Bat Dang Thuc Trong Ky Thi HSG THPT-2008-VIF

15 422 2
  • Loading ...
1/15 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 28/04/2015, 04:00

This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 1 DIEN DAN BAT DANG THUC VIET NAM The VietNam Inequality Mathematic F The VietNam Inequality Mathematic FThe VietNam Inequality Mathematic F The VietNam Inequality Mathematic Forum orumorum orum - - VIMF VIMF VIMF VIMF - - www.ddbdt.co.cc څڅڅڅڅ Ebook Written by: VIMF VIMFVIMF VIMF Community Bai Viet Nay (cung voi file PDF di kem) duoc tao ra vi muc dich giao duc. Khong duoc su dung ban EBOOK nay duoi bat ky muc dich thuong mai nao, tru khi duoc su dong y cua tac gia. Moi chi tiet xin lien he: http://www.ddbdt.co.cc. Contributors Of The Book څ Editor. Nguyen Dinh Thi (VIMF) Admin, VIMF Forum, Student. څ Editor. Luong Quang Trung (trungdeptrai) Moderator, VIMF Forum, Student. څ Editor. Ta Minh Hoang (minhhoang) Moderator, VIMF Forum, Student. څ Editor. Nguyen Duc Toan (Toanlc_gift) Moderator, VIMF Forum, Student. څ Editor. Vu Thanh Tung(vuthanhtung) Moderator, VIMF Forum, Student. And thanks all members of VIMF. Các ñề thi This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 2 C CC CÁC C C C ðỀ THI THITHI THI H HH HỌC SINH GI C SINH GIC SINH GI C SINH GIỎI VI I VII VI I VIỆT NAM 2008 T NAM 2008T NAM 2008 T NAM 2008 BÀI TOÁN 1. Cho các số không âm phân biệt ܽ,ܾ,ܿ. Chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 11 5 5 2 a b c a b b c c a   +   + + + + ≥   − − −   BÀ RỊA VŨNG TÀU BÀI TOÁN 2. Cho hình hộp chữ nhật với kích thước 3 cạnh là ܽ,ܾ,ܿ và ñộ dài ñường chéo là √ 3. Chứng minh ෍ ܽ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൒ 3 2 HÀ NỘI BÀI TOÁN 3. Cho các số không âm ݔ,ݕ,ݖ sao cho ݔ ଶ ൅ ݕ ଶ ൅ ݖ ଶ ൌ1. Tìm min và max của ܲൌ ݔ 1 ൅ ݕݖ ൅ ݕ 1 ൅ ݖݔ ൅ ݖ 1 ൅ ݔݕ HÀ NỘI BÀI TOÁN 4. Cho các số thực dương ݔ,ݕ,ݖ. Tìm giá trị nhỏ nhất của ݔ ଻ ݖ ݔ ହ ݕ ଶ ݖ ൅2ݕ ଺ ൅ ݕ ଻ ݖ ଺ ݕ ହ ݖ ସ ൅ 2ݔ ൅ 1 ݖ ଶ ݔ ଶ ൅ 2ݔ ଺ ݕݖ ଻ HÀ NỘI BÀI TOÁN 5. Cho các số thực a,b,c. chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c ab bc ca + + + ≥ + + − TP. HỒ CHÍ MINH BÀI TOÁN 6. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ thỏa mãn 1 1 1 a b c a b c + + ≥ + + . Chứng minh ܽ൅ ܾ ൅ ܿ൒ 3 ܽ൅ܾ ൅ ܿ ൅ 2 ܾܽܿ TP. HỒ CHÍ MINH BÀI TOÁN 7. Cho các số dương ܽ,ܾ,ܿ. Chứng minh ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ܾܽ൅ܾܿ ൅ ܿܽ ൅ 8ܾܽܿ ሺ ܽ൅ ܾ ሻሺ ܾ൅ ܿ ሻሺ ܿ൅ ܽ ሻ ൒2 TP. HỒ CHÍ MINH BÀI TOÁN 8. Cho các số thực dương ݔ,ݕ,ݖ thõa ݔ൅ ݕ ൅ ݖ൅ 1ൌ4ݔݕݖ. Chứng minh xy yz zx x y z + + ≥ + + NGHỆ AN BÀI TOÁN 9. Cho các số dương ܽ,ܾ,ܿ. chứng minh bất ñẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b c b c a c a b − − − − − − + + ≥ + + + + + + THANH HÓA BÀI TOÁN 10. Cho các s ố d ươ ng ܽ ଵ ,ܽ ଶ ,…,ܽ ௡ th ỏ a mãn ܽ ଵ ܽ ଶ …ܽ ௡ ൌ1 . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2( ) n n a a a a a a + + + +…+ + ≤ + +…+ BÌNH PHƯỚC BÀI TOÁN 11. Cho các s ố th ự c d ươ ng ܽ,ܾ,ܿ . Ch ứ ng minh r ằ ng ܽ ଷ ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܾ ଷ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൅ ܿ ଷ ܿ ଶ ൅ ܽ ଶ ൒ ܽ൅ ܾ ൅ ܿ 2 BÌNH PHƯỚC BÀI TOÁN 12. Cho ܽ,ܾ,ܿ൐0 . Ch ứ ng minh ቀ1 ൅ ܽ ܾ ቁ൬1൅ ܾ ܿ ൰ቀ1 ൅ ܿ ܽ ቁ൒2൬1 ൅ ܽ൅ ܾ ൅ ܿ √ ܾܽܿ య ൰ BÌNH PHƯỚC Các ñề thi This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 3 BÀI TOÁN 13. Chứng minh x ∀ ∈ ℝ thì 2 3 1 2! 3! x x x e x ≥ + + + HẢI DƯƠNG BÀI TOÁN 14. Cho ݔ,ݕ,ݖ là các số dương sao cho 9 5, 8 x y z x x y + + =   ≥ + ≥  . Ch ứ ng minh r ằ ng 15 xyz ≤ HẢI DƯƠNG BÀI TOÁN 15. Cho các s ố d ươ ng ܽ,ܾ,ܿ . tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a 3 3 3 bc ca ab P a bc b ca c ca = + + + + + HUẾ BÀI TOÁN 16. Cho các s ố không âm ݔ,ݕ,ݖ sao cho ݔ൅ ݕ ൅ ݖൌ1 . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a 1 1 1 1 1 1 x y z P x y z − − − = + + + + + HÀ TĨNH BÀI TOÁN 17. Cho các s ố th ự c d ươ ng ܽ,ܾ,ܿ th ỏ a mãn ܽ൅ ܾ ൅ ܿൌ1 . Ch ứ ng minh r ằ ng ඨ ܾܽ ܿ൅ ܾܽ ൅ ඨ ܾܿ ܽ ൅ܾܿ ൅ ට ܿܽ ܾ ൅ܿܽ ൑ 3 2 NAM ðỊNH BÀI TOÁN 18. Cho t ứ giác l ồ i ABCD có ܣܤൌܽ;ܤܥൌܾ;ܥܦൌܿ;ܦܣൌ݀ . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 2 13 6 2 4 2 a b c d S + − + ≥ NAM ðỊNH BÀI TOÁN 19. Cho các s ố d ươ ng ܽ,ܾ,ܿ sao cho ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൌ 3 . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a 2 2 2 3 3 3 2 2 2 a b c P a b b c c a = + + + + + ðỒNG THÁP BÀI TOÁN 20. Cho các s ố th ự c ݔ,ݕ,ݖ th ỏ a 1 2 3 6 11 27 54 x y z y z x z ≥ ≥ ≥   + ≥   + ≥  . Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a 2 2 2 1 2008 2009 ( , , )P x y z x y z = + + ðỒNG THÁP BÀI TOÁN 21. Cho ܣ,ܤ,ܥ là 3 góc c ủ a m ộ t tam giác. Ch ứ ng minh r ằ ng ൬1 ൅ cos ଶ ܣ 2 ൰൬1 ൅ cos ଶ ܤ 2 ൰൬1 ൅ cos ଶ ܥ 2 ൰൏ቆ1 ൅ √ 3 4 ቇ ଷ √ ଷ BÌNH ðỊNH BÀI TOÁN 22. Cho 0 a b c d bc ad < ≤ ≤ ≤   ≤  . Ch ứ ng minh r ằ ng ܽ ௕ ܾ ௖ ܿ ௗ ݀ ௔ ൒ܽ ௗ ݀ ௖ ܿ ௕ ܾ ௔ THÀI BÌNH BÀI TOÁN 23. Cho 3 s ố thay ñổ i ݔ,ݕ,ݖ th ỏ a mãn 2 3 3 x y z x y x y z ≥ ≥ ≥   + ≤   + + ≤  . Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a t ổ ng ܵൌ2 ௫ ൅ 2 ௬ ൅ 2 ௭ BẮC NINH BÀI TOÁN 24. Cho ܽ ,ܾ,ܿ là các s ố th ự c d ươ ng sao cho ܾܽܿൌ1 . Ch ứ ng minh r ằ ng Các ñề thi This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 4 ܾܽ ܽ ହ ൅ ܾ ହ ൅ ܾܽ ൅ ܾܿ ܾ ହ ൅ ܿ ହ ൅ ܾܿ ൅ ܿܽ ܿ ହ ൅ ܽ ହ ൅ ܿܽ ൑1 PHÚ YÊN BÀI TOÁN 25. Cho các số thực thay ñổi thỏa mãn ሺ ݔ൅ ݕ ሻ ܿെ ሺ ܽ൅ ܾ ሻ ݖൌ √ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của ܨൌܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൅ ݔ ଶ ൅ ݕ ଶ ൅ ݖ ଶ ൅ ܽݔ൅ ܾݕ ൅ ܿݖ NGHỆ AN Các lời giải This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 5 C CC CÁC L C LC L C LỜI GI I GII GI I GIẢI II I BÀI TOÁN 1. Cho các số không âm phân biệt ܽ,ܾ,ܿ. chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 11 5 5 2 a b c a b b c c a   +   + + + + ≥   − − −   BÀ RỊA VŨNG TÀU LỜI GIẢI (VIMF). Không mất tính tổng quát, giả sử ܿൌ݉݅݊ ሼܽ,ܾ,ܿሽ. Khi ñó ܽ൒ܽെ ܿ൒0,ܾ൒ܾെ ܿ൒0. Do ñó ሺ ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ሻ ൬ 1 ሺ ܽെ ܾ ሻ ଶ ൅ 1 ሺ ܾെ ܿ ሻ ଶ ൅ 1 ሺ ܿെ ܽ ሻ ଶ ൰൒ ሺ ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ሻ ൬ 1 ሺ ܽെ ܾ ሻ ଶ ൅ 1 ܽ ଶ ൅ 1 ܾ ଶ ൰ Bây giờ ta có ሺ ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ሻ ൬ 1 ሺ ܽെ ܾ ሻ ଶ ൅ 1 ܽ ଶ ൅ 1 ܾ ଶ ൰ൌ ሺ ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ሻ ଶ ܽ ଶ ܾ ଶ ൅ ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ሺ ܽെ ܾ ሻ ଶ ൌ ሺ ܽെ ܾ ሻ ସ ൅ 4ܾܽ ሺ ܽെ ܾ ሻ ଶ ൅ 4ܽ ଶ ܾ ଶ ܽ ଶ ܾ ଶ ൅ ሺ ܽെ ܾ ሻ ଶ ൅ 2ܾܽ ሺ ܽെ ܾ ሻ ଶ ൌ5 ൅ ቆ ሺ ܽെ ܾ ሻ ଶ ܾܽ ቇ ଶ ൅ 4 ሺ ܽെ ܾ ሻ ଶ ܾܽ ൅ 2ܾܽ ሺ ܽെ ܾ ሻ ଶ ðặt ሺ ௔ି௕ ሻ మ ௔௕ ൌݐ൐0. Xét ݂ ሺ ݐ ሻ ൅ 5 ൅ ݐ ଶ ൅ 4ݐ൅ 2 ݐ ,݂ ᇱ ሺ ݐ ሻ ൅ 2ݐ൅ 4 െ 2 ݐ ଶ ൌ 2 ሺ ݐ൅ 1 ሻሺ ݐ ଶ ൅ ݐെ 1 ሻ ݐ ଶ ൌ0, ݂ ᇱ ሺ ݐ ሻ ൌ0, ሺ ݐ൐0 ሻ ֞ݐൌ √ 5 െ 1 2 Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số ݕൌ݂ሺݐሻ ñổi dấu từ െ sang ൅ khi ñí qua ݐ ଴ ൌ √ ହିଵ ଶ , nên ݂ሺݐሻ ñạt giá trị nhỏ nhất tại ݐ ଴ . Vậy ݂݉݅݊ ሺ ݐ ሻ ൌ݂ ሺ ݐ ଴ ሻ ൌ݂ ቀ √ ହିଵ ଶ ቁൌ ଵଵାହ √ ହ ଶ , ñạt ñược tại ሺ ௔ି௕ ሻ మ ௔௕ ൌ √ ହିଵ ଶ .  BÀI TOÁN 2. Cho hình hộp chữ nhật với kích thước 3 cạnh là ܽ,ܾ,ܿ và ñộ dài ñường chéo là √ 3. Chứng minh ෍ ܽ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൒ 3 2 HÀ NỘI LỜI GIẢI (Tạ Minh Hoằng). Do ñộ dài ñường chéo là 3 nên 2 2 2 3 a b c + + = ðưa bất ñẳng thức về dạng 2 3 2 3 a a ≥ − ∑ . Ta chứng minh 2 2 4 4 2 2 2 3 3 23 a a a a a a a a a a ≥ ⇔ ≥ − ⇔ + + ≥ − Bất ñẳng thức trên ñúng theo bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ, tương tự cho 2 bất ñẳng thức còn lại rồi cộng vế theo vế ta có 2 2 2 2 2 ( ) 3 2 2 a a b c b c + + ≥ = + ∑ Phép chứng minh hoàn tất.  BÀI TOÁN 3. Cho các số không âm ݔ,ݕ,ݖ sao cho ݔ ଶ ൅ ݕ ଶ ൅ ݖ ଶ ൌ1. Tìm min và max của ܲൌ ݔ 1 ൅ ݕݖ ൅ ݕ 1 ൅ ݖݔ ൅ ݖ 1 ൅ ݔݕ HÀ NỘI LỜI GIẢI 1. • Giá trị nhỏ nhất. Ta có ݔ൅ ݔݕݖ൑ݔ൅ ݔ ሺ ݕ ଶ ൅ ݖ ଶ ሻ 2 ൌݔ൅ ݔ ሺ 1 െ ݔ ଶ ሻ 2 ൌെ ሺ ݔ൅ 2 ሻሺ ݔെ 1 ሻ ଶ ൅ 1൑1 Tương tự ta cũng có ݕ൅ ݔݕݖ൑1,ݖ ൅ ݔݕݖ൑1. Do ñó Các lời giải This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 6 ܲൌ ݔ ଶ ݔ൅ ݔݕݖ ൅ ݕ ଶ ݕ ൅ݔݕݖ ൅ ݖ ଶ ݖ ൅ݔݕݖ ൒ݔ ଶ ൅ ݕ ଶ ൅ ݖ ଶ ൌ1 Vậy, giá trị nhỏ nhất của ܲ là 1, ñạt ñược khi và chỉ khi ሺ ݔ,ݕ,ݖ ሻ ൌሺ0;0;1ሻ và các hoán vị • Giá trị lớn nhất. Trước tiên ta chứng minh 1 ൅ ݕݖ൒ ݔ൅ ݕ ൅ ݖ √ 2 ֞2 ሺ 1 ൅ ݕݖ ሻ ଶ ൒ ሺ ݔ൅ ݕ ൅ ݖ ሻ ଶ ֞1 ൅ 4ݕݖ൅ 2ݕ ଶ ݖ ଶ ൒2 ሺ ݔݕ൅ ݕݖ൅ ݖݔ ሻ ֞ݔ ଶ ൅ ሺ ݕ൅ ݖ ሻ ଶ ൅ 2ݕ ଶ ݖ ଶ ൒2ݔ ሺ ݕ൅ݖ ሻ ֞ ሺ ݔെ ݕ െ ݖ ሻ ଶ ൅ 2ݕ ଶ ݖ ଶ ൒0 Bất ñẳng thức trên là ñúng, và tương tự ta cũng có 1 ൅ ݕݖ൑ ݔ൅ ݕ ൅ ݖ √ 2 , 1 ൅ ݖݔ൑ ݔ൅ ݕ ൅ ݖ √ 2 Cộng các bất ñẳng thức trên vế theo vế ta ñược ܲ൑ √ 2 Vậy, giá trị lớn nhất của ܲ là √ 2, ñạt ñược khi và chỉ khi ሺ ݔ,ݕ,ݖ ሻ ൌሺ1;1;0ሻ và các hoán vị. NHẬN XÉT. Bạn Võ Quốc Bá Cẩn ñưa ra thêm lời giải phần max và bạn Tạ Minh Hoằng ñưa ra thêm lời giải phần min như sau: LỜI GIẢI (Võ Quốc Bá Cẩn - Tạ Minh Hoằng). • Giá trị nhỏ nhất (Tạ Minh Hoằng). bất ñẳng thức tương ñương với ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1) x xy xz xy yz zx ⇔ + + ≥ + + + ∑ 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) sym xyz x y z x y x y z x y z xy yz zx xyz x y z ⇔ + + + + + + ≥ + + + + + + + ∑ 2 2 2 ( )( ) 2 1 x y z xy yz zx x y z x y z xyz xy yz zx ⇔ + + + + + + + ≥ + + + + + 2 2 2 ( 1)( 1) 2 x y z xy yz zx x y z xyz ⇔ + + − + + + ≥ + 2 2 2 2( )( 1) 2 1 xy yz zx xy yz zx x y z xyz x y z + + + + + ⇔ ≥ + + + + Theo b ấ t ñẳ ng th ứ c ܣܯെ ܩܯ ta có 2 2 2 3 6 2( )( 1) 1 1 x y z xy yz zx xy yz zx x y z x y z + + + + + ≥ + + + + + + Chú ý 1 3 3 abc ≤ , nên b ấ t ñẳ ng th ứ c s ẽ ñượ c ch ứ ng minh n ế u 6 ( 1)( 2) x y z xyz ≥ + + + + B ấ t ñẳ ng th ứ c này ñ úng do 1 3 3 abc ≤ và 3 a b c+ + ≤ • Giá tr ị nh ỏ nh ấ t (Võ Quốc Bá Cẩn) . Chú ý r ằ ng t ừ gi ả thi ế t, ta suy ra 1 , , . 2 xy yz zx ≤ D ẫ n ñế n 2 . 1 1 3 x xyz x x xyz yz yz = − ≤ − + + T ươ ng t ự ñố i v ớ i hai b ấ t ñẳ ng th ứ c còn l ạ i r ồ i c ộ ng v ế theo v ế ta có 2 . 1 x x y z xyz yz ≤ + + − + ∑ M ặ t khác, theo b ấ t ñẳ ng th ứ c ܥܽݑ݄ܿݕെ݄ܵܿݓܽݎݖ thì 2 2 2 2 2 2 2 [ (1 2 ) ( )] [ ( ) ][(1 2 ) 1] 2(1 2 )(1 2 2 ) 2[1 2 (1 2 )] 2. x yz y z x y z yz yz yz y z y z yz − + + ≤ + + − + = + − + = − − ≤ D ẫ n ñế n 2 2. x y z xyz+ + − ≤ K ế t h ợ p b ấ t ñẳ ng th ứ c này và b ấ t ñẳ ng th ứ c trên, ta thu ñượ c 2. 1 x yz ≤ + ∑ ðẳ ng th ứ c x ả y ra khi 1 , 0 2 x y z = = = và các hoán v ị t ươ ng ứ ng.  BÀI TOÁN 4. Cho các s ố th ự c d ươ ng ݔ,ݕ,ݖ . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a ݔ ଻ ݖ ݔ ହ ݕ ଶ ݖ ൅2ݕ ଺ ൅ ݕ ଻ ݖ ଺ ݕ ହ ݖ ସ ൅ 2ݔ ൅ 1 ݖ ଶ ݔ ଶ ൅ 2ݔ ଺ ݕݖ ଻ HÀ NỘI LỜI GIẢI (Vũ Thanh Tùng). Ta ñặ t 1 , ,a x b y c z = = = ta ñượ c Các lời giải This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 7 7 14 7 7 7 2 5 2 6 12 2 7 6 12 2 12 2 12 2 7 6 7 6 7 6 ( ) 2 2 2 2 2 a a a b c P a b b c a b a b c a b b c c a a b c b c a c a b + + = = ≥ + + + + + + + ∑ ∑ Áp dụng bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ ta có 14 7 7 12 2 5 2 7 a a b a b + ≥ , 7 7 7 7 7 6 2( 6 ) 2.7 a c a b a b c + ≥ Tương tự ta có 7 7 7 2 14 14 14 7 7 7 7 7 7 12 2 12 2 12 2 7 6 7 6 7 6 7( ) 5( ) 16( ) 7( 2 2 2 ) a b c a b c a b b c c a a b b c c a a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + ≥ + + + + + 1 P ⇒ ≥ Vậy 1 Pmin = khi 1 a b c x y z = = ⇔ = = . Phép chứng minh hoàn tất.  BÀI TOÁN 5. Cho các số thực a,b,c. chứng minh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c ab bc ca + + + ≥ + + − TP. HỒ CHÍ MINH LỜI GIẢI. Khai triển bất ñẳng thức này ta ñược ܽ ଶ ܾ ଶ ܿ ଶ ൅ ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൒2ܾܽܿ ሺ ܽ൅ ܾ ൅ ܿ ሻ െ 2ሺܾܽ൅ ܾܿ൅ܿܽሻ Hay ሺ ܾܽܿെ ܽെ ܾ െ ܿ ሻ ଶ ൒0 Phép chứng minh hoàn tất.  BÀI TOÁN 6. Cho các số thực dương ܽ,ܾ,ܿ thỏa mãn ܽ൅ ܾ ൅ ܿ൒ 1 ܽ ൅ 1 ܾ ൅ 1 ܿ Chứng minh ܽ൅ ܾ ൅ ܿ൒ 3 ܽ൅ܾ ൅ ܿ ൅ 2 ܾܽܿ TP. HỒ CHÍ MINH LỜI GIẢI (Tạ Minh Hoằng). Từ giả thiết, ta có 9 a b c a b c + + ≥ + + , và ab bc ca a b c abc + + + + ≥ Nên 2 2 3 ( ( )) ( ) 3 ( ) ( ) 3abc a b c ab bc ca abc a b c abc a b c a b c abc + + ≥ + + ≥ + + ⇔ + + ≥ ⇔ + + ≥ Do ñó 2( ) 3 2 3 3 a b c a b c a b c a b c abc + + + + + + = + ≥ + + + Phép chứng minh hoàn tất. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿൌ1.  BÀI TOÁN 7. Cho các số dương ܽ,ܾ,ܿ. Chứng minh ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ܾܽ൅ܾܿ ൅ ܿܽ ൅ 8ܾܽܿ ሺ ܽ൅ ܾ ሻሺ ܾ൅ ܿ ሻሺ ܿ൅ ܽ ሻ ൒2 TP. HỒ CHÍ MINH LỜI GIẢI 1 (Tạ Minh Hoằng). Bất ñẳng thức tương ñương với 2 2 2 8 1 1 0 ( )( )( ) a b c abc ab bc ca a b b c c a + + − + − ≥ + + + + + 2 2 ( ) ( ) 0 2( ) ( )( )( ) a b a b c ab bc ca a b c b c a − − ⇔ − ≥ + + + + + ∑ ∑ 2 ( ) (( )( )( ) 2 ( )) 0 a b a b c b c a c ab bc ca ⇔ − + + + − + + ≥ ∑ B ấ t ñẳ ng th ứ c ñượ c ñư a v ề d ạ ng SOS, trong ñ ó ܵ ௔ ൌሺܽ൅ ܾሻሺܿ൅ ܾሻሺܿ൅ ܽሻെ 2ܽሺܾܽ൅ ܾܿ ൅ ܿܽሻ ܵ ௕ ൌሺܽ൅ ܾሻሺܿ൅ ܾሻሺܿ൅ ܽሻെ2ܾሺܾܽ൅ ܾܿ ൅ܿܽሻ ܵ ௖ ൌሺܽ൅ ܾሻሺܿ൅ ܾሻሺܿ൅ ܽሻെ2ܿሺܾܽ൅ ܾܿ൅ ܿܽሻ Không m ấ t tính t ổ ng quát, gi ả s ử a b c ≥ ≥ , khi ñ ó , 0 b c S S ≥ và 2 2 ( ) 0 a b S S c a b + = + ≥ Phép ch ứ ng minh hoàn t ấ t. ðẳ ng th ứ c x ả y ra khi và ch ỉ khi ܽൌܾൌܿ . Các lời giải This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 8 LỜI GIẢI 2 (Tạ Minh Hoằng). Ta sử dụng ñẳng thức sau 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 , a b c a b a c b c b a c a c b ab bc ca ab bc ca + + − − + − − + − − − = + + + + 8 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 1 ( )( )( ) ( )( )( ) abc b c a b a c a c b c b a a b c a c b a b c c c a a b c c c a + − − + + − − + + − − − = − + + + + + + Bất ñẳng thức tương ñương với 1 1 ( )( ) 0 ) ( )( ) a b a c ab bc ca a b a c   − − − ≥   + + + +   ∑ Không m ấ t tính t ổ ng quát, gi ả s ử a b c ≥ ≥ . Khi ñ ó 1 1 1 1 1 1 0 ( )( ) ( )( ) ( )( )ab bc ca a b a c ab bc ca b c b a ab bc ca c a c b − ≥ − ≥ − ≥ + + + + + + + + + + + + Theo b ấ t ñẳ ng th ứ c ܸ݋ݎ݊݅ܿݑെ ݄ܵܿݑݎ , ta có ñ i ề u ph ả i ch ứ ng minh.  BÀI TOÁN 8. Cho các s ố th ự c d ươ ng ݔ,ݕ,ݖ thõa ݔ൅ ݕ ൅ ݖ൅ 1ൌ4ݔݕݖ . Ch ứ ng minh xy yz zx x y z + + ≥ + + NGHỆ AN LỜI GIẢI 1 (VIMF). Theo nguyên lí ܦ݅ݎ݄݈݅ܿ݁ݐ thì 2 trong 3 s ố ሺ ݔെ 1 ሻ , ሺ ݕെ 1 ሻ ,ሺݖെ 1ሻ cùng d ấ u. Không m ấ t tính t ổ ng quát, gi ả s ử ሺ ݔെ 1 ሻሺ ݕെ 1 ሻ ൒0 . Khi ñ ó ݔݕ൅1൒ݔ ൅ ݕ ,và ta ch ỉ c ầ n ch ứ ng minh ݕݖ൅ ݖݔ൒ݖ൅ 1 T ừ ñ i ề u ki ệ n ñề bài ta có ݖൌ ௫ା௬ାଵ ସ௫௬ିଵ , nên thay vào b ấ t ñẳ ng th ứ c trên ta ñượ c b ấ t ñẳ ng th ứ c t ươ ng ñươ ng là ݖ ሺ ݔ൅ ݕ െ1 ሻ ൒1֞ ሺ ݔ൅ ݕ െ 1 ሻ ݔ൅ ݕ ൅ 1 4ݔݕെ 1 ൒1֞ ሺ ݔ൅ ݕ ሻ ଶ െ 1൒4ݔݕെ 1֞ ሺ ݔെ ݕ ሻ ଶ ൒0 B ấ t ñẳ ng th ứ c trên hi ể n nhiên ñ úng. Phép ch ứ ng minh hoàn t ấ t. ðẳ ng th ứ c x ả y ra khi và ch ỉ khi ݔൌݕൌݖൌ1 . LỜI GIẢI 2 (Tạ Minh Hoằng). Gi ả thi ế t bài toán t ươ ng ñươ ng v ớ i 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1a b c + + = + + + ðặ t 1 1 1 , , 2 1 2 1 2 1 x y z a b c = = = + + + , suy ra x y z 1 + + = và 1 1 1 1 1, 1, 2 2 2 2 a b c x y z = − = − = − B ấ t ñẳ ng th ứ c c ầ n ch ứ ng minh t ươ ng ñươ ng v ớ i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y z            − − + − − + − − ≥ − + − + −                       3 1 1 1 9 1 1 1 ( ) 9 4( )( ) 4 4 4 4 x y z xyz x y z x y z xy yz zx x y z ⇔ + + + ≥ + + ⇔ + + + ≥ + + + + ð ây là b ấ t ñẳ ng th ứ c ݄ܵܿݑݎ quen thu ộ c. Phép ch ứ ng minh hoàn t ấ t.  BÀI TOÁN 9. Cho các s ố d ươ ng ܽ,ܾ,ܿ . ch ứ ng minh b ấ t ñẳ ng th ứ c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b c b c a c a b − − − − − − + + ≥ + + + + + + THANH HÓA LỜI GIẢI (Lương Quang Trung). Chu ẩ n hóa ܽ൅ ܾ ൅ ܿൌ1 . Khi ñ ó b ấ t ñẳ ng th ứ c tr ở thành ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 4 4 1 4 4 1 3 3 2 1 9 6 3 2 1 a a a a a a a a a a − − + +   = = −   − + − +   + − ∑ ∑ ∑ Ta ch ỉ c ầ n ch ứ ng minh 2 4 1 7 2 9 6 3 a a a + ≤ − + ∑ Mà ( ) 2 2 2 4 1 1 2 9 6 3 2 3 1 0 29 6 3 a a a a a a a + ≤ + ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ − + Các lời giải This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 9 Tương tự cho hai bất ñẳng thức còn lại và cộng các bất ñẳng thức vế theo vế ta có 2 4 1 3 7 2( ) 2 2 9 6 3 a a b c a a + ≤ + + + = − + ∑ Phép chứng minh hoàn tất. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌܿ. NHẬN XÉT. Ta cũng có một cách chuẩn hóa khác nhưng với cách chuẩn hóa này thì lời giải sẽ ñơn giản hơn bởi không cần ñến kĩ thuật cân bằng hệ số: chuẩn hóa cho ܽ൅ ܾ൅ ܿൌ3. Khi ñó ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3 2 ) 9 12 4 4 4 3 4 4 3 3 3 6 2 (3 ) 3 6 9 3( 1) 6 2 a b c a a a a a a a a a a a b c − − − − + + + = = = − ≥ − + − − + − + + + T ươ ng t ự ta c ũ ng có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 3 4 4 3 , 3 6 3 6 2 2 b c a c a b b c b c a c a b − − − − + + ≥ − ≥ − + + + + C ộ ng các b ấ t ñẳ ng th ứ c v ế theo v ế ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) 9 1 4 6 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b − − − − − − + + + + + ≥ − = + + + + + + Phép ch ứ ng minh hoàn t ấ t.  BÀI TOÁN 10. Cho các s ố d ươ ng ܽ ଵ ,ܽ ଶ ,…,ܽ ௡ th ỏ a mãn ܽ ଵ ܽ ଶ …ܽ ௡ ൌ1 . Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2( ) n n a a a a a a + + + +…+ + ≤ + +…+ BÌNH PHƯỚC LỜI GIẢI. Tr ướ c tiên ta ch ứ ng minh √ ݔ ଶ ൅ 1൑ √ 2൫ݔെ √ ݔ൅ 1൯ . Bình ph ươ ng 2 v ế b ấ t ñẳ ng th ứ c này và sau khi rút g ọ n ta ñượ c b ấ t ñẳ ng th ứ c t ươ ng ñươ ng là ൫ √ ݔെ 1൯ ସ ൒0 (luôn ñ úng). L ầ n l ượ t thay ݔ b ở i ܽ ଵ ,ܽ ଶ ,…ܽ ௡ và c ộ ng l ạ i v ế theo v ế ta ñượ c ට ܽ ଵ ଶ ൅ 1 ൅ ට ܽ ଶ ଶ ൅ 1 ൅ ڮ൅ ඥ ܽ ௡ ଶ ൅ 1൑ √ 2൫ܽ ଵ ൅ ܽ ଶ ൅ ڮ൅ܽ ௡ െ ඥ ܽ ଵ െ ඥ ܽ ଶ െ ڮെ ඥ ܽ ௡ ൅ ݊൯ Mà theo b ấ t ñẳ ng th ứ c ܣܯെ ܩܯ thì √ ܽ ଵ ൅ √ ܽ ଶ ൅ ڮ൅ ඥ ܽ ௡ ൒݊ ට ඥ ܽ ଵ ܽ ଶ …ܽ ௡ ೙ ൌ݊ Do ñ ó ට ܽ ଵ ଶ ൅ 1 ൅ ට ܽ ଶ ଶ ൅ 1 ൅ ڮ൅ ඥ ܽ ௡ ଶ ൅ 1൑ √ 2൫ܽ ଵ ൅ ܽ ଶ ൅ ڮ൅ܽ ௡ െ ඥ ܽ ଵ െ ඥ ܽ ଶ െ ڮെ ඥ ܽ ௡ ൅ ݊൯ ൑ √ 2 ሺ ܽ ଵ ൅ ܽ ଶ ൅ ڮ൅ܽ ௡ ሻ  BÀI TOÁN 11. Cho các s ố th ự c d ươ ng ܽ,ܾ,ܿ . Ch ứ ng minh r ằ ng ܽ ଷ ܽ ଶ ൅ ܾ ଶ ൅ ܾ ଷ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ൅ ܿ ଷ ܿ ଶ ൅ ܽ ଶ ൒ ܽ൅ ܾ ൅ ܿ 2 BÌNH PHƯỚC LỜI GIẢI (Tạ Minh Hoằng). Ta có 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab ab b a a a aba b a b = − ≥ − = − + + T ươ ng t ự ñố i v ớ i hai b ấ t ñẳ ng th ứ c còn l ạ i và c ộ ng các b ấ t ñẳ ng th ứ c v ế theo v ế ta suy ra ñ i ề u ph ả i ch ứ ng minh. Phép ch ứ ng minh hoàn t ấ t. ðẳ ng th ứ c x ả y ra khi và ch ỉ khi ܽൌܾൌܿ .  BÀI TOÁN 12. Cho ܽ,ܾ,ܿ൐0 . Ch ứ ng minh ቀ1 ൅ ܽ ܾ ቁ൬1൅ ܾ ܿ ൰ቀ1 ൅ ܿ ܽ ቁ൒2൬1 ൅ ܽ൅ ܾ ൅ ܿ √ ܾܽܿ య ൰ BÌNH PHƯỚC LỜI GIẢI. B ấ t ñẳ ng th ứ c t ươ ng ñươ ng v ớ i Các lời giải This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 10 ܽ ܾ ൅ ܾ ܿ ൅ ܿ ܽ ൅ ܾ ܽ ൅ ܿ ܾ ൅ ܽ ܿ ൒2 ܽ൅ ܾ ൅ ܿ √ ܾܽܿ య Theo bất ñẳng thức ܣܯെ ܩܯ, ta có ܽ ܾ ൅ ܽ ܾ ൅ ܾ ܿ ൒3 ඨ ܽ ଶ ܾܿ య ൌ 3ܽ √ ܾܽܿ య , Tương tự ta cũng có ܾ ܿ ൅ ܾ ܿ ൅ ܿ ܽ ൒ 3ܾ √ ܾܽܿ య , ܿ ܽ ൅ ܿ ܽ ൅ ܽ ܾ ൒ 3ܿ √ ܾܽܿ య , ܾ ܽ ൅ ܾ ܽ ൅ ܽ ܿ ൒ 3ܾ √ ܾܽܿ య , ܿ ܾ ൅ ܿ ܾ ൅ ܾ ܽ ൒ 3ܿ √ ܾܽܿ య , ܽ ܿ ൅ ܽ ܿ ൅ ܿ ܾ ൒ 3ܽ √ ܾܽܿ య Cộng các bất ñẳng thức trên vế theo vế ta suy ra ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ܽൌܾൌ ܿ.  BÀI TOÁN 13.Chứng minh x ∀ ∈ ℝ thì 2 3 1 2! 3! x x x e x ≥ + + + HẢI DƯƠNG LỜI GIẢI (Nguyễn ðức Toàn). ðặt 3 2 ( ) 1 3! 2! x x x f x e x = − − − − Xét hai trường hợp Trường hợp 1. Nếu 0 x ≥ 2 ( ) 1 2! x x f x e x ′ = − − − , ( ) 1 x f x e x ′′ = − − , ( ) 1 0 x f x e ′′′ = − > Suy ra ݂ ᇱ Ԣሺݔሻ ñồng biến, ( ) (0) 0 f x f ′′ ′′ ≥ = Suy ra ݂ ᇱ ሺݔሻ ñồng biến, ( ) (0) 0 f x f ′ ′ ≥ = Suy ra ݂ሺݔሻ ñồng biến, ( ) (0) 0 f x f ≥ = Trường hợp 2. Nếu 0 x ≤ ðặt ( 0) x t t = − ≥ 3 2 1 ( ) 1 3! 2! t t t f t t e = + − + − , 2 1 ( ) 1 2 t t f t t e ′ = + − + , 1 ( ) 1 t f t t e ′′ = + − 1 ( ) 1 0 t f t e ′′′ = + > Suy ra ݂ԢԢሺݐሻ ñồng biến, ( ) (0) 0 f t f ′′ ′′ ≥ = Suy ra ݂Ԣሺݐሻ ñồng biến, ( ) (0) 0 f t f ′ ′ ≥ = Suy ra ݂ሺݐሻ ñồng biến, ( ) (0) 0 f t f ≥ = Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ݔൌ0 NHẬN XÉT. Ta cũng có thể tổng quát cho bài toán thành : 0 ! i n x i x e i = ≥ ∑ với mọi * n N ∈ và n lẻ  BÀI TOÁN 14. Cho ݔ,ݕ,ݖ là các số dương sao cho 9 5, 8 x y z x x y + + =   ≥ + ≥  . Ch ứ ng minh r ằ ng 15 xyz ≤ HẢI DƯƠNG LỜI GIẢI (Tạ Minh Hoằng). T ừ gi ả thi ế t suy ra 4 y z + ≤ và 1 z ≤ . Nên 3 3 3 (3 5 15 ) (3 3 3 2 2 10 ) 45 3 5 15 15 27 27 27 x y z x y z y z z x y z xyz + + + + + + + ≤ = ≤ ⇒ ≤ V ậ y GTLN c ủ a ݔݕݖ là 15 khi ሺݔ,ݕ,ݖሻൌሺ5,3,1ሻ  BÀI TOÁN 15. Cho các s ố d ươ ng ܽ,ܾ,ܿ . tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a [...]