HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III Chương 1: VÉC TƠ § Các định nghĩa: * Véc tơ đoạn thẳng có hướng * Ký hiệu AB véc tơ có điểm đầu A, điểm cuối B * Giá véc tơ AB đường thẳng qua A B * Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ lớn (độ dài) véc tơ AB * Chiều từ gốc A đến B gọi hướng véc tơ AB * Véc tơ khơng véc tơ có điểm đầu điểm cuối trùng Ký hiệu: * Hai véc tơ phương hai véc tơ có giá song song trùng AB // CD ; + Tính chất: // a ∀ a ; AB ≡ CD a // b ≠   c // b  AB ↑↑ CD a ↑↑ b ≠  + AB // CD ⇔  + AB // CD ⇔  AB ↑↓ CD  ; + Tính chất: ↑↑ a ∀ a ;  c ↑↑ b  ⇒ a // c ⇒ a ↑↑ c  AB = CD  ⇒ AB = EF   EF = CD  • Cho điểm O cố định véc tơ a không đổi ∃! điểm M cho OM = a AB ↑↑ CD ; + T.chất: AB = CD ⇔ CD = AB; AB = CD   • AB = CD ⇔  § Tổng hai véc tơ: Định nghĩa: Tổng hai véc tơ a b véc tơ xác định sau: Từ điểm A xác định điểm B C cho AB = a , BC = b Khi véc tơ AC gọi tổng hai véc tơ a b Ký hiệu: AC = a + b ⇒ AC = AB + BC Tính chất: a + = + a = a a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC Quy tắc hình bình hành: Tứ giác ABCD hình bình hành thì: AB + AD = AC M trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ MA + MB = G trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC + = Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 1 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III § Hiệu hai véc tơ: Véc tơ đối véc tơ: * Nếu a + b = ta nói a véc tơ đối b , b véc tơ đối a * Ký hiệu véc tơ đối véc tơ a - a Từ suy ra: Véc tơ đối véc tơ a véc tơ ngược hướng với véc tơ a có độ dài với véc tơ a * Véc tơ đối véc tơ véc tơ Hiệu hai véc tơ: * a - b = a + (- b ) * Cho trước véc tơ MN ∀ điểm O ta ln có: MN = ON - OM § Phép nhân số với véc tơ: Định nghĩa: * Tích véc tơ a với số thực k véc tơ, ký hiệu k a xác định sau: 1) Về hướng: Nếu k ≥ k a  a Nếu k ≤ k a  a 2) Về độ lớn:  k a  =  k. a  * Nhận xét: a = a (-1) a = - a Các tính chất phép nhân véc tơ với số: Với hai véc tơ a , b số thực k, l, ta có: 1) k(l a ) = (kl) a 2) (k + l) a = k a + l a ; (k – l) a = k a - l a 3) k( a + b ) = k a + k b ; k( a - b ) = k a - k b 4) k a = k = o a = a = a = a 3) Quan hệ giữ hai véc tơ phương: Định lý: Cho hai véc tơ a b , a ≠ a b phương tồn số thực k cho b = k a Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 2 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k cho AB = k AC 4) Phân tích véc tơ theo hai véc tơ không phương: Định lý: Cho hai véc tơ a b không phương Với véc tơ u , tồn cặp số thực (m, n) cho: u = m a + n b Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm O bất kỳ, ta có: OI = ( ) OA + OB Điểm G trọng tâm ∆ABC với điểm O bất kỳ, ta có: OG = ( ) OA + OB + OC § Tọa độ véc tơ điểm: 1) Đối với hệ trục tọa độ (O; i, j ) hay Oxy u = ( a; b ) ⇔ u = + b j M = ( x; y ) ⇔ OM = ( x; y ) ⇔ OM = xi + y j 2) Nếu A = (x; y), B = (x’; y’) AB = ( x' − x; y ' − y ) 3) Nếu u = ( x; y ) v = ( x' ; y ' ) thì: u ± v = ( x ± x'; y ± y ') k u = ( kx; ky ) B BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Cho ∆ABC Gọi A’ đối xứng với A qua B; B’ đối xứng với B qua C C’ đối xứng với C qua A CMR: ∆ABC ∆A’B’C’ có trọng tâm Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD a) CMR: AC + BD = AD + BC = IJ b) Gọi G trung điểm IJ, CMR: GA + GB + GC + GD = c) Gọi P, Q trung điểm AC BD ; M, N trung điểm AD, BC CMR: ba đường thẳng IJ, PQ MN có chung trung điểm Cho ∆ABC trọng tâm G Gọi D, E điểm xác định AD = AB, AE = AC a) Tính DE DG theo AB AC b) CMR: ba điểm D, G, E thẳng hàng Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 3 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III Cho ∆ABC a) Xác định điểm D, E thỏa mãn đẳng thức: DA − DB = 0; EA + EC = b) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: 4MA − MB = MA + 2MC 5 Cho ∆ABC Gọi D điểm xác định AD = AC , M trung điểm BD a) Tính AM theo AB AC b) AM cắt BC I Tính IB AM IC AI Gọi K trung điểm DE M điểm xác định BM = x BC Cho ∆ABC Gọi D E điểm xác định AD = AB; AE = AC a) Tính AK, AM theo AB, AC x b) Tìm x cho A, K, M thẳng hàng Cho hình thang ABCD O giao điểm hai đường chéo AC BD Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng cắt cạnh bên AD BC M N CMR: MN = b AB + a DC a+b Trong a = AB ; b = CD Cho tam giác ABC trung tuyến CC 1, đường thẳng nối A với trung điểm M CC1 cắt cạnh BC P Chứng minh rằng: CP : PB = : Đối với hệ trục Oxy cho ba điểm A = (a1;a2), B = (b1;b2), C = (c1;c2) a) Tính toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AC b) Xác định toạ độ điểm D cho ABCD hình bình hành 10 Cho tứ giác ABCD, cạnh