   : cho a=1,85 với sai số tương đối là 0,12%a δ = Tính sai số tuyệt đối của a | | a a a δ ∆ = 0,12%= |1.85 | a∆ => a ∆ =2,22.10 -3  Làm tròn đến hai số lẻ sau dấu chấm thập phân của các số trong các biểu thức sau: a) a = 12.6724 b) a = 1.5476 (c) (d)  a) a ≈ 12.67 b) a ≈ 1.55 Sử dụng khái niệm làm tròn lên và làm tròn xuống c) khi làm tròn lên ta được d) khi làm tròn xuống ta được . Xác định các chỉ số đáng tin trong cách viết thập phân của các số sau a) b) α = 154,2341, α ∆ = 6,23 x 3 10 − c ) α = 3,4167, α ∂ = 0,25%  b) Các chữ số đáng tin là : 1; 5; 4; 2 Vậy có 4 chữ số đáng tin. c) α ∂ = 0,25% ⇒ α ∆ = α ∂ . a = 0,25 . 3,4167 . 2 10 − = 0,854175 . 2 10 − Các chữ số đáng tin là : 3 và 4 Vậy có 2 chữ số đáng tin. Cho . Hãy tính sai số tuyệt đối của:   B = 20a - 100b + c  C = a + b.c   - - -  b = 20a - 100b + c = (20.15-100.0.123+137) ± (0.02*20-0.001*100+0.5*1) =124.7±0.8 Vậy sai số tuyệt đối ∆ b =0.8  C = a + b.c = (15+0.123*137) ± (0.02+0.001.05)=28.85±0.0205 Vậy sai số tuyệt đối ∆ c =0.0205 Trang 1 => !Cho hàm 3 5 2x 2 và x = 1.2340.00015. Tính f .  Ta có: =15x 4 -4x ; =1 == 0.00596 Trang 2  "#$%   Tìm những khoảng cách li nghiệm thực của các phương trình sau đây:  ;014 4 =+− xx  ;023 2 =−+− xxe x  ;0132cos 2 =−+− xxxx  ;01sin4 =−+ xx  ;01 2 =−− − x ex  ;0824 234 =−+− xxx  ;0 2 =+− xxe x  ;0ln3 2 =+ xx  a) 014 4 =+− xx Vậy ta có khoảng cách li nghiệm là [ ] 1;0 và [ ] 2;1 . b) 023 2 =−+− xxe x x 2− 1− 0 1 2 )(xf 86,11− 63,9 − 1 72,2 39,7 Vậy khoảng cách li nghiệm là [ ] 1;0 . c) 0132cos 2 =−+− xxxx Vậy khoảng cách li nghiệm là [ ] 1;0 và [ ] 2;1 . d) 01sin4 =−+ xx Vậy khoảng cách li nghiệm là [ ] 0;1− và [ ] 3;2 . e) 01 2 =−− − x ex Vậy khoảng cách li nghiệm là 0 và [ ] 1;5,0 . f) 0824 234 =−+− xxx Vậy khoảng cách li nghiệm là [ ] 1;2 −− và [ ] 4;3 . Trang 3 x 2− 1− 0 1 2 )(xf 25 6 1 2 − 9 x 2− 1− 0 1 2 3 )(xf 17,14− 54,6 − 1 − 54,0 83,3− 97,12− x 2 − 1 − 0 1 2 3 4 )(xf 64,0− 36,1 − 1 36,3 64,2 43,1 − 03,6 − x 2 − 1 − 0 5,0 1 2 )(xf 6,51− 39,5 − 0 13,0 35,1− 02,1− x 2− 1− 0 1 2 3 4 )(xf 48 1− 8 9− 16− 17− 24 g) 0 2 =+− xxe x x 2− 1− 0 1 2 )(xf 86,11− 63,9 − 1 72,2 39,7 Vậy khoảng cách li nghiệm là [ ] 0;1− . h) 0ln3 2 =+ xx Vậy khoảng cách li nghiệm là [ ] 5,0;4,0 .  Sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng ở lần lập thứ 5 )( 5 x của phương trình 0cos =− xx trong [ ] 1;0 . Sử dụng công thức đánh giá sai số tổng quát, tính sai số của nó và so sánh với sai số tính công thức đánh giá sai số của phương pháp chia đôi  [ ] 1;00cos =− xx Đặt : 5,0 2 1 2 1;0 00 0 00 == + = == ba x ba Ta có : 0)().( 46,0)1( 1)( 17,0)5,0cos(5,0)( 00 0 0 <⇒ = −= −=−= bfxf f af xf Đặt : 0)().