TÀI LIỆU TOÁN 12 Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT I) Các bước khảo sát hàm số tổng quát: + B1: Tính tập xác định + B2: Sự biến thiên • Tính y’ • Giải phương trình y’=0 • Tính giới hạn, tiệm cận (nếu có) • Lập bảng biến thiên • Kết luận đồng biến, nghịch biến,cực trị (nếu có) +B3: Vẽ đồ thị: Xác định số điểm đặc biệt (giao với Ox, Oy, …) II) Các toán liên quan đến khảo sát hàm số 1) VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x) Phương trình tiếp tuyến ( C ) M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0) a/ Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến ( C ) M( x0 ; y0 ) Phương pháp : Áp dụng công thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) • Nếu chưa cho y0 tính y0 = f(x0) • Nếu chưa cho x0 x0 nghiệm phương trình f(x) = y0 b/ Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước Phương pháp : Gọi M(x0 ; y0) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k ⇔ f ′( x0 ) = k Giải phương trình tính x0 ∈ D ⇒ y = f ( x0 ) Phương trình tiếp tuyến y – y0 = k( x – x0 ) Lưu ý : Cho (d) : y = a.x + b : • (d1) song song với (d) (d1) có hệ số góc k = a hay a.k = – a c/ Dạng : Lập phương trình tiếp tuyến qua điểm A( x1 ; y1 ) Phương pháp Cách : Gọi M(x0 ; y0) tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) f’(x0) theo x0 Phương trình tiếp tuyến (C) M là: y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) (1) Vẽ tiếp tuyến qua A nên y1 – y0 = f’(x0)( x – x0) giải phương trình tính x thay vào (1) Cách : Gọi (d) đường thẳng qua A có hệ số góc k Ta có  f ′( x ) = k (1) (d) : y – y1 = k( x – x1 ) (1) tiếp tuyến (C) ⇔  có nghiệm  f ( x ) = k ( x − x1 ) + y1 ( ) • (d2) vng góc với (d) (d1) có hệ số góc k = − Thế k từ (1) vào (2) giải tính x vào (1) tính k thay vào phương trình (1) Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) = x3 – 3x + biết tiếp tuyến qua A(2 ; –4 ) Cách : Gọi M(x0 ; y0) tiếp điểm Ta có y0 = x03 – 3x0 +2 f’(x0) = 3x02 – Phương trình tiếp tuyến (C) M y – (x03 – 3x0 + 2) = (3x02 – 3)( x – x0) ⇔ y = x − x − x0 + (1) ( ) Vỡ tiếp tuyến qua A(2)– 4) nên – = (3x02 – 3).2 – 2x03 + ⇔ x − x0 = ⇔ x = ∨ x = • x0 = phương trình tiếp tuyến y = – 3x + • x0 = phương trình tiếp tuyến y = 24x – 52 Cách : Gọi (d) đường thẳng qua A có hệ số góc k Phương trình (d) : y = k(x – 2) – (d) tiếp tuyến (C)  3x − = k (1) ⇔ có nghiệm  x − x + = k ( x − 2) − ( )  Sưu tầm & biên soạn: Vũ Đức Huy -1- TÀI LIỆU TỐN 12 Từ (1) (2) ta có x3 – 3x + = (3x2 – 3) (x – 2) – ⇔ x − x = ⇔ x = ∨ x = • x = ⇒ k = − Phương trình tiếp tuyến y = – 3x + • x = ⇒ k = 24 ⇒ phương trình tiếp tuyến y = 24x – 52 2) SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ (C1 ) : y = f(x) Bài toán tổng quát: Hãy xét tương giao hai hàm số :  (một hai đồ thị đường (C2 ) : y = g(x) thẳng) Phương pháp: + Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm hai hàm số cho: f(x) = g(x) (1) + Khảo sát số nghiệm phương trình (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2) 3) BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO ĐỒ THỊ a/ Dạng : Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình :f(x) = m (*) Phương pháp: Bước 1: Xem (*) phương trình hồnh độ giao hai đồ thị: Bước 2: Vẽ (C) ( ∆ ) lên hệ trục tọa độ Bước 3: Biện luận theo m số nghiệm ( ∆ ) (C).Từ suy số nghiệm phương trình (*) (C ) : y = f ( x) Minh họa: y m2 O m1 x y=m ∆ (0; m) b/ Dạng 2: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình: f(x) = g(m) (* *) (tt dạng 1) III) Một số toán ứng dụng đạo hàm 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cho hàm số f có đạo hàm khoảng (a,b) a)Nếu f’(x)>0 ;∀x∈(a,b) ⇒ y=f(x) đồng biến (a,b) b) Nếu f’(x) 0) x −1 =3 3) x ) 6) −3 x + x− x2 +4 1 4)   2 = 16 = 25 x2 −2 = −3 x 7) 3x.2x+1 = 1− x =2 9) 5x+1 + 5x – 5x-1 = 52 10) 3x+1 – 3x-1 – 3x = Đặt ẩn phụ Loại1: 1) 4x + 2x+1 – = 4) 16 x − 17.4 x + 16 = 11) 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1 2) 4x+1 – 2x+1 + = 5) 49 x + x+1 − = Loại 2: 1) 31+x + 31-x = 10 2) 5x-1 + 53 – x = 26 3) 34x+8 – 32x+5 + 27 = ( 6) + ( 3) + ) + ( + 3) x x ) + (2 − ) x x =6 =2 Loại 3: 1) 9x + 6x = 4x 2) 4x – 52x = 10x 3) 32x+4 + 45 6x – 9.22x+2 = 4) 25x + 10x = 22x+1 5) 6.4x − 13.6x + 6.9x = II PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT b Giải phương trình log a f ( x) = b ⇔ f ( x) = a (0 < a ≠ 1) 1) log2x(x + 1) = 2) log2x + log2(x + 1) = 3) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3) Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -8- TÀI LIỆU TOÁN 12 6) log2(2x+2 – 5) = 2x 4) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 7) log x − + log 3x − = 2.Đặt ẩn phụ : 1) log x − 3.log x + = 2) log x + log x = 3) log x + log x = 2log 2 ( x − 1) + log ( x – 1) = 5) log ( x − 3) + log x − = log x - log x = 2 7) log ( x + x) + log 3 9( x + x) III BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x) a) a > log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) > 6) b) < a < =7 a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x) log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ < f ( x) < g ( x) Giải bất phương trình 1) x +5 > 1 2) 27x < 3) 1   2 x −5 x + >4 4) x < 3x+1 + 5) 3x – 3-x+2 + > Giải bất phương trình 7) log (3 + 2) < x x 8) log ( x - x - 6) ≥ -3 9) log x − 3x + ≥ 2 x Trích số đề thi tốt nghiệp: TN – 2006 (PB) Giải PT: 22 x + − 9.2 x + = TN – 2007 (PB) Giải PT: log x + log x = TN – 2008 (PB) Giải PT: 32 x +1 − 9.3x + = TN THPT – 2009 Giải PT: 25 x − 6.5 x + = GDTX – 2009 Giải PT: log ( x + 1) = + log x TN_2010 Giải phương trình: log x − 14 log x + = GDTX_2010 Giải phương trình: x − 3x − = Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -9- 4) TÀI LIỆU TOÁN 12 Chuyên đề 3: NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN A NGUYÊN HÀM: 1) Nguyờn hàm hàm số cần nhớ : ( p, q ∈ ¡ ; p ≠ ) ∫ dx = x + C ( px + q ) ( px + q ) dx = ( α ≠ −1) ∫ p ( α + 1) xα +1 ∫ x dx = α + + C, ( α ≠ −1) α dx ∫ x = ln x + C , ( x ≠ ) ∫ e dx = e x x ∫ +C ax ∫ a dx = ln a + C x α +1 α dx = ln px + q + C px + q p px + q ∫ e dx = ( < a ≠ 1) ∫a px + q px + q e +C p a px + q dx = +C p.ln a ( < a ≠ 1) ∫ sin xdx = − cos x + C sin ( px + q ) dx = − cos ( px + q ) + C ∫ p ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos ( px + q ) dx = p sin ( px + q ) + C dx ∫ cos 2 x dx = tan x + C ∫ cos ( px + q ) = p tan ( px + q ) + C = − cot x + C ∫ sin ( px + q ) = − p cot ( px + q ) + C x dx ∫ sin dx B TÍCH PHÂN : b 1) Định nghĩa: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a b a = F ( b) − F ( a) 2) Tính chất: b a a TC1: a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx b a b TC2: b a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy ( k ≠ 0) -10- TÀI LIỆU TOÁN 12 Số phức biểu thức có dạng a + bi , a, b ∈ ¡ ; i = −1 Số phức z = a + bi có a phần thực, b phần ảo r Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M ( a; b ) hay u = ( a; b ) mặt phẳng tọa độ Oxy a = c b=d  uuuu r uuuu r 2 Modun số phức z = a + bi độ dài OM Vậy : z = OM = a + b Hai số phức : a + bi = c + di ⇔  Số phức liên hợp số phức z = a + bi số phức z = a − bi Chú ý : điểm biểu diễn z z đối xứng qua trục hoành Do z số thực z = z , z số ảo z = −z Mặt phếp toán tập số phức: a Phép cộng, trừ, nhân hai số phức : ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i ( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i ( a + bi ) ( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i Chú ý : i = i, i = −1, i = −i, i = Tổng quỏt : i ( 1+ i) 4n = 1, i n +1 = i, i n+ = −1, i n+3 = −i ; = 2i ; ( − i ) = −2i b Phép chia hai số phức : a + bi ( a + bi ) ( c − di ) ( a + bi ) ( c − di ) = = c + di ( c + di ) ( c − di ) c2 + d  z′  z′ ÷= z z c Mặt tính chất số phức liên hợp modun : z = z ; z + z′ = z + z′ ; zz′ = z.z′ ;  Phương trình bậc hai: a Căn bậc hai số phức: Số phức z bậc hai số phức : z = w Như để tính Số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) bậc hai số phức w = a + bi ta giải hệ phương  x2 − y2 = a trình hai ẩn x, y thực sau :   xy = b Chú ý : Số có bậc hai Số thực a > có hai bậc hai : ± a Số thực a < có hai bậc hai ±i a = ±i − a Đặc biệt , số −1 có hai bậc hai ±i b Phương trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai az + bz + c = ( a, b, c ∈ £ , a ≠ ) b 2a • Nếu ∆ = , phương trình có nghiệm kép z = − • Nếu ∆ > , phương trình có hai nghiệm phân biệt : z1,2 = Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy −b ± ∆ 2a -16- TÀI LIỆU TỐN 12 • Nếu ∆ < , phương trình có hai nghiệm : z1,2 = −b ± i ∆ 2a c Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai az + bz + c = ( a, b, c ∈ £ , a ≠ ) có hai nghiệm z1 , z2 thì: z1 + z2 = − b c z1 z2 = a a d Định lý đảo định lý Viet :Nếu hai số z1 , z2 có tổng z1 + z2 = S z1 z2 = P z1 , z2 nghiệm phương trình : z − Sz + P = BÀI TẬP Bài 1: Tính phần thực, phần ảo mụdum số phức z : ( ) a) z = − i ( + i ) b) z = (2+i)3 - (3-i)3 c) z = 1− i 1+ i d) z = − 3i − (1 + 3i ) −i (1 + i )(4 − 3i) 3−i + i + 3i b) + – 3i c) + − 2i + 2i −i 2+i 3 2 a) (1 − i 2) − (1 + i 2) b) (2 − i ) − (2 + i) c) (2 − 3i ) − (2 + 3i) Bài