AB CD lấy điểm M,N Gọi P, Q giao điểm đường thẳng nối trung điểm cạnh đối diện hai tứ giác AMND MBCN Chứng minh PQ không phụ thuộc vào việc chọn điểm M, N 11 Gọi M N điểm chia đoạn thẳng AB = a theo tỷ số m n ( m n lớn 1) a) Tính theo a, m, n đoạn thẳng MA, NA, NB MN b) Gọi O trung điểm đoạn thẳng MN, tính: OM OB 12 Gọi AM phân giác tam giác ABC với AC = b, AB = c Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 4 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III CMR: b MB + c MC = 13 Cho tam giác ABC, Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a ) MA + MB + MC = MA + MB = MA + MC b) 14 Cho ∆ABC Gọi O, G, H tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác, A’ điểm đối xứng với A qua O, D trung điểm BC a) Xét quan hệ véc tơ: BH A' C ; BA' HC b) CMR: 2.OD = AH c) CMR: OA + OB + OC = OH = 3.OG Từ suy O, G, H thẳng hàng Tìm tỷ số mà điểm G chia đoạn thẳng OH d) CMR: HA + HB + HC = 2.HO = 3.HG 15 Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H; BD lấy điểm K cho BH = BC; BK = BD CMR: A, K, H thẳng hàng 16 Cho ∆ABC Gọi A’, B’, C’ điểm xác định AA' = − AB; BB' = − BC ; CC ' = −CA CMR: a) ∆ABC ∆A’B’C’ có trọng tâm b) MA + MB + MC = MA' + MB' + MC ' với M điểm 17 Cho ∆ABC M điểm bất kỳ: a) CMR: véc tơ: ν = 3.MA − 5.MB + 2.MC không đổi, khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Tìm điểm I cho: 3.IA − 2.IB + IC = c) CMR: đường thẳng MN xác định MN = 3.MA − 2.MB + MC qua điểm cố định d) Tìm tập hợp điểm M cho: 3.MA − 2.MB + MC = MB − MC e) CMR: với điểm A, B, C, M thỏa mãn hệ thức sau A, B, C thẳng hàng MA + 2.MB − 3.MC = 18 Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR: AD + BE + CF = AE + BF + CD 19 Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm AD, BC, DB, AC CMR: Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 5 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO ( CHƯƠNG I-II-III ) AB + DC b) PQ = − AB − DC a ) MN = ( ) 20 Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G Gọi A 1, B1, C1, D1 trọng tâm ∆BCD, ∆CDA, ∆DAB, ∆ABC CMR: a) G trọng tâm tứ giác A1B1C1D1 GA b) A, G, A1 thẳng hàng tính: GA 21 Cho ∆ABC có AB = 3, AC = 4, I ∈ AD phân giác tam giác cho: AD 10 = , M trung điểm AC AI a) Tính BD theo DC ; AI theo ID b) Tính AD, AI theo AB AC c) Tính BI , BM theo AB AC Từ suy B, I, M thẳng hàng 22 Cho ∆ABC điểm M tùy ý a) CMR: u ( M ) = 3.MA − 5.MB + 2.MC khơng phụ thuộc vị trí điểm M b) Xác định điểm I cho: 3.IA − 2.IB + IC = c) Đường thẳng FQ thay đổi thỏa mãn: PQ = 3.PA − 2.PB + PC CMR: PQ ln qua điểm cố định d) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện sau: 10 : 3.MA − 2.MB + MC = MA − MB : MA + MB + MC = MB + MC ( ) 30 : 2.MA − MB + MC = k MB − MC ; k ∈ R 23 Cho tứ giác ABCD đường thẳng ∆ Tìm ∆ điểm M cho: a) MA + MB + 3.MC có giá trị nhỏ b) MA + MB + MC + MD có giá trị nhỏ c) MA + MB + MC + 3.MD có giá trị nhỏ 24 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 1), B(2; 4), C(1; 3) a) CMR: A, B, C thẳng hàng Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 6 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III b) Xác định tọa độ điểm E cho ∆ABE nhận M(1; 2) trọng tâm tính S∆ABE Xác định tọa độ điểm D cho điểm A, B, C, D lập thành hàng điểm điều hòa 25 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 0), B(0; 3), C(-3; -5) a) CMR A, B, C không thẳng hàng Xác định tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành b) Xác định tọa độ điểm I cho: 2.IA − 3.IB + 2.IC = c) Tìm tập hợp điểm M cho: 2.MA − 3.MB + 2.MC = MA − MB 26 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 4), B(-4; 0), C(2; -2) a) CMR: ∃ ∆ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành c) Tìm tọa độ tâm I bán kính R đường trịn ngoại tiếp ∆ABC d) Tính chu vi tọa độ trọng tâm G ∆ABC e) Tính độ dài trung tuyến BI ∆ABC f) Đường thẳng AC cắt Ox, Oy M, N Các điểm M, N chia đoạn thẳng AB theo tỷ số nào? g) Phân giác góc ABC cắt AB E Tìm tọa độ điểm E h) Tìm điểm P ∈ Ox cho (PA + PC) nhỏ nhất? 27 Cho O tâm M điểm tùy ý thuộc miền tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC C 1, B1; kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB, BC C 2, A2; kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC, BC B2, A1 Gọi D, E, F hình chiếu M cạnh BC, CA, AB CMR: a) Các tam giác: MA1A2, MB1B2, MC1C2 ( b) MA1 + MA2 + MB1 + MB2 + MC1 + MC = MD + ME + MF ) c) MD + ME + MF = MO 28 Gọi O, G, H tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm ∆ABC có cạnh a, b, c CMR: a) OA + OB + OC = OH b) H, G, O thẳng hàng HO = 3.GO