LỜI MỞ ĐẦU Hiện nay cùng với sự phát triển nhanh chóng của Toán học, nội dung của hình học vi phân đã mở rộng sang nghiên cứu các đường và mặt trên đa tạp. Đa tạp đã trở thành môi trường nghiên cứu trong nhiều lónh vực Toán học hiện đại, chẳng hạn như nghành “giải tích trên đa tạp” nghiên cứu về trường vectơ, dạng vi phân, tích phân,… trên đa tạp khả vi. Mục tiêu cơ bản của đề tài này là trình bày lại không gian các dạng vi phân trên đa tạp khả vi một cách đầy đủ, ngắn gọn. Nội dung đề tài bao gồm 2 chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bò Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở để làm tiền đề cho việc trình bày những khái niệm ở chương sau,đó là: hàm vectơ, tính liên tục và khả vi của hàm vectơ ,…, trình bày về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp, không gian tiếp xúc, phân thớ tiếp xúc, phân thớ đối tiếp xúc và trường vectơ. Chương 2: Dạng vi phân Nội dung của chương này là trình bày các khái niệm : nh xạ đa tuyến tính thay dấu và các tính chất của chúng trên không gian vectơ đònh chuẩn, các dạng vi phân trên không gian hữu hạn chiều và trên đa tạp, tích ngoài của các dạng vi phân,không gian các dạng vi phân và một số ví dụ minh hoạ. Để hoàn thành đề tài này, tuy bản thân đã có nhiều nổ lực và cố gắng song trong đề tài không tránh khỏi những sai sót, vì vậy em rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô và bạn bè. Em xin chân thành cảm ơn! Đăk Lăk, ngày 18 tháng 5 năm 2007 Sinh viên Trần Thò Mỹ Hạnh LỜI CẢM ƠN Với tình cảm chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tôi xin chân thành cảm ơn: Ban Giám hiệu trường Đại học Tây Nguyên, khoa Sư Phạm, bộ môn Toán cùng toàn thể các thầy cô giáo trường Đại học Tây Nguyên đã dạy dỗ và truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt quá trình học tập tại trường. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Văn Bồng, người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tận tình, truyền đạt cho tôi những kiến thức và kinh nghiệm để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và tập thể lớp Sư Phạm Toán K03, những người đã giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi học tập và hoàn thành luận văn cuối khoá. Đăk Lăk, ngày 18 tháng 5 năm 2007 Sinh viên Trần Thò Mỹ Hạnh CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm : Hàm vectơ, tính liên tục và khả vi của hàm vectơ…. Nhắc lại một số kiến thức của đa tạp khả vi như: khái niệm bản đồ, Atlas, ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp, khái niệm về cung tham số, đường cong, vectơ tiếp xúc. Mô tả cấu trúc của không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc, trên cơ sở đó xây dựng khái niệm về phân thớ đối tiếp xúc, trường vectơ và trường vectơ khả vi trên đa tạp, là kiến thức cơ sở cho việc nghiên cứu các dạng vi phân ở chương II. 1.1. Hàm vectơ. 1.1.1. Đònh nghóa: Cho U là tập mở trong ¡ n , hàm vectơ trên U là ánh xạ f :U → ¡ m x a f(x)= (f 1 (x),….,f m (x)), trong đó x=(x 1 ,x 2 ,….,x n ) f i :U → ¡ x a f i (x) , ∀ i=1,2…m. 1.1.2. Hàm vectơ liên tục. Hàm vectơ f : U ⊂ ¡ n → ¡ m được gọi là liên tục tại x 0 ∈ U nếu ε >0, ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ U mà P x – x 0 P < δ thì P f(x) – f(x 0 ) P < ε . Nhận xét:  f = (f 1 ,… , f m ) liên tục trên U khi và chỉ khi các f i liên tục trên U, tức là f i liên tục tại mọi x ∈ U, i=1,2,…,m.  Nếu hàm f : U ⊂ ¡ n → ¡ m liên tục tại x 0 ∈ U và g : f(U) ⊂ V ⊂ ¡ m → ¡ p liên tục tại f(x 0 ) thì hàm số hợp g.f : U ⊂ ¡ n → ¡ p liên tục tại x 0 . 1.1.3. Hàm vectơ khả vi. Cho U ⊂ ¡ n , hàm vectơ f : U → ¡ m được gọi là khả vi tại a ∈ U nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính λ : ¡ n → ¡ m sao cho 0 ( ) ( ) ( ) lim h f a h f a h h λ → + − −P P P P =0 nh xạ tuyến tính λ được gọi là đạo hàm của f tại a. Ký hiệu: λ = D f(a). Ta gọi hàm f khả vi trên U nếu hàm f khả vi tại mọi điểm a của U và gọi hạng của f tại a là Rank a (f)= Rank(Df(a)). 1.1.4. Hàm khả vi lớp C r . f : U ⊂ ¡ n → ¡ m với U mở gọi là khả vi lớp C r (r ≥ 1) trên U nếu các hàm toạ độ f 1 , f 2 , …,f m của f khả vi lớp C r , có nghóa là : ∀ k ≤ r thì tồn tại 1 1 n k i k k n f x x ∂ ∂ ∂ với k 1 +k 2 +…+k n = k, i= 1, m . Hàm f liên tục tại x 0 được gọi là khả vi lớp C 0 , Hàm f khả vi lớp C ∞ gọi là trơn. 1.2. Đa tạp khả vi. 1.2.1. Khái niệm bản đồ. Cho M là không gian tôpô Hausdorff. Nếu U mở trong M, V là tập mở trong ¡ n và ϕ : U → V đồng phôi thì (U, ϕ ) được gọi là một bản đồ của M.  Với p ∈ U thì ϕ (p) ∈ ¡ n nên ϕ (p)= (x 1 ,x 2 ,…,x n ). Khi đó (x 1 ,x 2 , ,x n ) được gọi là toạ độ của p đối với (U, ϕ ) và (U, ϕ ) được gọi là hệ toạ độ đòa phương (vì ϕ là đồng phôi nên có thể đồng nhất một cách đòa phương p với (x 1 ,x 2 ,…,x n )).  Giả sử (U 1 , ϕ 1 ) và (U 2 , ϕ 2 ) là hai bản đồ của M sao cho W= U 1 ∩ U 2 ≠ ∅ . Khi đó : (U 1 , ϕ 1 ) và (U 2 , ϕ 2 ) được gọi là phù hợp nếu ánh xạ ϕ 2 . 1 1 ϕ − là vi phôi. Quy ước: Nếu U 1 ∩ U 2 = ∅ thì (U 1 , ϕ 1 ) và (U 2 , ϕ 2 ) là phù hợp. 1.2.1.1. Ví dụ. Ví dụ1: Lấy M= ¡ = U = V ϕ : ¡ → ¡ x a 2x-1 Khi đó ( ¡ , ϕ ) là một bản đồ của ¡ . Ví dụ2: Đặt M=S 1 = { (x,y) : x 2 +y 2 =1 } U 1 = { (x,y) ∈ S 1 : x>0 } = { ( 2 1 y− , y): y ∈ ( ) 1,1− } V 1 = ( ) 1,1− . ϕ 1 : U 1 → V 1 ( 2 1 y− , y) a y. Khi đó (U 1 , ϕ 1 ) là một bản đồ của S 1 . Ví dụ3: Đặt U 2 = { (x,y) ∈ S 1 : y>0 } U 1 U 2 M ϕ 1 ϕ 2 ϕ 2 .ϕ 1 -1 R n = { (x, 2 1 x− ): x ∈ (-1,1) } V 2 =(-1,1) ϕ 2 : U 2 → V 2 (x, 2 1 x− ) a x. Khi đó (U 2 , ϕ 2 ) là một bản đồ của M=S 1 và (U 1 , ϕ 1 ) và (U 2 , ϕ 2 ) là phù hợp. 1.2.2. Khái niệm Atlas. 1.2.2.1. Đònh nghóa. Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff. A = { (U i , ϕ i ) i ∈ I là họ các bản đồ trên M } Nếu A thoã mãn: • i I∈ ∪ U i =M • (U i , ϕ i ) và (U i , ϕ j ) là phù hợp với mọi i,j thì ta nói A là một Atlas của M. 1.2.2.2. Hai Atlas phù hợp(tương thích). Hai Atlas : A = { (U i , ϕ i ) } i ∈ I B = { (V j , ψ j ) } j ∈ J được gọi là phù hợp nếu (U i , ϕ i ) và (V j , ψ j ) phù hợp với mọi i,j. Nhận xét: Nếu A và B là hai Atlas phù hợp thì A ∪ B cũng là một Atlas. 1.2.2.3. Mệnh đề. Trong tập hợp các Atlas của M, nếu gọi R là quan hệ phù hợp giữa hai Atlas thì R là quan hệ tương đương. 1.2.2.4. Atlas cực đại(tối đại). Hợp của tất cả các Atlas thuộc lớp tương đương R là Atlas tối đại của lớp ấy. Nếu A là một Atlas cực đại trên M thì A còn được gọi là một cấu trúc khả vi trên M. 1.2.3. Đa tạp khả vi. Một không gian tôpô Hausdorff M có cấu trúc khả vi được gọi là đa tạp khả vi n- chiều. Nhận xét: Từ một Atlas bất kỳ trên M đều có thể bổ sung để được một Atlas cực đại. Vì thế khi xét một cấu trúc khả vi trên M ta chỉ xét Atlas có số bản đồ ít nhất. Ví dụ: a) Xét M là tập mở, M ⊂ ¡ n . Lấy U=V=M và ϕ =id: M → M. Khi đó ( ) { } ,U ϕ là một Atlas của M. Do đó M là đa tạp khả vi n- chiều. Đặc biệt (a,b), ¡ là các đa tạp khả vi 1- chiều, ¡ n là đa tạp khả vi n- chiều. b) Lấy M = S 1 = { (x,y): x 2 +y 2 =1 } . Ở ví dụ trước ta đã có (U 1 , ϕ 1 ) và (U 2 , ϕ 2 ) là hai bản đồ của M. Đặt: U 3 = { (x,y) ∈ S 1 : x<0 } = { (- 2 1 y− , y) : y ∈ (-1,1) } V 3 = (-1, 1) ϕ 3 : U 3 → V 3 (- 2 1 y− , y) a y Đặt U 4 = { (x,y) ∈ S 1 : y<0 } = { (x, - 2 1 x− ) : x ∈ (-1,1) } V 4 = (-1,1) ϕ 4 : U 4 → V 4 (x, - 2 1 x− ) a x Tương tự (U 3 , ϕ 3 ) và (U 4 , ϕ 4 ) là các bản đồ của M. Do đó { (Ui, ϕ i) } 4 i=1 là một Atlas của M. Vậy M=S 1 là một đa tạp khả vi 1- chiều. 1.2.4. nh xạ khả vi giữa hai đa tạp. Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng. nh xạ liên tục f : M → N được gọi là khả vi tại điểm p ∈ M nếu với mọi bản đồ đòa phương (U, ϕ ) quanh p và (V, ψ ) quanh q = f(p) sao cho f(U) ⊂ V thì ánh xạ ψ .f. ϕ -1 là khả vi tại điểm ϕ (p) ∈ ¡ m . nh xạ f được gọi là khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm p ∈ M. Ví dụ: Xét M =(0,1), N = ¡ 3 và f : (0,1) → ¡ 3 t a (t 2 , t 3 , t+1) Khi đó f là ánh xạ khả vi. 1.2.5. Khái niệm về cung tham số, đường cong, vectơ tiếp xúc. 1.2.5.1. Cung tham số. M N U . p . q ψ ϕ ϕ(p) f R m R n ψ.f.ϕ -1 1.2.5.1.1. Đònh nghóa. Cho M là đa tạp khả vi n- chiều, J là khoảng mở(a,b). Mỗi ánh xạ khả vi ρ : J → M được gọi là một cung tham số. 1.2.5.1.2. Cung tham số tương đương. Cho hai cung tham số: ρ : J → M và δ : I → M ρ được gọi là tương đương với δ , ký hiệu ρ : δ , khi và chỉ khi ∃ λ vi phôi sao cho ρ . λ = δ . [ ] γ = { δ δ : γ } được gọi là một lớp các cung tham số tương đương. Nhận xét: Nếu hai cung tham số tương đương thì chúng có cùng một tập ảnh. 1.2.5.2. Đường cong. Đường cong trên đa tạp khả vi n- chiều M là một lớp các cung tham số tương đương. Để thuận tiện ta thường lấy đại diện của đường cong là một cung tham số. Từ nay, khi nói cho đường cong nghóa là ta đã chọn một cung tham số đại diện (đại diện ấy gọi là tham số hoá của đường cong).  Hai đường cong tương đương: Cho đa tạp khả vi n- chiều M và một điểm p ∈ M. Cho hai đường cong: ρ : J → M và δ : I → M 0 a ρ (0) = p 0 a δ (0) = p Ta nói ρ và δ tương đương với nhau khi và chỉ khi với mọi bản đồ (U, ϕ ) quanh p thì: ( ϕ . ρ ) , (0) = ( ϕ . δ ) , (0). Ký hiệu: ρ : δ . Nhận xét: Hai đường cong được gọi là tương đương với nhau tại một điểm nếu chúng có cùng một vectơ tiếp xúc tại điểm đó. 1.2.5.3.Vectơ tiếp xúc. Cho M là đa tạp khả vi n- chiều. nh xạ f: M → ¡ được gọi là một hàm khả vi trên M. Nếu U mở nằm trong M và f : U → ¡ khả vi thì f được gọi là khả vi trong lân cận U ⊂ M. Ký hiệu: F (M) là tập hợp các hàm khả vi trên M. F (p) là tập hợp các hàm khả vi trong lân cận U p chứa p. Đònh nghóa. Vectơ tiếp xúc tại điểm p ∈ M là một ánh xạ v : F (p) → ¡ f a v(f) = d dt f. ρ (t)| 0 t t= . Khi đó ta cũng nói v là vectơ tiếp xúc với M tại p. Xét bản đồ đòa phương (U, ϕ ) quanh p và γ là đường cong trên M qua p. Khi đó γ xác đònh vectơ tiếp xúc. Ký hiệu : j ϕ   ∂  ÷ ∂   p , j = 1, n . Ta có : j ϕ   ∂  ÷ ∂   p (f) = D j (f. ϕ -1 )| ϕ (p) , trong đó D j ký hiệu đạo hàm riêng thứ j và f ∈ F (p). Ta viết: j ϕ   ∂  ÷ ∂   p (f) = j f ϕ   ∂  ÷ ∂   p . Như vậy, mỗi vectơ tiếp xúc với M tại p là tổ hợp tuyến tính của 1 ϕ   ∂  ÷ ∂   p ,…, n ϕ   ∂  ÷ ∂   p , được coi là một đạo hàm tại p và được cho bởi: v = Φ 1 n j j j ξ ϕ =   ∂  ÷ ∂   ∑ p , j = 1, n , j ξ = v( j ϕ ). 1.2.6. Không gian tiếp xúc. Cho M là đa tạp khả vi n- chiều. Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M tạo thành không gian tiếp xúc của M. Ký hiệu :T p M Nhận xét: [...]... cấu trúc khả vi trên TM TM cùng với cấu trúc khả vi xác đònh như trên là đa tạp khả vi 2nchiều, được gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M 1.2.9 Phân thớ đối tiếp xúc Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều Ta đã xây dựng được không gian tiếp xúc TpM và phân thớ tiếp xúc TM của M là một đa tạp Tương tự như vậy ta xây dựng không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc trên đa tạp TM Khi đó, không gian tiếp... X khả vi khi và chỉ khi Xi khả vi với mọi i = 1,…,n Ký hiệu: B (U) = { các trường vectơ khả vi trên U } CHƯƠNG II DẠNG VI PHÂN Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm : nh xạ đa tuyến tính thay dấu và các tính chất của chúng trên không gian vectơ đònh chuẩn, các dạng vi phân cùng các phép toán của chúng trên không gian vectơ hữu hạn chiều Từ đó xây dựng khái niệm các dạng vi phân trên đa. .. hiệu: Ω k(M) Ω k(M)=0 nếu k>n Các trường hợp riêng:  1 -dạng vi phân trên đa tạp M là một ánh xạ: θ : M → T*M p a θ p mà θ p ∈ T*pM, tức là θ p : TpM → ¡ Nhận xét: Một dạng vi phân trên đa tạp M là một ánh xạ biến mỗi điểm trên đa tạp thành một dạng tuyến tính(ánh xạ tuyến tính) xác đònh trên không gian tiếp xúc với đa tạp tại điểm đó Ký hiệu: Ω 1(M)  2- dạng vi phân trên đa tạp M là một ánh xạ: η : M... h) 2.1.5 .Các dạng vi phân trên không gian vectơ 2.1.5.1 Đònh nghóa nh xạ ω : U → A (E;F) được gọi là dạng vi phân bậc p xác đònh trên p U và nhận giá trò trong F Đơn giản ta có thể nói : p- dạng vi phân trên U với giá trò trong F Các trường hợp riêng:  Dạng vi phân bậc 0 là hàm U → F  Dạng vi phân bậc 1 là ánh xạ U → L(E,F) Ký hiệu: Ω p(U,F) là tập hợp tất cả p- dạng vi phân trên U với các giá trò... → F là các ánh xa khả vi lớp C1 thì ϕ *(df) = d( ϕ *f) 2.2 Dạng vi phân trên đa tạp 2.2.1 Đònh nghóa Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều Dạng vi phân bậc k trên đa tạp M là ánh xạ: 1 4 4 T *2 × 4 T *M ω : M → T * M ×4 4 M 4 ×4 43 k TpM × TpM × × TpM 4 3 p a ω p với ω p : 1 4 4 4 2 4 4 4 4 → ¡ K ω p là ánh xạ k- tuyến tính thay dấu Tập các dạng vi phân bậc k trên M làm thành một ¡ - không gian vectơ... xét: Phép nhân một hàm khả vi với một k- dạng vi phân là một kdạng vi phân Đònh lý Ω k(M) là một môđun trên F (M) Chứng minh Vi c chứng minh đònh lý này ta kiểm tra 8 tiên đề của không gian vectơ Khi Ω k(M) là một môđun, ta muốn Ω k(M) trở thành một đại số thì phải có thêm phép toán sau, gọi là tích ngoài của các dạng vi phân:  Tích ngoài của các dạng vi phân: Cho M là đa tạp khả vi n- chiều, (U, ϕ )... Ký hiệu: Ω 2(M) 2.2.2 Các phép toán trên các dạng vi phân Ta ký hiệu : Ω 0(M) = F (M) : vành các hàm khả vi trên M Bây giờ ta trang bò cho Ω k(M) các phép toán sau:  Phép cộng: ∂  ∂ Nếu  i1 , , ik ∂x  ∂x  k k ÷ ω ∈ Ω (M) và θ ∈ Ω (M) thì:  ω + θ : p a ω p + θ p , ∀ p ∈ M Nhận xét: Tổng của hai k- dạng vi phân là một k- dạng vi phân  Nhân một hàm khả vi với một k- dạng vi phân: ϕ ω : p a ϕ (p)... không gian vectơ hữu hạn chiều Từ đó xây dựng khái niệm các dạng vi phân trên đa tạp khả vi n- chiều, tích ngoài của các dạng vi phân, không gian các dạng vi phân, phép đổi biến trong các dạng vi phân và phép toán vi phân ngoài 2.1 Đại số ngoài 2.1.1 Đònh nghóa ánh xạ đa tuyến tính thay dấu Cho E1,E2,…,Ep là(p+1) không gian vectơ đònh chuẩn nh xạ f: E1 × E2 × … × Ep → F (x1,x2,…,xp) a f(x1,x2,…,xp)... Tập các vectơ tiếp xúc tại p là không gian con của không gian vectơ  ∂  các đạo hàm tại p, sinh bởi n vectơ  j ÷ p , j = 1, n  ∂ϕ   Nếu M là đa tạp khả vi n- chiều thì không gian tiếp xúc với M là T pM cũng là một đa tạp khả vi n- chiều Ví dụ: Lấy M =S = { (x,y,z) : x2+y2+z2 = 1 } là một đa tạp khả vi 2- chiều Khi đó không gian tiếp xúc với M tại p là một mặt... ) = (d α ) ∧ β + (-1)p α ∧ (d β ) c) Nếu ω là p- dạng vi phân bất kỳ thì d(d ω ) = 0 2.1.5.5 Các dạng vi phân trên không gian hữu hạn chiều Giả sử E là không gian hữu hạn chiều Vi c chọn một cơ sở trong E cho phép đồng nhất E với ¡ k Giả sử U là tập mở trong ¡ k Khi đó p- dạng vi phân ω tuỳ ý trên U được ( x) x ∧ ∧ x ∑ c vi t một cách duy nhất dưới dạng ω = i < . dựng khái niệm các dạng vi phân trên đa tạp khả vi n- chiều, tích ngoài của các dạng vi phân, không gian các dạng vi phân, phép đổi biến trong các dạng vi phân và phép toán vi phân ngoài. 2.1 tích trên đa tạp nghiên cứu về trường vectơ, dạng vi phân, tích phân, … trên đa tạp khả vi. Mục tiêu cơ bản của đề tài này là trình bày lại không gian các dạng vi phân trên đa tạp khả vi một cách. chúng trên không gian vectơ đònh chuẩn, các dạng vi phân trên không gian hữu hạn chiều và trên đa tạp, tích ngoài của các dạng vi phân ,không gian các dạng vi phân và một số ví dụ minh hoạ. Để hoàn