4a 15 Cho tam giác vuông ABC tại A Gọi  là góc giữa đường cao và đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Chứng minh rằng: tan B C  = tan 2 2 16 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM... cos2C) + 5 =0 2 29 Cho tam giác ABC thỏa : sin(A + B).cos(A - B) = 2sinA.sinB CMR,  ABC vuông 30 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1 Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi: sin A sin B sin C    3 ma mb mc 31 CMR, không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của... chất hàm lồi: + tính chất hàm lõm: f ( x1 )  f ( x2 ) x y  f( ) , x, y  R 2 2 f ( x1 )  f ( x2 ) x y  f( ) , x, y  R 2 2 Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 11 Lê Trinh Tường Trưng Vương QN THPT B BÀI TẬP ÁP DỤNG Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 sinA + sinB +sinC  3 3 2 3 1 < cosA + cosB + cosC  2 1 < sin 3 2 C B A 9 2 2 5 2 < cos 2 + cos 2 + cos 2  4 2... trong của nó đều là nghiệm của phương trình: 1 (4cos x  1)(7sin 2 x  sin 2 x  6)  0 2 Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 15 Lê Trinh Tường Trưng Vương QN THPT Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 16 ... b  c  a a  2b cos C  2 2 3 R (sin A + sin3B + sin3C) 3  2 a 3  b3  c3 a   a bc 5  sin B.sin C  3  4  7 A, B, C là nghiệm của phương trình: tanx - tan Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác 3 a cos A  b cos B  c.cos C 2p = a sin B  b sin C  c sin A 9R 1  cos B.cos C  4  6  3 3 3 a 2  a  b  c  a bc  x 2 3 = 2 3 dùng cho HS khá giỏi 10NC 13 Lê Trinh Tường Trưng Vương... A.sin B.sin C 1  sin A  sin B  sin C 3 3 1 1 1 26 3 ) + (1 + ) + (1 + )≥5+ sin A sin B sin C 9 A B C + tan + tan ≥ 2 2 2 3 19 tanA + tanB + tanC ≥ 3 3 (Với ABC nhọn) Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác A B C 17 tan2 2 + tan2 2 + tan2 2 ≥ 1 20 tan2A + tan2A + tan2A ≥ 9 (Với ABC nhọn.) dùng cho HS khá giỏi 10NC 12 Lê Trinh Tường Trưng Vương QN 21 tan THPT A B C 1 tan tan ≥ 2 2 2 3 3 22 cos3A + . C l cos a b 2 (l a , l b , l c  độ dài phân giác) B. BÀI TẬP . VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC. 1. Tính giá trị lượng giác của cung sau. 1) sina = 3 5 với 0 <. biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC 1 RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC A- CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT . I- TÓM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: . tana.tanb. 24. CMR: 00 00 sin75 cos75 sin75 cos75   = 1 3 VẤN ĐỀ 2. BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC. I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. + A + B + C =  + ab < c < a + b + a 2 = b 2 + c 2