CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI ****************************** 1 Ứngdụng1 Ứngdụng2 Ứngdụng3 Ứngdụng4 Ứngdụng5 Ứngdụng6 Ứngdụng7 Ứngdụng8 Nhẩmnghiệmcủap hươngtrìnhbậchaimộtẩn Lậpphươngtrìnhbậchai Tìmhaisốbiếttổngvàtíchcủachúng Tínhgiátrịcủabiểuthứcnghiệmcủaphươngtrình Tìmhệthứcliênhệgiữahainghiệmcủaphươngtrìnhsaochohai nghiệmnàykhôngphụthuộcvàothamsố Tìmgiátrịthamsốcủaphươngtrình thỏamãnbiểuthứcchứa nghiệm  Xácđị nhdấucácnghiệmcủaphươngtrìnhbậchai Tìmgiátrịlớnnhất,giátrịnhỏnhấtcủabiểuthứcnghiệm  B.NỘIDUNGCHUYÊNĐỀ: ỨNGDỤNGCỦAHỆTHỨCVIÉTTRONGGIẢITOÁN  Chophươngtrìnhbậchai: ax 2 +bx+c=0 (a¹0) (*) Cóhainghiệm 1 2 b x a - - D = ; 2 2 b x a - + D = Suyra: 1 2 2 2 2 b b b b x x a a a - - D - + D - - + = = = 2 1 2 2 2 2 ( )( ) 4 4 4 4 b b b ac c x x a a a a - - D - + D - D = = = = Vậy đặt: TổngnghiệmlàS: S= 1 2 b x x a - + = Tích nghiệmlàP: P= 1 2 c x x a = Nhưvậy tathấy giữahainghiệm củaphươngtrình(*)cóliênquanchặtchẽvới cáchệsốa,b,c. Đâychínhlànội dungcủaĐịnhlí VIÉT,sauđâytatìm hiểumộtsốứngdụngcủađịnhlí này tronggiải toán.  I.NHẨMNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNH: 1.Dạng đặcbiệt:  Xétphươngtrình (*)tathấy : a)Nếuchox =1thì tacó(*)ó a.1 2 +b.1+c=0 ó a+b+c=0 Nhưvâyphươngtrìnhcómộtnghiệm 1 1x = vànghiệm cònlại là 2 c x a = b)Nếuchox = -1thì tacó(*)ó a.( -1) 2 +b( -1)+c=0 óa - b+c=0 Nhưvậy phươngtrìnhcómộtnghiệmlà 1 1x = - vànghiệm cònlạilà 2 c x a - = Vídụ:DùnghệthứcVIÉTđểnhẩm nghiệm củacácphươngtrìnhsau: 1) 2 2 5 3 0x x + + = (1) 2) 2 3 8 11 0x x + - = (2) CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI ****************************** 2 Tathấy : Phươngtrình(1)códạnga - b+c=0nêncónghiệm 1 1x = - và 2 3 2 x - = Phươngtrình(2)códạnga+b+c=0nêncónghiệm 1 1x = và 2 11 3 x - =  Bàitậpápdụng: Hãy tìm nhanhnghiệm củacácphươngtrìnhsau: 1. 2 35 37 2 0x x - + = 2. 2 7 500 507 0x x + - = 3. 2 49 50 0x x - - = 4. 2 4321 21 4300 0x x + - =  2.Chophươngtrình ,cómộthệsốchưabiết,chotrướcmộtnghiệmtìmnghiệmcònlạivàchỉrahệsố củaphươngtrình:  Vídụ:a)Phươngtrình 2 2 5 0x px - + = .Cómộtnghiệmbằng2,tìm p vànghiệmthứ hai. b)Phươngtrình 2 5 0x x q + + = cómộtnghiệmbằng5,tìm q vànghiệmthứhai. c) Cho phương trình: 2 7 0x x q - + = , biết hiệu2 nghiệm bằng 11. Tìmq và hai nghiệm của phươngtrình. d)Tìmqvàhainghiệmcủaphươngtrình: 2 50 0x qx - + = ,biếtphươngtrìnhcó2nghiệmvàcó mộtnghiệmbằng2lầnnghiệmkia.  