1 §¹i häc th¸i nguyªn Tr−êng ®¹i häc s− ph¹m          L L Ê Ê M M I I N N H H A A N N RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH: TOÁN HỌC Hướng dẫn khoa học : TS. Cao Thị Hà T HÁI NGUYÊN - 2012 2 MỤC LỤC Trang bìa phụ 1 Mục lục 2 Lời cảm ơn 3 Danh mục các từ viết tắt 4 MỞ ĐẦU 5 Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 8 1.1. Tổng quan về hoạt động trí tuệ 8 1.1.1. Tư duy và những vấn đề liên quan 8 1.1.2. Hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh trong học tập môn Toán 13 1.2. Hoạt động trí tuệ trong dạy và học ở trường phổ thông 23 1.2.1. Vài nét về sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT 23 1.2.2. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho học sinh 25 Kết luận chương 1 28 Chương 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC 29 2.1. Tổng quan về BĐT 29 2.2. Dạy học rèn luyện hoạt động trí tuệ qua bài toán BĐT ở trường THPT 31 2.2.1. Chủ đề 1: Bài toán BĐT Đại số 31 2.2.2. Chủ đề 2: Bài toán BĐT hình học và cực trị hình học 54 2.2.3. Chủ đề 3: Ứng dụng hàm số trong chứng minh BĐT 63 Kết luận chương 2 72 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 3 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn cô giáo TS. Cao Thị Hà - Người đã định hướng và dẫn dắt em tận tình trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán cùng các bạn sinh viên và những người đã giúp đỡ em hoàn thành đề tài này. Đề tài của em không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô, các bạn sinh viên và những người quan tâm tới đề tài này để đề tài của em được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến xin gửi về địa chỉ hòm thư: Alm.maths@gmail.com Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 04 năm 2012 Sinh viên Lê Minh An 4 DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG KHÓA LUẬN [ ] ? : Câu hỏi → : Dự đoán câu trả lời hoặc cách xử lí của học sinh BĐT : Bất đẳng thức CMR : Chứng minh rằng NXB : Nhà xuất bản THPT : Trung học phổ thông 5 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài  Xuất phát từ mục tiêu trong giáo dục đào tạo của Đảng và Nhà nước. Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII, BCH trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam đã chỉ rõ "Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học , rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở trường phổ thông…áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề" Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy định: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên" (Chương I, Điều 4)  Xuất phát từ thực trạng dạy và học ở các trường phổ thông ở nước ta hiện nay. Trong thực tế giáo dục hiện nay một bộ phận không nhỏ học sinh thường tiếp thu kiến thức một cách khá thụ động, vận dụng kiến thức một cách máy móc, không linh hoạt, và do đó thường lúng túng khi gặp vấn đề đó nhưng được biến đổi dưới dạng khác, hoặc đứng trước vấn đề mới. Nguyên nhân của tình trạng này một phần là do cách học của các em chưa phù hợp, nhưng phương pháp dạy của giáo viên chưa chú trọng đến việc phát triển tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh cũng là một lí do quan trọng. Vì vậy cần tích cực dạy học rèn luyện hoạt động trí tuệ phát triển tư duy học sinh để giúp học sinh học tập tốt, tiếp thu kiến thức hiệu quả, và xa hơn là phát triển giáo dục theo chiều sâu, xây dựng đào tạo con người mới: chủ động sáng tạo, phù hợp với sự phát triển của khoa học kĩ thuật như hiện nay.  Xuất phát từ vài trò của môn Toán nói chung và nội dung Bất đẳng thức nói riêng trong dạy và học ở trường phổ thông. Toán học là ngành khoa học cơ bản tạo nền tảng cho các ngành khoa học khác. Nói đến toán học là nói đến sự chặt chẽ và logic. Trong chương trình giáo dục 6 phổ thông môn toán không những giữ vai trò hết sức quan trọng nhằm trang bị cho người học một hệ thống kiến thức căn bản, mà nó còn được coi như là một môn thể thao của trí tuệ góp phần phát triển năng lực toán học cùng với các thao tác tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh. Bất đẳng thức (BĐT) là một nội dung khó trong môn toán ở trường phổ thông, tuy nhiên đây cũng là một lĩnh vực rất hay, đòi hỏi người học phải động não, tìm tòi, sáng tạo. Từ một bất đẳng thức đơn giản có thể tạo ra những bài toán khó và đẹp, và do đó cũng có những cách giải hay, độc đáo và đơn giản cho một bài toán phức tạp. BĐT xuất hiện trong nhiều bộ phận khác của toán phổ thông, như trong việc giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức, xuất hiện trong các bài toán hình học, lượng giác… Do đó BĐT sẽ là công cụ quan trọng và hiệu quả trong việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá. Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài: "Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán Bất đẳng thức". 2. Mục đích nghiên cứu Đề xuất một số biện pháp rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản cho học sinh THPT thông qua bài toán BĐT. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận và xác định một số biện pháp rèn luyện hoạt động trí tuệ của học sinh trong giảng dạy môn toán ở trường THPT. - Trên cơ sở lí luận và một số biện pháp đã được xác định, đề xuất phương án rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán BĐT. - Thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm kết quả việc thực hiện phương án rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua bài toán BĐT. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm 7 5. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn gồm 3 chương Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán BĐT Chương 3: Thực nghiệm sư phạm Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán BĐT 8 Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1. Tổng quan về hoạt động trí tuệ 1.1.1. Tư duy và những vấn đề liên quan a) Tư duy là gì (xem [4]) Theo các nhà tâm lí học thì tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết. Quá trình nhận thức gồm hai giai đoạn: nhận thức cảm tính (gồm hai quá trình cảm giác và tri giác) và nhận thức lý tính (gồm hai quá trình tư duy và tưởng tượng). Như vậy, tư duy thuộc giai đoạn nhận thức lý tính nhưng vẫn có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính được bắt nguồn từ nhận thức cảm tính, dựa trên cơ sở nhận thức cảm tính. Ngôn ngữ được xem là phương tiện của tư duy. Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được diễn đạt bằng từ, ngữ, câu, kí hiệu, công thức. b) Những vấn đề liên quan với tư duy (xem [11])  Tư duy và ngôn ngữ Tư duy và ngôn ngữ liên hệ mật thiết với nhau, quyết định lẫn nhau : tư duy chỉ tồn tại nhờ cái vỏ ngôn ngữ ; tư tưởng của con người tồn tại vì có từ, có tiếng nói. Tư tưởng thuộc phạm trù nội dung, ngôn ngữ thuộc phạm trù hình thức. Nội dung quyết định hình thức, hình thức lại ảnh hưởng trở lại nội dung. Trong toán học, việc thể hiện đúng đắn mối quan hệ giữa nội dung tư tưởng toán học và hình thức ngôn ngữ toán học là một cơ sở phương pháp luận quan trọng của giáo dục toán học. Ngôn ngữ toán học khác với ngôn ngữ tự nhiên ở chỗ : - Trong ngôn ngữ toán học, một dấu, một chữ số, chữ cái, dấu phép tính hay dấu quan hệ có thể biểu thị được điều mà ngôn ngữ tự nhiên phải dùng đến một mẫu câu hay một cụm từ mới biểu thị được. Điều đó làm cho ngôn ngữ toán học gọn gàng hơn so với ngôn ngữ tự nhiên. 9 - Mỗi kí hiệu toán học hay mỗi kết hợp kí hiệu đều có một ý nghĩa duy nhất, điều đó làm cho ngôn ngữ toán học có khả năng diễn đạt chính xác hơn hẳn ngôn ngữ tự nhiên. - Trong ngôn ngữ toán học có dùng đến ngôn ngữ biến, điều đó cho phép ngôn ngữ toán học rất thích hợp để khái quát diễn đạt các quy luật chung.  Tư duy và nhiệm vụ nhận thức Tư duy chỉ nảy sinh khi có tình huống có vấn đề, có nhiệm vụ nhận thức. Tư duy là sự vận động từ chỗ chưa biết, biết không đầy đủ, đến chỗ biết và biết đầy đủ. Trong quá trình dạy học, khi giáo viên đặt học sinh trước một câu hỏi, bài tập, bài toán (nhiệm vụ nhận thức), tư duy sẽ nảy sinh khi học sinh phải đi tìm cách giải quyết nhiệm vụ ấy, đi tìm cái giống nhau và khác nhau, khái quát các sự kiện và tự mình rút ra các kết luận. Trong giáo dục toán học, các bài toán có vai trò đặc biệt quan trọng, là động lực thúc đẩy tư duy học sinh tích cực hoạt động. Theo nhà giáo dục toán học G.Polya, nếu lấy việc làm cho tư duy học sinh tích cực nhiều hay ít để làm tiêu chuẩn phân loại thì có thể phân các bài toán làm 2 loại : bài toán chuẩn và bài toán không chuẩn. Bài toán chuẩn là bài toán có thể được giải bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc mà người giải chỉ cần có kinh nghiệm nhất định trong việc áp dụng một số quy tắc theo thuật toán. Còn bài toán không chuẩn là bài toán được giải không theo một khuôn mẫu đã biết từ trước, nó đòi hỏi phải có sự sáng tạo nhất định ở học sinh. Trong việc phát triển tư duy cho học sinh, bài toán chuẩn cũng có những lợi ích và cần thiết. Tuy nhiên nếu tuyệt đối hóa vai trò của chúng thì không phát triển được tự duy sáng tạo cho học sinh. Vậy cần phải có sự coi trọng đúng mức với cả hai loại toán chuẩn và không chuẩn.  Tư duy và hoạt động Hành động là sự vận động hướng vào đối tượng và theo đuổi một mục đích xác định. Trong tâm lí học, phân biệt những hành động vật chất (bên ngoài, vận động) với các đối tượng và những hành động trí tuệ (bên trong, tâm lí) với các hiện thực tâm lí. 10 Một tập hợp các hành động trí tuệ gọi là hoạt động trí tuệ. Nội dung chính của giáo dục toán học coi trọng yếu tố hành động của chủ thệ nhận thức như sau : - Nhà sư phạm lựa chọn, tạo ra những hoàn cảnh, môi trường có chứa đựng những khái niệm toán học sẽ giảng dạy cho học sinh. - Học sinh hành động trong môi trường toán học (dưới hình thức trò chơi hay thực hiện một nhiệm vụ nào đó) thông qua hành động, học sinh "tách" nội dung toán học trừu tượng ra khỏi hoàn cảnh đã toán học hóa.  Tư duy và kiến thức Tư duy là thao tác lựa chọn các kiến thức phù hợp với nội dung và loại hình nhiệm vụ nhận thức được đặt ra. Kiến thức vừa là cái kích thích ban đầu, vừa là phương tiện cơ bản, vừa là kết quả cuối cùng của quá trình tư duy. Những kiến thức tham gia vào quá trình tư duy có thể chia làm hai loại : - Những kiến thức mà người giải toán thu nhận trực tiếp từ điều kiện của bài toán khi đọc kĩ đề bài. - Những kiến thức tuy không nằm trong điều kiện của bài toán, nhưng không có chúng thì quá trình tư duy không nảy sinh được ; đó là những kiến thức về định nghĩa, định lí toán học mà người giải toán đã thu thập được từ trước. Những kiến thức này cần thiết cho sự thiết lập mối quan hệ logic giữa điều kiện và kết luận của bài toán. Sự phát triển của các năng lực tư duy, đòi hỏi sự phát triển của cả mặt nội dung của tư duy (các kiến thức) lẫn mặt hành động của tư duy (các hành động trí tuệ). Thực tế giáo dục cho thấy nhiều học sinh có thói quen xấu là chỉ nghe giảng qua loa ở lớp rồi lao vào làm bài tập toán ngay ; vì kiến thức chưa nắm vững, vì chưa có đầy đủ kiến thức hai loại nên không giải được toán. Ngược lại, có nhiều học sinh chỉ học thuộc lòng kiến thức toán trong sách, ít chịu giải bài tập, hành động trí tuệ ít được rèn dũa nên cũng không giải được bài toán đòi hỏi phải "động não" chút ít.  Tư duy và những đặc điểm nhân cách [...]... Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d Chú ý: Không được trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ: a > b, c < d ⇒ a − c > b − d Tính chất đơn điệu của phép nhân - Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một... m < a n  Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu: a > b, ab > 0 ⇒ 1 1 < a b Lấy nghịch đảo hai vế và giữ nguyên chiều bất đẳng thức nếu hai vế trái dấu: a > b, ab < 0 ⇒ 1 1 > a b 2.2 Dạy học rèn luyện hoạt động trí tuệ qua bài toán bất bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông 2.2.1 Chủ đề 1: Bài toán bất đẳng thức đại số Các BĐT kinh điển (BĐT AM - GM (BĐT giữa trung... hóa bài toán 2.1.5 ta lại được các bài toán khác - Chọn b1 = b2 = = bn = 1 : Bài toán 2.1.5 Cho a1 , a2 , , an > 0 CMR ( n ) a1a2 an + 1 ≤ ( a1 + 1)( a2 + 1) ( an + 1) n b1 = b2 = = bn = 1 - Chọn  :  a1 = 1, a2 = 1, , an = n Bài toán 2.1.6 CMR 1 + n n! ≤ n ( n + 1)! Vẫn với cách thức này ta còn có thể xây dựng được nhiều bài toán BĐT khác, việc cho học sinh tiếp cận bài toán BĐT với cách thức. .. viên cần hiểu rõ và nắm vững các mối quan hệ mật thiết đó 28 Chương 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Trong chương này chúng tôi cố gắng khai thác xuất phát từ các bài tập BĐT đơn giản, các bài tập có sẵn trong SGK, bên cạnh đó là các bài tập trong các đề thi của các cuộc thi quen thuộc đối với học sinh THPT để tổ chức các hoạt động nhằm rèn luyện... > bc - Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số âm và đổi chiều của bất đẳng thức: a > b, c < 0 ⇒ ac < bc Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm: a > b ≥ 0, c > d ≥ 0 ⇒ ac > bd Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức: a > b > 0 ⇒ a n > bn a > b ⇔ a 2 n +1 > b 2 n +1 a > b ⇔ a2n > b2n Khai phương bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức 30 a>b≥0⇒ n a > n... thác các bài tập trong SGK (là các bài tập rất cơ bản) sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức dễ dàng hơn, từ đó làm tăng hứng thú học BĐT ở các em, giúp cho các biện pháp rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh của giáo viên trở lên hiệu quả hơn 35 Ví dụ 2.2 Bài toán 2.2.1 CMR nếu a > 0 và b > 0 thì: 1 1 4 + ≥ a b a+b Một cách để khai thác bài toán là định hướng cho học sinh chứng minh bằng nhiều cách... sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo Trong hoạt động giải toán, trước hết phải nhìn nhận một cách tổng hợp để xem bài toán thuộc loại gì, cần huy động những kiến thức thuộc vùng nào, có thể sự dụng những phương pháp nào, sau đó phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ hơn, phân tích các mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán để tìm ra... minh CM ≥ CH , điều này đơn giản do CH ⊥ AB [?] Vậy đẳng thức xảy ra khi nào? → Đẳng thức xảy ra khi M ≡ H , như vậy thì HA = HB tức là a = b [?] Vậy chúng ta đã giải quyết được bài toán rồi chứ? Các em hãy hoàn thiện lời giải của bài toán? (tổng hợp) Giáo viên còn có thể cho học sinh tiếp tục khái quát hóa bài toán [?] Các em có thể tổng quát bài toán lên nhiều biến hơn không? Chú ý tên của BĐT là... nhân là 3 Vậy có lẽ bất đẳng thức với 3 biến sẽ là a+b+c 3 ≥ abc 3 32 3 abc Vẫn như thế với nhiều biến hơn BĐT là a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n [!] Rất đúng, các em cần hoàn thiện điều kiện của các biến nữa để có các BĐT tổng quát hơn Bài toán 2.1.2 Cho a, b, c là các số thực dương CMR a+b+c 3 ≥ abc 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bài toán 2.1.3 Cho a1 , a2 , , an là các số thực dương CMR... giải toán, sử dụng suy luận tương tự để liên hệ bài toán cần giải với bài toán đã giải giúp nhanh chóng tìm ra lời giải, do đó khi dạy một tri thức mới, ra một bài tập mới, gợi ý cho học sinh biết liên hệ kiến thức cũ, dự đoán kết quả để tìm ra phương pháp giải quyết Ví dụ 1.3 Xét 2 bài toán: Bài toán 1.3.1 CMR: ∀a, b, c ≥ 0 ta có: a b c 3 + + ≥ b+c c+a a+b 2 (BĐT Nesbitt) Lời giải: Xét các biểu thức . phân loại thì có thể phân các bài toán làm 2 loại : bài toán chuẩn và bài toán không chuẩn. Bài toán chuẩn là bài toán có thể được giải bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc mà người giải. nhiều bài toán nhỏ hơn, phân tích các mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán để tìm ra lời giải. Sau khi tìm lời giải của các bài toán bộ phận, phải tổng hợp lại để được lời giải của các bài toán. HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC 29 2.1. Tổng quan về BĐT 29 2.2. Dạy học rèn luyện hoạt động trí tuệ qua bài toán BĐT ở trường THPT 31 2.2.1. Chủ đề 1: Bài toán BĐT Đại số 31