c) a.IA + b.IB + c.IC = ⇔ I tâmđường tròn nội tiếp ∆ABC d) a.GA + b.GB + c.GC = ⇔ ∆ABC 29 Cho a không phương với b Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 7 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III a) CMR: u = a + b không phương với v = a − b b) Tìm x cho: u = a + (2 x − 1)b phương với v = x a + b c) Tìm x cho: u = 3.a + x.b phương với v = (1 − x).a − b 30 Cho ∆ABC vuông A, M điểmm thay đổi tam giác D, E, F hình chiếu M BC, CA, AB Tìm tập hợp điểm M MD + ME + MF = MA cho: 31 Cho ∆ABC Lấy điểm A1 thuộc đoạn BC thỏa mãn A1 B = −3 A1C ; C1 B1C C1 A thuộc đoạn AC cho AA1 + BB1 + CC1 = Tính tỷ số: B A C B 1 32 Cho ∆ABC vng C, H hình chiếu C AB Lấy điểm M ∈ AB, N ∈ AC cho BM = BC, CN = CH CMR: MN ⊥ AC 33.Cho hình bình hành ABCD Gọi I, J, K điểm xác định bởi: AI = α AB, AJ = β AC , AK = γ AD (αβγ ≠ 0) CMR: điều kiện cần đủ để I, J, K 1 thẳng hàng là: β = α + γ 34 Sử dụng phương pháp tọa độ, chứng minh bất đẳng thức Bunhiacốpski biến dạng: Cho hai số thực (a1, a2, a3, , an) (b1, b2, b3, , bn) CMR: ( a + a + + a n ) + ( b1 + b + + b n ) 2 ≤ a + b1 + a + b + + a + b 2 n n Dấu xảy có số thực t thỏa = t.bi ∀ i = 1, n 35 Chứng minh định ;lý Mênêlauýt: Cho ∆ABC cá điểm A’, B’, C’ thuộc BC, CA, AB Chứng minh điều kiện cần đủ để A’, B’, C’ thẳng hàng là: A' B B ' C C ' A = A' C B ' A C ' B 36 Chứng minh định lý Xêva: Cho ∆ABC cá điểm A’, B’, C’ thuộc BC, CA, AB Chứng minh điều kiện cần đủ để đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy hay song song là: A' B B' C C ' A = −1 A' C B ' A C ' B Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 8 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III Chương II: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG: A LÝ THUYẾT: §1 Giá trị lượng giá góc Tỷ số lượng giác góc α bất kỳ: (00 ≤ α ≤1800) M(x; y) điểm thuộc nửa đường tròn đơn vị, α góc Ox OM thì: sin α = y ; cos α = x ; tan α = y x ( x ≠ hay α ≠ 90 ) ; cot α = Các công thức cần nhớ: a ) tan α = sin α cos α d ) + tan α = (cos α ≠ 0) ; b) cot α = cos α cos α sin α (cos α ≠ 0) ; x y ( y ≠ hay α ≠ 00 ) (sin α ≠ 0); c) sin α + cos α = ∀α e) + cot α = * Hai góc phụ nhau: α 900 - α sin α (sin α ≠ 0) sinα = cos(900- α); cosα = sin(900- α); tanα = cot(900- α); cotα = tan(900- α) * Hai góc bù nhau: α 1800 - α sinα = sin(1800- α); cosα = - cos(1800- α); tanα = - tan(1800- α); cotα = - cot(1800- α) Giá trị lượng giác số góc đặc biệt: Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 sin 2 3 2 2 cos 2 2 − tan 3  − cot  3 − 3 − 2 − -1 -1 − 3 -1 −  §2 Tích vơ hướng hai véc tơ: Góc hai véc tơ: * Định nghĩa: Cho hai véc tơ a b Từ điểm O ta dựng véc tơ Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 9 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III OA = a, OB = b Khi số đo góc AOB gọi số đo góc hai véc tơ a b * Ký hiệu: a, b * Chú ý: + Nếu a b véc tơ góc hai véc tơ a b tùy ý (từ đến 1800) + Nếu a, b = 900 a ⊥ b + a, b = 00 ⇔ a  b ; a, b = 1800 ⇔ a  b ( ) ( ) ( ) ( ) Tích vơ hướng hai véc tơ: * Định nghĩa: a.b = a b cos(a; b) * Cơng thức hình chiếu: a.b = a.b' với b' hình chiếu véc tơ b đường thẳng chứa véc tơ a * Các tính chất tích vơ hướng đẳng thức: 10 30 50 a.b = b.a; 20 a.b = ⇔ a ⊥ b (k a ).b = a.(k b) = k (a.b); a.(b ± c ) = a.b ± a.c; 40 60 2 a.a = a = a (a ± b ) 2 = a ± 2a.b + b ; 70 (a + b)(a − b) = a 2 −b Phương tích điểm đường trịn: * Định nghĩa: PM/(O) = MA.MB = MO − R = d − R * Chú ý: + M ∈ (O) ⇔ PM/(O) + M nằm đường tròn (O) ⇔ PM/(O) < + M nằm ngồi đường trịn (O) ⇔ PM/(O) > + M nằm ngồi đường trịn (O) MT tiếp tuyến (T tiếp điểm) PM/(O) = MT = MT 4.Biểu thức tọa độ tích vô hướng ứng dụng: ( ) Trong hệ tọa độ O; i; j cho hai véc tơ a = ( x; y ); b = ( x' ; y ' ) Khi đó: 10 a.b = xx'+ yy ' ; 30 a = x2 + y2 ; 20 40 a.b = ⇔ ( ) cos a,b = xx'+ yy ' = xx'+ yy ' x + y x'2 + y '2 (a, b ≠ 0) §3 Hệ thức lượng tam giác: Định lý côsin: Trong ∆ABC với BC = a, CA = b, AB =c, ta có: a2 = b2 + c2 - 2bccosA Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 10 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III 54 Cho ∆ABC Gọi CN trung tuyến ∆ABC Gọi (O) (O’) đường tròn đường kính BM, CN a) CMR: A có phương tích (O) (O’) b) Gọi P, Q giao điểm (O) (O’) CMR: A, P, Q thẳng hàng 55 Cho điểm A, B, C, D thẳng hàng theo thứ tự (O) (O’) đường tròn di động qua A, B C, D (O) ∩ (O’) ={M, N} a) CMR: đường thẳng MN qua điểm cố định Nếu (O) (O’) tiếp xúc T kết thay đổi nào? b) Cho trước (O), dựng đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) 56 Cho đường tròn (O; R) điểm A (O) Qua A vẽ cát tuyến ABC với (O) BC = 2AB = R Gọi I trung điểm BC Đường trịn đường kính AI cắt (O) P Q Tính khoảng cách từ A đến PQ 57 Cho ∆ABC biết a = 17,4m; B = 44030’; C = 640 Tính A, b, c 58 Cho ∆ABC có a = 49,4cm; b = 26,4cm; C = 47020’ Tính c, A, B 59 Cho ∆ABC có a = 24cm; b = 13cm; c = 15cm Tính A, B, C 60 Người ta muốn biết chiều cao h = CD tháp với chân C đỉnh D Từ hai điểm A, B với AB = 24m cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, người ta cịn đo dược góc ACD 63 0, góc CBD 480 Tính chiều cao h tháp 61 Để tính khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc C cù lao sông, người ta chọn điểm B bờ sông với A cho từ A nhìn thấy điểm C với góc CAB 45 0, góc CBA ằng 700 AB = 40m Tính khoảng cách AC 62 Cho ∆ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt H CMR: AD AH + BE.H + CF CH = ( ) C + CA2 + AB 63 (Công thức Ơle cho tam giác) Cho ∆ABC Gọi (O; R) (I; r) hai đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ∆ABC CMR: IO2 = R2 – 2Rr 64 (Công thức Ơle cho tứ giác) Cho tứ giác ABCD có K, L trung điểm AC, BD CMR: KL2 = ( ) AB + BC + CD + DA2 − AC − BD 65 ∆AC có goác A, B, C thỏa mãn hệ thức sin 2B + sin2C = 2sin2A Chứng minh A ≤ 600 (ĐH Sư phạm Hà nội 2001) 66 CMR: ∆ABC ta có:      1  1 + 1 + 1 + A  B  C  sin   sin  sin       ≥ 27 Khi đẳng thức xảy ra?    (ĐH Sư phạm TP HCM) Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 18 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III 67 Cho a, b, c độ dài ba cạnh ∆ABC thỏa mãn hệ thức: c = a4 + b4 CMR: ∆ABC có ba góc nhọn 2sin2C = tanAtanB (ĐH Thủy lợi 2001) Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 19 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG: A.LÝ THUYẾT: §1 Phương trình tổng qt đường thẳng: Véc tơ pháp tuyến đường thẳng: * Định nghĩa: Véc tơ n ≠ gọi véc tơ pháp tuyến đường thẳng ∆ giá n vng góc với ∆ * Chú ý: + n véc tơ pháp tuyến ∆ ⇒ k n véc tơ pháp tuyến ∆ + Đường thẳng ∆ hoàn toàn xác định biết điểm mà qua biết véc tơ pháp tuyến ∆ Phương trình tổng quát củamột đường thẳng: * Đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0; y0) có véc tơ pháp tuyến n = (a; b) có phương trình tổng quát là: a(x – x 0) + b(y – y0) = hay ax + by + c = với c = - (x0 + y0) a2 + b2 ≠ * Các dang đặc biệt: + Đường thẳng by + c = song song trùng với trục Ox + Đường thẳng ax + c + song song trùng với trục Oy + Đường thẳng ax + by =0 qua gốc tọa dộ + Đường thẳng x y + = qua hai điểm A(a; 0) B(0; b) (a, b ≠ 0) a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) + Khi ≠ phương trình tổng quát đưa dạng: y = kx + m với k hệ số góc, k = tanα, α = (Ox, Mt) 3.V ị trí tương đối hai đường thẳng: Xét hai đường thẳng có phương trình tổng qt: (∆1): a1x + b1y = (∆2): a2x + b2y = a b 1 a) (∆1) cắt (∆2) ⇔ a b ≠ 2  a1   a2  b  b) (∆1) // (∆2) ⇔  b   c    c2  Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ b1 b2 c1 c2 a1 a2 = ≠ ≠ 20 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III a b b c c a 1 1 1 c) (∆1) ≡ (∆2) ⇔ a b = b c = c a 2 2 2 §2 Phương trình tham số đường thẳng: Véc tơ phương đường thẳng: * Định nghĩa: Véc tơ u ≠ gọi véc tơ phương đường thẳng ∆ giá u song song trùng với ∆ * Chú ý: + u véc tơ phương ∆ ⇒ k u véc tơ phương ∆ + Đường thẳng ∆ hoàn toàn xác định biết điểm mà qua biết véc tơ phương ∆ + Đường thẳng ∆ có véc tơ pháp tuyến n = (a; b) ∆ có véc tơ phương u = (b; − a) Phương trình tham số đường thẳng: * Đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0; y0) có véc tơ phương  x = x0 + at (a + b ≠ 0) u = (a; b) có phương trình tham số   y = y0 + bt Phương trình tắc đường thẳng: * Đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0; y0) có véc tơ phương u = (a; b) có phương trình tắc x − x0 y = y0 = a b (a ≠ 0, b ≠ 0) * Nếu a = (hoặc b = 0) đường thẳng khơng có phương trình tắc, có phương trình tổng qt x – x0 = (hoặc y – y0 = 0) §3 Khoảng cách góc: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: * Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng (∆): ax + by + c = tính theo cơng thức: d ( M , ∆) = ax0 + by0 + c a + b2 * Hai điểm M1(x1; y1), M2(x2; y2) ∉ (∆): ax + y + c = thì: + M1, M2 nằm phía ∆ ⇔ (ax1 + by1 + c)( ax2 + by2 + c) > + M1, M2 nằm khác phía ∆ ⇔ (ax1 + by1 + c)( ax2 + by2 + c) < Góc hai đường thẳng: * Định nghĩa: Hai đường thẳng a b cắt tạo thành bốn góc Số đo nhỏ góc gọi số đo góc hai đường thẳng a b * Ký hiệu góc hai đường thẳng a b.là (a, b) Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 21 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III * Chú ý: + + + + 00 ≤ (a, b) ≤ 900 (a, b) = 00 ⇔ a // b a ≡ b (a, b) = 900 ⇔ a ⊥ b Nếu u , v véc tơ phương a, b thì: (a, b) = ( u , v ) ⇔ ( u , v ) ≤ 900 (a, b) = 1800 - ( u , v ) ⇔ ( u , v ) > 900 §4 Đường trịn: Phương trình đường trịn: * Trên mặt phẳng tọa độ, đường trịn (C) tâm I(x0; y0) bán kính R có phương trình: (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2 Nhận dạng phương trình đường trịn: Phương trình x2 + y2 + 2ax + 2by + c = với điều kiện a + b2 – c > phương trình đường trịn tâm I(-a; -b), bán kính R = a + b − c Phương trình tiếp tuyến đường tròn: * Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (I; R) ⇔ d(I, ∆) = R * Đường thẳng ∆ tiếp tuyến M ∈ (I; R) đường tròn ⇔ ∆ qua M nhận véc tơ IM làm véc tơ pháp tuyến §5 Đường Elíp: Định nghĩa: * Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) (E) = {M  MF1 + MF2 = 2a}, a số cho trước lớn c * Hai điểm F1, F2 gọi tiêu điểm, 2c tiêu cự elíp Phương trình tắc Elíp: * Phương trình tắc elíp: Chọn hệ trục tọa độ cho F1(-c; 0), F2(c; 0) elíp có phương trình: (E): * Các x2 y2 + =1 a b2 bán ( a > b > 0, kính cx cx MF1 = a + ; MF1 = a − a a qua ) b2 = a − c tiêu điểm M(x; y) ∈ (E) Hình dạng elíp: Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 22 là: HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III a) Tính đối xứng elíp: x2 y2 Elíp (E): + = (a > b > 0) có nhận hai trục tọa độ làm trục đối xứng a b gốc tọa độ làm tâm đối xứng b) Hình chữ nhật sở: * Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt trục tọa độ A 1, A2, B1, B2 gọi đỉnh elíp * Trục Ox (hay đoạn A1A2) gọi trục lớn Trục Oy (hay đoạn B 1B2) gọi trục bé * Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt điểm P, Q, R, S tạo thành hình chữ nhật sở PQRS c) Tâm sai elíp: e= c b a2 − c2 ⇒ < e < = = − e2 a a a d) Elíp phép co đường trịn: Đường trịn (T): x2 + y2 = a2, phép x’ = x, y’ = ky đưa elíp có phương trình (E): x2 y2 + = (b = ka) a b2 §6 Đường Hypebol: Định nghĩa: * Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) (H) = {M   MF1 - MF2  = 2a}, a số cho trước nhỏ c * Hai điểm F1, F2 gọi tiêu điểm, 2c tiêu cự hypebol Phương trình tắc Hypebol: * Phương trình tắc hypebol: Chọn hệ trục tọa độ cho F1(-c; 0), F2(c; 0) hypebol có phương trình: x2 y2 (H): − = a b * Các bán ( a > 0, b > 0, kính qua ) b2 = c − a tiêu điểm M(x; y) ∈ (H) cx cx MF1 = a + ; MF1 = a − a a Hình dạng Hypebol: a) Tính đối xứng hypebol: Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 23 là: HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO * Hypebol (H): CHƯƠNG I-II-III x2 y2 − = (a > 0, b > 0) có nhận hai trục tọa độ làm trục đối a b2 xứng gốc tọa độ làm tâm đối xứng * Hai giao điểm (H) với trục Ox gọi hai đỉnh hypebol * Trục Ox (chứa hai tiêu điểm) gọi trục thực, 2a gọi độ dài trục thực * Trục Oy (không chứa hai tiêu điểm) gọi trục ảo, 2b gọi độ dài trục ảo * Hypebol gồm hai nhánh nằm hai phía trục ảo c a * Tâm sai hypebol: e = , e > b) Hình chữ nhật sở: * Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt A, B, C, D tạo thành hình chữ nhậtcơ sở ABCD * Hai đường thẳng chứa hai đường chéo AC, BD hình chữ nhật sở gọi hai đường tiệm cận hypebol, phương trình hai đường tiệm cận là: y=± b x a §7 Đường Parabol: Định nghĩa: Cho điểm F cố định đường thẳng ∆ cố định không qua F (H) ={M  MF = d(M, ∆)} Điểm F gọi tiêu điểm, đường thẳng ∆ gọi đường chuẩn parabol (P) Khảng cách từ F đến ∆ gọi tham số tiêu parabol Phương trình tắc Parabol: * Phương trình tắc parabol: Chọn hệ trục tọa độ cho O trung điểm FP = p (tham số tiêu), F ∈     Ox, P hình chiếu F ∆ Khi F  ; , P − ;  parabol có phương     trình: p p p y2 = 2px (p > 0), đường chuẩn ∆: x = − Các tính chất parabol: Từ phương trình tắc parabol ta suy ra: * Parabol nằm bên phải trục tung * Parabol có trục đối xứng Ox Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 24 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III * Parabol cắt Ox điểm O điểm Oy thuộc parabol Gốc tọa độ O gọi đỉnh parabol Chú ý: * Parabol y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) đưa dạng Y = aX2 phép ∆   y = Y − 4a  biến:  x = X − b  2a   * Paraol y = ax2 + bx + c có tiêu điểm F  0;  1+ ∆ y=− 4a − 2b   , đường chuẩn ∆: 4a  §8 Ba đường cơnic: Đường chuẩn Elíp: x2 y2 + = (a > b > 0) Khi đường thẳng: a b2 a a ∆1 : x + = 0, ∆ : x − = gọi đường chuẩn elíp ứng với tiếu e e Elíp điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) MF1 MF2 Tính chất: ∀M ∈ (E), ta ln có: d ( M ; ∆ ) = d ( M ; ∆ ) = e (e < 1) Đường chuẩn Hypebol: a a x2 y2 (H): − = (a, b > 0) Khi đường thẳng: ∆1 : x + = 0, ∆ : x − = e e a b gọi đường chuẩn hypebol ứng với tiếu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) MF1 MF2 Tính chất: ∀M ∈ (H), ta ln có: d ( M ; ∆ ) = d ( M ; ∆ ) = e (e > 1) Định nghĩa đường cônic: Cho điểm F cố định đường thẳng ∆ cố định không qua F Tập hợp MF điểm M cho tỷ số d ( M , ∆) ằng số dương e khơng đổi cho trướ gọi đường cơnic Tính chất: Elíp đường cơnic có tâm sai e < Parabol đường cơnic có tâm sai e = Hypebol đường cơnic có tâm sai e > Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 25 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III B BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho véc tơ: a = (2; 3), b = (−2; 5), c = (−2; − 5) a) Tìm tọa độ véc tơ sau: u = a + 2b − 3c; v = − a + 3b + 4c; w = 2(a − b) + 3c b) Tim số p q thỏa mãn c = p a + qb Cho ba điểm A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2) a) CMR: ∃ ∆ABC b) Tính chu vi diện tích ∆ABC c) Tìm điểm I cho: IA + IB − 3IC = d) Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp ∆ABC e) Viết phương trình đường cao, trung tuyến ∆ABC g) Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ∆ABC Cho điểm M(2; 5) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d có phương trình: 2x – y + = Giả sử điêm M(x; y) Tìm tọa độ của: a) Điểm M1 đối xứng với M qua Ox b Điểm M2 đối xứng với M qua Oy c Điểm M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ d Điểm M4 đối xứng với M qua đường thẳng y = x Viết phương trình đường thằng trường hợp sau : a) Đi qua điểm M(-2; -4) cắt trục Ox, Oy điểm A, B cho ∆OAB vuông cân b) Đi qua điểm M(-2; -4) cắt trục Ox, Oy điểm A, B cho M trung điểm AB Hai cạnh hình bình hành ABCD có phương trình: x – 3y = 2x + 5y + = Đỉnh C(4; -1) Viết phương trình hai cạnh cịn lại Viết phương trình đường thẳng qua M(2; 5) cách đề hai điểm A(-1; 2) B(5; 4) Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng 2x + 3y +15 = 0, x – 12y + = thỏa mãn điều kiện sau: Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 26 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III a) Đi qua điểm (2; 0) b) Vng góc với đường thẳng x – y – 100 = c) Song song với đường thẳng 5x – 4y – = Viết phương trình đường thẳng ∆’ đối xứng với đường thẳng (∆): x + 2y – = qua M(2; 5) 10 Tìm quỹ tích điểm cách hai đường thẳng: a) 3x – 2y -5 = 3x – 2y + = b) 4x + y – = 3x – y + = 11.Cho đường thẳng ∆: x – y + = hai điểm O(0; 0), A(2; 0) a) CMR: Hai điểm O A nằm phía đường thẳng ∆ b) Tìm điểm O’ đối xứng với O qua A c) Tìm điểm M ∈ ∆ cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn 12 a) Cho hai đường thẳng có phương trình  x = + 3t ( ∆1 ) :  ;  y = −2 − 2t  x = − 5t (∆ ) :   y = −4 + t Chuyển phương trình đường thẳng dạng tổng quát b) Viết phương trình tham số đường thẳng sau: (∆1): 4x +5y + = 0; (∆2): 2x – 3y + = 13 Cho ∆ABC đỉnh A(-1; -3) a) Cho biết hai đường cao: BH: 5x + 3y –25 = CK: 3x + 8y – 12 = Hãy xác định tọa độ đỉnh B C b) Xác định tọa độ đỉnh B, C đường trung trực AB d: 3x + 2y – = tọa độ trọng tâm G(4; -2) (ĐH Cần thơ - 1998) 14 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề vng góc, cho ∆ABC có đỉnh A(-1; 3), đường cao BH nằm đường thẳng d: y = x, phân giác góc C nằm đường thẳng d’: x + 3y + = Viết phương trình cạnh BC (ĐH Kiến trúc Hà nội - 1998) 15 Tìm điểm C thuộc đường thẳng d: x - y + = cho ∆ABC vuông C, biết A(1; -2); B(-3; 3) (ĐH Luật Hà nội - 1998) ∧ 16 Cho hình thang cân ABCD có đáy AD, BC; BAD = 30 Biết AB = a, AD = b Hãy biểu diễn véc tơ BC , CD, AC , BD theo véc tơ a, b (ĐH Luật Hà nội - 1998) Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 27 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(8; 0) B(0; 6) a) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp ∆OAB b) Viết phương trình đường trịn nội tiếp ∆OAB (ĐH Mỹ thuật công nghiệp Hà nội - 1998) 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho, ∆ABC có trọng tâm G(-2; -1) cạnh AB: 4x + y + 15 = AC: 2x + 5y + = a) Tìm tọa độ đỉnh A tọa độ trung điểm M BC b) Tìm tọa độ đỉnh B viết phương trình đường thẳng BC (ĐHQG TP Hồ Chí Minh - 1998) 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(0; 6), B(4; 0), C(3; 0), đường thẳng (∆): y = m di động cắt AB AC M N, gọi hình chiếu M, N trục Ox P, Q gọi H, E trung điểm AO, BC; ký hiệu I tâm hình chữ nhật MNQP a) CMR: H, E, I thẳng hàng b) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC c) Xác định điểm T ∈ AC cho OT ⊥ BT (ĐH Thái nguyên - 1998) 20 Cho ba điểm A(-3; 4); B(-5; -1); C(4; 3) hệ trục tọa độ Oxy ∆ABC a) Tính độ dài AB, BC, CA Hãy cho biết tính chất (nhọn, tù, vng) b) Tính độ dài đường cao AH viết phương trình đường thẳng AH (ĐH Cần thơ - 1999) 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng đỉnh A(0; 5) đường chéo nằm đường thẳng y – 2x = Tìm tọa độ tâm hình vng tọa độ đỉnh lại (ĐH Đà lạt 1999) 22 Cho ∆ABC có đỉnh A(2; -1) phương trình đường cao là: 2x – y + = 3x + y + = Lập phương trình trung tuyến qua đỉnh A ∆ABC (ĐH Hàng hải 1999) 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC với đỉnh A(-6; -3); B(-4; 3) a) Viết phương trình đường thẳng d chứa phân giác góc A b) Tìm điểm P ∈ d cho tứ giác ABCD hình thang (ĐH Sư phạm Hà nội - 1999) 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD, A(1; 3); B(4; -1) Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 28 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III a) Biết AD // Ox đỉnh D có hồnh độ âm Tìm tọa độ C, D b) Viết phương trình đường trịn nội tiếp hình thoi ABCD (ĐH An giang - 2000) 25 Cho ∆ABC có A(2; -1) phương trình hai phân giác góc B C là: dB: x - 2y + = 0, dC: x + y + = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC (ĐH Thương mại - 2000) 26 Cho điểm A, B, C, D CMR: a) AB ⊥ CD ⇔ AB2 + BD2 = AD2 + BC2 b) AB ⊥ CD AD ⊥ BC AC ⊥ BD 27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) đường thẳng d có phương trình d: 4x + 3y - 12 = a) Gọi B C giao điểm d với Ox, Oy Xác định trực tâm ∆ABC b) Điểm M chạy d, nửa đường thẳng qua A M, lấy điểm N cho AM AN = Điểm N chạy đường cong nào? Viết phương trình đường cong (ĐH Nông nghiệp I - 2001) 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ∆ABC có: A(-1; 2); B(2; 0); C(-3; 1) a) Xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC b) Tìm điểm M đường thẳng BC cho S ABM = S ABC (ĐH Sư phạm kỹ thuật TP Hồ Chí Minh - 2001) 29 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2,5; 2) hai đường thẳng có phương trình: y = 0,5x y = 2x Lập phương trình đường thẳn d qua M cắt hai đường thẳng hai điểm A B cho M trung điểm AB (ĐH Hàng hải - 2001) 30 Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với Ox, Oy đồng thời qua điểm M(2; 1) 31 Cho phương trình: x2 + y2 - 4x + 8y – = (C) a) CMR: (C) phương trình đường trịn mà ta phải xác định tâm bán kính b) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) qua điểm A(-1; 0) c) Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) qua điểm B(3; -1) d) Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) vng góc với đường thẳng x + 2y = e) Tìm điều kiện m để đường thẳng (d m): x + (m – 1)y + m = tiếp xúc với đường tròn (C) Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 29 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III 32 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn sau: (C): x2 + y2 = (C’): (x – 8)2 + (y – 6)2 = 16 33 Cho phương trình họ đường cong (Cm): x2 + y2 – 2(m – 1)x – 4my + 3m + 11 = a) Với giá trị m (Cm) đường trịn? b) Xác định tâm bán kính đường trịn (C3) ứng với m = c) Tìm tập hợp tâm đường tròn (Cm) 34 Cho phương trình họ đường trịn (Cm):x2 + y2 – 2mx + 2(m + 1)y - 1=0 (C’m): x2 + y2 – x + (m – 1)y + = CMR: tập hợp điểm có phương tích hai đường tròn đường thẳng m thay đổi đồng thời CMR: đường thẳng ln qua điểm cố định 1 9 35 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A ;  đường trịn (C) có 2 2 2 phương trình : x + y – 6x – 4y – 12 = a) Xác định tọa độ tâm bán kính đường trịn (C) b) CMR: điểm A đường tròn (C) c) Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung qua A cho độ dài dây cung ngắn 36 Cho hai đường thẳng (d): mx + y – m = (∆): x – my + = CMR: tập hợp giao điểm (d) (∆) m thay đổi đường tròn mà ta phải tìm tâm bán kính 37 Cho đường thẳng (d): (m2 – 1)x + 2my + 3(m2 + 1) = CMR: m thay đổi đường thẳng (d) ln tiếp xúc với dtrịn cố định mà ta phải tìm tâm bán kính 38 Cho phương trình: x2 + y2 – 2mx – 2(m – 1)y = (Cm) a) CMR: ∀m (Cm) phương trình đường trịn Tìm bán kính nhỏ đường trịn b) Tìm tập hợp tâm đường trịn (Cm) c) CMR: đường trịn (Cm) ln qua hai điểm cố định d) Tìm m để đường tròn (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (d) : x + y – = 39 Cho đường trịn (C) (Cm) có phương trình là: x2 + y2 – = x2 + y2 +2(m– 1)x – 4my - = a) Tìm tập hợp tâm đường trịn (Cm) m thay đổi b) CMR: có hai đường trịn (C1) (C2) số đường tròn (Cm) tiếp xúc với (C) c) Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2) 40 Cho hai điểm A(6; 1), (9; 4) đường thẳng (∆): x – y – = Viết phương trình đường trịn qua A, B có tâm nằm đường thẳng (∆) Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 30 