phòng gd&đt tam nông TRƯờNG THCS Dị NậU Đề THI CHọN HọC SINH GIỏI Môn : Toán lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút BI Bi 1(4 im) a/ Tớnh: A= 3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 7 11 13 4 6 8 + + + + + b/ Cho 3 s x,y,z l 3 s khỏc 0 tha món iu kin: z zyx y yxz x xzy + = + = + Hóy tớnh giỏ tr biu thc: B = 1 1 1 x y z y z x + + + ữ ữ ữ . Bi 2 (4im) a/ Tỡm x,y,z bit: 2 1 2 0 2 3 x y x xz + + + + = b/ CMR: Vi mi n nguyờn dng thỡ 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + + chia ht cho 10. Bi 3 (4 im) Mt bn tho cun sỏch dy 555 trang c giao cho 3 ngi ỏnh mỏy. ỏnh mỏy mt trang ngi th nht cn 5 phỳt, ngi th 2 cn 4 phỳt, ngi th 3 cn 6 phỳt. Hi mi ngi ỏnh mỏy c bao nhiờu trang bn tho, bit rng c 3 ngi cựng nhau lm t u n khi ỏnh mỏy xong. Bi 4 (6 im): Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC. Trờn tia i ca tia MA ly im E sao cho ME=MA. Chng minh rng: a/ AC=EB v AC // BE b/ Gi I l mt im trờn AC, K l mt im trờn EB sao cho : AI=EK. Chng minh: I, M, K thng hng. c/ T E k EH BC (H BC). Bit gúc HBE bng 50 0 ; gúc MEB bng 25 0 , tớnh cỏc gúc HEM v BME ? Bi 5(2im): Tỡm x, y N bit: ( ) 2 2 36 8 2010y x = HếT GIáO VIÊN: PHAN DUY THANH Híng dÉn chÊm Bµi ý Nội dung Điểm 1 4 ®iÓm a 8 5 6 5 4 5 4 1 3 1 2 1 13 5 11 5 7 5 13 3 11 3 4 3 +− +− + +− +− +       +− +− +       +−       +− 4 1 3 1 2 1 2 5 4 1 3 1 2 1 13 1 11 1 7 1 5 13 1 11 1 4 1 3 = 13117 1295 13114 1353 xx x xx x + 5 2 = 1295 13117 13114 1353 x xx x xx x + 5 2 = 5 2 172 189 + = 5172 21725189 x xx + = 860 1289 2 b Ta có: y z x z x y x y z x y z + − + − + − = = 1 1 1 y z z x x y x y z + + + ⇒ − = − = − ( ) 2 2 x y z y z z x x y x y z x y z + + + + + ⇒ = = = = + + 1 1 1      ⇒ = + + +  ÷  ÷ ÷      x y z B y z x . . x y y z z x y z x + + + = . . 2.2.2 8 x y z x y z z y x + + + = = = Vậy B=8 0,5 0,5 0,5 0,5 2 4 điểm a 2 1 2 0 2 3 x y x xz− + + + + = Áp dụng tính chất A ≥ 0 ( ) 2 1 1 0 0 2 2 2 2 0 0 3 3 0 0 x x y y x x z x xz   − = − =       ⇒ + = ⇒ + =       + = + =     1 2 2 3 1 2 x y z x  =    ⇒ = −    = − = −   Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2 0,25 1,5 0,25 b Ta có: 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − = 2 2 (3 3 ) (2 2 ) n n n n+ + + − + ( ) ( ) 2 2 3 3 1 2 2 1 n n = + − + 3 .10 2 .5= − n n = 10.(3 n – 2 n-1 ) Vì 10.(3 n – 2 n-1 ) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương Suy ra điều phải chứng minh. 0,75 0,5 0,5 0,25 3 4điểm Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được theo thứ tự là x,y,z. Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6. Do đó ta có: 1 1 1 : : : : 12 :15:10 5 4 6 x y z = = . Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 555 15 12 15 10 12 15 10 37 x y z x y z+ + = = = = = + + 180; 225; 150x y z⇒ = = = . Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần lượt là: 180, 225, 150 . 0,5 1,0 0,75 0,75 0,75 0,25 a (2 điểm) Xét AMC∆ và EMB∆ có : K H E M B A C I Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa. K H E M B A C I . ®iÓm a 8 5 6 5 4 5 4 1 3 1 2 1 13 5 11 5 7 5 13 3 11 3 4 3 +− +− + +− +− +       +− +− +       +−       +− 4 1 3 1 2 1 2 5 4 1 3 1 2 1 13 1 11 1 7 1 5 13 1 11 1 4 1 3 = 131 17 1295 13114 1353 xx x xx x + 5 2 = 1295 131 17 13114 1353 x xx x xx x + 5 2 = 5 2 172 189 + = 5 172 2 172 5189 x xx + = 860 1289 2 b Ta có: y z x z x y x y z x y z + − + −. 12 15 10 37 x y z x y z+ + = = = = = + + 180; 225; 150x y z⇒ = = = . Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần lượt là: 180, 225, 150 . 0,5 1,0 0 ,75 0 ,75 0 ,75 0,25 a. tam nông TRƯờNG THCS Dị NậU Đề THI CHọN HọC SINH GIỏI Môn : Toán lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút BI Bi 1(4 im) a/ Tớnh: A= 3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 7 11 13 4 6 8 + + + + + b/