TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Th.S. NGUYỄN THỊ TRÀ HÀ NỘI - 2015 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Toán học nói chung và hình học nói riêng có tầm quan trọng đặc biệt đối với những môn khoa học khác. Đồng thời, hình học còn giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông. Định lý Pascal và định lý Brianchon chắc không còn quá xa lạ với những bạn yêu toán và đặc biệt là yêu thích môn hình học. Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu hơn nữa về ứng dụng của hai định lý tuyệt mỹ ấy, tôi đã chọn đề tài "Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon" làm khóa luận tốt nghiệp. Định lý Pascal và định lý Brianchon tổng quát được phát biểu cho các đường cônic trong mặt phẳng xạ ảnh. Trong đề tài này, tôi cũng đã đề cập đến một trường hợp đặc biệt của nó, đó là đường tròn trong mặt phẳng. 2. Mục đích - Yêu cầu • Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướng của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học. • Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái niệm, các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng dụng, ). • Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình. Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lý thuyết, phân loại và đưa ra bài tập chi tiết liên quan đến Định lý Pascal - Định lý Brianchon. 4. Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu - Định lý Pascal - Định lý Brianchon và những ứng dụng có liên quan. - Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm. Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 2 Nội dung chính 1. Tên đề tài Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon. 2. Kết cấu của nội dung Gồm 2 chương: • Chương 1: Một số lý thuyết chuẩn bị. - Hình sáu đỉnh và định lý Pascal. - Hình sáu cạnh và định lý Brianchon. • Chương 2: Ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon. - Ứng dụng của định lý Pascal. - Ứng dụng của định lý Brianchon. 3. Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu. • Nghiên cứu hệ thống kiến thức của hình học sơ cấp và hình học xạ ảnh. • Tham khảo tài liệu, đào sâu suy nghĩ tìm ra cách giải quyết một số vấn đề. Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 3 Chương 1 Một số lý thuyết chuẩn bị 1.1 Hình sáu đỉnh và định lý Pascal 1.1.1 Định nghĩa hình sáu đỉnh. Định nghĩa 1.1.1. Tập hợp gồm sáu điểm A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 phân biệt được gọi là hình sáu đỉnh. Kí hiệu: A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 . Trong đó: • Các đỉnh: A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 . • Các cạnh: A 1 A 2 , A 2 A 3 , A 3 A 4 , A 4 A 5 , A 5 A 6 , A 6 A 1 . • Các cặp đỉnh đối diện: A 1 − A 4 , A 2 − A 5 , A 3 − A 6 . Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 4 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ • Các cặp cạnh đối diện:        A 1 A 2 − A 4 A 5 A 2 A 3 − A 5 A 6 A 3 A 4 − A 6 A 1 1.1.2 Định lý Pascal Định lý 1.1.2. Nếu một hình sáu đỉnh có sáu đỉnh nằm trên một đường ôvan (còn được gọi là sáu đỉnh nội tiếp ôvan) thì giao điểm của các cặp cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng. Chứng minh Giả sử hình sáu đỉnh A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 nội tiếp đườn ôvan (S). Gọi P = A 1 A 2 ∩ A 4 A 5 . Theo định lý Stayner (thuận): Cho hai điểm cố định A 1 và A 2 nằm trên ôvan (S), một điểm I bất kỳ chạy trên ôvan đó. Khi đó ánh xạ f : {A 1 } → {A 5 } biến đường thẳng A 1 I thành A 5 I là ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên trục. f : {A 1 } → {A 5 } A 1 A 2 → A 5 A 2 A 1 A 3 → A 5 A 3 A 1 A 4 → A 5 A 4 A 1 A 5 → A 5 A 6 Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 5 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ mà f bảo toàn tỷ số kép giữa hai chùm nên: [A 1 A 2 , A 1 A 3 , A 1 A 4 , A 1 A 6 ] = [A 5 A 2 , A 5 A 3 , A 5 A 4 , A 5 A 6 ] ⇔ [ M, A 3 , A 4 , R ] = [ A 2 , A 3 , N, Q ] Khi đó luôn tồn tại một ánh xạ: g : A 3 A 4 → A 3 A 2 M → A 2 A 4 → N R → Q A 3 A 2 ∩A 3 A 4 = A 3 mà g(A 3 ) = A 3 nên g là phép chiếu xuyên tâm. Suy ra tâm là giao của    MA 2 , NA 4 , RQ mà MA 2 ∩ NA 4 = P ⇒ P ∈ RQ Hay P , Q, R thẳng hàng (đpcm). 1.1.3 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Pascal Trường hợp 1: Hình năm đỉnh. Định lý 1.1.3. Hình năm đỉnh A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 nội tiếp đường ôvan (S) thì ba giao điểm của cạnh A 1 A 2 với cạnh A 4 A 5 , cạnh A 2 A 3 với tiếp tuyến của (S) tại A 5 , cạnh A 3 A 4 với cạnh A 5 A 1 thẳng hàng. Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 6 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ Chú ý 1.1.4. Nếu hai đỉnh trùng nhau thì khi đó cạnh nối hai đỉnh trùng nhau đó thay bằng tiếp tuyến của ôvan (S) tại điểm đó. Trường hợp 2: Hình bốn đỉnh. Định lý 1.1.5. Nếu một hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp một đường ôvan thì giao điểm các cạnh đối diện và giao điểm các tiếp tuyến tại các cặp đỉnh đối diện là bốn điểm thẳng hàng. • ABCD ≡ AABBCC (tiếp tuyến tại hai đỉnh kề nhau). • ABCD ≡ AABCCD (tiếp tuyến tại hai đỉnh đối diện). Kết luận 1.1.6. Nếu hình bốn đỉnh ABCD nội tiếp ôvan thì giao của các cặp cạnh đối diện và giao của các tiếp tuyến tại các cặp đỉnh đối diện là bốn điểm thẳng hàng. Trường hợp 3: Hình ba đỉnh. Định lý 1.1.7. Nếu một hình ba đỉnh nội tiếp một đường ôvan thì giao điểm của một cạnh với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện là ba điểm thẳng hàng. Xét hình ba đỉnh AABBCC: Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 7 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ Kết luận 1.1.8. Nếu hình ba đỉnh nội tiếp một ôvan thì giao của một cạnh với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện là ba điểm thẳng hàng. Định lý Brianchon 1.2 Hình sáu cạnh và định lý Brianchon 1.2.1 Định nghĩa hình sáu cạnh Định nghĩa 1.2.1. Hình sáu cạnh là hình tập hợp gồm sáu đường thẳng có thứ tự a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 . Kí hiệu: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 . Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 8 [...]... 2 Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon 2.1 2.1.1 Ứng dụng của định lý Pascal Định lý Pascal với sáu điểm phân biệt Bài tập 2.1.1 Cho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn (O) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm chính giữa của các cung BC, CA, AB không chứa A, B, C của (O) Các cạnh BC, CA, AB cắt các cặp đoạn thẳng C’A’ và A’B’, A’B’ và B’C’, B’C’ và C’A’ lần lượt ở các cặp điểm M và. .. một số bài tập hình học được giải bằng cách ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon Đối với những vấn đề đã được lựa chọn cho luận văn, tôi hi vọng rằng đó là những vấn đề có thể giúp cho việc nghiên cứu các vấn đề khác của định lý Pascal và định lý Brianchon được thuận lợi hơn • Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của tôi đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn của. .. Chứng minh rằng AL, BM và CN đồng quy Bài 5 Cho tam giác ABC không cần nội tiếp đường tròn tâm (O) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng các đường tròn (AOM ), (BON ), (COP ) có hai điểm chung Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 14 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON 2.2 Ứng dụng của định lý Brianchon 2.2.1 Bài toán Brianchon với cực và. .. tiệm cận a và b Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên (H) Gọi a là đường thẳng đi qua A và song song với a, b là đường thẳng đi qua B và song song với b Đường thẳng AC ∩ b = P, BD ∩ a = Q Chứng minhh rằng: P Q//CD Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 17 Kết luận Khóa luận với đề tài: “ Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon , tôi đã nghiên cứu được các nội dung chủ yếu sau: • Luận văn... tuyến của đường bậc hai (S) biết năm tiếp tuyến thuộc (S) Bài tập 2.2.6 Hãy dựng thêm tiếp tuyến của đường bậc hai (S) biết bốn tiếp tuyến thuộc (S) Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 15 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Bài tập 2.2.7 Hãy dựng thêm tiếp tuyến của đường bậc hai (S) biết ba tiếp tuyến của (S) và hai tiếp điểm của a, b (a, b là hai tiếp tuyến của (S))... CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD (ABN ) cắt CD ở P , (CDM ) cắt AB ở Q Chứng minh rằng AC, P Q, BD đồng quy Bài 2 Cho parabol (G) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cố định Chứng minh rằng: mỗi đường thẳng nối hai điểm thuộc hai cạnh cho trước đều đi qua một điểm cố định, ba... minh rằng ba đường chéo chính của một lục giác ngoại tiếp đồng quy Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 12 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Bài tập 2.1.9 Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp (O) Tiếp điểm (O) trên AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q Một điểm S nằm trên cung nhỏ PN của (O) Tiếp tuyến của (O) tại S cắt BC, CD lần lượt tại H, K Chứng minh rằng: M H//AK Bài... 2.1.3 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) và 3 điểm M, N, P cùng thuộc đường thẳng (d) AM, BM, CM cắt lại (O) tương Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 11 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON ứng ở A1 , B1 , C1 ; A1 N, B1 N, C1 N cắt lại (O) tương ứng ở A2 , B2 , C2 ; A1 N , B1 N , C1 N cắt lại (O) tương ứng ở A3 , B3 , C3 Chứng minh rằng: AA3 , BB3 , CC3 , (d) đồng... Chứng minh rằng: M H//AK Bài tập 2.1.10 Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn (O) sao cho ABCD là hình chữ nhật Giả sử EF cắt AB, CD lần lượt ở P, Q; BE cắt AF ờ H; CE cắt DF ở K Chứng minh rằng: PH // QK Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 13 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Cho đường tròn tâm (O) đường kính EF Lấy hai điểm... nối các đỉnh đối diện đồng quy 1.2.3 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon Trường hợp 1: Nếu một hình tứ cạnh ngoại tiếp một ôvan thì các đường nối các đỉnh đối diện và các đường nối các tiếp điểm trên các cạnh đối diện đồng quy Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 9 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ Trường hợp 2: Nếu một hình ba cạnh ngoại tiếp một ôvan thì ba đường nối mỗi đỉnh với . 1: Một số lý thuyết chuẩn bị. - Hình sáu đỉnh và định lý Pascal. - Hình sáu cạnh và định lý Brianchon. • Chương 2: Ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon. - Ứng dụng của định lý Pascal. -. nữa về ứng dụng của hai định lý tuyệt mỹ ấy, tôi đã chọn đề tài " ;Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon& quot; làm khóa luận tốt nghiệp. Định lý Pascal và định lý Brianchon. 10 Chương 2 Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon 2.1 Ứng dụng của định lý Pascal. 2.1.1 Định lý Pascal với sáu điểm phân biệt. Bài tập 2.1.1. Cho tam giác ABC nội tiếp một đường