Sở GD & Đt nghệ an Trờng THPT Đặng thúc hứa 66 sin4x + cos2x dx sin x + cos x tích phân ( ) ( ) 66 88 x+1-x-1 dx 1 == dx x+1 2 x+1 I = Giáo viên : Phạm Kim Chung Tổ : Toán Năm học : 2007 - 2008 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa _____________________________ Tháng 12 năm 2007 __________________________________ Trang 1 Thực ra trên mặt đất lm gì có đờng, ngời ta đi lắm thì thnh đờng thôi ! - Lỗ Tấn - Viết một cuốn ti liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự ! Cũng may tôi không có t tởng lớn của một nh viết sách, cũng không hy vọng ở một điều gì đó lớn lao vì tôi biết năng lực về môn Toán l có hạn Khi tôi có ý tởng viết ra những điều tôi gom nhặt đợc tôi chỉ mong sao qua từng ngy mình sẽ lĩnh hội sâu hơn về môn Toán sơ cấp qua từng tiết học những học trò của tôi bớt băn khoăn, ngơ ngác hơn V nếu còn ai đọc bi viết ny nghĩa l đâu đó tôi đang có những ngời thầy, ngời bạn cùng chung một niềm đam mê sự diệu kì Toán học . Thử giải một bi toán khó nhng cha thật hi lòng ! ( ) ( ) ()() 66 22 8 42 x+1-x-1 dx 1 =dx= x+1 2 x+1 -2x ( ) ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) ()() 242 2 242 2 22 22 42 42 x+1 x- 2x+1+ 2-1x x-1 x- 2x+1+ 2+1x 11 dx + dx 22 x+1-2x x+1-2x ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ()() 22 22 2 2 42 42 42 4 2 42 4 2 2-1 2+1 x+1x x-1x 1x+1 1x-1 = dx+ dx+ dx+ 22 22 x+2x+1 x+2x+1 x - 2x +1 x + 2x +1 x - 2x +1 x + 2x +1 2 2 1 1+ 1 x =dx 2 1 x- +2+ 2 x () 2 22 1 1+ dx 2-1 x + 2 11 x- +2- 2 x- +2+ 2 xx () 2 2 1 1- 1 x +dx 2 1 x+ - 2- 2 x () () () 2 22 1 1- dx 2+1 x + 2 11 x+ - 2+ 2 x+ - 2- 2 xx 2 1 dx- 1 x = 2 1 x- +2+ 2 x () () 22 11 dx- dx- 2-1 2-1 xx +- 42 42 11 x- +2- 2 x- +2+ 2 xx () 2 1 dx+ 1 x + 2 1 x+ - 2- 2 x () () () () 22 11 dx+ dx+ 2+1 2+1 xx +- 42 42 11 x+ - 2+ 2 x+ - 2- 2 xx 11 x+ -2-2 x+ -2+2 2+ 2 2- 2 2- 2 2+ 2 xx =u+v+ln +ln +C 11 8 8 16 16 x+ + 2- 2 x+ + 2+ 2 xx ( Với 1 x- = 2+ 2tgu= 2- 2tgv x ) (Nếu dùng kết quả ny để suy ngợc có tìm đợc lời giải hay hơn ? ) 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ầ 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 2 Phần lý thuyết Định nghĩa : Giả sử f(x) l một hm số liên tục trên một khoảng K, a v b l hai phần tử bất kì của K, F(x) l một nguyên hm của f(x) trên K . Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi l tích phân từ a đến b của f(x) v đợc kí hiệu l . Ta dùng kí hiệu () b a fxdx () b Fx a để chỉ hiệu số : F(b) F(a) Công thức Newton Laipnit : () b a fxdx = () b Fx a = F(b) F(a) Ví dụ : () 31 23 0 1 x 11 xdx 1 0 0 33 === 3 3 Chú ý : Tích phân chỉ phụ thuộc v f, a v b m không phụ thuộc vo kí hiệu biến số tích phân . Vì vậy ta có thể viết : F(b) F(a) = = () b a fxdx () b a fxdx () b a ftdt = () b a fudu Các tính chất của tích phân . 1. () a a fxdx=0 2. () () ba ab fxdx=-fxdx 3. () () () () bb aa fx gxdx= fxdx gxdx b a VD : () () eee 22 111 ee 31 2x dx 2 xdx 3 dx x 3ln x e 1 3 1 0 e 2 11 xx += + =+ =+=+ 2 4. () () () cbc aab fxdx= fxdx+ fxdx VD : 22101 01 110 10 01 xx x dx xdx x dx xdx xdx 1 10 22 =+=+=+ = 5. f(x) 0 trên đoạn [a ; b] 0 () b a fxdx 6. f(x) g(x) trên đoạn [a ; b] () b a fxdx () b a gxdx VD : Chứng minh rằng : 22 00 sin2xdx 2 sinxdx 7. m f(x) M trên đoạn [a ; b] m(b a) = b a mdx () b a fxdx b a Mdx = M(b a) VD : Chứng minh rằng : 2 1 15 2xdx x 2 + HD . Khảo sát hm số 1 yx x =+ trên đoạn [1; 2] ta có : [] [] 1;2 1;2 5 y ;y 2 2 = =max min 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ầ 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 3 Do đó : 22 2 11 1 15 2 dx x dx dx x2 + 2 1 22 15 2x x dx x 11 x2 + 2 1 15 2xdx x 2 + Phần phơng pháp Phơng pháp đổi biến số : t = v(x) . VD . Tính tích phân : 2 1 0 x Id x x 1 = + Đặt : . Khi x= 0 thì t=1, khi x=1 thì t=2 . 2 tx 1=+ Ta có : dt dt = . Do đó : 2xdx xdx 2 = 2 12 01 2 x1dt1 1 Id x lntln2 1 2t 2 2 x1 ==== + Quy trình giải toán . () () () () x xx bb aa fxdx= gv v' d Bớc 1 . Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hm liên tục, đổi cận . Bớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t v dt : f(x)dx = g(t)dt Bớc 3 . Tính . () () () vb va gtdt Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 2 e e dx x ln x 2 . () 2 2 1 dx 2x 1 3. 1 2 3 0 x dx x 1 + 4. 3 4 2 x dx x 1 5 . 2 3 4 dx sin x 6 . () 1 0 dx 2x 1 x 1 + + 7. () 4 1 dx x 1x+ Phơng pháp đổi biến số : x = u(t) . VD . Tính tích phân : 1 2 0 1x dx Đặt x = sint t; 22 . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t= 2 Vậy với x = sint thì x0;1 t0; 2 v dx = costdt . Do đó : 1 22 22 00 0 0 1 x dx 1 sin t cos tdt cos t cos tdt cos tdt = = = 2 2 = = 2 0 1cos2t 1 sinx cosx O 1 dt t sin2t 2 222 4 0 + = += Quy trình giải toán . () b a fxdx Bớc 1 . Đặt x = u(t), t; sao cho u(t) có đạo hm liên tục trên đoạn ; , f(u(t)) đợc xác định trên đoạn v . b; () () ua;u= = 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ầ 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 4 Bớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t v dt : f(x)dx = g(t)dt Bớc 3 . Tính . () gtdt Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 1 2 0 dx 1x+ 2 . 1 2 2 0 dx 1x 3. 1 2 0 dx x x1 + + 4. 1 22 0 x 1xdx 5 . 1 32 0 x 1xdx+ 6 . 5 2 0 5x dx 5x + ( Đặt x=5cos2t) Phơng pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t) VD1 . Tính tích phân : I = 1 2 0 1xdx+ Cách (1) Đặt 2 22 t1 1+x =x- t 1= -2xt t x 2t += Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 12 v dx = 2 2 t1 2t + dt . Do đó : 12 12 12 12 12 22 42 23 1111 t1t1 1 t2t1 1 1 1 I . dt dt tdt 2 dt dt 2t 2t 4 t 4 t t + + + ===++ 3 1 = = 2 2 12 12 12 t1 1 ln t 82 8t 11 1 = + () 12 ln 2 1 22 + nên ta có thể chọn t0; 4 . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t Cách (2) : Đặt x=tgt , do x 0;1 4 = v dx= 2 1 dt cos t . Do đó : () () 1 44444 22 2 2234 2 00 0 000 dsint 1111cost 1 x dx 1 tg t dt dt dt dt cos t cos t cos t cos t cos t 1sint +=+ = = = = = = ()() ()() () ()() () 22 44 00 1sint 1sint 111 dsint dsint 4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t ++ =+ + + 1 = = ()() () () () () ()() () () 2 444 22 000 d1 sint d1 sint dsint 11 1 1 1 1 dsint 4 1sint 1sint 4 2 1sint1sint 4 1sint 1sint + +=+ + + + + 4 0 = = 2 11 1 11sint1sint 11sint .ln ln 4 0 444 4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 2 cos t 4 1 sin t 000 ++ + =+ + = () 12 ln 2 1 22 + . Bình luận : Bi toán ny còn giải đợc bằng phơng pháp tích phân từng phần . Còn với 2 cách giảI trên rõ rng khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép tính toán đơn giản hơn. Nhng ngợc lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán di dòng v nếu quả thật không khá tích phân thì cha hẳn đã l đợc hoặc lm đợc m lại di dòng hơn . VD2 . Tính tích phân : I = 1 2 0 1 dx 1x+ 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ầ 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 5 Cách (1) Đặt 2 22 t1 1+x =x- t 1= -2xt t x 2t += Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 12 v dx = 2 2 t1 2t + dt . Do đó : 12 12 2 22 11 2t t 1 1 I . dt dt t12t t + == + = = 12 ln t 1 () ln 2 1= nên ta có thể chọn t0; 4 . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t Cách (2) : Đặt x=tgt , do x 0;1 4 = v dx= 2 1 dt cos t . Do đó : 1 4444 22 2 22 00 000 cos t 111 1cos dx dt dt dt dt cost cost cost cost 1x 1tgt ==== ++ t = () () 4 2 0 dsint 11sint ln 4 21sint 1sint 0 == = + ( ) ln 2 1 . Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 2 2 1 x 1dx 2 . 2 2 2 1 x dx x 1 3. 0 2 1 x 2x 2dx ++ 4. 1 2 2 0 dx 1x4x3++ 5 . 1 2 2 dx 112xx + 6 . 1 2 0 xdx x x1 + Chú ý : Khi đứng trớc một bi toán tích phân, không phải bi toán no cũng xuất hiện nhân tử để chúng ta sử dụng phơng pháp đổi biến số . Có nhiều bi toán phải qua 1 hay nhiều phép biến đổi mới xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ ( sẽ nói đến ở phần Phân Loại Các dạng Toán ) Phơng pháp tích phân từng phần . Nếu u(x) v v(x) l hai hm số có đạo hm liên tục trên đoạn [a; b] thì : () () () () () () () bb aa b uxv'xdx=ux.vx - vxu'xdx a hay () () () () () bb aa b uxdv=ux.vx - vxdu a VD1. Tính 2 0 x cosxdx Đặt = , ta có : ux dv cos xdx = du dx vsinx = = 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 6 () 22 00 x cos xdx x sin x sin xdx cosx 1 22 22 00 = =+ = Nhận xét : Một câu hỏi đặt ra l đặt có đợc không ? ucosx dv xdx = = Ta hãy thử : 2 22 2 00 x1 x cos xdx cosx x sinxdx 2 22 0 =+ , rõ rng tích phân 2 2 0 x sin xdx còn phức tạp hơn tích phân cần tính . Vậy việc lựa chọn u v dv quyết định rất lớn trong việc sử dụng phơng pháp tích phân từng phần . Ta hãy xét một VD nữa để đi tìm câu trả lời vừa ý nhất ! VD2. Tính 2 5 1 ln x dx x Ta thử đặt : 5 1 u x dv lnxdx = = rõ rng để tính v= l một việc khó khăn ! ln xdx Giải . Đặt 5 ulnx 1 dv dx x = = ta có : 54 1 du x 11 vdx x4x = == Do đó : 22 545 4 11 22 ln x ln x 1 dx ln2 1 1 15 ln2 dx 11 x 4x 4 x 64 4 4x 256 64 = + = + = Nhận xét : Từ 2 VD trên ta có thể rút ra một nhận xét ( với những tích phân đơn giản ) : Việc lựa chọn u v dv phải thoả mãn : 1 du đơn giản, v dễ tính . 2 Tích phân sau ( ) vdu phải đơn giản hơn tích phân cần tính ( ) udv . Bi tập rèn luyện phơng pháp : Tính các tích phân sau : 1 . 1 x 0 x edx 2 . 1 3x 0 x edx 3. () 2 0 x 1cosxdx 4. () 6 0 2xsin3xdx 5 . 1 2x 0 x edx 6 . 2 2 0 x sin xdx 7. 2 x 0 ecosxdx 8. 9. 10. e 1 ln xdx () 5 2 2xln x 1 dx () e 2 1 ln x dx Mỗi dạng toán chứa đựng những đặc thù riêng của nó ! Phần phân loại các dạng toán ầ Tích phân của các hm hữu tỷ A. Dạng : I () () a0 Px =dx ax + b 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ầ 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 7 Công thức cần lu ý : I dx ln ax b C ax b a = =+ + + Tính I 1 x1 dx + = x1 Tính I 2 2 x5 dx = + x1 Tính I 3 3 x dx 2x 3 = + Phơng pháp : Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho nhị thức : ax+b, đa tích phân về dạng : I () Q x dx dx ax b =+ + ( Trong đó Q(x) l hm đa thức viết dới dạng khai triển ) B. Dạng : I () () a0 2 Px =d x ax + bx + c 1. Tam thức : có hai nghiệm phân biệt . () 2 fx ax bx c=++ Công thức cần lu ý : I ( ) () () u' x dx ln u x C ux = =+ Tính I 2 2 dx x4 = Cách 1. ( phơng pháp hệ số bất định ) ()() 2 1 A AB0 2AB 2 2ABx2AB AB1 1 x4x2x2 B 2 = += =+++ = + = Do đó : I 2 2 dx x4 = = 11 dx 2x2 - 11 dx 2x2 + = 1x2 ln C 2x2 + + Cách 2. ( phơng pháp nhảy tầng lầu ) Ta có : I 2 222 2 1 2x 2x 4 1 dx dx dx ln x 4 ln x 2 C x4 2x4 x4 2 == =+ + < Tổng quát >Tính I 22 dx xa = Tính I 2 2x dx 9x = Tính I 2 3x 2 dx x1 + = Tính I 2 2 x dx x5x6 = + Tính I 3 2 3x dx x 3x 2 = + Phơng pháp : Khi bậc của đa thức P(x) <2 ta sử dụng phơng pháp hệ số bất định hoặc phơng pháp nhảy tầng lầu. Khi bậc của đa thức P(x) 2 ta sử dụng phép chia đa thức để đa tử số về đa thức có bậc < 2 . 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 8 2. Tam thức : có nghiệm kép . () ( ) 2 2 fx ax bx c x=++=+ Công thức cần lu ý : I ( ) () () 2 u' x 1 dx C ux ux = = + Tính I ( ) () 2 2 dx 2 11 dx C x4x4 x2 x2 === + + Tính I 2 4x dx 4x 4x 1 = + . Đặt : 2x 1 = t dt dx= 2 2x t 1 = + , lúc đó ta có : I 22 t1 dt dt 2 2dx222lnt ttt t + ==+= C+ Tính I 2 2 x3 dx x 4x 4 = + Tính I 3 2 x dx x 2x 1 = ++ Phơng pháp : Để tránh phức tạp khi biến đổi ta thờng đặt : t xtx += = v thay vo biểu thức trên tử số . 3. Tam thức : vô nghiệm . () 2 fx ax bx c=++ Tính I 2 1 dx x1 = + Đặt : 2 1 x tg dx d cos = = , ta có : I () 22 1 dd cos tg 1 == + C=+ , với ( ) tg x = < Tổng quát > Tính I 22 1 dx xa = + . HD Đặt xatg = 2 a dx d cos = , ta có : I d C aa == + Tính I 2 2 dx x2x2 = ++ Tính I 2 2x 1 dx x2x5 + = ++ Tính I 2 2 x dx x 4 = + Tính I 3 2 x dx x 9 = + ầ C. Dạng : I () () 32 Px =d xa0 ax + bx + cx + d 1. Đa thức : có một nghiệm bội ba. () 32 fx ax bx cx d=+++ 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng THPT Đặng Thúc Hứa ầ 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 năm 2007 ___________________ Trang 9 Công thức cần lu ý : I () nn1 11 dx C xn1x = + ( ) n1 = Tính I () 3 1 dx x1 = Nếu x > 1 , ta có : I () ()() () () 2 3 3 2 x1 11 dx x 1 d x 1 C C 2 x1 2x1 ===+= + . Nếu x < 1 , ta có : I () ()() () () 2 3 3 2 1x 11 dx 1 x d 1 x C C 2 1x 2x1 = = = + = + Vậy : I () 3 1 dx x1 = = () 2 1 C 2x 1 + Chú ý : m m 1 x, với x > 0 x = Tính I () 3 x dx x1 = Đặt : x 1 = t ta có : I 323 2 t1 1 1 1 1 dt dt C tttt2t + = =+ =+ Tính I () 2 3 x4 dx x1 = Tính I () 3 3 x dx x1 = Tính I () 4 3 x dx x1 = + 2. Đa thức : có hai nghiệm . () 32 fx ax bx cx d=+++ Tính I ()() 2 1 dx x1x1 = + Đặt : x + 1 = t , ta có : I () 23 1d dt tt2 t 2t == 2 t Cách 1 < Phơng pháp nhảy tầng lầu > Ta có : 22 2 2 3232 32 32 2 32 2 1 3t4t13t4t4 3t4t13t2 3t4t132 t 2t t 2t 4 t 2t t 2t 4 t t 2t 4 t t + = = =+ Do đó : I 2 32 32 2 3t 4t 1 3 2 3 1 dt dt ln t 2t ln t C t2t 4tt 4 2t =+=+ + . Cách 2 < Phơng pháp hệ số bất định > ()( ) 2 32 2 2B 1 1AtBC 1 A C t 2A B t 2B 2A B 0 t2t t t2 A C0 = + = + + ++ += += 1 B 2 1 A 4 1 C 4 = = = Do đó : 32 2 2 11t21112112 dt dt dt ln t ln t 2 C t2t 4t t2 4tt t2 4 t + = = + = + . dòng v nếu quả thật không khá tích phân thì cha hẳn đã l đợc hoặc lm đợc m lại di dòng hơn . VD2 . Tính tích phân : I = 1 2 0 1 dx 1x+ 12 2007 bài giảng tích phân Phạm Kim Chung Trờng. sinxdx 2 22 0 =+ , rõ rng tích phân 2 2 0 x sin xdx còn phức tạp hơn tích phân cần tính . Vậy việc lựa chọn u v dv quyết định rất lớn trong việc sử dụng phơng pháp tích phân từng phần . Ta hãy. một nhận xét ( với những tích phân đơn giản ) : Việc lựa chọn u v dv phải thoả mãn : 1 du đơn giản, v dễ tính . 2 Tích phân sau ( ) vdu phải đơn giản hơn tích phân cần tính ( ) udv .