... hoàn t t ൑ 1 ܽ ܾ ܾ ܿ ܿ ܽ 3 ൬ ൅ ൅ ൅ ൅ ൅ ൰ൌ 2 ܽ൅ܿ ܾ൅ܿ ܾ൅ܽ ܿ൅ܽ ܿ൅ܾ ܽ൅ܾ 2 BÀI TOÁN 18 Cho t giác l i ABCD có ‫ ܤܣ‬ൌ ܽ; ‫ ܥܤ‬ൌ ܾ; ‫ ܦܥ‬ൌ ܿ; ‫ ܣܦ‬ൌ ݀ Ch ng minh r ng 13a 2 + 6b 2 − c 2 + 2d 2 ≥ 4 2S NAM ð NH This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 11 Các l i gi i L I GI I (Vũ Thanh Tùng) Trư c h t ch ng minh b ñ : m + n ≥ 0 n + p ≥ 0... 9 z 2 ≥ 18 ⇔ 1 + 2 Suy ra 9z 2 18 z2 4 2 ≥ 2 ⇔ 2+ ≥ 2 4 y2 4 y y 9 y 1 1 2 1 1 z2 4 1  z2  z2 4 z 2 13 (vì z ≥ 1 ) + 2 = 2 + 2 − 2 ≤ 2 + + 2 1 − 2  ≤ 2 + + 1 − 2 = 2 9 z  9 9 y z y z y y y  y y This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 12 Các l i gi i V y GTLN c a ܲ là 2115274  27 3  ð ng th c x y ra khi và ch khi ( x, y,... ≥ x ≥ 1 B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i (1) ⇔ a ax ( ax ) ay ( ay ) ( az ) ð t ti p ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݖ ,ݔݑ‬ൌ ‫ ݔݒ‬thì v ≥ u ≥ 1 az a ≥ a az ( az ) ay ( ay ) ( ax ) ax a ⇔ x y y z z ≥ xy x z y (2) This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 13 Các l i gi i y  vy  y y  y    vy y u  yv  y v −1 u y −1 ≥ y   ⇔ y ( ) ≥ v (... −1 ≥ v v −1 (vì v ≥ u ) Phép ch ng minh hoàn t t 2 ≥ x ≥ y ≥ z  BÀI TOÁN 23 Cho 3 s thay ñ i ‫ ݖ ,ݕ ,ݔ‬th a mãn  x + y ≤ 3 Tìm giá tr l n nh t c a t ng x+ y+z ≤3  ܵ ൌ 2௫ ൅ 2௬ ൅ 2௭ L I GI I T gi thi t suy ra 2௫ ൑ 4, 2௫ା௬ ൑ 8, 2௫ା௬ା௭ ൑ 8 ֜ B C NINH 4 4 2 4 2 1 ൒ 1, ௫ ൅ ௬ ൒ 2, ௫ ൅ ௬ ൅ ௭ ൒ 3 ௫ 2 2 2 2 2 2 4 ௫ 4 2 4 2 1 ሺ2 െ 2௬ ሻ ൅ ൬ ௫ ൅ ௬ ൰ ሺ2௬ െ 2௭ ሻ ൅ ൬ ௫ ൅ ௬ ൅ ௭ ൰ 2௭ ൒ 1ሺ2௫ െ 2௬ ሻ ൅ 2ሺ2௬ െ 2௭... ܾܿ ܿܽ ൅ ହ ൅ ହ ൑1 ହ ൅ ܾ ହ ൅ ܾܽ ହ ൅ ܾܿ ܽ ܾ ൅ܿ ܿ ൅ ܽହ ൅ ܿܽ PHÚ YÊN L I GI I Ta có ܽହ ൅ ܾ ହ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻሺܽସ െ ܽଷ ܾ ൅ ܽଶ ܾ ଶ െ ܾܽ ଷ ൅ ܾ ସ ሻ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻሾሺܽ െ ܾሻଶ ሺܽଶ ൅ ܾܽ ൅ ܾ ଶ ሻ ൅ ܽଶ ܾ ଶ ሿ ൒ ሺܽ ൅ ܾሻܽଶ ܾ ଶ Suy ra This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 14 Các l i gi i ܾܽ ܾܽ 1 ܿ ൑ ൌ ൌ ܽହ ൅ ܾ ହ ൅ ܾܽ ܽଶ ܾ ଶ ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ ܾܽ ܾܽሺܽ ൅ ܾ ൅ ܿሻ ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ... thì MA ≥ d ( M / ∆ ) ⇔  z +  +  t +  ≥ 2 2  2  c + d2  Suy ra F ≥ T ≥ 3 3(c 2 + d 2 ) + ≥3⇒ F ≥3 c2 + d 2 4 1 6 V y minF = 3 ð ng th c x y ra ch ng h n như a = b = 1; c = 0; x = y = − ; z = 2 2 This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 15 . of VIMF. Các ñề thi This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 2 C CC CÁC C C C ðỀ THI THITHI THI H HH HỌC. This file was downloaded from VietNam Inequality Mathematic Olympiad Resource Page http://www.ddbdt.co.cc Page 1 DIEN DAN BAT DANG THUC VIET NAM The. EBOOK nay duoi bat ky muc dich thuong mai nao, tru khi duoc su dong y cua tac gia. Moi chi tiet xin lien he: http://www.ddbdt.co.cc. Contributors Of The Book څ Editor. Nguyen Dinh Thi (VIMF)
- Xem thêm -

Xem thêm: Bat Dang Thuc Trong Ky Thi HSG THPT-2008-VIF, Bat Dang Thuc Trong Ky Thi HSG THPT-2008-VIF, Bat Dang Thuc Trong Ky Thi HSG THPT-2008-VIF

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn