CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG 1. BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f(x) và y = g(x) PHƯƠNG PHÁP: Xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) Số giao điểm của 2 đồ thị chính bằng số nghiệm của phương trình (*) BÀI 1. Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị hàm số sau. 1. 2 2 2 − −+− = x xx y và 12 2 +−= xxy ĐS: A(0; 1) và B(1; 2) 2. 222 23 ++−= xxxy và xy −= 1 BÀI 2. Tìm m để đồ thị hàm số 13 23 +++= mxxxy cắt đường thẳng y = 1 – 2x tại ba điểm phân biệt. ĐS: }0{\ 2 3 ; 2 3       −∈m BÀI 3*. Cho hàm số 323 43 aaxxy +−= (C a ) với a là tham số 1. Tìm a để các điểm CĐ, CT của đồ thị (C a ) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x ĐS: a = 2 2 ± 2. Tìm a để đường thẳng y = x cắt đồ thị (C a ) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC ĐS: a= 0; a = 2 2 ± BÀI 4. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số 2 36 2 + +− = x mxx y và đường thẳng y =mx KL: nếu m = 1 hoặc m = -16/3 thì có 1 giao điểm Nếu m ≠ 1 và m ≠ -16/3 thì có 2 giao điểm pb BÀI 5. Cho hàm số 1 1 2 − +− = x xx y có đồ thị là (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Xác định m để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 12 ĐS: m = -3 hoặc m = 5 BÀI 6. Cho hàm số 2 92 2 − +− = x xx y có đồ thị là (C). 1. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = k tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương. ĐS: k > 8 2. Xác định k để đồ thị (C) cắt đường thẳng y = kx + 10 – 5k tại hai điểm phân biệt nhận I(5; 10) làm trung điểm. ĐS: 3 2 −=k BÀI 7. Cho hàm số 2 12 + + = x x y có đồ thị là (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 2. Xác định m để đường thẳng y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB ngắn nhất ĐS: m = 0 VM-TD-BN/T10-2008 1 DẠNG 2. BIỆN LUẬN THEO m SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH: f(x) = m (*) PHƯƠNG PHÁP: Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và biện luận số giao điểm với đường thẳng y = m BÀI 1. Cho hàm số 23 23 −+= xxy có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình mxx =−+ 23 23 ĐS: m>2 hoặc m<-2: pt có 1 n 0 m=2 hoặc m=-2: pt có 2 n 0 . -2<m<2: pt có 3 n 0 phân biệt 3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình 03 23 =−− xxa ĐS: a>4 hoặc a<-4: pt có 1 n 0 a=4 hoặc a=-4: pt có 2 n 0 . -4<a<4: pt có 3 n 0 phân biệt 4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình 2323 33 kkxx +=+ DẠNG 3. VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHƯƠNG PHÁP: Giả sử cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). 1. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số )(xfy = như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox, qua trục Ox + Bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox (Đồ thị hàm số )(xfy = luôn nằm trên trục hoành ) 2. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số ( ) xfy = như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (bỏ phần đ/t nằm bên trái Oy) + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy, qua trục Oy (Đồ thị hàm số chẵn ( ) xfy = luôn nhận trục Oy làm trục đối xứng ) 3. Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số )(xfy = như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (bỏ phần nằm dưới trục Ox) + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox, qua trục Ox (Đồ thị hàm số )(xfy = luôn nhận trục Ox làm trục đối xứng vì M(x 0 ; y 0 ) và M’(x 0 ; y 0 ) cùng thuộc đồ thị h/s ) 4. Từ đồ thị hàm số y = f(x) = u(x).v(x) suy ra đồ thị hàm số y = )()( xvxu như sau: Ta viết:    <− ≥ == 0u(x) khi )().( 0u(x) khi )().( )()( xvxu xvxu xvxuy + Giữ nguyên phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x) ≥ 0) + Lấy đối xứng qua trục Ox, phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x) <0) BÀI 1. Cho hàm số 23 3xxy −= có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: mxx =+− 23 3 VM-TD-BN/T10-2008 2 ĐS: m<0: vô n 0 ; m=0: có 3 n 0 ; 0<m<2: có 6 n 0 ; m=2:có 4 n 0 ; m>2: có 2 n 0 3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: 2 3 33 xxa −= BÀI 2. Cho hàm số 3 2 2 − −− = x xx y có đồ thị là (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: m x xx = − −− 3 2 2 3. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: a x xx 3 3 2 2 = − −− 4. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: 23 2 2 k x xx = − −− 5. Biện luận theo t số nghiệm của phương trình: t x xx = − −− 3 2 2 BÀI 3. Cho hàm số 2 )2)(1( − +− = x xx y có đồ thị là (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Tìm k để đường thẳng y = kx – 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương 3. Tìm m để phương trình: m x xx = − +− 2 )2(1 có đúng 3 nghiệm phân biệt BÀI 4. Cho hàm số 1 32 2 − +− = x xx y có đồ thị là (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: )1( 2 1 32 2 − + =+− x k xx 3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3142 2 =−++− xmxx BÀI 5. [ĐH.2006.A] Cho hàm số 41292 23 −+−= xxxy có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Tìm m để phương trình: mxxx =+− 1292 2 3 có 6 nghiệm phân biệt. ĐS:4<m<5 BÀI 6. Cho hàm số 23 23 +−= xxy có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 1 22 2 − =−− x m xx BÀI 7. Cho hàm số 45 24 +−= xxy có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) 2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: 2)1(4 22 −=−− axx BÀI 8. Cho hàm số 1 1 2 − −+ = x xx y có đồ thị là (C). VM-TD-BN/T10-2008 3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: k x xx = − −+ 1 1 2 3. Tìm tất cả các giá trị của m để trên đồ thị (C) có hai điểm A(x A ; y A ) , B(x B ; y B ) khác nhau thỏa mãn điều kiện:    =+ =+ myx myx BB AA BÀI 9. Cho hàm số 2 54 2 − +− = x xx y 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 025)4( 2 =+++− mxmx ĐS: m<-5/2 hay m= ± 2: có 2 n 0 . -5/2<m<-2hay m>2: có 4 n 0 . m=-5/2: có 3 n 0 . -2<m<2: vô n 0 . DẠNG 4. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f(x) PHƯƠNG PHÁP: Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x 0 ; y 0 ) ta có: ))((' 000 xxxfyy −=− hay ))((' 000 xxxyyy −=− Trong đó: M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm; y 0 = f(x 0 ) ; k = f’(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến 1. Nếu cho hoành độ x 0 thì tính y 0 = f(x 0 ) và hệ số góc k = f’(x 0 ) 2. Nếu cho tung độ y 0 thì giải pt: f(x) = y 0 suy ra hoành độ x = x 0 từ đó tính k = f’(x 0 ) 3. Nếu cho hệ số góc k = k 0 thì có 2 cách: Cách 1. Giải pt: f’(x) = k 0 ⇒ x = x 0 ⇒ y 0 = f(x 0 ) Cách 2. Pt tiếp tuyến có dạng: y = k 0 x + m ( ∆ ) (cần tìm m) ( ∆ ) tiếp xúc với (C) ⇔ hệ pt sau có nghiệm:    = += 0 0 )(' )( kxf mxkxf ⇒ x ? ⇒ m ? 4. Nếu cho một điểm N(a; b) thuộc tiếp tuyến thì Cách 1. Gọi tiếp điểm );( 00 yxM . Ta có )( 00 xfy = và ))((' 000 xxxfyy −=− ⇒ ))((')( 000 xaxfxfb −=− ⇒ 0 x ⇒ PT tiếp tuyến Cách 2. Đường thẳng đi qua N(a; b) với hệ số góc k có phương tình dạng: )( axkby −=− ⇔ bkakxy +−= )( ∆ )( ∆ tiếp xúc với (C) ⇔ hệ pt sau có nghiệm:    = +−= kxf bkakxxf )(' )( ⇒ x? ⇒ k? BÀI 1. Cho hàm số 34 24 +−= xxy có đồ thị là (C) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng - 8 BÀI 2. Cho hàm số 243 23 +−+−= xxxy có đồ thị là (C) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc bằng -1 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó vuông góc với đường thẳng y= 3 4 1 + x VM-TD-BN/T10-2008 4 BÀI 3. Cho hàm số xxy 2 2 −= có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết nó đi qua điểm N(1; -2)? ĐS: y = 2x; y = 2x -4 BÀI 4. Cho hàm số 23 23 +−= xxy có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A( 2; 9 23 − ) ĐS: y = -2; y= 9x-25 y= 27 61 3 5 + − x BÀI 5. Cho hàm số 2 1 2 + −+ = x xx y có đồ thị là (C). 1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên ĐS: 522 −+−= xy và 522 −−−= xy 2. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của (C) đều không đi qua điểm I(-2; -3) BÀI 6. Cho hàm số 2 45 2 − +− = x xx y có đồ thị là (C). 1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 3x + 2008. ĐS: 33 −= xy và 113 −= xy 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên. BÀI 7. [HVBCVT. 2000] Cho hàm số 23 23 −+−= xxy (*) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô (*) 2. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một tiếp tuyến với đồ thị hàm số (*) ĐS: A(1; 0) BÀI 8. [ĐHGTVT.00] Cho hàm số ax xax y + −++ = 3)1(2 2 có đồ thị là (C a ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi a = 2 2. Xác định a để đường tiệm cận xiên của đồ thị (C a ) tiếp xúc với parabol y = x 2 + 5. ĐS: a = -3 BÀI 9. [ĐHKT.00] Cho hàm số kxkkxy 21)1( 24 −+−+= với k là tham số 1. Xác định k để đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị ĐS: );1[]0;( +∞∪−∞∈k 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô khi k = 2 1 . Gọi đồ thị khi đó là (C) 3. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm O. ĐS: y=0; xy 33 1 ±= BÀI 10. Cho hàm số 2 2 2 − −+ = x xx y có đồ thị là (C). 1. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong (C) qua đường thẳng y = 2. ĐS: 2 63 2 − −+− = x xx y 2. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong (C) qua điểm I(1; -2) BÀI 11. Cho hàm số xxy 3 3 −= có đồ thị là (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến VM-TD-BN/T10-2008 5 đồ thị (C). BÀI 12. [ĐHVinh.00] Cho hàm số 1)12()1( 3 +−+−+= mxmxmy có đồ thị (C m ). 1. CMR: với mọi m đồ thị (C m ) luôn có 3 điểm cố định thẳng hàng ĐS: A 0 (-1;1), A 1,2 ( 2 55 , 2 51 ±± ) 2. Với giá trị nào của m thì trên (C m ) có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua 3 điểm cố định ĐS: m < -1 hoặc m > 0 BÀI 13. Cho hàm số )1( 24 +−+= mmxxy có đồ thị (C m ). 1. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C m ) ĐS: A 1,2 ( ± 1;0) 2. Gọi A là điểm cố định với hoành độ dương của (C m ). Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x. ĐS: m =1 BÀI 14. Cho hàm số mxmmxxy +−+−= )1(33 223 có đồ thị (C m ). 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực tiểu tại x=2 ĐS: m=1 2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(0; 6) ĐS: y = 9x + 6 BÀI 15. Cho hàm số 13 23 +++= mxxxy có đồ thị (C m ). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3 2. Chứng minh với mọi m đồ thị (C m ) luôn cắt đồ thị hàm số y = x 3 +2x 2 +7 tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB. Quỹ tích: 191844 23 +++= xxxy 3. Xác định m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1) D và E sao cho các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau. ĐS: 8 659 ± =m BÀI 16. Cho hàm số 1 2 − +− = x mxx y có đồ thị là (C m ) (m là tham số khác 0) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 2. Tìm m để (C m ) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại A, B vuông góc với nhau 3. Tìm m để tam giác tạo bởi một tiếp tuyến bất kỳ của (C m ) và hai đường tiệm cận có diện tích nhỏ hơn 2 (đvdt) BÀI 17. Cho hàm số 2 2 2 + ++ = x xx y có đồ thị là (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d:5x - 9y –4 = 0 3. Tìm những điểm M trên Oy để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến hai nhánh của (C) BÀI 18. Cho hàm số 13 23 ++= xxy có đồ thị là (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: ( ) axx =+−+− 1131 2 3 o0o VM-TD-BN/T10-2008 6 . hàm số 2 45 2 − +− = x xx y có đồ thị là (C). 1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 3x + 2008. ĐS: 33 −= xy và 113 −= xy 2. Tìm các điểm trên đồ thị. định với hoành độ dương của (C m ). Hãy tìm các giá trị của m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng y = 2x. ĐS: m =1 BÀI 14. Cho hàm số mxmmxxy +−+−= )1(33 223 có đồ thị. 2 2 2 + ++ = x xx y có đồ thị là (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d:5x - 9y –4 = 0 3. Tìm những điểm M trên Oy để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến