tài liệu ôn thi đại học môn toán mới nhất tích phân

14 468 0
tài liệu ôn thi đại học môn toán mới nhất tích phân

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 47 Chủ đề 2 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. Tóm tắt lí thuyết Nội dung 1: Nguyên hàm 1. Bảng tính nguyên hàm cơ bản Bảng 1 Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( hằng số) ax + C x    1   1 1 x C      ( ) ax b   a 1 1 ( ) 1 ax b C       1 x ln x C  1 ax b  1 ln ax b C a   x a ln x a C a  ax b A  1 . ln   ax b A C A a x e x e C  ax b e  1 ax b e C a   sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 cos( ) ax b C a    cosx sinx + C cos(ax+b) 1 sin( ) ax b C a   2 1 cos x tanx + C 2 1 cos ( ) ax b    1 tan( ) ax b C a 2 1 sin x -cotx + C 2 1 sin ( ) ax b     1 cot( ) ax b C a ' ( ) ( ) u x u x ln ( ) u x C  2 2 1 x a  1 ln 2 x a C a x a    tanx ln cos x C   cotx ln sin x C  2. Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất kết hợp với bảng tính các nguyên hàm cơ bản  Phân tích hàm số đã cho thành tổng, hiệu của các hàm số đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản.  Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản. Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số Định lí cơ bản: Nếu     f u du F u C    và   u u x  là hàm số có đạo hàm liên tục thì           ' f u x u x dx F u x C    Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 48 Cách thực hiện: Tính   f u(x) u'(x)dx  bằng pp đổi biến số Bước 1: Đặt u u(x) du u'(x)dx    (tính vi phân của u) Bước 2: Tính     f u(x) u'(x)dx f(u)du F(u) C F u(x) C        Phương pháp 3: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Định lí cơ bản: Nếu hai hàm số   u u x  và   v v x  có đạo hàm liên tục trên K thì             ' ' u x v x dx u x v x u x v x dx     Cách thực hiện: Bước 1: Đặt )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu      Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần : . udv u v vdu     Bước 3: Tính vdu  B. Bài tập Bài 1: Tính 1) 2 2 x I dx x    2) 3 1 1 x I dx x      3) 3 2 3 2 x x I dx x     Bài 2: Tính 1) 2 3 2 3 x x dx x    2)   1 1 I dx x x    3) 2 3 2 x I dx x x     Bài 3: Tính 1) ln I x xdx   2) ln x I dx x   3) 3 ln I x xdx   Bài 4: Tính 1)   2 ln I x x dx    2)   2 2 x I x e dx    3) sin2 I x xdx   Bài 5: Tính 1) 2 sin cos x x I dx x   2) 1 2 x x e I dx e    3) 5 cos I xdx   Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 49 Nội dung 2: Tính tích phân A. Tóm tắt lí thuyết I. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN a. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K và , a b  K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì :   ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a     ( Công thức NewTon - Leipniz) b. Các tính chất của tích phân  Tính chất 1: ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx      Tính chất 2: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên   ; a b thì   ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx        Tính chất 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên   ; a b và k là một hằng số thì . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx     Tính chất 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên   ; a b và c là một hằng số thì ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx       Tính chất 5: Tích phân của hàm số trên   ; a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là : ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f t dt f u du       2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ a) DẠNG 1: Tính I = b ' a f[u(x)].u (x)dx  bằng cách đặt t = u(x) Công thức đổi biến số dạng 1:      )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxuf Cách thực hiện: Bước 1: Đặt dxxudtxut )()( '  Bước 2: Đổi cận : )( )( aut but ax bx      Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được       )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới) Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 50 b) DẠNG 2: Tính I = b a f(x)dx  bằng cách đặt x = (t)  Công thức đổi biến số dạng 2          dtttfdxxfI b a )(')()( Cách thực hiện Bước 1: Đặt dttdxtx )()( '   Bước 2: Đổi cận :        t t ax bx Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được          dtttfdxxfI b a )(')()( (tiếp tục tính tích phân mới) 3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tích phân từng phần      b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( hay:      b a b a b a vduvuudv . Cách thực hiện Bước 1: Đặt )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu      Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :      b a b a b a vduvuudv . Bước 3: Tính   b a vu. và  b a vdu Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 51 II. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tính tích phân 2 2 2 1 3 1 x x I dx x x      . (Phân tích & dùng định nghĩa) Bài giải ♥ Biến đổi hàm số thành dạng 2 2 2 3 1 2 1 1 x x x x x x x        Khi đó: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 2 1 x x x I dx dx dx x x x x             2 2 1 1 1 dx x     2 2 2 2 1 1 2 1 ln ln 3 x dx x x x x       ♥ Vậy 1 ln 3 I   .  Ví dụ 2: Tính tích phân   2 1 2 0 1 1 x I dx x     . (Phân tích & dùng định nghĩa) Bài giải ♥ Biến đổi hàm số thành dạng   2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x          Khi đó:   2 1 1 1 2 2 0 0 0 1 2 1 1 x x I dx dx dx x x           1 1 0 0 1 dx x     1 1 2 2 0 0 2 ln 1 ln 2 1 x dx x x      ♥ Vậy 1 ln 2 I   .  Ví dụ 3: Tính tích phân   ln2 2 0 1 x x I e e dx    . (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt 1 x x t e dt e dx     Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 52 Đổi cận: ln2 1 0 0 x t x t                    Suy ra: 1 1 3 2 00 1 3 3 t I t dt     ♥ Vậy 1 3 I  .  Ví dụ 4: Tính tích phân 1 2 0 2 I x x dx    . (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt 2 2 2 2 2 2 2 t x t x tdt xdx tdt xdx          Đổi cận: 1 1 0 2 t x x t                    Suy ra: 2 2 3 2 11 2 2 1 3 3 t I t dt      ♥ Vậy 2 2 1 3 I   .  Ví dụ 5: Tính tích phân 1 4 5ln e x I dx x    . (Đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Đặt 2 5 4 5ln 4 5ln 2 t x t x tdt dx x        Đổi cận: 3 1 2 x e t x t                    Suy ra:   33 2 3 3 3 2 2 2 2 2 38 3 2 5 15 15 15 I t dt t      ♥ Vậy 38 15 I  .  Ví dụ 6: Tính tích phân   4 0 1 sin 2 I x xdx     . (Tích phân từng phần) Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 53 Bài giải ♥ Đặt 1 1 sin 2 cos2 2 du dx u x dv xdx v x                       Suy ra:   4 4 0 0 1 1 1 cos2 sin 2 2 4 I x x x        4 4 0 0 1 1 3 1 cos2 sin 2 2 4 4 x x x       ♥ Vậy 3 4 I  .  Ví dụ 7: Tính tích phân   4 0 1 sin2 I x x dx     . (Tích phân từng phần) ♥ Ta có: 4 4 4 4 2 2 4 00 0 0 0 sin 2 sin 2 sin 2 2 32 x I xdx x xdx x xdx x xdx                 Đặt 1 sin 2 cos2 2 du dx u x dv xdx v x                      Suy ra: 4 4 4 4 4 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 sin 2 cos2 cos2 cos2 sin 2 2 2 2 4 4 x xdx x x xdx xdx x              ♥ Vậy 2 1 32 4 I    .  Ví dụ 8: Tính tích phân 2 2 1 2ln x x I dx x    . (Phân tích + đổi biến số dạng 1) Bài giải ♥ Ta có: 2 2 1 1 ln 2 x I xdx dx x      2 2 2 10 3 2 2 x xdx    ♥ Tính 2 1 ln x dx x  Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 54 Đặt 1 ln t x dt dx x    Đổi cận: 2 ln2 1 0 x t x t                    Suy ra: ln2 2 ln2 2 2 01 0 ln ln 2 2 2 x t dx tdt x      ♥ Vậy 2 3 ln 2 2 I   .  Ví dụ 9: Tính tích phân 2 2 2 1 1 ln x I xdx x    . (Tích phân từng phần) ♥ Đặt 2 2 1 ln 1 1 u x du dx x x dv dx v x x x                                Suy ra: 2 2 1 1 1 1 1 ln I x x x dx x x x                          2 2 1 1 1 1 lnx x x x x                         5 3 ln 2 2 2   ♥ Vậy 5 3 ln 2 2 2 I   .  Ví dụ 10: Tính tích phân I = ( ) 2 1 x x 0 2e e xdx   . (Phân tích + đổi biến dạng 1+ tích phân từng phần) Bài giải ♥ Ta có: I = 2 1 1 x x 0 0 2xe dx xe dx    .  I 1 = ( ) 2 2 1 1 x x 2 0 0 2xe dx e d x    = 2 1 x 0 e       = e – 1.  I 2 = 1 x 0 xe dx  Đặt u = x  du = e x dx dv = e x dx  v = e x . Suy ra: I 2 = 1 1 x x 0 0 xe e dx       = 1 x 0 e e      = 1. ♥ Vậy I = e – 1 + 1 = e.  Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 55 B. Bài tập Bài 1: Tính các tích phân sau 1)   1 2 2 0 4 x I dx x    2)   2 2 0 sin 1 cos x I dx x     Bài 2: Tính các tích phân sau 1) 1 ln 1 e x I dx x    2) 3 3 1 ln 2 e x I dx x    Bài 3: Tính các tích phân sau 1) 3 0 sin cos I x xdx    2)     2 2 3 0 I sin2x(1 sin x) dx Bài 4: Tính các tích phân sau 1) 2 2 1 3 I x x dx    2) 2 2 3 0 1 x I dx x    Bài 5: Tính các tích phân sau 1)   2 1 0 x I x x e dx    2) 3 2 1 ln 1 e x I x dx x          Bài 6: Tính các tích phân sau 1) 1 1 3ln ln e x x I dx x    2)   ln3 3 0 1 x x e I dx e    Bài 7: Tính các tích phân sau 1) 2 0 sin2 cos 1 cos x x I dx x     2) 46 0 tan cos2 x I dx x    Bài 8: Tính các tích phân sau 1) 2 0 sin2 sin 1 3cos x x I dx x      2)     2 2 2 0 sin2x I dx cos x 4sin x Bài 9: Tính các tích phân sau 1)   2 3 2 0 cos 1 cos I x xdx     2) 2 0 sin2 3 4sin cos2 x I dx x x      Bài 10: Tính các tích phân sau Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 56 1) 4 4 0 cos 3tan 1 dx I x x     2) 2 4 4 cot 1 sin x I dx x      Bài 11: Tính các tích phân sau 1) 2 1 1 ln e dx I x x    2) 2 2 6 cot sin 1 x I dx x      Bài 12: Tính các tích phân sau 1) 3 2 4 tan cos 1 cos x I dx x x      2) ln5 2 ln2 1 x x e I dx e    Bài 13: Tính các tích phân sau 1) 2 6 3 5 0 1 cos sin cos I x x xdx     2)     2 2 3 0 I sin2x(1 sin x) dx Bài 14: Tính các tích phân sau 1) 1 3 2 0 3 I x x dx    2)   ln5 ln2 1 1 x x x e e I dx e     Bài 15: Tính các tích phân sau 1) 0 cos I x xdx    2)   cos 0 sin x I e x xdx     Bài 16: Tính các tích phân sau 1) 2 2 1 ln x I dx x   2)   3 2 0 ln 3 I x x dx    Bài 17: Tính các tích phân sau 1)   2 1 1 ln e I x xdx    2)   5 2 2 ln 1 I x x dx    Bài 18: Tính các tích phân sau 1) 2 1 1 ln e x I xdx x    2) 3 2 1 ln e I x xdx   Bài 19: Tính các tích phân sau 1)   1 2 0 2 x I x e dx    2)   3 2 2 ln I x x dx    Bài 20: Tính các tích phân sau [...]... sin x I 0 4 Bài 24: Tính các tích phân sau 6 1 1) I   dx 2 2 x 1  4x 1  2 2) I   0 sin x  cos x dx 3  sin 2 x Bài 25: Tính các tích phân sau  2 1 1) I   2) I   sin 2 x dx 3  4sin x  cos 2 x 0 0 x2 dx ( x  1) x  1 57 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN Nội dung 3: Ứng dụng của tích phân A Tóm tắt lí thuyết I CÔNG THỨC 1 Công thức tính diện tích hình phẳng y y x b (C1 ).. .Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG  2  HĐBM - TỔ TOÁN  4  1) I   ecos x  cos3 x sin xdx 1 dx sin 2 x.(2  cot 2 x) 2) I   2  8 0 Bài 21: Tính các tích phân sau 4 3 2x 1 dx 2x  1 0 1 1) I   2) I  dx  x (x 2 1 2  1) Bài 22: Tính các tích phân sau  2 1) I   0 2 cos 2 x  sin x  cos x  3 3 dx x3  2 x 2  4 x  9 dx x2  4 2) I   0 Bài 23: Tính các tích phân sau  6...  f ( y) b b S   f ( x)  g ( x) dx S   f ( y)  g ( y) dy a a 2 Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay y xa O a xb (C ) : y  f ( x) y0 b 2 V     f ( x) dx a b x y b x0 y b (C ) : x  f ( y ) ya a x O b 2 V     f ( y ) dy a 58 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN II CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  x 2  x  3 và đường thẳng... 1  t 1 1 3  2 6 9  2   59 Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN B Bài tập  y  x2  4x  3  y  0 Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H):  x  0 x  2   y  x2  Bài 2: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H):  2 y  2 x  3x  1  y  x  1  Bài 3: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H):  y  0 x... Bài 4: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H):  2  x  y   y  x 2  2x  Bài 5: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H) :  2  y  x  4x  (C ) : y  x  Bài 6: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H): (d ) : y  2  x (Ox)  (C ) : y  e x  Bài 7: Trong mặt phẳng  Oxy  , tính diện tích của hình phẳng (H): (d ) : y  2 ()... 2 x 1  x 2  3x  2  0    x  2 ♥ Diện tích hình phẳng cần tìm là 2 S   x 2  3 x  2 dx 1 2  x 3 3x 2  1     x  3 x  2     2 x      3 2  1 6 1 2 2 Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường 1 y , y  0, x  0 và x  1 xung quanh trục hoành 1  4  3x Bài giải 1 ♥ Thể tích khối tròn xoay là V    0 dx 1  4  3x... bởi cc đường 4 y  x 2 và y  x Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox Bài 9: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho miền D giới hạn bởi hai đường : y = x2 + x - 5 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 10: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho miền D giới hạn bởi các đường : y  x; y  2  x; y  0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay... đường : y  x; y  2  x; y  0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 11: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho miền D giới hạn bởi hai đường : y  4  x 2 ; y  x 2  2 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Hết -60 . Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được       )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới) Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN. xdx   Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 49 Nội dung 2: Tính tích phân A. Tóm tắt lí thuyết I. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN a Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM - TỔ TOÁN 47 Chủ đề 2 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. Tóm tắt lí thuyết Nội dung 1: Nguyên

Ngày đăng: 30/04/2015, 20:37

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan