®Ò thi häc sinh giái -MÔN : TOÁN Lớp : 8 §Ò sè 1 Bài 1 : a) Phân tích đa thức x 3 – 5x 2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A M B biết A = 10x 2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . Bài 2 : Cho x + y = 1 và x y ≠ 0 . Chứng minh rằng ( ) 3 3 2 2 2 0 1 1 3 x y x y y x x y − − + = − − + Bài 3 : Cho a 2 – 4a +1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức P = 4 2 2 1a a a + + Bài 4 : Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất M = 2 2 2 2009a a a − + với a ≠ o Bài 5 : Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh DE + DF = 2AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF c) Chứng minh S 2 FDC ≥ 16 S AMC .S FNA Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D. Tìm tỉ số BD DC Hết HƯỚNG DẪN Bài 1 : a) x 3 - 5x 2 + 8x - 4 = x 3 -4x 2 + 4x – x 2 +4x – 4 = x( x 2 – 4x + 4) – ( x 2 – 4x + 4) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 b) Xét 2 10 7 5 7 5 4 2 3 2 3 A x x x B x x − − = = + + − − Với x ∈ Z thì A M B khi 7 2 3x − ∈ Z ⇒ 7 M ( 2x – 3) Mà Ư(7) = { } 1;1; 7;7− − ⇒ x = 5; -2; 2 ; 1 thì A M B ( 0,25 đ) Bài 2 : ( 1,5 đ) Biến đổi 3 3 1 1 x y y x − − − = 4 4 3 3 ( 1)( 1) x x y y y x − − + − − = ( ) 4 4 2 2 ( ) ( 1)( 1) x y x y xy y y x x − − − + + + + ( do x+y=1 ⇒ y-1=-x và x-1=- y) (0,25đ) = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1) x y x y x y x y xy x y y x y yx xy y x x − + + − − + + + + + + + + (0,25đ) = ( ) 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( ) 2 x y x y xy x y xy x y x y xy − + −   + + + + + +   (0,25đ) 1 = ( ) 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 x y x x y y xy x y x y − − + −   + + +   = ( ) [ ] 2 2 ( 1) ( 1) ( 3) x y x x y y xy x y − − + − + (0,25đ) = ( ) [ ] 2 2 ( ) ( ) ( 3) x y x y y x xy x y − − + − + = ( ) 2 2 ( 2 ) ( 3) x y xy xy x y − − + (0,25đ) = 2 2 2( ) 3 x y x y − − + Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) Bài 3 : (0,75đ) Ta có a 2 - 4a + 1 = 0 ⇒ a 2 – a + 1 = 3a ⇒ 2 1a a a − + =3 (0,25đ) P = 4 2 2 2 2 1 1 1 . a a a a a a a a a + + − + + + = = 3 . 2 a 1a a + + (0,25đ) Mà 2 2 a 1 1 2a a a a a a a + + − + = + = 3+2 = 5 Suy ra P = 3 . 5 = 15 (0,25đ) Bài 4 : ( 1 đ) M = 2 2 2008( 2 2008) 2008 a a a − + = 2 2 2 2008 2. .2008 2008 2008 a a a − + (0,25đ) = 2 2 2 2 2007 2 .2008 2008 2008 a a a a + − + (0,25đ) = 2 2 2007 ( 2008) 2007 2008 2008 2008 a a − + ≥ (0,25đ) Dấu “=” xảy ra ⇔ a – 2008 = 0 ⇔ a = 2008 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2007 2008 khi a = 2008 (0,25đ) Bài 5 :(2,5đ) Câu a ( 0,75đ): Lý luận được : DF DC AM MC = ( Do AM//DF) (1) DE BD AM BM = ( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ) Từ (1) và (2) ⇒ 2 DE DF BD DC BC AM BM BM + + = = = ( MB = MC) ( 0,25đ) ⇒ DE + DF = 2 AM ( 0,25đ) Câu b ( 1 đ) : AMDN là hình bành hành Ta có NE AE ND AB = (0,25đ) NF FA DM DM AE ND AC MC BM AB = = = = (0,5 đ) ⇒ NE NF ND ND = => NE = NF (0,25đ) Câu c : ( 0,75đ) ∆ AMC và ∆ FDC đồng dạng ⇒ 2 AMC FDC S AM S FD   =  ÷   ∆ FNA và ∆ FDC đồng dạng ⇒ 2 FNA FDC S NA S FD   =  ÷   ( 0,25đ) 2 ⇒ 2 AMC FDC S ND S FD   =  ÷   và 2 FNA FDC S DM S DC   =  ÷   ⇒ . AMC FNA FDC FDC S S S S = 2 ND FD    ÷   . 