Giải phương trình tập số phức: a) x − x + = b) z + 27 z = c) 25 − z = d) x − x + = a) − x + x − = b) z − = c) x + = d ) − z + z + 15 = Bài Giải phương trình tập số phức: a) (1+i)z +(2+i)(1-3i) = 2-3i b) (−2 + 7i ) z = (14 − i ) + (1 − 2i) z c) z (2 − i ) + = 2iz (1 − i ) + 3i Bài 5: Tính hai số phức biết tổng tích chỳng : a) Tổng tích 7; b) Tổng -2 tích ; c) Tổng tích 3; Bài 6: Tính mặt số thực x, y thoả : a) x + − (1 − y )i = − x + (3 y + 1)i b) x − y + − ( x − y )i = c) x − + ( y − 2)i = y + + (2 x − 3)i d) x(1 − 3i ) + ( x + y )(1 + 2i )3 = 16 + 12i Bài 7: Trên mặt phẳng tọa độ, tính tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả điều kiện sau: a) z + 2i < b) 2i − z = z + c) z − 2i = z + d) z − i = h) z + (1 − 3i ) = z + − 2i Bài Thực mặt Phép tính: a) Bài 8: Tính số phức z, biết: a) z + z = − 4i b) z − 3z = − 12i c) z − z = + 3i f) z + z = + 4i Bài 9: Tính mặt bậc hai của: −27 ; −45 ; - 15; − ; − Trích số phức đề thi tốt nghiệp Giải phương trình 2x − 5x + = tập số phức TN THPT – 2006 Giải phương trình x − 4x + = tập số phức TN THPT – 2007 (lần 1) Giải phương trình x − 6x + 25 = tập số phức TN THPT – 2007 (lần 2) Tính giỏ trị biểu thức: P = (1 + 3i)2 + (1 − 3i) TN THPT – 2008 (lần 1) Giải phương trình x − 2x + = tập số phức TN THPT – 2008 (lần 2) Giải phương trình 8z − 4z + = tập số phức TN THPT – 2009 (CB) Giải phương trình 2z − iz + = tập số phức TN THPT – 2009 (NC) Giải phương trình 2z + 6z + = tập số phức TN THPT – 2010 (GDTX) Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -17- TÀI LIỆU TOÁN 12 Cho hai số phức: z1 = + 2i , z = − 3i Xỏc định phần thực phần ảo số phức z1 − 2z TN – 2010 (CB) 10 Cho hai số phức: z1 = + 5i , z = − 4i Xỏc định phần thực phần ảo số phức z1.z TN – 2010 (NC) Chuyên đề 5: KHỐI ĐA DIỆN – MẶT CẦU – MẶT TRỤ - MẶT NĨN I) Cơng thức tính thể tích b) Lăng trụ: V =Bh 1 c) Khối nún: V = Bh= π r2h 3 Sxq = π rl a) Khối chóp: V = Bh d) Khối trụ: V = Bh = π r 2h Sxq = 2π rl e) Khối cầu: V = π r , S = 4π r e) Khối lập phương: V = a3 f) Khối hộp chữ nhật: V = abc II) Một số kiến thức cân nhớ Các hệ thức lượng tam giác: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c a) Định lý cosin: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB; ⇒ Hệ quả: + cosA = + ma = b2 + c2 − a2 2bc 2(b + c ) − a cosB = mb = c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC a2 + c2 − b2 2ac cosC = 2(a + c ) − b mc2 = a2 + b2 − c2 2ab 2(a + b ) − c b) Định lý sin: a b c = = = 2R (Với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ) sin A sin B sin C Một số cơng thức tính diện tích tam giác: 1 aha = bhb = chc 2 1 • S = ab.sinC = bc.sinA = ac.sinB 2 abc • S= ; S = pr; S = p ( p − a )( p − b)( p − c) Với p = (a + b + c) 4R • S= Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho ∆ABC vuông A ta có : a) Định lý Pitago : a = b + c b) b = ab '; c = ac ' c) ah = bc Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy A b c B M H a -18- C TÀI LIỆU TOÁN 12 d) 1 = 2+ 2 h b c e) h = b '.c ' Diện tích số hình khác a) Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh b) Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng (chộo dài x chộo ngắn) d) Diện tích hình thang : S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao c) Diện tích hình thoi : S = e) Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f) Diện tích hình trịn : S = π R Một số hình khơng gian thường gặp: a) Hình chóp:  Hình 1: Dựng cho mặt loại hình chóp tam giác (tứ diện): Có cạnh bên vng góc với đáy có ba cạnh vng góc với qua đỉnh  Hình 2: Dựng cho mặt loại hình chóp tam giác tứ diện  Hình 3: Dựng cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) có đáy ABCD hình bình hành, hình thoi, hình vng, hình chữ nhật (Tâm mặt cầu ngoại tiếp trung điểm SC)  Hình 4: : Dựng cho hình chóp S ABCD có SO ⊥ ( ABCD ) có đáy ABCD hình bình hành, hình thoi, hình vng, hình chữ nhật (Tâm mặt cầu ngoại tiếp nằm đường thẳng SO) b) Hình lăng trụ – Hình hộp : Lăng trụ Tam giỏc Lăng trụ đứng tam giỏc Hình hộp chữ nhật Hình lập phương c) Hình cầu – Hình trụ – Hình nón: Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -19- TÀI LIỆU TOÁN 12 Cụng thức tính diện tích – thể tích: Khối lăng trụ: V = B.h Khối lập phương: V = a Khối chóp: V = B.h Khối hộp chữ nhật: V = a.b.c Khối trụ: V = π r h , S xq = 2π rl Khối nún: V = π r h , S xq = π rl Khối cầu: V = π r , S = 4π r 3 VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Tính thể tích khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc Với đáy (ABC), SA = a ; tam giác ABC vuông B, BC = a, AC = 2a Giải: 1 Ta tích V = B.h = S ∆ABC SA , mà SA = a Trong tam giác ABC vng 3 B, ta có: AB = AC − BC = 4a − a = a 1 Nờn S ∆ABC = AB.BC = a 3.a = a (đvdt) 2 1 a Vậy: V = a 3.a = (đvtt) Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a Giải: 1 Gọi H trọng tâm tam giác ABC Khi đó: SH ⊥ ( ABC ) nờn V = B.h = S∆ABC SH 3 1 a Mà S ∆ABC = AB.BC sin B = a.a.sin 600 = (đvdt) 2 2 2 a2 a Lại có: AH = AI = AB − BI = a − = 3 Trong tam giác SAH vuông H có a a 33 SH = SA2 − AH = 4a − = 3 1 a a 33 a 11 Vậy V = S ∆ABC SH = (đvtt) = 4 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , mặt bên (SAB) vng góc Với mặt đáy (ABC) mặt SAB tam giác vuông cân S Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Giải: Ta có: ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB Từ S dựng đường thẳng vng góc Với AB cắt Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -20- TÀI LIỆU TOÁN 12 AB I, nờn SI ⊥ ( ABC ) mà ∆SAB vuông cân S nên I trung điểm AB a 1 ⇒ SI = AB = Khi thể tích V = B.h = S∆ABC SI 2 3 a a a a3 Mà S ∆ABC = AB AC.sin A = (đvdt) Vậy V = (đvtt) = 4 24 BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Bài 1: a) (TN THPT 09) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc Với mặt phẳng đáy, mặt bên SBC tam giác · cạnh a , biết ASB = 1200 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a b) (TN THPT 08L2) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc Với mặt phẳng đáy, đáy ABC tam giác vuông B, biết AB = a, BC = a SA = 3a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a c) (TN THPT 07L1) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc Với mặt phẳng đáy, đáy ABC tam vuông B, biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a d) (TN THPT 07L2) Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc Với mặt phẳng đáy, đáy ABCD hình vng cạnh a SA = AC Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Bài 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, cạnh bên SA vng góc Với mặt đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chop S ABC theo a Bài 3: Cho hình chop S ABCD có mặt bên SBC tam giác cạnh a Cạnh bên SA vng góc Với mặt · phẳng đáy Biết góc BAC =1200 Hãy tính thể tích khối chop S ABC theo a Bài 4: Cho hình chop S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc Với mặt đáy, góc mặt phẳng ( SBD ) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Bài 5: Cho hình chop S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA= a vng góc Với mặt đáy, góc SB mặt đáy 450 tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Bài 6: Cho hình chop tứ giác có tất có tất cạnh a tính thể tích khối chop S ABCD theo a Bài 7: Cho hình chop S ABCD có đáy hình thoi tâm 0, SAC Là tam giác cạnh a SB = SD = a Tính thể tích khối chop S ABC Bài 8: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy tam giác cân A Hai mặt bên ( SAB ) ( SAC ) vng góc Với mặt đáy Gọi I trung điểm canh BC Biết BC = a , SA = a góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) 300 Tính thể tích khối chop S ABC theo a · Bài 9: Cho khối chop S ABC có đáy tam giác cạnh a , tam giác SAC cân S có SAC = 600 , ( SAC ) ⊥ ( ABC ) Tính thể tích khối chop S ABC theo a Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp Với đáy góc 600 Gọi (C) đường trịn ngoại tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nón có đỉnh S đáy (C) Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' có AC = a, BC = 2a, · ACB = 600 tam giác ABB ' cân B Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a Giải: Ta tích V = B.h = S ∆ABC BB ' a2 (đvdt) AC.BC sin C = 2 Vỡ ∆ABB ' vuông cân B nờn AB = BB ' Trong ∆ABC có AB = AC + BC − AC BC.cos C = 3a ⇒ AB = a Mà S ∆ABC = Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -21- TÀI LIỆU TOÁN 12 a2 3a (đvtt) a = 2 Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có hình chiếu vng góc đỉnh A ' lên đáy (ABC) trùng Với trung điểm i AB, đáy ABC tam giác cạnh a , góc cạnh bên AA ' Với đáy 300 Tính thể tích khối lăng trụ đa cho theo a Vậy V = S∆ABC BB ' = Giải: a Ta tích V = B.h = S ∆ABC A ' I Mà S ∆ABC = AC.BC.sin C = (đvdt) Góc AA ' Với đáy góc AA ' Với AI (Vỡ AH hình chiếu AA ' lên đáy (ABC)) Nên · ' AI = 300 A Trong tam giác vng tại, ta có: AA ' I a A' I a Vậy V = S∆ABC A ' I = (đvtt) tan A = ⇒ A ' I = tan 300 AB = AI BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A′B′C′D′ có cạnh đáy a, chiều cao 2a Biết O′ tâm A′B′C′D′ (C) đường trịn nội tiếp đáy ABCD Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ đáy (C) Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có cạnh đáy a chiều cao 2a Biết O′ tâm A′B′C′ (C) đường trịn nội tiếp đáy ABC Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ đáy (C) Bài 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy a , A ' B tạo Với đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ theo a Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Biết mặt phẳng ( A ' BC ) tạo Với đáy góc 300 tam giác A ' BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Bài 5: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc A ' lờn mặt phẳng ( ABC ) trung Với trung điểm M BC Góc hợp AA ' mặt đáy 300 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' theo a Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng cân C, cho A ' C = a , góc hợp ( A ' BC ) mặt phẳng đáy α Tính α để lăng trụ ABC A ' B ' C ' tích lớn Ví dụ 6: Cho hình nún đỉnh S, đường trịn đáy tâm O, bán kính r = a góc đỉnh hình nún 600 Tính diện tích xung quanh thể tích hình nún Giải: Ta có S xq = π rl = π a.SA Trong tam giác ASO vuông O ta có: AO sin S = ⇒ SA = 2a Nờn S xq = π r.l = 2π a Mà SO = SA2 − AO = 4a − a = a SA 1 a3 Vậy thể tích V = π r h = π r SO = (đvtt) 3 BÀI TẬP THỂ TÍCH – DIỆN TÍCH CỦA KHỐI NÓN Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -22- TÀI LIỆU TỐN 12 Bài 1: Trong khơng gian cho tam giác OIM vng I, góc IOM 30 cạnh IM = a Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình nún trịn xoay a) Tính diện tích xung quanh hình nún trịn xoay tạo thành b) Tính thể tích khối nún trịn xoay tạo thành Bài 2: Thiết diện qua trục hình nún tam giác vng cân có cạnh góc vng a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nún b) Tính thể tích khối nón tương ứng c) Một thiết diện qua đỉnh tạo Với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện Bài 3: Cho hình nún đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ điểm O đến AB a ·SAO   300 , ·SAB=6 00 Tính độ dài đường sinh hình nún theo a = Bài 4: Thiết diện qua trục khối nún tam giác vng cân có cạnh huyền a Tính thể tích khối nún diện tích xung quanh hình nún cho Bài 5: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh hình nún có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng A’B’C’D’ Bài 6: Cắt hình nún mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình thể tích khối nún Ví dụ 7: Cho hình trụ có bán kính đáy a khoảng cách hai đáy a Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ cho theo a Giải: Gọi hình trụ có tâm hai đáy O, O ' (như hình bên) Theo giả thiết ta có OO ' = a Khi diện tích xung quanh: S xq = 2π rl = 2π rAB = 2π r.OO ' = 2π a (đvdt) Thể tích khối trụ là: V = π r h = π a OO ' = π a 3 (đvtt) BÀI TẬP THỂ TÍCH – DIỆN TÍCH KHỐI TRỤ Bài 1: Cho hình trụ có mặt đáy hai hình trịn tâm O O′, bán kính đáy cm Trên đường trịn đáy tâm O lấy hai điểm A, B cho AB = cm Biết thể tích tứ diện OO′AB cm3 Tính chiều cao hình trụ thể tích khối trụ Bài 2: Cho hình trụ có mặt đáy hai hình trịn tâm O O′, bán kính đáy cm Trên đường trịn đáy tâm O lấy điểm A cho AO′ hợp Với mặt phẳng đáy góc 600 Tính chiều cao hình trụ thể tích khối trụ Bài 3: Cho hình trụ có mặt đáy hai hình trịn tâm O O′, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO′AB Bài 4: Một khối trụ có chiều cao 20 cm có bán kính đáy 10 cm Người ta kẻ hai bán kính OA O’B’ hai đáy cho chúng hợp Với góc 30 Cắt khối trụ mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ song song Với trục OO’ khối trụ Hãy tính diện tích thiết diện Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách hai đáy h = 56 cm Một thiết diện song song Với trục hình vng Tính khoảng Cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện Bài 6: Trong không gian cho hình vng ABCD cạnh a Gọi I H trung điểm cạnh AB CD Khi quay hình vng xung quanh trục IH ta hình trụ trịn xoay a) Tính diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay tạo nên b) Tính thể tích khối trụ trịn xoay tạo nên hình trụ trịn xoay Bài 7: Cho hình trụ có bán kính r chiều cao h = r Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -23- TÀI LIỆU TOÁN 12 a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nờn hình trụ cho Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy R đường cao R ; A B hai điểm hai đường trịn đáy cho góc hợp AB trục hình trụ 300 a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính khoảng Cách AB trục hình trụ Bài 9: Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5cm khoảng cách hai mặt đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ giới hạn hình trụ b) Cắt khối trụ mặt phẳng song song Với trục hình trụ Cách trục 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, SA = 2a, AC = a SA vng góc Với mặt phẳng đáy a) Chứng minh trung điểm I SC tâm mặt cầu (S) qua đỉnh hình chóp b) Xác định tâm bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu (S) Với mặt phẳng (ABC) Giải: a) Ta có tam giác SAC SBC vuông A B nên AI = BI = SC = IS = IC Do I cách đỉnh S, A, B, C Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bán kính 1 a R = SC = SA2 + AC = 2 b) Đường tròn giao tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Do ABC tam giác vuông B nên tâm trung điểm AC bán a kính r = AC = 2 BÀI TẬP THỂ TÍCH MẶT CẦU Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ,cạnh bên SA vng góc Với mặt đáy, cạnh bên SB a a) Tính thể tích khối chop S ABCD theo a b) Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a , AD = 2a Hai mặt bên ( SAB ) ( SAD ) vng góc Với mặt đáy , SAD tam giac vng cân a) Tính thể tích khối chóp S ABCD b) Tính tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Bài 3: Cho hình chóp S ABC có M trung điểm cạnh AB , AM=a tính thể tích khối chop S ABC theo a biết SA = a Bài 4: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a a) Tính thể tích khối chop S ABC b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Bài 5: Cho hình chop S ABCD có đáy hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc Với mặt đáy, cạnh bên SC tạo Với mặt đáy góc 600 a) Tính thể tích khối chop S BCD theo a b) Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chop S ABCD Tính diện tích mặt cầu Bài 6: Cho hình chóp S ABC có SA, AB, BC vng góc Với đơi Biết SA = a, AB = BC = a Tính thể tích khối chóp tính tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -24- TÀI LIỆU TOÁN 12 Chuyên đề 6: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN I – PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Bài tốn 1: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có véc tơ pháp tuyến cho trước r Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua điểm M(1; -2; 3) có véc tơ pháp tuyến n = (3;1; −2) Bài tốn 2: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm song song Với mặt phẳng cho trước Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M(2; 1; 1) song song Với mặt phẳng (P): x + 2y – Z + = Bài tốn 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm vng góc Với đường thẳng cho trước a) Đi qua M (2;1;3) vng góc Với AB Với A = (1;-2;2), B = (0;- 4;4) b) Mặt phẳng trung trực đoạn AB Với A = (2;-1;3) B = (0;3;-1) x y −1 z + = = c) Vng góc Với d : cách điểm A(2;1;3) khoảng 2 −1 Bài tốn 4: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm điểm không thẳng hàng cho trước Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(1;2;3), B(-2;1;1), C(-1;-3;-4) Bài tốn 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d điểm M không nằm d x − y +1 z + = = Viết phương trình mặt phẳng qua M(-2;3;1) chứa đường thẳng d: −2 Bài toán 6: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt x −1 y + z +1 x −1 y + z + = = = = Viết phương trình mặt phẳng chỳa hai đường Chứa d: d’: Bài toán 7: Viết phương trình mặt phẳng chỳa hai đường song song Với x = 1+ t  x = + 2t '   Cho hai đường thẳng: d :  y = + t d ' :  y = −1 + 2t ' z = − t  z = − 2t '   a) Chứng minh d song song Với d’ b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d d’ Bài tốn 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm song song Với hai đường thẳng cho trước x = 1+ t x − 15 y + z + 13  = = Đi qua M(10;8;-3) song song Với đường d:  y = −3 + 5t d’ :  z = −1 + 2t  Bài toán 9: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng song song Với đường thẳng x −1 y + z +1 x −8 y + z + = = = = a) Cho d: d’: Viết PT mp(P) chứa d song song Với d’ −1 b) Cho A(- 2;- 3;- 2), B(- 8;- 5;- 7) ,C(3;- 4;- 1) D(0;- 6;- 3) Viết PT mp(P) chứa AB song song Với CD Bài tốn 10: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc Với mặt phẳng x −8 y + z + = = a) Chứa đường d : vuông góc Với mặt (P) : 7x + y - 6z -10 = 12 −11 −16 b) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(0;1;0) B(1;2;-2) vng góc Với (Q): 2x-y+3z+13=0 Bài tốn 11: Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm, song song vói đường thẳng vng góc Với mặt phẳng cho trước Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -25- TÀI LIỆU TOÁN 12  x = + 3t  Viết phương trình mặt phẳng qua A(2;1;1) song song Với đường thẳng d :  y = −2 − t vng góc Với mặt  z = −1 + 2t  phẳng (P): 2x + y – z + = Bài toán 12: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm vng góc Với hai mặt phẳng cắt Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;-1;2) vng góc Với mặt phẳng (Q) : x − z + = 0; (R ):2x+y-z+1=0 Bài tốn 13: Viết phương trình mặt phẳng cách mặt phẳng khác: Lập PT mặt phẳng cách mặt: (P) : x + 2y +3z - 14 = (Q) : x + 2y +3z + = Bài toán 14: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc Với mặt cầu điểm Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc Với mặt cầu : (x - 2) + y2 + (z - 3)2 = điểm A(3;2; 1) Bài tốn 15: Viết phương trình mặt phẳng vng góc Với đường thẳng tiếp xúc Với mặt cầu: x −1 y − z = = Viết phương trình mặt phẳng vng góc Với đường thẳng d: tiếp xúc Với mặt cầu (S) có −1 −2 phương trình: ( x − 1) + ( y + 3) + z = II – PHƯƠNG TRÌNH MặT CẦU Bài 1: Xác định tọa độ tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau đây: a) x + y + z − x + y + = b) x + y + z + x + y − z − = c) x + y + z − z − = d) ( x − 1) + ( y + 3) + z = Bài 2: Viết phương trình mặt cầu mặt trường hợp sau: 1) Tâm I(2;1;-1), bán kính R = 2) Đi qua điểm A(2;1;-3) tâm I(3;-2;-1) 3) Đường kính AB Với A(-1;2;3), B(3;2;-7) 4) Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1) 5) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) tâm I thuộc 0y 6) Đi qua điểm A(1;0;0), B(2;3;0), C(1;3;2) có tâm thuộc mặt phẳng Oxy 7) Đi qua điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) có tâm nằm mặt phẳng (P) : x + y + z – = 8) Tâm I(1;2;3) tiếp xúc Với mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – = III – VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU Bài 1: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : (x – 3) + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 mặt phẳng (P) có phương trình: 2x – 2y – z +9 = a) Chứng minh : (P) (S) cắt b) Xác định tâm bán kính đường trịn giao tuyến của (P) (S) Bài 2: Xét vị trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S) trường hợp sau: a) (P): x + 2y + 2z +18 = (S): ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − ) = 36 b) (P): x + 2y + 2z +13 = (S): ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − ) = 36 IV – VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau: r 1) Đi qua điểm M(1;0;1) nhận a (3; 2;3) làm véc tơ phương 2) Đi qua điểm A(1;0;-1) B(2;-1;3) 3) Đi qua A(2; -1; 3) vng góc mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + =  x = −t  4) Đi qua điểm M(2;3;-5) song song Với đường thẳng d :  y = + 2t  z = + 2t  Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -26- TÀI LIỆU TOÁN 12  x = + 3t x−2 y z +3  = = ; ∆ :  y = − t Viết phương trình đường thẳng 5) Cho M(2;3;-1) đường thẳng ∆1 : −3  z = + 5t  d qua M vng góc Với ∆1 & ∆  x = + 2t x = + t '   6) Cho ∆ :  y = + t ∆ :  y = −3 + 2t ' Chứng minh ∆ ∆ chéo Viết phương trình đường  z = −3 + 3t  z = + 3t '   thẳng d đường vng góc chung ∆ ∆ Bài 2: Trong không gian Oxyz cho M(1;0;2) đường thẳng ∆ : x + y − z −1 = = −2 a) Tính tọa độ điểm H hình chiếu M ∆ b) Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ c) Tính tọa độ điểm M’ đối xứng Với M qua ∆ Bài 3: Tính tọa độ điểm H hình chiếu M(1;0;2) mặt phẳng (P): x + 2y + 2z +18 = Từ suy tọa độ điểm M’ đối xứng Với M qua mặt phẳng (α ) Bài 4: Xét vị trí tương đối đường thẳng sau:  x = + 2t  x = + 2t x = + t ' x − y −1 z −1    = = a) ( d1 ) : ( d ) :  y = t + b) (d1) :  y = + t (d2) :  y = −3 + 2t '  z = −1 + 3t  z = −3 + 3t  z = + 3t '    x = 1+ t  x = + 2t '   c) d1 :  y = + t d :  y = −1 + 2t ' z = − t  z = − 2t '   Bài 5: Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) mặt phẳng (P), tính tọa độ giao điểm (nếu có)  x = −1 + 2t x = 1+ t   a) d :  y = t (P): x + 2y – z + = b) d :  y = − t (P): x + 3y + z + =  z = + 2t  z = 4+t   x = 1+ t  c) d :  y = + 2t (P): x + y + z – =  z = − 3t  B – BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4) Chứng minh tam giác ABC vuông Viết phương trình tham số đương thẳng AB Gọi M điểm cho MB = −2 MC Viết phương trình mặt phẳng qua M vng góc Với đường thẳng BC (Đề thi tốt nghiệp 2006) Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) mặt phẳng (α ) có phương trình x + 2y – 2z + = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm gốc tọa độ O tiếp xúc mặt phẳng (α ) Viết phương trình tham số đường thẳng ( ∆ ) qua điểm E vng góc mặt phẳng (α ) (TN 2007 Lần 1) Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -27- TÀI LIỆU TỐN 12 Bài 3: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) đường thẳng (d) có phương trình  x = + 2t   y = −3 + t z = − t  Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc Với đường thẳng (d) Viết phương trình tham số đương thẳng qua hai điểm M N (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 2) Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC Với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) C(2; 2; -1) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc Với đường thẳng BC Tính tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành.(Đề thi tốt nghiệp 2008) Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S): ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − ) = 36 (P): x + 2y + 2z +18 = 2 Xác định tọa độ tâm T bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đương thẳng d qua T vng góc Với (P) Tính tọa độ giao điểm d (P) (Đề thi tốt nghiệp 2009) Bài 6: Trong không gian Với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) C(0; 0; 3) Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc Với đường thẳng BC Tính tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC (Đề thi tốt nghiệp 2010) Bài 7:Trong không gian Với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) đường thẳng (d) có phương  x = + 2t  trình  y = −3 + t z = − t  Viết phương trình mp(P) qua điểm M vng góc Với đường thẳng (d) Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm hai điểm M N BàI 8: Trong không gian Với hệ tọa độ Oxyz cho M(2,-2,0) , N(-4;4;2) mặt phẳng (P) có phương trình 6Y+8Z+1=0 1.Viết phương trình tham số đường thằng d qua hai điềm M N 2.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm M nhận mặt phẳng (P) mặt phẳng tiếp diện BàI 9: Trong không gian Với hệ trục Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;-1;3), C(3;1;4) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua ba điểm A,B,C Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A có đường kính  x = + 2t  BàI 10: Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 2; −1; ) đường thẳng d:  y = −1 − t  z = + 3t  Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A vng góc Với d Tính tọa độ điểm A’ đối xứng Với điểm A qua đường thẳng d BàI 11: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( ; -1 ; 1), B( 0;2 ;- 3) C( -1 ; ;0) Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng Viết phương trình mặt phẳng(ABC) Viết phương trình tham số đường thẳng BC BàI 12: Trong không gian Oxyz cho điểm A( ; -3 ; -1), B( -2; ; 3) Viết phương trình đường thẳng AB Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ vng góc AB BàI 13: Trong không gian Oxyz, cho A(2 ;-3;1) mặt phẳng (Q) :x+ 3y - z + = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua A vng góc Với (Q) Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -28- TÀI LIỆU TỐN 12 Tính tọa độ H hình chiếu A (Q).Suy tọa độ A' đối xứng A qua (Q) BàI 14: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3;2;0 ) , B ( 0;2;1) , C ( −1;1;2 ) , D(3; −2; −2) Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) Suy DABC tứ diện Viết phương trình mặt cầu ( S ) tâm D tiếp xúc Với mặt phẳng ( ABC ) BàI 15: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M song song Với mặt phẳng x − y + z − = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) tiếp xúc Với mặt phẳng ( α )  x = + 2t  BàI 16: Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 2; −1; ) đường thẳng d:  y = −1 − t  z = + 3t  Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A vuông góc Với d Tính tọa độ điểm A’ đối xứng Với điểm A qua đường thẳng d x +1 y + z + = = BàI 17:Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : điểm A(3;2;0) 2 Tính tọa độ hình chiếu vng góc H A lên (d) Tính tọa độ điểm B đối xứng Với A qua đường thẳng d  x = −2 + 4t  BàI 18: Trong không gian Oxyz cho: (α) : 2x + y + z – = đường thẳng ∆ :  y = + t ( t tham số)  z = 3t  Tính giao điểm I ∆ Và (α) Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc Với (α) Sưu tầm biên soạn: Vũ Đức Huy -29- ... + - m = Sưu tầm & biên soạn: Vũ Đức Huy -6- TÀI LIỆU TOÁN 12 Chuyên đề 2: MŨ VÀ LOGARIT STT STT CÔNG THỨC MŨ CÔNG THỨC LOGARIT an = a.a a 123 log a = a1 = a ∀a log a a = a0 = log a aM = M a−... ( ) = n b b 12 log a N = M 12 dn ⇔ N1 ) = log a N1 − log a N N2 log a N log a b log a b = log b a log k N = log a N a k aM = N 1) Các công thức: Một số định lý quan trọng: STT CÔNG THỨC ⇔ M=N... Một số công thức lượng giác thường dùng: a Công thức nhân đôi: sin 2α = sin α cos α ; cos 2α = cos2 α − sin α = cos2 α − = − 2sin α + cos 2α − cos 2α − cos 2α ; sin α = ; tan α = b Công thức hạ