( 13,0)75,0( 75,0 2 15,0 1 5,0 11 1 1 1 <⇒ = = + = = = xfaf f x b a Đặt : 02,0)( 625,0 2 5,075,0 75,0 5,0 2 2 2 2 −= = + = = = xf x b a ⇒ 0)().( 22 <bfxf Đặt : 0)().( 06,0)6875,0( 6875,0 2 75,0625,0 75,0 625,0 33 3 3 3 <⇒ = = + = = = xfaf f x b a Trang 4 x 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 )(xf 2 − 49,1 − 93,0 − 44,0 − 06,0 57,0 Đặt : 0)().( 02,0)65625,0( 65625,0 2 6875,0625,0 6875,0 625,0 44 4 4 4 <⇒ = = + = = = xfaf f x b a Đặt : 3 3 5 5 10.33,1)640625,0( 640625,0 2 65625,0625,0 65625,0 625,0 − −= = + = = = f x b a Vậy nghiệm gần đúng ở lần lặp thứ 5 là 640625,0 5 =x .  sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng với sai số nh_ hơn của các phương trình sau: a)   Đặt: &đặt : & đặt : *đặt : &đặt : &'() &'()  = 0 trong đoạn [0,5: 1,5] Đặt: | f( Trang 5 Đặt : | f( Đặt : | f( Đặt : | f( Đặt : | f( Đặt : | f( Đặt : | Sử dụng phương pháp lặp, tìm nghiệm gần đúng với sai số nh_ hơn 10 -3 cho các phương trình sau:  x 3 3x 2 5 = 0 trong đoạn [3,4], chọn x 0 = 3,5;  x 3 x 1 = 0 trong đoạn [1,2], chọn x 0 = 1,5;  x = trong đoạn [0,1], chọn x 0 = 0,5. Giải:  Sử dụng phương pháp lặp tìm nghiệm gần đúng với sai số nh_ hơn 10 -3 của phương trình: x 3 3x 2 5 = 0 trong đoạn [3,4], x 0 = 3,5. Ta có: x 3 3x 2 5 = 0  x 3 = 3x 2 + 5  x = 3 + = g(x) g(x) liên tục x [3,4] vì g(x 0 ) = = 3 + < [3,4] g’(x) = xác định hay g(x) khả vi ; x [3,4]; g(x) g’(3) = = = q < 1 Vậy g(x) là hệ số co [3,4], với hệ số co q = < 1 Trang 6  Với x 0 = 3,5 ta xây dựng dãy lặp như sau: x n = 3 + với sai số x n = Ta có: • x 1 = 3 + = 3,408163265 x 1 = = = = 0,05402 > 10 -3 • x 2 = 3 + = 3,430497697 x 2 = = = 8,2720.10 -3 > 10 -3 • x 3 = 3 + = 3,42486968 x 3 = = = 3,31059.10 -3 >10 -3 • x 4 = 3 + = 3,426267187 x 4 = = = 8,22.10 -4 < 10 -3 (th_a điều kiện).  Kết luận: Phương trình x 3 3x 2 5 = 0 trong đoạn [3,4], với x 0 = 3,5 ,có hệ số co q=. Nghiệm gần đúng x 4 = 3,426267187 có sai số = 8,22.10 -4 < 10 -3  x 3 x 1 = 0 trong đoạn [1,2], chọn x 0 = 1,5 Ta có: x 3 x 1 = 0  x = = g(x) g(x) liên tục x 1,2] vì g(x 0 ) = g’(x) = xác định (1,2) hay g(x) khả vi (1,2) (1,2); g(x) g’(1) = = = q < 1 Vậy g(x) là hàm co (1,2) với hệ số co q = <1  Với x 0 = 1,5 ta xây dựng dãy lặp như sau: x n = với sai số: x n = Ta có: • = = =1,357208808 = = =0,03795414 • = = =1,330860959 = = = 0,00700330316 • = = =1,325883774 = = = 0,00132294169 • = = =1,324939363 = = =0,0002510259419 th_a điều kiện. • Kết luận: phương trình x 3 x 1 = 0 trong đoạn [1,2], với x 0 = 1,5. Hệ số co q= . Nghiệm gần đúng 1,324939363 có sai số 0,0002510259419  x = trong đoạn [0,1], chọn x 0 = 0,5 Ta có: g(x) =  g(x) liên tục x 0,1] vì g(x 0 ) = g’(x) = xác định (0,1) hay g(x) khả vi (0,1)  Khảo sát hàm g’(x) trên đoạn [0,1] cho ta = -0,2394272762 = Từ đây ta được (0,1) , = q < 1, do đó g(x) là hàm co (0,1) với hệ số co q = < 1  Với x 0 = 0,5 ta xây dựng dãy lặp như sau: x n = với sai số: x n = Ta có: • = = = 0,20042662431 = = = 0,1497866878 • = = 0,2727489608 = = = 0,03616116825 Trang 7 • = = 0,2536071899 = = =0,1316614361 • = = 0,2585503676 = = 0,002471234293 • = = 0,2572656386 = = 0,64236. th_a điều kiện. • Kết luận: Phương trình x = trong đoạn [0,1], với x 0 = 0,5. Hệ số co q = . Nghiệm gần đúng = 0,2572656386 với sai số 0,64236. !Xét phương trình x + 2. Hãy chứng t_ rằng phương trình có nghiệm duy nhất trong đoạn [0,1]. Nếu sử dụng công thức lặp = 2 ta có thể tìm được nghiệm gần đúng của phương trình này hay không? Nếu không hãy chỉ ra công thức lặp khác tốt hơn. Hãy giải thích tại sao?  f(x) = x + 2 có f’(x) = 1 + > 0, x [0,1] và f(0)f(1) < 0. Không thể sử dụng công thức lặp = 2 vì hàm lặp g(x) = 2 có . Có thể sử dụng phương pháp Newton với hàm lặp g(x) = . * Sử dụng phương pháp Newton tìm nghiệm gần đúng của các phương trình sau với độ chính xác 10 -5 a) 2 2cos 6 0 x x e x − + + − = trong đoạn [1;2] b) ln(x-1) + cos(x-1) = 0 trong đoạn [1,3;2] c) 2xcos2x - (x-2)2 = 0 trong đoạn [2,3] và [3,4] d) (x-2) 2 – ln x = 0 trong đoạn [1,2] và [e,4].  A f(x) = 2 2cos 6 0 x x e x − + + − = f’(x)= 2 2 2( sinx) x e x − + − = 2 2 2sinx x e x − − f”(x)= 2 2 2sinx x x e − − +  f”= 2 2 ln 2( 2 ) 2cos x x e x x − − − − F”(-e x +2 X ln2(2x)-2cosx Do [1;2]x ε ∀ f’(x) ≥ 0,688=m chọn 0 x =2 xây dựng dãy { n x } theo công thức 3 3 0 1 2 2 0 2 1 2.2 1 15 3 3 3.2 3 9 x x x − − = = = − − 3 3 1 2 2 2 1 15 2. 1 2 1 223 9 3 3 144 15 3. 3 9 x x x   −  ÷ −   = = = −   −  ÷   3 2 2 2 2 2 2 223 2. 1 2 1 6,42 144 1,82 3 3 4,19 223 3. 3 144 x x x   −  ÷ −   = = = = −   −  ÷   3 3 3 3 3 | 3 1| 0,68.10 0,688 x x x − − + ∆ = = b) ln(x-1)+cos(x-1)=0 trong đoạn [1,3;2] Trang 8 f(x)=ln(x-1)+cos(x-1) f’(x)= 1 ( 1)x − -sin(x-1)>0 f”(x)= 2 1 ( 1)x − − -cos(x-1)<0 =>m=0,158 Chọn 0 1,3x = Xây dựng dãy 0 { } n n x ∞ = theo công thức 3 3 0 1 2 2 0 2 1 2.2 1 15 3 3 3.2 3 9 x x x − − = = = − − 3 3 1 2 2 2 1 15 223 2. 1 2 1 9 27 1,5486 16 3 3 15 3. 3 3 9 x x x   −  ÷ −   = = = = −   −  ÷   ( ) ( ) 3 3 2 3 2 2 2 2. 1,5486 1 2 1 6,42 2,37 3 3 4,19 3. 1,5486 3 x x x − − = = = = − − 6 3 0,38.10x − ∆ = d) (x-2) 2 – ln x = 0 trong đoạn [1,2] và [e,4]. Ta có f (x)= (x-2) 2 -lnx = 0  x 2 - 4x +4 – lnx  ; ∗Trên đoạn [1,2]  25 ≤≤ 3  Chọn x o =a =1 Ta xây dựng dãy theo công thức :    Khi đó :   x n ∆x n 0 1 1 133333333 033333333 2 140857927 001698585 3 141238156 433722744. 4 141239117 27694099. *Trên đoạn [e;4] • 10686842 • 20625 Trang 9 Chọn x o =4 +Đa thức có nghiệm Sử dụng phương pháp Newton với giá trị lặp ban đầu để tìm nghiệm này. Giải thích điều kiện xảy ra.  