TRƯỜNGĐHSPHÀNỘI ĐỀTHITHỬĐẠIHỌCLẦNIVNĂM2010 TRƯỜNGTHPTCHUYÊN–ĐHSP Mônthi:TOÁN _______________ Thờigianlàmbài:180 phút, không kểthờigianphatđề ========================================== Ngàythi:18–4–2010 Cừu1.(2,0điểm).Chohàmsố:y=2x 3 –3(2m+1)x 2 +6m(m+1)x+1,trongđómlàthamsố. 1. Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcủahàmsốkhim=0. 2. Chứngminhrằngvớimọigiátrịcủam,hàmsốluôncócựcđại,cựctiểuvàkhoảng cáchgiữacácđiểmcựcđại,cựctiểucủađồthịhàmsốkhôngđổi. Cừu2.(2,0điểm). 1. Giảihệ: ï î ï í ì - + = - + - - = + 232 262 yxyxx yx y x y (Vớix,y ÎR). 2. Giảiphươngtrình:sin 2 x+ x x 2sin2 )2cos1( 2 + =2cos2x. Cừu3.(2,0điểm). 1. Tínhtíchphân:I= ò 2 4 3 sin cos p p  dx x xx . 2. ChohìnhchópS.ABCcóđáyABClàtamgiácđềucạnhbằnga,mặtbên(SBC) vuônggócvớimặtđáy,haimặtbêncònlạitạovớimặtđáymộtgóc a .Tính thểtích hìnhchópS.ABC. Cừu4.(2,0điểm). 1. Tìmnghiệmphứccủaphươngtrình:2(1+i)z 2 –4(2–i)z– 5– 3i=0. 2. Chocácsốthựcdươngx,y,z.Chứngminhrằng: 0 222 ³ + - + + - + + - xz zxz zy yzy yx xyx Cừu5.(2,0điểm). 1. TrongmặtphẳngOxy,hãyxácđịnhtọađộcácđỉnhcủatam giácABCvuôngcântại A.Biếtrằngcạnhhuyềnnằmtrênđườngthẳngd:x+7y– 31=0,điểmN(7;7)thuộc đườngthẳngAC,điểmM(2;3)thuộcABvànằmngoàiđoạnAB. 2. TrongkhônggianOxyz,chođườngthẳng ï î ï í ì = + - = = D 4 27: z ty tx .Gọi ' ' D làgiaotuyếncủa haimặtphẳng(P):x–3y+z=0,(Q):x+y– z+4=0. a) Chứngminhrằnghaiđươngthẳng D và ' D chéonhau. b) Viếtphươngtrìnhdạngthamsốđườngvuônggócchungcủahaiđường thẳng D, ' D. Hết http:laisac.page.tl HƯỚNGDẪNGIẢIBÀITHILẦN4 Câu 1.1.Tựlàm. 2. Tacóy’=6x 2 –6(2m+1)x+6m(m+1) Þ y’=0khix 1 =mhoặcx 2 =m+1.Dox 1 ¹ x 2 vớimọimnênhàmsốluôncócựcđại,cựctiểu.GọiA(x 1 ;y 1 ),B(x 2 ;y 2)là cácđiểm cựctrị y 1 =f(x 1 )=2m 3 +3m 2 +1;y 2 =f(x 2 )=2m 3 +3m 2 Þ AB= 2 khôngđổi(đpcm!). Câu 2.1.Giảihệ:Điềukiện:y ¹ 0;x–2y ³ 0;x+ 02 ³ - yx . Pt Û 0622 = - - - - yyx y x Û 6 2 2 2 - - - - y yx y yx =0(chiacảhaivếchoy) Û y yx 2 - =3hoặc y yx 2 - =2. Với y yx 2 - =3 Û î í ì + = > yyx y 29 0 2 thayvàopt(2)tađượcnghiệmx= 9 24 ,y= 9 4 Với y yx 2 - =2 Û î í ì + = < yyx y 24 0 2 thayvàopt(2)tađượcnghiệm:x=12,y= 2. Vậyhệcóhainghiệm(x;y)=(12;2),( 9 4 ; 3 8 ). 2. Giảiphương trìnhlượnggiác: Điềukiện:sin2x ¹ 0.Pt Û sin 2 x+ 02 sin cos sin5)sin21(2 cossin4 cos4 3 22 4 = - + Û - = x x xx xx x Û 5+ xx x 23 3 sin 1 .2 sin cos - =0 Û cot 3 x–2cot 2 x+3=0 Û (cotx+1)(cot 2 x–3cotx+3)= 0 Û cotx=1(Vỡcot 2 x –cotx+3>0) Û x= Zkk Î + - ,. 4 p p  (thỏamónđiềukiện). Vậyphươngtrìnhcónghiệm:x= Zkk Î + - ,. 4 p p  . Câu3.1.Tínhtíchphân:Tacó ' 2 sin 1 ÷ ø ö ç è æ x = x x 3 sin cos2 - nờn I= ò - 2 4 2 ) sin 1 ( 2 1 p p  x xd = 2 4 2 | sin 1 . 2 1 p p  x x - + 2 4 2 4 2 |cot 2 1 ) 22 ( 2 1 sin 2 1 p p p p p p  x x dx - - - = ò = 2 1 . 2.Tính thể tíchkhốichóp:HạSH ^ BC Þ SH ^ (ABC)(vỡ:(SBC) ^ (ABC)). HạHM ^ AB,HN ^ ACthỡ Ð SMH= Ð SNH= a Þ D SHM= DSHN Þ HM=HN Þ HlàtrungđiểmcủaBC(vỡtamgiỏcABCđều) Þ HM= 4 3 2 ah = Þ SH=HM.tan a = 4 3a tan a .Vậythểtíchkhốichóplà:V S.ABC = 3 1 .SH.S ABC = 16 tan 3 a a . Câu4.1.Tìmnghiệmphức: Tacó D ’=4(2–i) 2 +2(1+i)(5+3i)=16.Vậyphươngtrìnhchohainghiệmlà: Z 1 = i ii i i i i 2 5 2 3 2 )1)(4( 1 4 )1(2 4)2(2 - = - - = + - = + + - Z 2 = i ii i i i i 2 1 2 1 2 )1)(( 1)1(2 4)2(2 - - = - - = + - = + - - 2.ChứngminhBĐT: Tacó: 22)(2 )(22)( 22 yxyx x yx yx x yx xy x yx xyyxx yx xyx - = + - = + + - ³ + - = + - + = + - (1)(vỡx,y>0) Tươngtự: 2 2 zy zy yzy - ³ + - (2), 2 2 xz xz zxz - ³ + - (3).Cộngtừngvế(1),(2),(3)suyra: 0 222 222 = - + - + - ³ + - + + - + + - xzzyyx xz zxz zy yzy yx xyx .Đẳngthứcxảyrakhix=y=z (đpcm!). Câu5.1.Xácđịnhtọađộcácđỉnh: ĐườngthẳngABđiquaM(2;3)nêncóphươngtrình:a(x–2)+b(y+3)=0,(a 2 +b 2 ¹ 0). DotamgiỏcABCvuôngcântạiAnên: 22 0 .50 7 45cos 2 1 ba ba + + = = Û 12a 2 7ab12b 2 =0 Û ê ë é - = = ba ba 34 43 . Với:3a=4b,Chọna=4,b=3tađượcd 1 :4x+3y+1=0. Với:4a=3b,chọna=3,b= 4tađượcd 2 :3x–4y–18=0. +)NếulấyABlàd 1 :4x+3y+1=0thì AC//d 2 nờnAClà:3(x7)–4(y–7)=0 Û 3x– 4y+7=0. HệphươngtrìnhtọađộA: î í ì = + - = + + 0743 0134 yx yx Û A(1;1) Hệphương trìnhtọađộB: î í ì = - + = + + 0317 0134 yx yx Û B(4;5). Tacó: MAMBMBMA 2)8;6(),4;3( = Þ - = - = Þ MnằmngoàiđoạnAB(Thỏamãn) HệphươngtrìnhtọađộC: î í ì = - + = + - 0317 0743 yx yx Û C(3;4). +)NếulấyABlàd 2 sẽkhôngthỏamãn. VậyA(1;1),B(4;5)vàC(3;4). 2.a).Đườngthẳng D điquaM(0;7;4)vàcóVTCP ).0;2;1( 1 =u Đườngthẳng D ’điquaN(0;2;6)cóVTCP 2 u =( 1 1 31 ; 11 1 1 ; 11 31 - - - - )=(2;2;4) Tacó[ 21 ,uu ]=(8;4;2)và )2;9;0( =MN Þ [ 21 ,uu ]. MN =0–36– 4=40 ¹ 0. Vậy D, D ’chéonhau. b).Đườngvuônggócchungdcủa D,D ’cóVTCP: u =(4;2;1)(=ẵ.[ 21 ,uu ]). GọiHKlàđoạnđườngvuônggócchungcủa D, D’vớiH D Î D Î K, ’. Tacó:H=(t;7+2t;4),K(s;2+s;6+2s) Þ HK(s–t;9+s–2t;2+2s)cũnglàVTCPcủa d. Suyra: 1 22 2 29 4 - + = - - + = - ststs Þ s= 21 11 - ,t= 7 23 Þ H( )4; 7 3 ; 7 23 - Vậyphươngtrìnhthamsốđườngvuônggócchunglà: ï ï ï î ï ï ï í ì - = - - = + = tz ty tx 4 2 7 3 4 7 23 . . 02 sin cos sin5)sin21(2 cossin4 cos4 3 22 4 = - + Û - = x x xx xx x Û 5+ xx x 23 3 sin 1 .2 sin cos - =0 Û cot 3 x–2cot 2 x+3=0 Û (cotx+1)(cot 2 x–3cotx+3)= 0. TRƯỜNGĐHSPHÀNỘI ĐỀ THI THỬĐẠIHỌCLẦNIVNĂM2010 TRƯỜNGTHPTCHUYÊN–ĐHSP Môn thi: TOÁN _______________ Thờigianlàmbài:180 phút, không kểthờigianphatđề ========================================== Ngày thi: 18–4–2010 Cừu1.(2,0điểm).Chohàmsố:y=2x 3 –3(2m+1)x 2 +6m(m+1)x+1,trongđómlàthamsố. 1.. Û 5+ xx x 23 3 sin 1 .2 sin cos - =0 Û cot 3 x–2cot 2 x+3=0 Û (cotx+1)(cot 2 x–3cotx+3)= 0 Û cotx=1(Vỡcot 2 x –cotx+3>0) Û x= Zkk Î + - ,. 4 p p  (thỏamónđiềukiện). Vậyphươngtrìnhcónghiệm:x=