Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Chuyên đề : Rút gọn biểu thức A MỞ ĐẦU Hàng năm đề thi mơn tốn kỳ thi vào lớp 10- THPT phần rút gọn biểu thức thường chiếm từ 1,5 điểm đến 2điểm Có dễ, em học sinh làm sai dẫn đến đạt trọn vẹn số điểm khó Là giáo viên tốn nhà trường phân cơng dạy lớp trăn trở suy nghĩ phải dạy ơn cho em làm để em học sinh đạt kết tốt Chính tơi nhóm thầy dạy tốn trường THCS Vạn An – T P Bắc Ninh xây dựng chuyên đề “ Rút gọn biểu thức” với mục đích làm tài liệu dạy ơn cho học sinh lớp 9, với mong muốn em học sinh nắm chuẩn kiến thức, kỹ để hiểu biết cách làm dạng “ Rút gọn biểu thức” Chuyên đề “ Rút gọn biểu thức” xây dựng dựa kiến thức sách giáo khoa phát triển dần theo mức độ có đầy đủ dạng phù hợp với đối tượng học sinh Các ví dụ tập đưa bám sát vào đề thi vào lớp 10 –THPH Sở giáo dục đào tạo Bắc Ninh năm gần B NỘI DUNG *Kiến thức lý thuyết cần ý: Những đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 = A2 +2AB +B2 (A – B)2 = A2 –2AB +B2 A2 –B2 = (A-B )(A+B) (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3 A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2) A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2) Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Các công thức biến đổi thức: A có nghĩa A≥0 A2 = A AB = A = B A B A ( Với A ≥ ; B > ) B A B = A B A B = A B A B = - A2 B 10 A = B B A AB A B B B C C ( A mB ) = A − B2 A±B = C A± B ( Với A ≥ ; B ≥ ) = C( A m B ) A− B ( Với B ≥ ) ( Với A ≥ ; B ≥ ) ( Với A < ; B ≥ ) ( Với AB ≥ B ≠ ) ( Với B > ) (víi A ≥ 0, A ≠ B ) (víi A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta rút gọn nhân tử chung tử mẫu phân thức Các tính chất phân thức Sử dụng tính chất ta nhân với biểu thức liên hợp tử ( mẫu) phân thức, giản ước cho số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức dạng rút gọn * Các dạng tập: - Rút gọn biểu thức số - Rút gọn biểu thức chứa chữ Sử dụng kết rút gọn đế: + Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến; + Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với số); + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức; + Tìm giá trị nguyên biểu thức ứng với giá trị nguyên biến Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức * DẠNG1:RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ: I.Các ví dụ: + Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: a/ 20 − 45 + 18 + 72 b/ ( 28 − + ) + 84 ( c/ ) + − 120 1 d/  2  − 2 2+  200 ÷ : ÷8  Giải: a/ 20 − 45 + 18 + 72 = 2.5 − 32.5 + 32.2 + 2.2 = −3 +9 +6 ( b/ 28 − + ) = ( − 3) + (9 + 6) = 15 − + 84 = 2.7 − + + 2.21 = 2.7 − 21 + + 21 c/ ( ) = 14 + + ( − ) 21 = 21 + − 120 = + 30 + − 2.30 = + + 30 − 30 = 11 1 d / 2  − 2 1 =  4 2− 2+ Trịnh Thị Thúy Hạnh  1 200 ÷: =  ÷ 2   − 22 2+  102.2 ÷: ÷   + ÷ = 2 −12 + 64 = 54  Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức + Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: a/ A= 1 − 5+ 5− b/ B= 4−2 6− c/ C= 2 + − 2+ 3+ Giải: a/ A= 1 − = 5+ 5− ( ( 5+ − − − −2 = =− 5−3 = b/ 4−2 6− B= = = c/ ) ( + 3) 3) ( − 3) 5− − C= ( 3) 2 ( − +1 ( ) −1 −1 ) −1 = = ( ( −1 ) −1 ( ) −1 ) −1 = = 2 2 1 + − 2+ 3+ = 2+ + − 3 +1 ( ) ( + 1) − ( + ) ( + 1) ( + ) ( + 2) 3+4 = = ( + 1) ( + ) ( + 1) ( + ) ( − 1) ( − 1) ( − 1) − = = = = = 1− ( − 1) 3 ( + 1) ( − 1) = ( ) ) ( +1 + + 3 + Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau: a/ b/ 2 ( ) ( − + 1+ 2 ) −2 =9 2+ + 2− = Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức c/ ( − 5) − ( + 5) Giải: a/ 2 ( − ) + ( + BĐVT ta có : 2 ( ) ( − + 1+ 2 ) 2 =8 ) −2 =9 − = − + + + − = = VP Vậy đẳng thức chứng minh b/ + + − BĐVT ta có : 3= 2+ + 2− = +1 + −1 = 2 ( 2+ + 2− )= 4+2 + 4−2 = ( ) +1 + ( +1 + −1 = = = VP 2 = Vậy đẳng thức chứng minh c/ ( − 5) − ( + 5) =8 BĐVT ta có : ( = = 2− 2− ) − − ( 2+ 2+ = ) = − −2 22 ( − 5) − 22 ( + 5) ( + 2) − ( − 2) = 5+2 ( + 2) ( − 2) 2 +4−2 +4 = = VP 5−4 Vậy đẳng thức chứng minh + Ví dụ 4: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ + 10 b/ 2003 + 2005 2004 c/ Trịnh Thị Thúy Hạnh ) −1 Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Giải: a/ + Ta có: ( 10 2+ ) = + + = + = + 24 Và ( 10 ) = 10 = + = + 25 Vì 24 < 25 => 24 < 25 => + 24 < + Hay ( + ) < ( b/ 2003 + 2005 Ta có: ( (2 2004 2003 + 2005 ) 10 ) ⇒ + < 10 2004 ) = 2003 + 2005 + 2003.2005 ( 2004 − 1) ( 2004 + 1) = 4008 + Và 25 = 4008 + 2004 − = 4.2004 = 2.2004 + 20042 20042 − < 20042 => 20042 − < 2004 Vì => 4008 + 20042 − < 4008 + 20042 => ( 2003 + 2005 ) 45 => 75 > 45 => ) => 2003 + 2005 < 2004 75 > 45 => > *MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN Nhận xét biểu thức Phán đốn phân tích nhanh để đưa hướng làm cho loại toán: + Vận dụng phép biến đổi cách hợp lý thành thạo + Phân tích biểu thức số, tìm cách để đưa số có bậc hai A = A đưa đẳng thức + Luôn ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích + triệt để sử dụng phép biến đổi thức như: Nhân chia hai thức bậc hai, đưa thừa số vào hay dấu căn, khử mẫu thức, trục thức mẫu… Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức II Bài tập: Thực phép tính: a/ ( 12 + 75 + 27 ) : 15 ; b/ 252 − 700 + 1008 − 448 ; c/ ( + − ) ( 72 − 20 − 2 ) Rút gọn biểu thức sau: a/ − 1− + ; 2 b/ 3+ 2 + 6− 2; c/ 2+  2+ 2+ : − +  2   ÷ ÷  3.So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ + 2 + ; b/ c/ ; 21 14 − 13 − 11 4.Cho A = 11 + 96 B= 2 1+ − Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, so sánh A B Chứng minh đẳng thức sau: a/ ( − ) ( −5 ) − ( − ) = 20 − 33 ; b/ c/ + 10 + + − 10 + = + 10 ; 1 + + + =9 1+ 2+ 99 + 100 Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức *DẠNG2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ I Các ví dụ:  a +1  + * Ví dụ 1: Cho biểu thức M =  với a >0 a ≠ ÷: a −1  a − a +1 a− a a/ Rút gọn biểu thức M b/ So sánh giá trị M với Giải: Đkxđ: a >0 a ≠ 1  a +1 = ( + : ÷ a − 1 a − a +  a− a  a/ M =  = 1+ a a ( ) a −1 b/ Ta có M = ( ) a −1 a −1 a ) a a −1 = =1 − a + (1 + a )( a − 1) = a ( a − 1)( a + 1) a +1 ( , vì a > => a > => a −1 ): ( a +1 ) a −1 a −1 a a > nên − a 0 x −1 ≥ − x ≠0 x −1 − ≠ x > x ≥1 x ≥1   ⇔ ⇔x ≠ x ≠ x ≠  x ≠  b/ Đkxđ : x ≥ 1; x ≠ 2; x ≠ Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức   −  x −1 −  − x  P = −   x − x −1  =  ( ( x + x −1 x − x −1 )( x+ 2  2x − x   x −3 ) x + x −1 ( ( x − 3) ( − ) ( x −1 − ) )  −  x −1 +  − x x −1 + )( )  x + x − ( x − 3) x − +  x − x − = −  x − ( x − 1) ( x − 1) − x 2− x   ( ) ( ( )  x + x − ( x − 3) x − +  − − x  =  x − x +1 −  x 2− x x −3   = ( ) −1 = ( x + x −1 − x −1 − c/ Thay x = − 2 = P= 2− ( ( ) −1 ) −1 ( ) x − ( − 1) x ) ( x = −1 = 2− x x −1 − +1 = ) ) 2− ( ) − vào biểu thức P = x   2− x  x+ 2 −1 2− x , ta có: x = −1 = +1 * Nhận xét về phương pháp giải: Theo thứ tự thực hiện các phép tính ta phải làm các phép tính từ dấu ngoặc trước Đối với nhân tử thứ hai ta đã quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ nhất thì không Tại vậy? Bởi vì nếu quy đồng mẫu thì tính toán rất phức tạp Ta đã trục thức ở mỡi mẫu, được kết quả rất nhanh chóng * Ví dụ 3: Cho biểu thức 2x x + − 11x A= − − với x ≠ ± x + 3 − x x2 − a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A < c/ Tìm x nguyên để A nguyên Giải: a/ Đkxđ: x ≠ ± Trịnh Thị Thúy Hạnh Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức A= 2x x + − 11x 2x x +1 − 11x − − = + − x + 3 − x x − x + x − ( x + 3)( x − 3) x( x − 3) + ( x + 1)( x + 3) − ( − 11x ) x − x + x + x + x + − + 11x = = ( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) 3x + x x ( x + 3) 3x = = = ( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) x − 3x , A < tức là x −3 3x 3x x − 2( x − 3) x = ( tm đkxđ ) • x – = - x = ( tm đkxđ ) • x – = < = > x = ( tm đkxđ ) • x – = - x = - ( tm đkxđ ) • x – = x = 12 ( tm đkxđ ) Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 thì A nhận giá trị nguyên * Ví dụ 4: Cho biểu thức   2x +  1 + x3 x . B= − − x     x −1 x + x + 1  1+ x  với x ≥ và x ≠ a/ Rút gọn B; b/ Tìm x để B = Giải: Đkxđ : x ≥ và x ≠   2x +   + x3 x . − − x a/ B =      x − x + x + 1  1+ x  Trịnh Thị Thúy Hạnh 10 Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức = = = ( ( ( ( ) ( x + 1)( x − x + 1) − ) x +1 ) (1 − x + x ) x −1   x −1 x + x +1  2x + − x )( 2x + − x + x )(  x  x −1 x + x +1 ( x + 1) x + x +1 )( x −1 x + ) x −1 = x −1 b/ Ta có B = x − và B = 3, tức là Vậy với x = 16 thì B = x −1= ⇔ x = ⇔ x = 16 ( t/m đkxđ) * Ví dụ 5: Cho biểu thức 3  1  1 x + y x + x y + y  A =  + + + : với x > , y >  x y  x + y x y  x y + xy    a/ Rút gọn A; b/ Biết xy = 16 Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó Giải: Đkxđ : x > , y >  1   + + + a/ A =  y x+ y x  x   1 : y   x+ y x+ y : = +  xy  xy x+ y    x+ y : = +  xy xy    ( = x+ y xy b/ Ta có    ) ( x+ A= x+ xy Trịnh Thị Thúy Hạnh xy y x+ = y xy ≥ x+ y ) x+ y ) y ( ( xy ( x + y ) y  ≥0 ⇔ x + y −2   x− ) x + y x − xy + y + xy ) ⇔ Do đó )( x y + xy y ( x + y) x+ xy ( x3 + y x + x y + y3 xy xy = x+ y ≥2 16 16 xy ≥ =1 11 xy ( vì xy = 16 ) Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Vậy A =  x= y  ⇔ x = y =  xy =16  *MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TOÁN (Đây dạng tốn có tính tổng hợp cao) Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác khơng… tốn chưa cho) Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo phép biến đổi thức) + Áp dụng quy tắc đổi dấu cách hợp lý để làm xuất nhân tử chung + Thường xuyên để ý xem mẫu có bội ước mẫu khác không Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện đề để kết luận Bước 4: Làm câu hỏi phụ theo yêu cầu toán + Tuân thủ nghiêm ngặt phép biến đổi phương trình, bất phương trình + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện toán để nhận nghiệm, loại nghiệm kết luận II Bài tập: 1   x2  A= + + ÷:  Bài1: Cho biểu thức  x − 3x ÷  27 − 3x x + ÷ ÷     1) Rút gọn A 2) Tìm x để A < –1  x  x − x x + x  − Bµi 2: Cho biĨu thøc A =   2 x ÷ x + − x − ÷ ÷ ÷    a) Rót gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị x ®Ó A > - Trịnh Thị Thúy Hạnh 12 Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức  x   10 − x  Bµi 3: Cho biĨu thøc B =   x − + − x + x + ÷:  x − + x + ÷ ÷    a) Rót gän biểu thức B; b) Tìm giá trị x để A > − + x −1 x x +1 x − x +1 Bµi 4: Cho biĨu thøc C = a) Rót gän biĨu thøc C; b) Tìm giá trị x để C < Bµi 5: Rót gän biĨu thøc : a) D = x + + x2 − + x + − x2 − x+2− x −4 x+2+ x −4  x + x  x − x  b) P = 1 + ÷1 − ÷;  ÷ x + ÷ x −1    c) Q = d) H = 2 ; x +1 : ; x2 − x x x + x + x x −1 − x − x − −1 Trịnh Thị Thúy Hạnh 13 Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức 2x − x − Bµi 7: Cho biểu thức P = Q = x x − x + 2x − x +2 a) Rút gọn biểu thức P Q; b) Tìm giá trị x để P = Q x3 x   9− x x −3 x −2 : Bài 8: Cho biểu thức B = 1 −  x−9   x+ x −6 2− x x +3     a) Rót gän biÓu thøc B b) Tìm x để B > c) Với x > ; x ≠ , Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B( x + 1)  3x + 9x − 1  P= + + Bµi 9: Cho biĨu thøc ÷:  x + x −2 x −1 x + ữ x a) Tìm ®iỊu kiƯn ®Ĩ P cã nghÜa, rót gän biĨu thøc P; số tự nhiên; P c) Tính giá trÞ cđa P víi x = – b) Tìm số tự nhiên x để x +2 x +3 x +2  x  − − ÷:  − ÷ x −5 x +6 2− x x −3 ÷  x +1 ÷     Bµi 10: Cho biĨu thøc : P =   a) Rót gän biĨu thøc P; b) Tìm x để P Bài 11: Cho A = 2x x +1 x + 10 + + víi x ≥ Chøng minh r»ng x+3 x +2 x+4 x +3 x+5 x +6 gi¸ trị A không phụ thuộc vào biến số x Bµi 12: Cho biĨu thøc  a +1   a +1  ab + a ab + a + − 1 :  − + 1 M=   ab +   ab +  ab − ab −     a) Rót gän M −1 1+ a+ b =4 b) Tính giá trị M a= b= c) Tìm giá trị nhỏ M nÕu Trịnh Thị Thúy Hạnh 14 Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh Chuyên đề: Rút gọn biểu thức C KẾT LUẬN Do thời gian có hạn mục đích chuyên đề áp dụng cho học sinh đại trà, nên lượng tập đơn giản chưa thật đa dạng, đầy đủ, khơng tránh khỏi thiếu sót, rât mong đồng nghiệp tham gia góp ý xây dựng để chuyên đề chúng tơi có khả áp dụng rộng rãi có tính thiết thực hơn! Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! Vạn An, ngày 24 tháng 10 năm 2010 Đ/c gmail: Thuyhanh72.BN@gmail.com Trịnh Thị Thúy Hạnh 15 Trường THCS Vạn An- T.P Bắc Ninh ... = 11 + 96 B= 2 1+ − Khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, so sánh A B Chứng minh đẳng thức sau: a/ ( − ) ( −5 ) − ( − ) = 20 − 33 ; b/ c/ + 10 + + − 10 + = + 10 ; 1 + + + =9 1+ 2+ 99 + 100... nghiệm  x − < ⇔− < x < Vậy với −6 < x < thì A < 3x 9 = 3+ ∈Ζ ⇔ ∈ Ζ ⇔ x − ∈U (9) c/ Ta có A = x −3 x −3 x −3 Mà U (9) = {±1;±3;? ?9} nên ta có: • x – = - x = ( tm đkxđ ) • x – = < =>... − 2 2+  200 ÷ : ÷8  Giải: a/ 20 − 45 + 18 + 72 = 2.5 − 32.5 + 32.2 + 2.2 = −3 +9 +6 ( b/ 28 − + ) = ( − 3) + (9 + 6) = 15 − + 84 = 2.7 − + + 2.21 = 2.7 − 21 + + 21 c/ ( ) = 14 + + ( − ) 21