Đang tải... (xem toàn văn)
Thay các số liệu và đặt phản lực liên kết thay cho các gối tựa, ta có hình sau: Xác định phản lực tại các gối tựa: Theo các điều kiện cân bằng ta có:+ Tổng lực theo phương ngang bằng 0: + Tổng momen đối với điểm B bằng 0: kN+ Tổng momen đối với điểm D bằng 0: kN+ Kiểm tra lại ta có: kN Như vậy các phản lực đã đúng. Chia đoạn:Chia đoạn sao cho mỗi đoạn không có sự thay đổi đột ngột về ngoại lực và về phương của trục thanh. Ở đây thanh chia thành ba đoạn AB, BC và CD (như hình):
Thay số liệu đặt phản lực liên kết thay cho gối tựa, ta có hình sau: Xác định phản lực gối tựa: - Theo điều kiện cân ta có: + Tổng lực theo phương ngang 0: ∑ X = ⇔ HB = + Tổng momen điểm B 0: ∑ M / B = ⇔ P ×1,5 + q × ×1 + M − VD × = ⇔ 2VD = 12 × 1,5 + × × + ⇔ VD = 15 kN + Tổng momen điểm D 0: ∑ M / D = ⇔ P × 3,5 − q × ×1 + M + VB × = ⇔ 2VB = −12 × 3,5 + × × − ⇔ VB = −19 + Kiểm tra lại ta có: VB + VD + P − 2q = −19 + 15 + 12 − = kN kN Như phản lực Chia đoạn: Trang Chia đoạn cho đoạn khơng có thay đổi đột ngột ngoại lực phương trục Ở chia thành ba đoạn AB, BC CD (như hình): Viết biểu thức nội lực cho đoạn: ≤ z ≤ 1,5 (1) Đoạn AB: Xét mặt cắt 1-1với tọa độ z ( ) Giữ lại phần bên trái mặt cắt 1-1 đặt vào trọng tâm O1 mặt cắt thành phần nội (1) (1) N z(1) ( z ) Qy ( z ) M x ( z) lực: ; - Viết điều kiện cân phần giữ lại: ∑ Z = N z(1) ( z ) = ∑Y = Q ∑M / k (1) y ( z) − P = (1) = M x ( z ) − Pz = Suy ra: N z(1) ( z ) = (1) Qy ( z ) = P (1) M x ( z ) = Pz Trang 1,5 ≤ z ≤ 2,5 (2) Đoạn BC: Xét mặt cắt 2-2 với z ( ) Giữ lại phần bên trái mặt cắt 2-2 đặt vào trọng tâm O2 mặt cắt thành phần nội (2) (2) N z(2) ( z ) Qy ( z ) M x ( z) lực: ; Tương tự, ta có: ∑ Z = N z(2) ( z ) = ∑Y = Q ∑M / k (2) y ( z ) − P + VB + q ( z − 1,5) = =M (2) x ( z ) − Pz + VB ( z − 1,5 ) ( z − 1,5) +q 2 =0 Suy ra: N z(2) ( z ) = (2) Qy ( z ) = P − VB − q ( z − 1,5) M (2) x ( z ) = Pz − VB ( z − 1,5 ) ( z − 1,5) −q 2 ( 2,5 ≤ z ≤ 3,5 ) (3) Đoạn CD: Xét mặt cắt 3-3 với z Giữ lại phần bên phải mặt cắt 3-3 đặt vào trọng tâm O3 mặt cắt thành phần nội (3) (3) N z(3) ( z ) Qy ( z ) M x ( z) lực: ; Trang Tương tự, ta có: ∑ Z = N z(3) ( z ) = ∑Y = Q ∑M / k (3) y ( z ) − q ( 3,5 − z ) + VD = =M (3) x ( 3,5 − z ) ( z) + q 2 − VD ( 3,5 − z ) = Suy ra: N z(3) ( z ) = (3) Qy ( z ) = q ( 3,5 − z ) − VD M (3) x ( 3,5 − z ) ( z ) = −q 2 + VD ( 3,5 − z ) Phân tích biểu thức nội lực: (1) Đoạn AB: + Nz khơng tồn tồn đoạn + Qy số: Qy = P = 12 kN (1) M x ( z ) = Pz + Mx đường bậc nhất: (1) M x = M x (0) = Tại A (z = 0), ta có: (1) M x = M x (1,5) = 12 × 1,5 = 18 Tại B (z = 1,5), ta có: kNm (2) Đoạn BC: + Nz khơng tồn tồn đoạn (2) Qy ( z ) = P − VB − q ( z − 1,5) + Qy đường bậc nhất: (2) Qy = Qy (1,5) = 12 − 19 = −7 Tại B (z = 1,5), ta có: kN Trang Tại C (z = 2,5), ta có: (2) Qy = Qy (2,5) = 12 − 19 − ( 2,5 − 1,5 ) = −11 M (2) x ( z ) = Pz − VB ( z − 1,5 ) kN ( z − 1,5) −q + Mx đường cong bậc hai: (2) M x = M x (1,5) = 12 × 1,5 = 18 Tại B (z = 1,5), ta có: kNm Tại C (z = 2,5), ta có: ( 2,5 − 1,5) = (2) M x = M x (2,5) = 12 × 2,5 − 19 ( 2,5 − 1,5 ) − 2 kNm Xét cực trị đường cong (2) dM x ( z ) P − VB + 1,5q 12 − 19 + 1,5 × = P − VB − q ( z − 1,5) = ⇔ z = = dz q = −0,25 m Vậy điểm cực trị có khơng thuộc đoạn BC (2) d 2M x ( z) = −q < dz Do Mx quay bề lõm phía âm biểu đồ (3) Đoạn CD: + Nz không tồn toàn đoạn (3) Qy ( z) = q ( 3,5 − z ) − VD + Qy đường bậc nhất: (3) Qy = Qy (2,5) = ( 3,5 − 2,5 ) − 15 = −11 Tại C (z = 2,5), ta có: kN (3) Qy = Qy (3,5) = −15 Tại D (z = 3,5), ta có: kN ( 3,5 − z ) + V 3,5 − z (3) M x ( z ) = −q ) D( + Mx đường cong bậc hai: Tại C (z = 2,5), ta có: ( 3,5 − 2,5 ) + 15 3,5 − 2,5 = 13 (3) M x = M x (2,5) = −4 ( ) kNm (3) M x = M x (3,5) = Tại D (z = 3,5), ta có: Xét cực trị đường cong: (3) dM x ( z ) 3,5q − VD 3,5 × − 15 = q ( 3,5 − z ) − VD = ⇔ z = = = −0, 25 dz q m Trang Vậy cực trị có không thuộc đoạn CD (3) d 2M x (z) = −q < dz Vậy bề lõm Mx quay phía âm biểu đồ So sánh Mx với ta kết luận, M x = 18 kNm cực trị biểu đồ M x, điểm B (z = 1,5) Với việc tiến hành phân tích biểu thức nội lực vừa nêu trên, ta tiến hành vẽ biểu đồ nội lực Biểu đồ lực dọc Nz, lực cắt Qy momen uốn Mx: Trang Nhận xét: + Đoạn AB lực phân bố nên lực cắt số momen uốn đường bậc + Đoạn BD có lực phân bố nên lực cắt đường bậc momen uốn đường cong bậc hai + Tại A có lực tập trung P = 12 kN, nên biểu đồ lực cắt có bước nhảy + Tại C có momen tập trung M = kNm, nên biểu đồ momen uốn có bước nhảy Trang Thay số liệu đặt phản lực liên kết thay cho ngàm: Tìm phản lực VD, HD momen D + Tổng lực theo phương ngang 0: ∑ X = ⇔ HD = + Tổng momen điểm D 0: 5 ∑ M / D = ⇔ M − qo × × + P × + M D = ⇔ M D = − M + qo × × − P 28 ⇔ M D = −8 + × × − = − 3 kNm + Tổng lực theo phương đứng 0: 1 ∑ Y = ⇔ − qo + P + VD = ⇔ VD = qo − P = × − = −4 kN Chia đoạn: - Thanh chia thành đoạn AB, BC CD Ta có bên dưới: Trang Viết biểu thức nội lực cho đoạn thanh: ≤ z ≤ 0,5 (1) Đoạn AB: Xét mặt cắt 1-1với tọa độ z ( ) Giữ lại phần bên trái mặt cắt 1-1 đặt vào trọng tâm O mặt cắt thành (1) (1) N z(1) ( z ) Qy ( z ) M x ( z) phần nội lực: ; - Viết điều kiện cân phần giữ lại: ∑ Z = N z(1) ( z ) = ∑Y = Q ∑M / k (1) y ( z) = (1) = M x ( z) − M = Suy ra: N z(1) ( z ) = (1) Qy ( z ) = (1) M x ( z) = M Trang 0,5 ≤ z ≤ 1,5 (2) Đoạn BC: Xét mặt cắt 2-2 với z ( ) Giữ lại phần bên phải mặt cắt 2-2 đặt vào trọng tâm O mặt cắt thành phần nội lực: (2) (2) N z(2) ( z ) Qy ( z ) M x ( z) ; - Tương tự, ta có: ∑ Z = N z(2) ( z ) = ∑Y = Qy(2) ( z) − q( z ) = qo q ( z ) ( 2,5 − z − 1) + P − VD = 2,5 − z − = qo ( 1,5 − z ) Với: ∑M / k (2) = M x ( z ) +q( z ) ( 2,5 − z − 1) ( 2,5 − z − 1) − P +VD ( 2,5 − z ) = ( 2,5 − z − 1) − M D Suy ra: N z(2) ( z ) = q ( 1,5 − z ) Q ( z) = o − P + VD 2 (2) y q ( 1,5 − z ) ( z) = − o + P ( 1,5 − z ) + M D − VD ( 2,5 − z ) M (2) x Trang 10 q ( 1,5 − z ) Q ( z) = o − P + VD 2 (2) y + Qy đường cong bậc 2: ( 1,5 − 0,5 ) Qy = Q (0,5) = −8+ = 2 (2) y Tại B (z = 0,5) thì: ( 1,5 − 1,5 ) Qy = Q (1,5) = − + = −4 2 (2) y Tại C (z = 1,5) thì: Xét cực trị đường cong: (2) dQy ( z ) = − qo ( 1,5 − z ) = ⇔ z = 1,5 dz kN m Như vậy, điểm cực trị nằm đoạn BC, C (z = 1,5) (2) d 2Q y ( z ) = qo > dz y Như bề lõm Q quay phía dương biểu đồ x + M đường cong bậc 3: qo ( 1,5 − z ) (2) M x ( z) = − + P ( 1,5 − z ) + M D − VD ( 2,5 − z ) Tại B (z = 0,5), thì: ( 1,5 − 0,5 ) 28 (0,5) = − + ( 1,5 − 0,5 ) + − ( 2,5 − 0,5 ) = 3 Mx = M (2) x kNm Tại C (z = 1,5), thì: ( 1,5 − 1,5 ) 28 16 (1,5) = − + ( 1,5 − 1,5 ) + − ( 2,5 − 1,5 ) = 3 Mx = M (2) x kNm Vì đoạn BC, lực cắt Qy điểm B (z = 0,5) nên biểu đồ M x đạt cực trị Mặt khác, lực cắt Qy phân bố đoạn âm nên đường biểu diễn Mx quay bề lõm phía (3) Đoạn CD: + Nz khơng tồn toàn đoạn (3) Qy = Qy ( z ) = + Qy số, với kN Trang 12 + Mx đường bậc (3) M x ( z ) = M D − VD ( 2,5 − z ) (3) M x = M x (1,5) = Tại C (z = 1,5), ta có: (3) M x = M x (2,5) = Tại D (z = 2,5), ta có: 28 16 − ( 2,5 − 1,5 ) = 3 kNm 28 28 − ( 2,5 − 2,5 ) = 3 kNm - Với phân tích trên, ta tiến hành vẽ biểu đồ nội lực Biểu đồ nội lực Trang 13 Nhận xét: + Đoạn AB lực cắt không tồn momen uốn số Đoạn CD lực cắt số momen uốn đường bậc + Đoạn BC có lực phân bố đường bậc lực cắt đường bậc hai momen uốn đường bậc ba + Tại C có lực tập trung P = kN nên biểu đồ lực cắt có bước nhảy + Tại A có momen tập trung M = kNm nên biểu đồ momen uốn có bước nhảy Trang 14 Thay số liệu đặt phản lực liên kết thay cho gối tựa, ta có hình sau: Tính phản lực HA, HE VD + Tổng lực theo phương ngang 0: ∑ X = ⇔ H A + H E − q ×1 = ⇔ H A + H E = q = kN + Tổng lực theo phương đứng 0: ∑ Y = ⇔ −q × + P + VD = ⇔ VD = 2q − P = × − 18 = −12 kN + Tổng momen A 0: ∑ M / A = ⇔ q × ×1 − P ×1 + M − V D ⇔ − 18 + − ( −12) × + × + q ×1× − H E × = 63 − HE = ⇔ HE = 2 kN Trang 15 HA = − HE = − 63 57 =− 2 Suy được: kN Chia đoạn Chia khung thành đoạn AB, BC, CD, CE hình bên dưới: Viết biểu thức nội lực cho đoạn ≤ z ≤1 (1) Đoạn AB: Xét mặt cắt 1-1với tọa độ z ( ) Giữ lại phần bên trái mặt cắt 1-1 đặt vào trọng tâm O1 mặt cắt thành phần nội (1) (1) N z(1) ( z ) Qy ( z ) M x ( z) lực: ; - Viết điều kiện cân phần giữ lại: ∑ Z = N z(1) ( z ) − H A = ∑Y = Q (1) y ( z ) + qz = Trang 16 z2 ∑ M / k1 = M ( z) + q = (1) x Suy ra: N z(1) ( z ) = H A (1) Qy ( z ) = − qz (1) M x ( z) = −q z2 1≤ z ≤ (2) Đoạn BC: Xét mặt cắt 2-2 với z ( ) Giữ lại phần bên trái mặt cắt 2-2 đặt vào trọng tâm O mặt cắt thành phần nội lực: (2) (2) N z(2) ( z ) Qy ( z ) M x ( z) ; - Tương tự, ta có: ∑ Z = N z(2) ( z ) − H A = ∑Y = Q ∑M / k (2) y ( z ) + qz − P = =M (2) x z2 ( z ) +q − P ( z − 1) = Suy ra: N z(2) ( z ) = H A (2) Qy ( z ) = P − qz Trang 17 M (2) x z2 ( z ) = P ( z − 1) − q 2≤ z≤3 (3) Đoạn CD: Xét mặt cắt 3-3 với z ( ) Giữ lại phần bên phải mặt cắt 3-3 đặt vào trọng tâm O mặt cắt thành phần nội lực: (3) (3) N z(3) ( z ) Qy ( z ) M x ( z) ; Tương tự, ta có: ∑ Z = N z(3) ( z ) = ∑Y = Q ∑M / k (3) y ( z ) − VD = (3) = M x ( z ) + VD ( − z ) = Suy ra: N z(3) ( z ) = (3) Qy ( z ) = VD (3) M x ( z ) = −VD ( − z ) ≤ z ≤1 (4) Đoạn EC: Xét mặt cắt 4-4 với z ( ) Giữ lại phần phía mặt cắt 4-4 đặt vào trọng tâm O mặt cắt thành phần nội lực: (4) (4) N z(4) ( z ) Qy ( z ) M x ( z) ; Trang 18 Tương tự, ta có: ∑ Z = N z(4) ( z ) = ∑Y = Q ∑M / k (4) y ( z ) + H E − qz = =M (4) x z2 ( z) + H E z − q = Suy ra: N z(4) ( z ) = (4) Qy ( z ) = qz − H E M (4) x z2 ( z) = q − H E z Phân tích biểu thức nội lực (1) Đoạn AB: N z = N z(1) ( z ) = H A = + Nz số toàn đoạn với (1) Qy ( z ) = − qz + Qy đường bậc nhất: (1) Qy = Qy (0) = Tại A (z = 0) (1) Qy = Qy (1) = − q = −3 Tại B (z = 1) kN 57 kN Trang 19 z2 M ( z ) = −q (1) x + Mx đường cong bậc hai: (1) M x = M x (0) = Tại A (z = 0) (1) M x = M x (1) = − Tại B (z = 1) Xét cực trị đường cong: (1) dM x ( z ) = − qz = ⇔ z = dz q =− 2 kNm Như vậy, điểm cực trị nằm đoạn AB, A (z = 0) (1) d 2M x ( z ) = −q < dz x Như bề lõm M quay phía âm biểu đồ (2) Đoạn BC: N z = N z(2) ( z ) = H A = + Nz số toàn đoạn với (2) Qy ( z ) = P − qz + Qy đường bậc nhất: (2) Qy = Qy (1) = 18 − = 15 Tại B (z = 1) thì: kN 57 kN (2) Qy = Qy (2) = 18 − × = 12 Tại C (z = 2) thì: kN M + Mx đường cong bậc hai: (2) x z2 ( z ) = P ( z − 1) − q (2) M x = M x (1) = 18 ( − 1) − × Tại B (z = 1) Mx = M (2) x =− 2 22 (2) = 18 ( − 1) − × = 12 Tại C (z = 2) Xét cực trị đường cong: kNm kNm Trang 20 (2) dM x ( z ) P 18 = P − qz = ⇔ z = = = dz q m Như vậy, điểm cực trị có không nằm đoạn BC (2) d 2M x ( z ) = −q < dz x Như bề lõm M quay phía âm biểu đồ (3) Đoạn CD: + Nz không tồn toàn đoạn (3) Qy = Qy ( z ) = VD = 12 + Qy số với: kN (3) M x ( z ) = −VD ( − z ) + Mx đường bậc nhất: (3) M x = M x (2) = −12 ( − ) = −12 Tại C (z = 2) kNm Tại D (z = 3) (3) M x = M x (2) = −12 ( − 3) = (4) Đoạn EC: + Nz khơng tồn tồn đoạn (4) Qy ( z ) = qz − H E + Qy đường bậc nhất: 63 (4) Qy = Qy (0) = − Tại E (z = 0) thì: kN (4) Qy = Qy (1) = × − Tại C (z = 1) thì: M (4) x + Mx đường cong bậc hai: (4) M x = M x (0) = Tại E (z = 0) Tại C (z = 1) 63 57 =− 2 kN z2 ( z) = q − H E z 63 (4) M x = M x (1) = × − × = −30 2 kNm Trang 21 d M x(4) ( z ) =q>0 dz x Như bề lõm M quay phía dương biểu đồ - Với phân tích trên, ta tiến hành vẽ biểu đồ nội lực Biểu đồ nội lực Biểu đồ lực cắt Qy momen uốn Mx biểu diễn bên Trang 22 Xét cân nút C: Ta thấy rằng, nút C cân Nhận xét: + Đoạn CD khơng có lực phân bố lực cắt số momen uốn đường bậc Đoạn AC EC có lực phân bố lực cắt đường bậc momen uốn đường cong bậc hai Trang 23 + Tại B có lực tập trung biểu đồ lực cắt có bước nhảy Tại C có momen tập trung biểu đồ momen uốn có bước nhảy Đặt số liệu, hệ trục tọa độ kí hiệu mặt phẳng chứa Ta thực việc chia mặt cắt theo mặt phẳng, có hình bên Trang 24 Viết biểu thức nội lực (chỉ xét lực dọc Nz, momen uốn Mx momen xoắn Mz) (1) Đoạn AB: dời lực P từ điểm C B, B có lực P = 18 kN (α ) momen nằm mặt phẳng theo chiều kim đồng hồ MP = 18 kNm Dời momen M = kNm B, ta nhận thấy momen M làm xoắn AB (γ ) ≤ z ≤1 - Xét mặt cắt 1-1 (nằm mặt phẳng ) với z ( ) Giữ lại phần phía bên phải mặt cắt 1-1 đặt vào trọng tâm O1 mặt cắt (1) N z(1) ( z ) M x ( z ) thành phần nội lực: ; Trang 25 Ta có phương trình cân sau: ∑ Z = ⇔ N z(1) ( z ) + P = ∑M / k =0⇔ M (1) x (1− z) (z) + q 2 =0 Suy ra: N z(1) ( z ) = − P M (1) x (1− z) ( z ) = −q 2 (α ) ≤ z ≤1 - Xét mặt cắt 2-2 (nằm mặt phẳng ) với z ( ) Giữ lại phần phía bên phải mặt cắt 2-2 đặt vào trọng tâm O2 mặt cắt (2) N z(2) ( z ) M y ( z ) thành phần nội lực: ; Trang 26 ... (1) Đoạn AB: + Nz không tồn toàn đoạn + Qy số: Qy = P = 12 kN (1) M x ( z ) = Pz + Mx đường bậc nhất: (1) M x = M x (0) = Tại A (z = 0), ta có: (1) M x = M x (1, 5) = 12 × 1, 5 = 18 Tại B (z = 1, 5),... = 0,5), thì: ( 1, 5 − 0,5 ) 28 (0,5) = − + ( 1, 5 − 0,5 ) + − ( 2,5 − 0,5 ) = 3 Mx = M (2) x kNm Tại C (z = 1, 5), thì: ( 1, 5 − 1, 5 ) 28 16 (1, 5) = − + ( 1, 5 − 1, 5 ) + − ( 2,5 − 1, 5 ) = 3 Mx = M... z − 1, 5 ) kN ( z − 1, 5) −q + Mx đường cong bậc hai: (2) M x = M x (1, 5) = 12 × 1, 5 = 18 Tại B (z = 1, 5), ta có: kNm Tại C (z = 2,5), ta có: ( 2,5 − 1, 5) = (2) M x = M x (2,5) = 12 × 2,5 − 19 (