2 DM DC    ÷   4 1 16 ND DM FD DC   ≤ +  ÷   (0,25đ) ⇒ S 2 FDC ≥ 16 S AMC .S FNA (0,25đ) ( Do ( ) 2 0x y− ≥ ⇔ ( ) 2 4x y xy+ ≥ ⇔ ( ) 4 2 2 16x y x y+ ≥ với x ≥ 0; y ≥ 0) Bài 6 : ( 1 đ) Kẻ MI // BC ( I ∈ AD) ⇒ MI = 2 BD Ta có : MI MH DC HC = ( Do MI // BC) ⇒ 2 BD MH DC HC = ( 1) ( 0,25đ) ∆ MAH và ∆ ACH đồng dạng ( g-g) ⇒ 1 2 MH MA AH AC = = ( ∆ ABC vuông cân tại A nên AB = AC ) ⇒ AH = 2 MH ( 0,25đ) ∆ AMC vuông , ta có AH 2 = MH . HC ⇒ 4MH 2 = MH.HC ⇒ HC = 4 MH ( 0,25đ) Thay vào (1) ta có : 1 2 4 4 BD MH DC MH = = ⇒ 1 2 BD DC = ( 0,25đ) §Ò sè 2 Bài 1: Cho biểu thức M =       + + − + − 2 1 36 6 4 3 2 xx xx x :         + − +− 2 10 2 2 x x x a) Rút gọn M M=       + + − + − 2 1 36 6 4 3 2 xx xx x :         + − +− 2 10 2 2 x x x =       + + − − +− 2 1 )2(3 6 )2)(2( 2 xxxxx x : 2 6 +x M = 6 2 . )2)(2( 6 + +− − x xx = x−2 1 b)Tính giá trị của M khi x = 2 1 : x = 2 1 ⇔ x = 2 1 hoặc x = - 2 1 Với x = 2 1 ta có : M = 2 1 2 1 − = 2 3 1 = 3 2 Với x = - 2 1 ta có : M = 2 1 2 1 + = 2 5 1 = 5 2 Bài 2: Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn 3 I M D H C B A N E D M C A B F 0=++ z c y b x a và 1=++ c z b y a x . Chứng minh rằng 1 2 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x HD Từ 0=++ z c y b x a ⇒ 0= ++ xyz cxybxzayz ⇒ ayz + bxz + cxy = 0 Từ 1=++ c z b y a x ⇒ 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ++ + ab xy2 + bc yz2 + ac xz2 = 1 ⇒ 2 2 2 2 2 2 c z b y a x ++ + abc xyc2 + abc yza2 + acb xzb2 =1 Mà ayz + bxz + cxy = 0 ⇒ 2ayz + 2bxz + 2cxy = 0 (Do abc ≠ 0) Hay 1 2 2 2 2 2 2 =++ c z b y a x (đpcm) Bài 3: Cho biểu thức: A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử. b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0. a. Ta có : A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - (2bc) 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 -2bc)( b 2 + c 2 - a 2 +2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) b.Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b-c -a) <0 ( BĐT trong tam giác) (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) Vậy A< 0 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : B = 1 )1(3 23 +++ + xxx x B = 1 )1(3 23 +++ + xxx x = 1)1( )1(3 2 +++ + xxx x = )1)(1( )1(3 2 ++ + xx x = 1 3 2 +x Do x 2 +1>0 nên B = 1 3 2 +x ≤ 3 Dấu ''='' xãy ra ⇔ x = 0 Vậy GTLN của B là 3 ⇔ x = 0 Bài 5 : Cho hình vuông ABCD. Hai điểm I,J lần lượt thuộc hai cạnh BC và CD sao cho góc IAJ =45 0 .Đường chéo BD cắt AI và AJ tương ứng tại H và K. Tính tỉ số J I HK . Giải: Từ giả thiết góc HAJ = góc HDJ =45 0 , suy ra tứ giác AHJD nội tiếp, từ đó góc AHJ =1v.Vậy tam giác AHJ vuông cân tại H. Suy ra 2 2 = AJ AH (1) Xét tương tự ta có 2 2 = AI AK (2) Từ (1) và (2) suy ra JI~ AAHK ∆∆ . Do đó J I HK = 2 2 = AJ AH . §Ò sè 3 C©u 1 4 H K A D B C J I Cho T= 2 2 3 2 2 ( 1) 4 ( 4) 5 1 : 2 ( 1) ( 2) x x x x x x x x x x x + + + . a/ Rút gọn T. b/ Tìm x để T đạt giá trị lớn nhất. HD*TXĐ x 1. a/ Rút gọn T= 2 2 3 2 2 ( 1) 4 ( 4) 5 1 : 2 ( 1). ( 2) x x x x x x x x x x x + + + = 2 3 2 2 ( 1) 1 : 2 2 2 2 1 x x x x x x x + + = 2 2 ( 1) 1 . ( 1)( 2 2) 1 x x x x x + + = 2 1 ( 1) 1x + + b/ Để T đạt giá trị lớn nhất thì 2 ( 1) 1x + nhỏ nhất mà (x+1) 2 +1>1 . Vậy x=-1 thì T=1 là lớn nhất Bi 2: Chng minh rng nu )1()1( 22 xzy xzy yzx yzx = Vi x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1. Thỡ : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) HD T GT (x 2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y 2 - xz) x 2 y- x 3 yz-y 2 z+xy 2 z 2 = xy 2 -x 2 z - xy 3 z +x 2 yz 2 x 2 y- x 3 yz - y 2 z+ xy 2 z 2 - xy 2 +x 2 z + xy 3 z - x 2 yz 2 = 0 xy(x-y) +xyz(yz +y 2 - xz - x 2 )+z(x 2 - y 2 ) = 0 xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0 (x -y) [ ] yzxzzyxxyzxy ++++ )( = 0 Do x - y 0 nờn xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0 Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (pcm) Bi 3: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh sau: x 2 -4xy+5y 2 =16 HD Ta cú: x 2 -4xy+5y 2 =16 x 2 -4xy+4y 2 +y 2 = 16 (x-2y) 2 +y 2 = 16 Vỡ x, y Z nờn (x-2y) Z Tng hai bỡnh phng ca hai s nguyờn bng 16 thỡ ch cú 2 kh nng xy ra a) (x-2y) 2 =0 x=8; y=4 y 2 =16 x=-8; y=-4 b) y 2 =0 x=4; y=0 (x-2y) 2 =16 x=-4; y=0 Vy phng trỡnh cú 4 nghim nguyờn: (4;0); (-4;0); (8;4); (-8;-4) 5 Câu 4 (2 điểm): Một ngời đi xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách nhau 80km. Một nửa giờ sau một ngời đi xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trớc ngời đi xe máy 10 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe ô tô gấp 1,5 lần vận tốc xe máy. HD Gọi vận tốc của ngời đi xe máy là x km/h (x > 0) => vận tốc của ngời đi xe ô tô là 1,5x km/h . thời gian ngời đi xe máy là: 80 x (h) , thời gian ngời đi xe ô tô là: 80 1,5x ( h) theo bài ra ta có pt: 80 x - 80 1,5x = 2 3 (ô tô đi trớc 0,5 (h) + đến sớm 10 phút) = 2 3 (h) giải pt trên đợc x= 40. Vậy vận tốc của ngời đi xe máy là 40 km/h, vận tốc của ngời đi xe ô tô là 60 km/h Bi 4: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn, cỏc ng cao AD, BE, CF ct nhau ti H. ng thng vuụng gúc vi AB ti B v ng thng vuụng gúc vi AC ti C ct nhau ti G. a) Chng minh rng GH i qua trung im ca BC. b) ABC ~ AEF c) BDF = CDE d) H cỏch u cỏc cnh ca tam giỏc DE Gii a)BG AB, CH AB, nờn BG // CH Tng t BH AC, CG AC nờn BH//CG T giỏc BGCH cú cỏc cp cnh i song song nờn nú l hỡnh bỡnh hnh. Do ú hai ng chộo ct nhau ti trung im ca mi ng.Vy GH i qua trung im M ca BC. b) Do BE v CF l cỏc ng cao ca tam giỏc ABC nờn cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng. Hai tam giỏc vuụng ABE v ACF cú chung gúc A nờn chỳng ng dng Suy ra AF AE AC AB = AF AC AE AB = (1) Hai tam giỏc ABC v AEF cú gúc A chung (2) T (1) v (2) suy ra ABC ~ AEF. c) Chng minh tng t ta c: BDF ~ BAC, EDC ~ BAC, suy ra BDF ~ EDC BDF = CDE d) Ta cú BDF = CDE 90 0 - BDF = 90 0 - CDE 90 0 - BDF = 90 0 - CDE ADB - BDF = ADC - CDE ADF = ADE Suy ra: DH l tia phõn giỏc gúc EDF. Chng minh tng t ta cú FH l tia phõn giỏc gúc EFD. Suy ra H l giao im ba ng phõn giỏc ca tam giỏc DEF. Vy H cỏch u ba cnh ca tam giỏc DEF. 6 H A B C G D E F Đề số 4 Bài 1 a) Chứng minh rằng phân số 3n 1 5n 2 + + là phân số tối giản nN ; b) Cho phân số 2 n 4 A n 5 + = + (nN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. Lời giải a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) 5(3n + 1) M d hay 1 M d d = 1. Vậy phân số 3n 1 5n 2 + + là phân số tối giản. b) Ta có 29 A n 5 n 5 = - + + . Để A cha tối giản thì phân số 29 n 5+ phải cha tối giản. Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29. Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 M 29 n + 5 =29k (k N) hay n=29k 5. Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k 5 < 2009 1 k 69 hay k{1; 2; ; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + + 69) 5.69 = 69690. Bài 2. Cho a, b, c 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Lời giải Ta có : 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + 1 1 1 1 0 a b c a b c + + - = + + a b a b 0 ab c(a b c) + + + = + + c(a b c) ab (a b). 0 abc(a b c) + + + + = + + (a + b)(b + c)(c + a) = 0 a b 0 b c 0 c a 0 ộ + = ờ ờ + = ờ ờ + = ở a b b c c a ộ =- ờ ờ =- ờ ờ =- ở đpcm. Từ đó suy ra : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 1 1 1 a b c a ( c) c a + + = + + = - 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 a b c a ( c) c a = = + + + - + 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . 7 Bài 3:Tỡm GTNN ca B = 3x + y - 8x + 2xy + 16. HD : B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 8. MinB = 8 khi : . Bài 4 : Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3). Hai tổ công nhân lắp máy đợc giao làm một khối lợng công việc. Nếu hai tổ làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công việc. Nếu công việc trên đợc giao riêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành Bi 5: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn, cỏc ng cao AD, BE, CF ct nhau ti H. ng thng vuụng gúc vi AB ti B v ng thng vuụng gúc vi AC ti C ct nhau ti G. a) Chng minh rng GH i qua trung im ca BC. b) ABC ~ AEF c) BDF = CDE d) H cỏch u cỏc cnh ca tam giỏc DEF Gii a)BG AB, CH AB, nờn BG // CH Tng t BH AC, CG AC nờn BH//CG T giỏc BGCH cú cỏc cp cnh i song song nờn nú l hỡnh bỡnh hnh. Do ú hai ng chộo ct nhau ti trung im ca mi ng.Vy GH i qua trung im M ca BC. b) Do BE v CF l cỏc ng cao ca tam giỏc ABC nờn cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng. Hai tam giỏc vuụng ABE v ACF cú chung gúc A nờn chỳng ng dng Suy ra AF AE AC AB = AF AC AE AB = (1) Hai tam giỏc ABC v AEF cú gúc A chung (2) T (1) v (2) suy ra ABC ~ AEF. c) Chng minh tng t ta c: BDF ~ BAC, EDC ~ BAC, suy ra BDF ~ EDC BDF = CDE d) Ta cú BDF = CDE 90 0 - BDF = 90 0 - CDE 90 0 - BDF = 90 0 - CDE ADB - BDF = ADC - CDE ADF = ADE Suy ra: DH l tia phõn giỏc gúc EDF. Chng minh tng t ta cú FH l tia phõn giỏc gúc EFD. Suy ra H l giao im ba ng phõn giỏc ca tam giỏc DEF. Vy H cỏch u ba cnh ca tam giỏc DEF. Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức : 3 3 3 4 2 2 5 1 1 1 3 1 1 6 1 1 A (a b) a b (a b) a b (a b) a b ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ = + + + + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ + + + . 8 H A B C G D E F Lời giải Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a 2 + b 2 = (a + b) 2 2ab = 2 S 2P- a 3 + b 3 = (a + b) 3 3ab(a + b) = 3 S 3SP- . Do đó : 1 1 a b S ; a b ab P + + = = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a b S 2P ; a b a b P + - + = = 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 a b S 3SP . a b a b P + - + = = Ta có : A = 3 2 3 3 4 2 5 1 S 3SP 3 S 2P 6 S . . . S P S P S P - - + + = 2 2 4 2 2 2 2 4 2 3 4 2 4 4 3 4 3 S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S S P S P S P S P S P - - - + - + + + = = Hay A = 3 3 3 1 1 . P a b = Ví dụ 4 . Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x : (x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) S(x) (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) - - - - - - = + + - - - - - - . Lời giải Cách 1 2 2 2 x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca S(x) (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) - + + - + + - + + = + + - - - - - - = Ax 2 Bx + C với : 1 1 1 A (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) = + + - - - - - - ; a b b c c a B (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) + + + = + + - - - - - - ; ab bc ca C (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) = + + - - - - - - Ta có : b a c b a c A 0 (a b)(b c)(c a) - + - + - = = - - - ; (a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c) B (a b)(b c)(c a) + - + + - + + - = - - - 2 2 2 2 2 2 b a c a a c 0 (a b)(b c)(c a) - + - + - = = - - - ; ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c) C (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) - + - + - - + - + - + - = = - - - - - - (a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a) 1 (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) - - + - - - - - = = = - - - - - - . Vậy S(x) = 1x (đpcm). Cách 2 Đặt P(x) = S(x) 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2. Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm. 9 Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x). Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x. Suy ra S(x) = 1 x đpcm. Ví dụ 9. Cho 1 x 3 x + = . Tính giá trị của các biểu thức sau : a) 2 2 1 A x x = + ; b) 3 3 1 B x x = + ; c) 4 4 1 C x x = + ; d) 5 5 1 D x x = + . Lời giải a) 2 2 2 1 1 A x x 2 9 2 7 x x ổ ử ữ ỗ = + = + - = - = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ; b) 3 3 3 1 1 1 B x x 3 x 27 9 18 x x x ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ = + = + - + = - = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ; c) 2 4 2 4 2 1 1 C x x 2 49 2 47 x x ổ ử ữ ỗ = + = + - = - = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ; d) 2 3 5 2 3 5 1 1 1 1 A.B x x x x D 3 x x x x ổ ửổ ử ữ ữ ỗ ỗ = + + = + + + = + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứố ứ D = 7.18 3 = 123. Ví dụ 5. Xác định các số a, b, c sao cho : 2 2 2 ax b c (x 1)(x 1) x 1 x 1 + = + + - + - . Lời giải Ta có : 2 2 2 2 2 ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b) x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) + + - + + + + - + - + = = + - + - + - Đồng nhất phân thức trên với phân thức 2 2 (x 1)(x 1)+ - , ta đợc : a c 0 a 1 b a 0 b 1 c b 2 c 1 ỡ ỡ + = =- ù ù ù ù ù ù ù ù - = =- ớ ớ ù ù ù ù - = = ù ù ù ù ợ ợ . Vậy 2 2 2 x 1 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 - - = + + - + - . Đề số 5 Bi 1 :( 1,5 im) a) Phõn tớch a thc x 3 5x 2 + 8x 4 thnh nhõn t b) Tỡm giỏ tr nguyờn ca x A M B bit A = 10x 2 7x 5 v B = 2x 3 . Bi 2 : (1,5 im) Cho x + y = 1 v x y 0 . Chng minh rng ( ) 3 3 2 2 2 0 1 1 3 x y x y y x x y + = + 10 [...]... M = 3+2 = 5 a a a P= (0,25) (0,25) Suy ra P = 3 5 = 15 (0,25) 20 08( a 2a + 20 08) 2008a 2.a.20 08 + 20 08 = 2008a 2 2008a 2 2007 a 2 + a 2 2a.20 08 + 20 082 2007 (a 20 08) 2 2007 + = (0,25) = 2008a 2 20 08 2008a 2 20 08 2 2 2 Bi 4 : ( 1 ) M = (0,25) (0,25) Du = xy ra a 20 08 = 0 a = 20 08 Vy giỏ tr nh nht ca M l 2007 khi a = 20 08 20 08 (0,25) Bi 5 :(2,5) DF DC = ( Do AM//DF) (1) AM MC DE BD = ( Do AM... = ca = 0 a=b=c Suy ra tam giác là tam giác đều 1 Câu 5 : Ta có : E =2+ ( x-1 ) + x 1 1 2 Theo Cauchy : ( x- 1 ) + x 1 Suy ra E 4 E nhỏ nhất là 4 khi x-1 = ( 0,5 đ ) ( 0,5 đ ) ( 0,25 đ ) 1 Vì x>1 x =2 ( 0,25 đ ) x 1 23 24 Đề số 10- Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm) a/ Phân tích đa thức thành... Giải thích Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có trên bảng không đổi 20 08 ( 20 08 + 1) Mà S = 1 + 2 + 3 + + 20 08 = = 1004.2009 0 mod 2 ; 1 1mod 2 2 do vậy trên bảng không thể chỉ còn lại số 1 Đề số 12- Đề thi chon đội tuyển học sinh giỏi lớp 8 Bài 1(2,5 điểm): Cho đa thức: f(x)=x4+6x3+11x2+6x 1/ Phân tích f(x) thành nhân tử 30 1,00 1,00 2/ Chứng minh rằng... tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng: Câu 5 (1 điểm) HA' HB' HC ' + + =1 AA' BB' CC ' Cho 3 số dơng a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 + + 9 a b c Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh Năm học 2004 - 2005 Môn: Toán 8 Câu 1 a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - 6 = x3 - 4x - 3x - 6 = x(x2 - 22) - 3(x + 2) (1/2 điểm) = x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x2 - 2x - 3) = (x... AC.BP=AB.PH=>AC.BP=AB.AQ C c (0,75 điểm ) F Đề 8 Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1 x 2 + 7 x + 6 2 x 4 + 20 08 x 2 + 2007 x + 20 08 18 AC (0,75 điểm ) Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình: 2 1 x 3 x + 2 + x 1 = 0 2 2 2 1 1 1 1 2 2 8 x + + 4 x 2 + 2 4 x 2 + 2 ữ x + = ( x + 4 ) ữ ữ ữ x x x x Bài 3: (2điểm) 1 a 1 1 b c x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) + 20 08 cho đa thức 2 Tìm số d... = 8 và x 0 Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x = 8 20 0,5 0,25 3 2.0 3.1 3.2 Ta có: 1 1 1 a a b b c c A= (a + b + c)( + + ) = 1 + + + + 1 + + + + 1 a b c b c a c a b a b a c c b =3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) b a c a b c x y Mà: + 2 (BĐT Cô-Si) y x Do đó A 3 + 2 + 2 + 2 = 9 Vậy A 9 Ta có: P ( x ) = ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) + 20 08 = ( x 2 + 10 x + 16 ) ( x 2 + 10 x + 24 ) + 20 08 Đặt... nên tia AM còn là phân giác góc BAC GB AB AB ED AH HD = = Suy ra: , mà ( ABC : DEC ) = ( ED // AH ) = GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD = = = Do đó: GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC nên 4.3 Môn thi : Toán 8 Đề số 9 (Thời gian làm bài :120 ) 21 0,5 0,5 0,5 0,5 4,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 1 : ( 2,5 đ) Cho biểu thức : A = x 3 x 2 + 3x 3 x 3 + 3x 2 + 3x + 9 a Tìm điều kiện của x để A xác định... ngời đi xe máy là: theo bài ra ta có pt: (0,5 điểm ) 80 80 (h) , thời gian ngời đi xe ô tô là: ( h) (0,5điểm ) 1,5x x 80 80 2 = x 1,5x 3 (ô tô đi trớc 0,5 (h) + đến sớm 10 phút) = giải pt trên đợc x= 40 2 (h) 3 (0,5điểm ) Vậy vận tốc của ngời đi xe máy là 40 km/h, vận tốc của ngời đi xe ô tô là 60 km/h (0,5điểm ) Câu 5: (2,5 điểm) HS vẽ hình, ghi giả thi t đúng đợc (0,25 điểm ) a/ Tứ giác HPAQ là hình... x= 11 a/ Giải phơng trình: 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 điểm) 1 b/ Ta có 1 ữ A= 1 ữ (1+ )(1+ 2 )(1+ 4 )(1+ 8 )(1+ 16 )(1+ 32 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 )(1+ 2 )(1+ 4 )(1+ 8 )(1+ 16 )(1+ 32 ) = (1- 4 )(1+ 4 )(1+ 8 )(1+ 16 )(1+ 32 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1- 8 )(1+ 8 )(1+ 16 )(1+ 32 ) = (1- 16 )(1+ 16 )(1+ 32 ) = (1- 32 )(1+ 32 ) = (1- 64 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1... 0,25 2,00 f ( k ) = f ( 20 08 ) f ( 2009 ) f f ( x ) + x = f ( x ) + x + p ( f ( x ) + x ) + q = f 2 ( x ) + 2.x.f ( x ) + x 2 + p.f ( x ) + p.x + q 2 = f ( x ) f ( x ) + 2x + p + ( x 2 + px + q ) = f ( x ) x 2 + px + q + 2x + p + 1 2 = f ( x ) ( x + 1) + p ( x + 1 ) + q = f ( x ) f ( x + 1 ) Với x = 20 08 chọn k = f ( 20 08 ) + 20 08 Â Suy ra f ( k ) = f ( 20 08 ) f ( 2009 ) 3.1 Tìm các . = 2 2 20 08( 2 20 08) 20 08 a a a − + = 2 2 2 20 08 2. .20 08 20 08 20 08 a a a − + (0,25đ) = 2 2 2 2 2007 2 .20 08 20 08 20 08 a a a a + − + (0,25đ) = 2 2 2007 ( 20 08) 2007 20 08 20 08 20 08 a a − +. = 2 2 20 08( 2 20 08) 20 08 a a a − + = 2 2 2 20 08 2. .20 08 20 08 20 08 a a a − + (0,25đ) = 2 2 2 2 2007 2 .20 08 20 08 20 08 a a a a + − + (0,25đ) = 2 2 2007 ( 20 08) 2007 20 08 20 08 20 08 a a − +. ®Ò thi häc sinh giái -MÔN : TOÁN Lớp : 8 §Ò sè 1 Bài 1 : a) Phân tích đa thức x 3 – 5x 2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để