Ta có: Vậy đa thức nội suy p(x) hội tụ về nghiệm khác là 0.27 Hiện tượng mỗi lần lặp đều cho giá trị như nhau. Giải thích do chọn sai điểm Fourier Trong hệ các phương trình sau đây, hãy tìm theo phương pháp Newton.  chọn b)  d)   Ta có: Trang 10 n x n ∆x n 0 4 1 330301183 048530671 2 308462441 004764536 3 305753575 733062138. 4 305710366 186515929. [...]... atm 2.438403865 4.101629762 100 atm 0.226358945 0.411614387 T=700oK 57.4459687 5.752097285 0.584196568 Trang 12 CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BÀI TẬP: 1 Sử dụng phương pháp phần tử trội giải các hệ phương trình sau đây: a) b) c) Giải: a) 2 Dùng Phương pháp Doolittle Phân tích các ma trận sau thành tích LU a) b) c) Giải: a) Ta có: A = LU L= U= A = LU  = • u11 = a11= 4 => u11 =4...b) Ta có: 13 Phương trình Van der Waals đối với chất khí có dạng: với R = 0.082054 L.atm/(mol.K), a, b là các hằng số phụ thuộc vào chất khí cụ thể; plàáp suất; T là nhiệt độ; V là thể tích; n là số mole, v = V/nlà thể tích mole Hãy xácđịnh thể tích mole v của hai chất khí là carbon dioxide (CO 2) và oxygen (O2) dưới áp suất 1, 10 và 100 atm và nhiệt độ 300, 500 và 700K Biết rằng đối với...   x 4   0,87      x1 x  ⇒ 2  x3  x4  = 0,1462 = 0,1609 = 0,1769 = 0,1947 Trang 21 Vậy nghiệm phương trình đã cho là : 3750 x1 = 0,1462 ⇒ y1 = 5863 x 2 = 0,1609 ⇒ y 2 = 0,4408 x3 = 0,1769 ⇒ y 3 = 0,5078 x 4 = 0,1947 ⇒ y 4 = 0,87 7 Tính các chuẩn, và số điều kiện theo các chuần 1và vô cùng của các ma trận sau: a) b) c) Giải: a) A= *= |= J=1=>=7 J=2=>=11 =>=max{7;11}=11 ∗ =max{+} =>={2;10}=10... 4 − 1 8 2 −1 2 =(16+1+8 α )-(32-2 α -2 α ) 2 =8 α +4 α -15>0 ∆ =22-(8(-15))=4+120=124 −2 + 124 −1 + 31 x1 = = 8 4 −2 − 124 −1 − 31 x2 = = 8 4 ``````` −1 − 31 −1 + 31 =7 J=2=>=11 =>=max{7;11}=11 ∗ =max{+} =>={2;10}=10 b)A= * = = J=1=>=5 J=2=>=4 J=3=>=6 =>= {5;4;6}=6 *= ={ +} 4;5;6}=6 *= J=1=>=5 J=2=>=8 J=3=>=6 =>= {5;8;6}=8 *= ={ +} 7;5;7}=7 8 Tìm các giá trị của >0 và >0 để cho các ma trận sau đây là đường chéo trội nghiêm ngặt: Giải: a) Trang 22 trội nghiêm ngặt thì: *Với i=1 ta có  *Với i=2 ta có:  *Với i=3 ta có:  Vậy các giá trị của là: b) A là trội nghiêm . dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng ở lần lập thứ 5 )( 5 x của phương trình 0cos =− xx trong [ ] 1;0 . Sử dụng công thức đánh giá sai số tổng quát, tính sai số của nó và so sánh. đáng tin là : 1; 5; 4; 2 Vậy có 4 chữ số đáng tin. c) α ∂ = 0,25% ⇒ α ∆ = α ∂ . a = 0,25 . 3,4167 . 2 10 − = 0,854175 . 2 10 − Các chữ số đáng tin là : 3 và 4 Vậy có 2 chữ số đáng. lặp = 2 vì hàm lặp g(x) = 2 có . Có thể sử dụng phương pháp Newton với hàm lặp g(x) = . * Sử dụng phương pháp Newton tìm nghiệm gần đúng của các phương trình sau với độ chính xác 10 -5 a) 2 2cos