www.MATHVN.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT A NGHĨA HƯNG NAM ĐỊNH TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN Thực Vũ Văn Bắc Website: http://parksungbuyl.wordpress.com/ NGHĨA HƯNG NGÀY THÁNG NĂM 2013 www.MATHVN.com VẤN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CĨ CHỨA CĂN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Bài tốn 1.1 Cho biểu thức P  x2  x xx  với x  0, x  x  x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x P  (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nam Định năm 2011)  Lời giải a) Với x  0, x  ta có P  x 1 x x  x 1 x 1 x    x x x 1     x  x  1 x x 1    x  x 1 x 1 x 1 x  x  x  x 1 x x       x 1  x  x  x  x  x  x Vậy với x  0, x  P  x  x b) Với x  0, x  ta có P 0 x2 x 0 x   x 0 x  x    x 2    x   x 2  x    Đối chiếu với điều kiện x  0, x  ta thấy hai giá trị thỏa mãn Vậy với P  x  0, x  NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN       Kĩ cách giải chung cho dạng toán câu a Đặt điều kiện thích hợp, đề nêu điều kiện xác định ta phải làm lời giải nêu Đa phần toán dạng này, thường quy đồng mẫu, xong tính tốn rút gọn tử thức sau xem tử thức mẫu thức có thừa số chung hay khơng để rút gọn tiếp Trong tốn khơng quy đồng mẫu mà đơn giản biểu thức Khi làm kết cuối cùng, ta kết luận giống Đối với dạng toán câu b Cách làm điển hình, khơng bị trừ điểm Ngồi câu hỏi tìm x người ta hỏi: cho x số bắt rút gọn P, giải bất phương trình, tìm giá trị lớn nhỏ nhất, tìm x để P có Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com giá trị nguyên, chứng minh bất đẳng thức Nhưng thường người ta hỏi sau: tìm x để P có giá trị (như ví dụ nêu trên), cho x nhận giá trị cụ thể để tính P MỘT SỐ CÂU HỎI MỞ CHO BÀI TOÁN  Câu hỏi mở Rút gọn P x   2 Ta có x   2  12  2.1  ( 2)  (1  2) Khi đó, với x  0, x  x  (1  2)   Do P  x  x   2  2(1  2)   2   2  Vậy với x   2 P   Câu hỏi mở Tìm giá trị nhỏ P Với x  0, x  ta có P  x  x  ( x )2  x    ( x  1)  Vì x  nên ( x  1)2   ( x  1)   1 Vậy với x  0, x  P khơng có giá trị nhỏ Trong loại câu hỏi này, ta cần ý đến điều kiện xác định Chẳng hạn với điều kiện x  ta rút gọn P  x  x ta khơng làm mà làm sau Với x  ta có P  x  x  x  x ( x  2)  x Vì x   x   x  0, x    x ( x  2)  x    Vậy P  , dấu xảy x  (thỏa mãn điều kiện)  Câu hỏi mở Chứng minh P  1 ta làm kết luận P  1  Câu hỏi mở Tìm số ngun x để P có giá trị ngun Ví dụ trên, ta có P  x  x , thường đề khơng hỏi đến nghiệm nguyên Chẳng 3x hạn với điều kiện x  ta rút gọn P  , đề hỏi: tìm số nguyên x để P nhận x 1 giá trị nguyên ta làm sau 3x 3( x  1)  3 Với x  , ta có P    3 x 1 x 1 x 1 3 Từ với x số nguyên, P  ¢     ¢  3M ( x  1) x 1 x 1 Tương đương với x  ước 3, mà ước 3; 1;1;3  ( x  1)  3; 1;1;3 Mà x   x    x    x  (thỏa mãn điều điện) Kết luận: x  giá trị cần tìm Ta xét thêm tốn câu đề chung chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2011 Tài liệu ôn thi vào lớp 10 mơn Tốn by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com  x 1  Bài toán 1.2 Cho biểu thức P    với x  0, x   : x  x  x  x   a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm x để P  x  (Đề chung Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2011)  Lời giải a) Với x  0, x  ta có   x 1 x 1 B  x  x     ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)     x ( x  1)  x 1 x 1 ( x  1)( x  1) x (2 x  2) x ( x  1)   x x 1 x 1 Vậy với x  0, x  P  x b) Với x  0, x  P  x ta có 2P  x   x  x   x4 x 3   x x 3 x 3  x ( x  1)  3( x  1)   ( x  1)( x  3)   x 1   x 1 x     x   x    x  Kết hợp với điều kiện nêu có x  thỏa mãn tốn B CÁC BÀI TỐN RÈN LUYỆN Bài 1: Cho biểu thức P  a 2  a 3 a  a 6 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P   2 a  x   x 3 x 2 x2  :  Bài 2: Cho biểu thức P = 1      x 2 3 x x 5 x 6 x      a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P  Tài liệu ơn thi vào lớp 10 mơn Tốn by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com  x 1 x   x 2  : 1   Bài 3: Cho biểu thức P =      x 1  x  x  x      a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P    a   a :  Bài 4: Cho biểu thức P = 1     a 1 a a  a  a 1 a      a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P  c) Tìm giá trị P a  19  Bài 5: Cho biểu thức P = a) b)    a3  a (1  a )2   a :  a .  a    1 a  1 a   a   Rút gọn P Xét dấu biểu thức M  a ( P  0,5)  x 1   2x  x x 1 2x  x   Bài 6: Cho biểu thứ P =    1 : 1    x  x  x  x      a) Rút gọn P 3 2 b) Tính giá trị P x   x Bài 7: Cho biểu thức P =    x x  x  x 1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P    x   : 1     x   x 1    2a     a3 a   . Bài 8: Cho biểu thức P =    a    a  a  1  a  a   a) Rút gọn P b) Xét dấu biểu thức P  a   2x  x 1 2x x  x  x   Bài 9: Cho biểu thức P      : x    x 1 x x 1 x  a) Rút gọn P b) Tính giá trị P với x   c) Tính giá trị lớn a để P  a Tài liệu ơn thi vào lớp 10 mơn Tốn by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com 1 a a  1 a a  Bài 10: Cho biểu thức P =   a .  a   1 a  1 a  a) Rút gọn P b) Tìm a để P    x Bài 11: Cho biểu thức P =    x 3 a) Rút gọn P b) Tìm x để P  c) Tìm giá trị nhỏ P x 3x    x   :   1 x  x    x    x3 x   9x x 3 Bài 12: Cho biểu thức P =   1 :     x9   x x 6 2 x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P < Bài 13: Cho biểu thức P = x 2  x   15 x  11 x  2 x    x  x  1 x x 3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P  2 c) Chứng minh P  Bài 14: Cho biểu thức P = x  x m x m2  với m > x  m x  4m a) Rút gọn P b) Tính x theo m để P = c) Xác định giá trị m để x tìm câu b thoả mãn điều kiện x  a2  a 2a  a Bài 15: Cho biểu thức P =  1 a  a 1 a a) Rút gọn P b) Biết a  so sánh P với P c) Tìm a để P = d) Tìm giá trị nhỏ P  a 1   a 1  ab  a ab  a Bài 16: Cho biểu thức P =    1 :    1 ab  ab   ab    ab   a) Rút gọn biểu thức P Tài liệu ơn thi vào lớp 10 mơn Tốn by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com b) Tính giá trị P a =  b = 1 a b4 c) Tìm giá trị nhỏ P Bài 17: Cho biểu thức P = 1 a a 1 a a 1   a  a 1    a    a a a a  a  a  a   a) Rút gọn P b) Với giá trị a P = c) Với giá trị a P   a  Bài 18: Cho biểu thức P =   a   a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P  c) Tìm giá trị a để P  2  Bài 19: Cho biểu thức P =  a 1 a      a 1 a     a  b  ab a b  b a a b ab a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tính giá trị P a = b =  x2 x  : Bài 20: Cho biểu thức P =     x x  x  x  1  x   a) Rút gọn P b) Chứng minh P > với  x  x 1 2 x  x   x 2   : 1   Bài 21: Cho biểu thức P =      x x  x  x  x      a) Rút gọn P b) Tính P x =  3x     2  : Bài 22: Cho biểu thức P = :   2 x 4 x 42 x  42 x     a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P = 20 Tài liệu ôn thi vào lớp 10 mơn Tốn by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com  x y x3  y   Bài 23: Cho biểu thức P =  x y yx  a) Rút gọn P b) Chứng minh P   :     x  y  xy x y  ab   ab  ab  Bài 24: Cho P =    :       a  b a a  b b   a  b a a  b b  a  ab  b  a) Rút