Bàigiải:  a)Thay 1 2x = vàophươngtrìnhban đầutađược: 1 4 4 5 0 4 p p - + = Þ = Từ 1 2 5x x = suyra 2 1 5 5 2 x x = = b)Thay 1 5x = v àphươngtrìnhban đầutađược 25 25 0 50q q + + = Þ = - Từ 1 2 50x x = - suyra 2 1 50 50 10 5 x x - - = = = - c)Vì vaitròcủax 1 vàx 2 bình đẳngnên theođềbài giảsử 1 2 11x x - = vàtheoVIÉT tacó 1 2 7x x + = ,ta giảihệsau: 1 2 1 1 2 2 11 9 7 2 x x x x x x - = = ì ì Û í í + = = - î î Suyra 1 2 18q x x = = - d)Vì vaitròcủax 1 vàx 2 bìnhđẳngnêntheođề bàigiảsử 1 2 2x x = vàtheoVIÉT tacó 1 2 50x x = .Suyra 2 2 2 2 2 2 2 5 2 50 5 5 x x x x = - é = Û = Û ê = ë Với 2 5x = - thì 1 10x = - Với 2 5x = thì 1 10x =  II.LẬPPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI 1.Lậpphươngtrìnhbậchaikhibiếthainghiệm  1 2 ;x x Vídụ:Cho 1 3x =  ;  2 2x = lậpmộtphươngtrìnhbậchaichứahainghiệm trên TheohệthứcVIÉT tacó 1 2 1 2 5 6 S x x P x x = + = ì í = = î vậy 1 2 ;x x lànghiệm củaphươngtrìnhcódạng: 2 2 0 5 6 0x Sx P x x - + = Û - + = CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI ****************************** 3  Bàitậpápdụng:  1. x 1 =8 vµ x 2 =3 2. x 1 =3a vµ x 2 =a 3. x 1 =36 vµ x 2 =104 4. x 1 = 1 2 + vµ x 2 = 1 2 -  2.Lậpphươngtrìnhbậchaicóhainghiệmthoảmãnbiểuthứcchứahainghiệmcủamộtphương trìnhchotrước:  V ídụ:Chophươngtrình: 2 3 2 0x x - + = có2nghiệmphânbiệt 1 2 ;x x .Khônggiảiphươngtrìnhtrên, hãylậpphươngtrìnhbậc2cóẩnlày thoảmãn: 1 2 1 1 y x x = + và 2 1 2 1 y x x = + Theohệth ứcVI ÉT tac ó: 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 9 ( ) ( ) 3 2 2 x x S y y x x x x x x x x x x x x æ ö + = + = + + + = + + + = + + = + = ç ÷ è ø 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 9 ( )( ) 1 1 2 1 1 2 2 P y y x x x x x x x x = = + + = + + + = + + + = Vậy phươngtrìnhcầnlậpcódạng: 2 0y Sy P - + = hay 2 2 9 9 0 2 9 9 0 2 2 y y y y - + = Û - + =  Bàitậpápdụng:  1/Chophươngtrình 2 3 5 6 0x x + - = có2 nghiệmphânbiệt 1 2 ;x x .Khônggiảiphươngtrình,Hãylập phươngtrìnhbậchaicócácnghiệm 1 1 2 1 y x x = + và 2 2 1 1 y x x = + (Đápsố: 2 5 1 0 6 2 y y + - = hay 2 6 5 3 0y y + - = ) 2/Chophươngtrình: 2 5 1 0x x - - = có2nghiệm 1 2 ;x x .Hãylậpphươngtrìnhbậc2cóẩnythoảmãn 4 1 1 y x = và 4 2 2 y x = (cónghiệmlàluỹthừabậc4củacácnghiệmcủaphươngtrình đãcho). (Đápsố: 2 727 1 0y y - + = ) 3/Chophươngtrìnhbậchai: 2 2 2 0x x m - - = cócácnghiệm 1 2 ;x x .Hãylậpphươngtrìnhbậchaicócác nghiệm 1 2 ;y y saocho: a) 1 1 3y x = - và 2 2 3y x = - b) 1 1 2 1y x = - và 2 2 2 1y x = - (Đápsố a) 2 2 4 3 0y y m - + - = b) 2 2 2 (4 3) 0y y m - - - = )  III.TÌMHAISỐBIẾTTỔNGVÀTÍCHCỦACHÚNG  NếuhaisốcóTổngbằngSvàTíchbằngPthì haisốđólàhainghiệm củaphươngtrình: 2 0x Sx P - + = (điềukiện đểcóhaisốđólàS 2 - 4P ³ 0) Vídụ: Tìm haisốa,bbiếttổngS=a+b= -3vàtích P=ab= -4 Vì a+b= -3và ab= -4n êna,blànghiệm củaphươngtrình: 2 3 4 0x x + - = giải phươngtrìnhtrênta được 1 1x = và 2 4x = - Vậy nếua=1thì b= -4 nếua= -4thì b=1  Bàitậpápdụng: Tìm 2sốavàbbiếtTổngSvàTích P 1.S=3 và P=2 CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI ****************************** 4 2.S= -3 và P=6 3.S=9 và P=20 4.S=2x và P=x 2 - y 2  Bàitậpnângcao :Tìm 2sốavàbbiết 1.a+b=9 và a 2 +b 2 =41 2.a -b=5và ab=36 3.a 2 +b 2 =61v à ab=30 Hướngdẫn:1)Theođềbài đãbiếttổngcủahaisốavàb,vậy để ápdụnghệthứcVIÉT thì cần tìm tích củaav àb. Từ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 81 9 81 2 81 20 2 a b a b a b a ab b ab - + + = Þ + = Û + + = Û = = Suyra:a,blànghiệm củaphươngtrìnhcódạng: 1 2 2 4 9 20 0 5 x x x x = é - + = Û ê = ë Vậy: Nếua=4thì b=5 nếua=5thì b=4 2)Đãbiếttích:ab=36dođócần tìm tổng:a+b Cách1:Đặtc= -btacó:a+c=5vàa.c= -36 Suyraa,clànghiệm củaphươngtrình : 1 2 2 4 5 36 0 9 x x x x = - é - - = Û ê = ë Dođónếua= -4thì c=9nênb= -9 nếua=9thì c= - 4nênb=4 Cách2:Từ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 169a b a b ab a b a b ab - = + - Þ + = - + = ( ) 2 2 13 13 13 a b a b a b + = - é Þ + = Þ ê + = ë *)Với 13a b + = - vàab =36,nêna,blànghiệm củaphươngtrình: 1 2 2 4 13 36 0 9 x x x x = - é + + = Û ê = - ë Vậy a= 4 - thì b= 9 - *)Với 13a b + = vàab =36,nêna,blànghiệm củaphươngtrình: 1 2 2 4 13 36 0 9 x x x x = é - + = Û ê = ë Vậy a=9thì b=4 3)Đãbiết ab=30,dođócần tìm a+b: Từ:a 2 +b 2 =61 ( ) 2 2 2 2 2 61 2.30 121 11a b a b ab Þ + = + + = + = = 11 11 a b a b + = - é Þ ê + = ë *)Nếu 11a b + = - vàab=30thì a,blàhainghiệm củaphươngtrình: 1 2 2 5 11 30 0 6 x x x x = - é + + = Û ê = - ë Vậy nếua= 5 - thì b= 6 - ;nếua= 6 - thì b= 5 - *)Nếu 11a b + = vàab=30thì a,blàhainghiệm củaphươngtrình: 1 2 2 5 11 30 0 6 x x x x = é - + = Û ê = ë Vậy nếua=5thì b=6;nếua=6thì b=5.  IV.TÍNHGIÁTRỊCỦACÁCBIỂUTHỨCNGHIỆM  Đối cácbài toán dạngnày điềuquantrọngnhấtlàphảibiếtbiến đổi biểuthứcnghiệm đãchovề biểuthứccóchứatổngnghiệm Svàtích nghiệm PđểápdụnghệthứcVIÉT rổi tính giátrị củabiểuthức  1.Biếnđổibiểuthứcđểlàmxuấthiện:(  1 2 x x +  )và  1 2 x x CHUYấNV PHNGTRèNHBCHAI ****************************** 5 Vớ d1 a) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x + = + + - = + - b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3x x x x x x x x x x x x x x ộ ự + = + - + = + + - ở ỷ c) ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x ộ ự + = + = + - = + - - ở ỷ d) 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x + + = Vớ d2 1 2 ?x x - = Tabit ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4x x x x x x x x x x x x - = + - ị - = + - Tcỏcbiuthcóbin i trờnhóy bin i cỏcbiuthcsau: 1. 2 2 1 2 x x - ( ( )( ) 1 2 1 2 x x x x = - + =.) 2. 3 3 1 2 x x - (= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x x x x ộ ự - + + = - + - ở ỷ =.) 3. 4 4 1 2 x x - (= ( )( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 x x x x + - =) 4. 6 6 1 2 x x + (= ( )( ) 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( )x x x x x x x x + = + - + = ) Bi tpỏpdng 5. 6 6 1 2 x x - 6. 5 5 1 2 x x + 7. 7 7 1 2 x x + 8. 1 2 1 1 1 1x x + - - 2.Khụnggiiphngtrỡnh,tớnhgiỏtrcabiu thcnghim a)Chophngtrỡnh: 2 8 15 0x x - + = Khụnggiiphngtrỡnh,hóytớnh 1. 2 2 1 2 x x + (34) 2. 1 2 1 1 x x + 8 15 ổ ử ỗ ữ ố ứ 3. 1 2 2 1 x x x x + 34 15 ổ ử ỗ ữ ố ứ 4. ( ) 2 1 2 x x + (46) b)Chophngtrỡnh: 2 8 72 64 0x x - + = Khụnggiiphngtrỡnh,hóytớnh: 1. 1 2 1 1 x x + 9 8 ổ ử ỗ ữ ố ứ 2. 2 2 1 2 x x + (65) c)Chophngtrỡnh: 2 14 29 0x x - + = Khụnggiiphngtrỡnh,hóytớnh: 1. 1 2 1 1 x x + 14 29 ổ ử ỗ ữ ố ứ 2. 2 2 1 2 x x + (138) d)Chophngtrỡnh: 2 2 3 1 0x x - + = Khụnggiiphngtrỡnh,hóytớnh: 1. 1 2 1 1 x x + (3) 2. 1 2 1 2 1 1x x x x - - + (1) 3. 2 2 1 2 x x + (1) 4. 1 2 2 1 1 1 x x x x + + + 5 6 ổ ử ỗ ữ ố ứ e)Chophngtrỡnh 2 4 3 8 0x x - + = cú2nghim x 1 x 2 ,khụnggiiphngtrỡnh,tớnh 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 6 10 6 Q 5 5 x x x x x x x x + + = + HD: ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 10 6 6( ) 2 6.(4 3) 2.8 17 Q 5 5 80 5.8 (4 3) 2.8 5 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + - - = = = = + ộ ự ộ ự - + - ở ỷ ở ỷ CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI ****************************** 6  V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆMNÀYKHÔNGPHỤTHUỘC(HAYĐỘCLẬP)VỚITHAMSỐ  Đểlàm cácbài toán loại này,talàm lầnlượttheocácbướcsau: Đặtđiềukiện chothamsốđểphươngtrình đãchocóhainghiệm x 1 vàx 2 (thườnglàa ¹0và D ³0) ÁpdụnghệthứcVIÉTviếtS=x 1 +x 2 v àP=x 1 x 2 theothamsố Dùngquytắccộnghoặcthếđểtính thamsốtheox 1 vàx 2 .Từđóđưarahệthứcliênhệgiữacácnghiệm x 1 vàx 2 . Ví dụ 1: Cho phương trình : ( ) 2 1 2 4 0m x mx m - - + - = có 2 nghiệm 1 2 ;x x . Lập hệ thức liên hệ giữa 1 2 ;x x saochochúngkhôngphụthuộcvàom. Đểphươngtrìnhtrêncó2nghiệm x 1 vàx 2 th ì : 2 1 1 1 0 1 4 ' 0 5 4 0 ( 1)( 4) 0 5 m m m m m m m m m ¹ ì ¹ - ¹ ¹ ì ì ì ï Û Û Û í í í í ³ - ³ ³ - - - ³ î î î ï î V Theohệth ứcVI ÉT tacó: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 (1) 1 1 4 3 . . 1 (2) 1 1 m x x x x m m m x x x x m m ì ì + = + = + ï ï ï ï - - Û í í - ï ï = = - ï ï - - î î Rút m từ (1)tacó: 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 x x m m x x = + - Û - = - + - (3) Rútm từ (2)tacó: 1 2 1 2 3 3 1 1 1 1 x x m m x x = - Û - = - - (4) Đồngnhấtcácvếcủa(3)và(4)tacó: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 1 3 2 3 2 8 0 2 1 x x x x x x x x x x x x = Û - = + - Û + + - = + - - Vídụ2:Gọi 1 2 ;x x lànghiệmcủaphươngtrình: ( ) 2 1 2 4 0m x mx m - - + - = .Chứngminhrằng biểuthức ( ) 1 2 1 2 3 2 8A x x x x = + + - khôngphụthuộcgiátrịcủam. Đểphươngtrìnhtrêncó2nghiệm x 1 vàx 2 th ì : 2 1 1 1 0 1 4 ' 0 5 4 0 ( 1)( 4) 0 5 m m m m m m m m m ¹ ì ¹ - ¹ ¹ ì ì ì ï Û Û Û í í í í ³ - ³ ³ - - - ³ î î î ï î V TheohệthứcVI ÉT tac ó: 1 2 1 2 2 1 4 . 1 m x x m m x x m ì + = ï ï - í - ï = ï - î thayv àoAtac ó: CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI ****************************** 7 ( ) 1 2 1 2 2 4 6 2 8 8( 1) 0 3 2 8 3. 2. 8 0 1 1 1 1 m m m m m A x x x x m m m m - + - - - = + + - = + - = = = - - - - Vậy A=0với mọi 1m ¹ và 4 5 m ³ .DođóbiểuthứcAkhôngphụthuộcvàom  Nhậnxét:  Lưuý điềukiện chothamsốđểphươngtrình đãchocó2nghiệm SauđódựavàohệthứcVIÉTrútthamsốtheotổngnghiệm,theotíchnghiệmsauđóđồngnhất cácvếtasẽđượcmộtbiểuthứcchứanghiệm khôngphụthuộcvào thamsố.  Bàitậpápdụng:  1.Chophươngtrình: ( ) ( ) 2 2 2 1 0x m x m - + + - = có2nghiệm 1 2 ;x x .Hãylậphệthứcliênhệgiữa 1 2 ;x x saocho 1 2 ;x x độclậpđốivới m. Hướngdẫn:Dễ thấy ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 1 4 8 2 4 0m m m m m D = + - - = - + = - + > dođóphươngtrình đãcholuôncó2nghiệm phânbiệtx 1 vàx 2 TheohệthứcVI ÉT tacó 1 2 1 2 1 2 1 2 2(1) 2 1 . 2 1 (2) 2 m x x x x m x x x x m m = + - ì + = + ì ï Û í í + = - = î ï î Từ(1)và(2)tacó: ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 5 0 2 x x x x x x x x + + - = Û + - - = 2.Chophươngtrình: ( ) ( ) 2 4 1 2 4 0x m x m + + + - = . Tìmhệthứcliênhệgiữa 1 x và 2 x saochochúngkhôngphụthuộcvàom. Hướngdẫn:Dễ thấy 2 2 (4 1) 4.2( 4) 16 33 0m m m D = + - - = + > dođóphươngtrình đãcholuôncó2 nghiệm phânbiệtx 1 vàx 2 TheohệthứcVI ÉT tacó 1 2 1 2 1 2 1 2 (4 1) 4 ( ) 1(1) . 2( 4) 4 2 16(2) x x m m x x x x m m x x + = - + = - + - ì ì Û í í = - = + î î Từ(1)và(2)tacó: 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 16 2 ( ) 17 0x x x x x x x x - + - = + Û + + + =  VI.TÌMGIÁTRỊTHAMSỐCỦAPHƯƠNGTRÌNHTHOẢMÃNBIỂUTHỨCCHỨA NGHIỆMĐÃCHO  Đối với cácbài toán dạngnày,talàm nhưsau: Đặtđiềukiện chothamsốđểphươngtrình đãchocóhainghiệm x 1 vàx 2 (thườnglàa ¹0và D ³0) Từ biểuthứcnghiệm đãcho,ápdụnghệthứcVIÉTđể giải phươngtrình(cóẩnlàthamsố). Đối chiếuvới điềukiện xácđịnh củathamsốđểxácđịnh giátrị cần tìm. Vídụ1:Chophươngtrình: ( ) ( ) 2 6 1 9 3 0mx m x m - - + - = Tìmgiátrịcủathamsốm để2nghiệm 1 x và 2 x thoảmãnhệthức: 1 2 1 2 .x x x x + = Bàigiải: Điềukiện đểphươngtrìnhcó2nghiệmx 1 vàx 2 l à: CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI ****************************** 8 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 ' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0 1 ' 3 21 9( 3) 0 m m m m m m m m m m m m ¹ ¹ ì ì ¹ ì ¹ ì ï ï ï Û Û Û í í í í D = - + - + ³ D = - ³ ³ - D = - - - ³ é ù ï î ï î ï ë û î î Theoh ệ th ứcVI ÉT tac ó: 1 2 1 2 6( 1) 9( 3) m x x m m x x m - ì + = ï ï í - ï = ï î v àtừ gi ảthi ết: 1 2 1 2 x x x x + = .Suyra: 6( 1) 9( 3) 6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7 m m m m m m m m m m - - = Û - = - Û - = - Û = Û = (thoả mãn điềukiệnxácđịnh ) Vậy vớim=7thì phươngtrình đãchocó2nghiệm 1 x và 2 x thoảmãnhệthức: 1 2 1 2 .x x x x + = Vídụ2: Chophươngtrình: ( ) 2 2 2 1 2 0x m x m - + + + = . Tìm m để2nghiệm 1 x và 2 x thoảmãnhệthức: ( ) 1 2 1 2 3 5 7 0x x x x - + + = Bàigiải:Điềukiện đểphươngtrìnhcó2nghiệm 1 2 &x x là: 2 2 ' (2 1) 4( 2) 0m m D = + - + ³ 2 2 4 4 1 4 8 0m m m Û + + - - ³ 7 4 7 0 4 m m Û - ³ Û ³ TheohệthứcVIÉTtacó: 1 2 2 1 2 2 1 2 x x m x x m + = + ì í = + î vàtừgiảthiết ( ) 1 2 1 2 3 5 7 0x x x x - + + = .Suyra 2 2 2 3( 2) 5(2 1) 7 0 3 6 10 5 7 0 2( ) 3 10 8 0 4 ( ) 3 m m m m m TM m m m KTM + - + + = Û + - - + = = é ê Û - + = Û ê = ë Vậyvớim=2thìphươngtrìnhcó 2nghiệm 1 x và 2 x thoảmãnhệthức: ( ) 1 2 1 2 3 5 7 0x x x x - + + =  Bàitậpápdụng  1.Chophươngtrình: ( ) 2 2 4 7 0mx m x m + - + + = Tìm m để2nghiệm 1 x và 2 x thoảmãnhệthức: 1 2 2 0x x - = 2. Chophươngtrình: ( ) 2 1 5 6 0x m x m + - + - = Tìm m để2nghiệm 1 x và 2 x thoảmãnhệthức: 1 2 4 3 1x x + = 3. Chophươngtrình: ( ) ( ) 2 3 3 2 3 1 0x m x m - - - + = . Tìm m để2nghiệm 1 x và 2 x thoảmãnhệthức: 1 2 3 5 6x x - =  Hướngdẫncáchgiải:  Đối với cácbài tậpdạngnày tathấy cómộtđiềukhácbiệtsovới bài tậpởVí dụ1vàví dụ2ở chỗ +Trongví dụthì biểuthứcnghiệm đãchứasẵn tổngnghiệm 1 2 x x + vàtíchnghiệm 1 2 x x nêntacóthểvận dụngtrực tiếphệthứcVIÉTđể tìm thamsốm. CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI ****************************** 9 +Còn trong3bài tập trênthì cácbiểuthứcnghiệmlại khôngchosẵn nhưvậy,dođóvấn đềđặtra ởđây làlàm thếnàođể từ biểuthứcđãchobiến đổi vềbiểuthứccóchứatổngnghiệm 1 2 x x + vàtích nghiệm 1 2 x x rồi từđóvận dụngtươngtựcáchlàm đãtrìnhbày ởVí dụ1vàví dụ2. BT1: ĐKXĐ: 16 0 & 15 m m ¹ £ TheoVIÉT: 1 2 1 2 ( 4) (1) 7 m x x m m x x m - - ì + = ï ï í + ï = ï î Từ 1 2 2 0x x - = Suyra: 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2( ) 9 2( ) 3 x x x x x x x x x x + = ì Þ + = í + = î (2) Thế(1)vào(2)tađưađượcvềphươngtrìnhsau: 2 1 2 127 128 0 1; 128m m m m + - = Þ = = - BT2: ĐKXĐ: 2 22 25 0 11 96 11 96m m m D = - + ³ Û - £ £ + TheoVIÉT: 1 2 1 2 1 (1) 5 6 x x m x x m + = - ì í = - î Từ : 1 2 4 3 1x x + = .Suyra: [ ] [ ] 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x 1 3(x x ) x x 1 3(x x ) . 4(x x ) 1 x 4(x x ) 1 x x 7(x x ) 12(x x ) 1 = - + ì Þ = - + + - í = + - î Û = + - + - (2) Thế(1)vào(2)tacóphươngtrình: 0 12 ( 1) 0 1 m m m m = é - = Û ê = ë (thoảmãn ĐKXĐ) BT3: Vì 2 2 2 (3 2) 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4) 0m m m m m D = - + + = + + = + ³ với mọi sốthựcm nênphương trìnhluôncó2nghiệm phânbiệt. TheoVIÉT: 1 2 1 2 3 2 3 (1) (3 1) 3 m x x m x x - ì + = ï ï í - + ï = ï î Từ giảthiết: 1 2 3 5 6x x - = .Suyra: [ ] [ ] 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 8 5( ) 6 64 5( ) 6 . 3( ) 6 8 3( ) 6 64 15( ) 12( ) 36 x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + + ì Þ = + + + - í = + - î Û = + - + - (2) Thế(1)vào(2)tađượcphươngtrình: 0 (45 96) 0 32 15 m m m m = é ê + = Û ê = - ë (thoảmãn )  VII.XÁCĐỊNHDẤUCÁCNGHIỆMCỦAPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI  Chophươngtrình: 2 0ax bx c + + = (a ¹0).Hãytìmđiềukiệnđểphươngtrìnhcó2 nghiệm:  tráidấu,cùngdấu,cùngdương,cùngâm….  Talậpbảngxétdấusau:  Dấunghiệm  x 1 x 2 1 2 S x x = + 1 2 P x x = D  Điềukiệnchung  tráidấu ± m P<0 D ³0 D ³0 ;P <0. cùngdấu, ± ± P>0 D ³0 D ³0;P>0 CHUYÊNĐỀVỀ PHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI ****************************** 10 cùngdương, + + S>0 P>0 D ³0 D ³0;P>0;S>0 cùngâm - - S<0 P>0 D ³0 D ³0 ;P>0;S<0. Ví dụ:Xácđịnhthamsốmsaochophươngtrình: ( ) 2 2 2 3 1 6 0x m x m m - + + - - = có2nghiệmtráidấu. Đểphươngtrìnhcó2nghiệm trái dấuthì 2 2 2 2 (3 1) 4.2.( 6) 0 0 ( 7) 0 2 3 6 0 ( 3)( 2) 0 0 2 m m m m m m m m P P m m P ì D = + - - - ³ D ³ ì D = - ³ " ì ï Û Û Û - < < í í í - - < = - + < = < î î ï î Vậy với 2 3m - < < thì phươngtrìnhcó2nghi ệm trái dấu.  Bàitậpthamkhảo:  1. ( ) ( ) 2 2 2 3 2 0mx m x m - + + - = có2nghiệmcùngdấu. 2. ( ) 2 3 2 2 1 0mx m x m + + + = có2nghiệmâm. 3. ( ) 2 1 2 0m x x m - + + = cóítnhấtmộtnghiệmkhông âm.  VIII.TÌMGIÁTRỊLỚNNHẤTHOẶCGIÁTRỊNHỎNHẤTCỦABIỂUTHỨCNGHIỆM  Ápdụng tính chấtsauvềbấtđẳngthức:trongmọi trườnghợpnếutaluônphântích được: A m C k B + é = ê - ë (trongđóA,Blàcácbiểuthứckhôngâm;m,klàhằngsố) (*) Thì tathấy : C m ³ (vì 0A³ ) min 0C m A Þ = Û = C k £ (vì 0B ³ ) max 0C k B Þ = Û = Vídụ1:Chophươngtrình: ( ) 2 2 1 0x m x m + - - = Gọi 1 x và 2 x làcácnghiệmcủaphươngtrình.Tìm m để: 2 2 1 2 1 2 6A x x x x = + - cógiátrịnhỏnhất. Bàigiải:TheoVIÉT: 1 2 1 2 (2 1)x x m x x m + = - - ì í = - î Theođềb ài : ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 8A x x x x x x x x = + - = + - ( ) 2 2 2 2 1 8 4 12 1 (2 3) 8 8 m m m m m = - + = - + = - - ³ - Suyra: min 8 2 3 0A m = - Û - = hay 3 2 m = Vídụ2: Chophươngtrình: 2 1 0x mx m - + - = [...]...CHUYÊN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ******************************  Gọi  x  và  x  là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị  lớn  1  2  nhất của biểu thức sau: B = 2 x1 x  + 3  2  2  x + x2 + 2 ( x1 x2  + 1  ) ... = 1  1  min B = - Û m = -2    2  Bài tập áp dụng  2  1. Cho phương trình : x2  + ( 4m + 1) x + 2 ( m - 4 ) = 0 .Tìm m để biểu thức A = ( x1 - x2 )  có  giá trị nhỏ nhất 11  CHUYÊN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ******************************  2  2. Cho phương trình  x - 2(m - 1) x - 3 - m = 0 . Tìm m sao cho nghiệm  x1 ; x  thỏa mãn điều  2  2  kiện x12 + x2  ³ 10 .  3. Cho phương trình :  x2 - 2(m - 4) . =  II.LẬPPHƯƠNGTRÌNHBẬC HAI 1.Lậpphươngtrìnhbậc hai khibiết hai nghiệm  1 2 ;x x Vídụ:Cho 1 3x =  ;  2 2x = lậpmộtphươngtrìnhbậc hai chứa hai nghiệm trên TheohệthứcVIÉT. = )  III.TÌM HAI SỐBIẾTTỔNGVÀTÍCHCỦACHÚNG  Nếu hai sốcóTổngbằngSvàTíchbằngPthì hai sốđólà hai nghiệm củaphươngtrình: 2 0x Sx P - + = (điềukiện đểcó hai sốđólàS 2. hươngtrìnhbậc hai mộtẩn Lậpphươngtrìnhbậc hai Tìm hai sốbiếttổngvàtíchcủachúng Tínhgiátrịcủabiểuthứcnghiệmcủaphươngtrình Tìmhệthứcliênhệgiữa hai nghiệmcủaphươngtrìnhsaocho hai nghiệmnàykhôngphụthuộcvàothamsố Tìmgiátrịthamsốcủaphươngtrình