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III 41 Cho hai đường trịn có phương trình (C): (x – 1) + (y + 2)2 – 13 = (C’): (x + 3)2 + (y – 1)2 – 36 = a) CMR: (C) (C’) cắt b) Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung chung c) Tính độ dài đoạn dây cung chung 42 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y – = Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết rằng: a) Tiếp tuyến có hệ số góc k = b) Tiếp tuyến qua điểm A(-2; 2) 43 a) Cho đường tròn (C): x + y2 = a2 điểm M(x0; y0) ∈ (C) CMR: tiếp tuyến (C) M có phương trình x0x + y0y – a2 = b) Cho đường tròn (C): (x – a) + (y – b)2 = a2 điểm M(x0; y0) ∈ (C) CMR: tiếp tuyến (C) M có p.trình (x0 – a)(x – a) + (y0 – b)(y – b)2 – a2 = 44 Lập phương trình tắc elíp (E) trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn 10 tiêu cự ằng  3 b) Một tiêu điểm F1 ( − 3; 0) điểm M 1;  ∈ (E)     45 Lập phương trình tắc hypebol (H) trường hợp sau: a) Độ dài trục thực tiêu cự 10 b) Tiêu cự ằng 20 tiệm cận có phương trình: 4x – 3y = 46 Lập phương trình tắc parabol (P) trường hợp sau: a) Có tiêu điểm (2; 0) b) Đường chuẩn x + = 47 Xác định độ dài trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh vẽ elíp (E) x2 y2 + = có phương trình: 25 48 Xác định độ dài trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh vẽ hypebol (H) có phương trình: x2 y2 − = 16 49 Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn parabol sau: a) y2 = 8x (P1) b) y2 + 4x = (P2) 50 Cho đường tròn C 1(O1; R1), C2(O2; R2), (C1) chứa (C2) O1 ≠ O2 Gọi M tâm đường trịn (C) thay đổi ln tiếp xúc với (C 2) tiếp xúc với (C1) CMR: M di động elíp 51 Cho điểm A cố định đường thẳng ∆ cố định không qua A M điểm di động cho ∀m > 0, đường trịn C(M, m) ln tiếp xúc với ∆ đường trịn C’(M, 2m) ln đo qua A CMR: M di động hypeol Giáo viên biên soạn: Lê Cơng Ngọ 31 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III 52 Cho điểm A cố định đường thẳng ∆ cố định không qua A Xét đường trịn (C) thay đổi có tâm M, biết (C) qua A tiếp xúc với ∆ CMR: M di động parabol x2 y2 53 Cho elíp ( E ) : + = điểm I(1; 2) Viết phương trình đường thẳng 16 ∆ qua I biết ∆ cắt elíp hai điểm A, B với I trung điểm AB 54 Cho điểm M(x; y) với x = a , cos t y = b tan t , tham số t ≠ π + kπ , k ∈ Z Tìm quỹ tích điểm M 55 Trong hệ tọa độ Oxy, cho A1(-a; 0), A2(a; 0) Gọi (C) đường tròn thay đổi qua A1, A2; đường kính MM’ (C) ln song song với Ox Tìm quỹ tích điểm M, M’ 56 Tìm quỹ tích tâm đường trịn chắn hai trục Ox Oy hai đoạn thẳng có độ dài 2a 2b 57 CMR: tích khoảng cách từ điểm tùy ý hypebol đến hai đường tiệm cận số không đổi 58 Cho hai parabol có phương trình y = 2px y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) CMR: hai parabol cắt bốn điểm phân biệt bốn điểm nằm đường tròn 59 Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng (d 1): 3x + 4y + = (d 2) : 4x – 3y – = Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng (∆): x – 6y – 10 = tiếp xúc với hai đường thẳng (d1) (d2) 60 Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường cơnic có phương trình tắc: x y2 x2 y2 + = 1, ( H ) : − = 1, ( P ) : y = px điểm M0(x0; y0) thuộc cônic a2 b a b xx y y CMR:a) Tiếp uyến (E) M0(x0; y0) có dạng: 02 + 02 = a b xx y y b) Tiếp uyến (H) M0(x0; y0) có dạng: 02 − 02 = a b c) Tiếp uyến (P) M0(x0; y0) có dạng: y0 y = p( x0 + x) (E) : 61 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (∆): Ax + By + C = ba đường cônic ( E ) : x2 y2 x2 y2 + = 1, ( H ) : − = 1, ( P ) : y = px CMR: a2 b a b a) (∆) tiếp tuyến (E) a2A2 + b2B2 = C2 b) (∆) tiếp tuyến (H) a2A2 - b2B2 = C2 c) (∆) tiếp tuyến (P) pB2 = 2AC x2 y2 62 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho elíp + = (0 < b < a) với hai tiêu a b Λ  π điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) Một điểm M di động (E) cho x F2 M = α ∈  0;   2 Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ 32 ... 25 HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III B BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho véc tơ: a = (2; 3) , b = (−2; 5), c = (−2; − 5) a) Tìm tọa độ véc tơ sau: u = a + 2b − 3c; v = − a + 3b... Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ ? ?30  HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III 41 Cho hai đường trịn có phương trình (C): (x – 1) + (y + 2)2 – 13 = (C’): (x + 3) 2 + (y – 1)2 – 36 = a) CMR: (C) (C’)... trị khơng đổi OA OB Giáo viên biên soạn: Lê Công Ngọ ? ?33  HÌNH HỌC 10 NÂNG CAO CHƯƠNG I-II-III 71 Hai đỉnh đối diện hình ình hành nằm hypebol (H), canh hình bình hành song song với đường tiệm cận