gọn P b) Tính P a = 16 b =  2a  a  a a  a  a  a  a  Bài 25: Cho biểu thức P =     a 1  a  a a   a) Rút gọn P b) Cho P = 1 tìm giá trị a c) Chứng minh P   x5 x   25  x Bài 26: Cho biểu thức:P=   1 :   x  25 x  x  15    a) Rút gọn P b) Với giá trị x P  x 3  x 5 x 5  x       a  1 a  b a 3a : Bài 27: Cho biểu thức P =     2a  ab  2b a  ab  b a a  b b a  b   a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên   a 1 a  2   Bài 28: Cho biểu thức P =     :  a   a 2 a    a 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P   1  1 Bài 29: Cho biểu thức P =     : y  x  y x y   x a) Rút gọn P b) Cho x.y = 16 Xác định x, y để P có giá trị nhỏ Tài liệu ôn thi vào lớp 10 mơn Tốn by Vũ Văn Bắc x3  y x  x y  y x y  xy www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Bài 30: Cho biểu thức P = x3 2x 1 x  xy  y x  x  xy  y  x a) Rút gọn P b) Tìm tất số nguyên dương x để y = 625 P  0, VẤN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  Xét phương trình ax  bx  c  với a khác 0, biệt thức   b  4ac  Hệ thức Viet phương trình bậc hai x1  x2   b c ; x1 x2  a a     Nếu ac  PT có nghiệm phân biệt PT có nghiệm    PT có nghiệm kép    PT có nghiệm phân biệt       PT có nghiệm phân biệt trái dấu    x1 x2      PT có nghiệm dương phân biệT   x1  x2  x x         x1  x2  x x   PT có nghiệm âm phân biệt  Từ tính chất quan trọng nêu trên, ta giải dạng tốn PT trùng phương Xét phương trình ax  bx  c  (i) với a khác Đặt t  x  , ta có at  bt  c  (ii)     PT (i) có nghiệm phân biệt (ii) có nghiệm dương phân biệt PT (i) có nghiệm phân biệt (ii) có nghiệm dương nghiệm PT (i) có nghiệm phân biệt (ii) có nghiệm dương PT (i) có nghiệm (ii) có nghiệm Sau xét số tốn thường gặp mang tính chất điển hình Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Bài tốn 2.1 Cho phương trình (m  1) x  4mx  4m   (1) a) Hãy giải phương trình m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Khi tìm biểu thức liên hệ độc lập nghiệm phương trình d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  x1 x2  17 e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu h) Tìm m x1  x2  , với x1 , x2 hai nghiệm phương trình i) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt thỏa mãn nghiệm lần nghiệm  Lời giải a) Khi m  thay vào (1) ta x  x   (2) PT có  '  16    Khi (2) có hai nghiệm x1   7; x2     Vậy với m  PT cho có tập nghiệm S   7;  b) Để làm câu hỏi này, ta chia thành hai trường hợp TH1: Khi m    x   x   m  thỏa mãn TH2: Khi m khác 1, PT (1) PT bậc hai Xét  '  4m  (m  1)(4m  1)  4m2  (4m  3m  1)  3m  1 PT (1) có nghiệm  '   3m    m   Tóm lại, với m   PT cho có nghiệm c) PT (1) có nghiệm phân biệt m  m  m       '  3m   m   Khi đó, áp dụng hệ thức Viet ta có x1  x2  x1 x2  4m 4(m  1)  4   4 m 1 m 1 m 1 4m  4(m  1)  5   4 m 1 m 1 m 1     Do  x1  x2       4    1  x1 x2  m 1  m 1   Vậy biểu thức cần tìm  x1  x2   1  x1 x2  Tài liệu ơn thi vào lớp 10 mơn Tốn by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com ... 1   4 x y  x(1  y )  y   (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nam Định năm 2011) Tài liệu ôn thi vào lớp 10 mơn Tốn by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com 1    x ... 1  m 1   Vậy biểu thức cần tìm  x1  x2   1  x1 x2  Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com d) PT (1) có nghiệm phân biệt m  m ...    4m(m  1)  (m  1)   (m  1)(4m  1)   m  or m   Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Khi theo hệ thức Viet ta có x1  x2  4m