Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com Bài 1: Trong hệ tọa độ ,Oxy cho hình thoi ABCD cạnh AC có phương trình là: ,0317 =−+ yx hai đỉnh ,B D lần lượt thuộc các đường thẳng 1 : 8 0,d x y+ − = 2 : 2 3 0d x y− + = . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm. Giải: 1 2 ( ;8 ), (2 3; ).B d B b b D d d d∈ ⇒ − ∈ ⇒ − Khi đó D ( 2 3; 8)B b d b d= − + − + − uuur và trung điểm của BD là 2 3 8 ; . 2 2 b d b d I + − − + +    ÷   Theo tính chất hình thoi ta có : 8 13 13 0 0 . 0 6 9 9 0 1 AC BD AC b d b u BD I AC b d d I AC  ⊥ − + − = =    =  ⇔ ⇔ ⇔     ∈ − + − = = ∈      uuur uuur . Suy ra (0;8); ( 1;1)B D − . Khi đó 1 9 ; 2 2 I   −  ÷   ; ( 7 31; )A AC A a a∈ ⇒ − + . 2 1 15 . 15 2 2 2 ABCD ABCD S S AC BD AC IA BD = ⇒ = = ⇒ = 2 2 2 3 (10;3) ( ) 63 9 225 9 9 7 6 ( 11;6) 2 2 2 2 4 a A ktm a a a a A =         ⇒ − + + − = ⇔ − = ⇔ ⇒  ÷  ÷  ÷   = −         Suy ra (10;3)C . Bài 2: Trong hệ tọa độ ,Oxy cho hai đường thẳng 02: 1 =−− yxd và 022: 2 =−+ yxd . Giả sử 1 d cắt 2 d tại .I Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua )1;1(−M cắt 1 d và 2 d tương ứng tại BA, sao cho IAAB 3 = . Giải: 1 d cắt 2 d tại ).0;2(I Chọn ,)2;0( 10 dA ∈− ta có .22 0 =IA Lấy 20 );22( dbbB ∈− sao cho 263 000 == IABA 72)2()22( 22 =++−⇔ bb            − − ⇒     1 −= = ⇔=−−⇔ . 5 16 ; 5 42 )4;6( 5 6 4 06445 0 0 2 B B b b bb Suy ra đường thẳng ∆ là đường thẳng qua )1;1(−M và song song với . 00 BA Suy ra phương trình 0: =+∆ yx hoặc .067: =−+∆ yx 1 Nguyễn Công Mậu I d 1 d 2 A M B ∆ A 0 B 0 Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD. Điểm M 1 (0; ) 3 thuộc đường thẳng AB, điểm N(0; 7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương. Giải: Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’ thuộc AB, ta có: ' ' 2 4 2 5 N I N N I N x x x y y y = − =   = − = −  Phương trình đường thẳng AB: 4x + 3y – 1 = 0 Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: 2 2 4.2 3.1 1 2 4 3 d + − = = + AC = 2. BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có: 2 2 2 1 1 1 4d x x = + suy ra x = 5 suy ra BI = 5 hoctoancapba.com Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính 5 Tọa độ B là nghiệm của hệ: 2 2 4x 3y – 1 0 ( 2) ( 1) 5x y + =   − + − =  B có hoành độ dương nên B( 1; -1) Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng : 2 3 0x y ∆ + − = và hai điểm A(1; 0), B(3; - 4). Hãy tìm trên đường thẳng ∆ một điểm M sao cho 3MA MB+ uuur uuur nhỏ nhất. Giải: Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của IB. Khi đó I(1 ; -2), J( 5 ; 3 2 − ) Ta có : 3 ( ) 2 2 2 4MA MB MA MB MB MI MB MJ + = + + = + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Vì vậy 3MA MB+ uuur uuur nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của J trên đường thẳng ∆ Đường thẳng JM qua J và vuông góc với ∆ có phương trình: 2x – y – 8 = 0. Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 2 2 3 0 5 2 8 0 19 5 x x y x y y −  =  + − =   ⇔   − − =   =   . Vậy M( 19 2 ; 5 5 − ) Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm P( 7;8) − và hai đường thẳng 1 :2 5 3 0d x y+ + = ; 2 :5 2 7 0d x y − − = cắt nhau tại A . Viết phương trình đường thẳng 3 d đi 2 Nguyễn Công Mậu Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com qua P tạo với 1 d , 2 d thành tam giác cân tại A và có diện tích bằng 14,5 . Giải : Ta có A(1; 1) − và 1 2 d d ⊥ . hoctoancapba.com Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi 1 d , 2 d là: ∆ 1 : 7 3 4 0x y + − = và ∆ 2 : 3 7 10 0x y − − = 3 d tạo với 1 d , 2 d một tam giác vuông cân ⇒ 3 d vuông góc với ∆ 1 hoặc ∆ 2. . ⇒ Phương trình của 3 d có dạng: 7 3 0x y C + + = hay 3 7 0 ′ − + = x y C Mặt khác, 3 d qua ( 7;8)P − nên C = 25 ; C′ = 77 Suy ra : 3 : 7 3 25 0d x y+ + = hay 3 :3 7 77 0d x y− + = Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích bằng 29 2 ⇒ cạnh huyền bằng 58 Suy ra độ dài đường cao A H = 58 2 = 3 ( , )d A d • Với 3 : 7 3 25 0d x y + + = thì 3 58 ( ; ) 2 d A d = ( tm) • Với 3 :3 7 77 0d x y− + = thì 3 87 ( ; ) 58 d A d = ( loại ) Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh ( ) 2;1 ,B − điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc Ox ( 0 C x ≥ ), góc · 30 o BAC = ; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5 . Xác định toạ độ điểm A và C. Giải: Gọi C(c;0); A(0;a); ta có: 2 sin30 5 o BC R= = ( ) ( ) 2 2 2 5 2 0 1 5BC c⇒ = ⇔ + + − = 0 , 4 ( )c c loai ⇔ = = − Suy ra C(0 ;0) trùng với điểm O .Gọi H hình chiếu vuông góc điểm B trên Oy ta có tam giác BHA một nửa tam giác đều .Nên BA =2 BH do đó HA = 2 3 (0;1 2 3)A⇒ + hoặc (0;1 2 3)A − Vậy có (0;1 2 3)A − , B(-2 ;1) , C(0 ;0) hoặc (0;1 2 3)A + , B(-2 ;1) , C(0 ;0) Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) 2 2 : 6 2 6 0C x y x y+ − + + = và điểm A(1;3) ; Một đường thẳng d đi qua A, gọi B, C là giao điểm của đường thẳng d với (C). Lập phương trình của d sao cho AB AC+ nhỏ nhất. Giải: Tâm đường tròn (3; 1), 2; 2 5 ( , ) 2I R IA d I A R− = = = > = nên điểm A nằm ngoài (C) Ta có /( )A C P = AB.AC = d 2- - R 2 = 16 ; và 2 . 2.4 8AB AC AB AC+ ≥ = = dấu “=”xẩy ra ⇔ AB = AC = 4 . Khi đó d là tiếp tuyến của (C), d có dạng ( 1) ( 3) 0a x b y− + − = 3 0ax by a b⇔ + − − = 3 Nguyễn Công Mậu Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com Từ đó ta có 2 2 3 3 ( , ) 2 2 a b a a d I d a b − − − = ⇔ = + 2 0 3 4 4 3 b b ab a b =  ⇔ = ⇔  =  chọn 0 1 b a =   =  4 3 b a =  ∨  =  Vậy phương trình d : 1 , 3 4 15 0x x y = + − = Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): 2 2 2 4 8 0x y x y+ − + − = và điểm (7;7)M . Chứng minh rằng từ M kẻ đến (T) được hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. Giải: 2 2 ( ) ( 1) ( 2) 13 (1; 2); 13T x y I R⇔ − + + = ⇒ − = Ta có: (6;9) 117 13IM IM⇒ = > uuur . Suy ra điểm M nằm ngoài (T). Vậy từ M kẻ đến (T) được 2 tiếp tuyến Gọi K MI AmB = ∩ . Ta có ,MA MB IA IB= = ⇒ MI là đường trung trực của AB ⇒ KA = KB KAB KBA KAM KBM K ⇒ ∠ = ∠ = ∠ = ∠ ⇒ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB. PTTS MI: 1 2 2 3 x t y t = +   = − +  , ( )MI T∩ tại K 1 (3;1) và K 2 (-8;-12) Ta có 1 2 .AK AK< Vậy 1 K K≡ , tức là K(3;1) Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có 5,AB = ( 1; 1)C − − , đường thẳng AB có phương trình là 2 3 0x y+ − = và trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đường thẳng : 2 0x y∆ + − = . Tìm tọa độ các đỉnh A và .B Giải: Gọi ( ; )I x y là trung điểm của đoạn AB và ( ; ) G G G x y là trọng tâm của ABC∆ . Do 2 3 CG CI= uuur uur nên 2 1 2 1 ; . 3 3 G G x y x y − − = = Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình: 2 3 0 5 2 1 2 1 1 2 0 3 3 x y x x y y + − =  =   ⇔ − −   = − + − =    . Vậy (5; 1)I − Ta có 5 2 2 AB IA IB= = = Gọi ( )C là đường tròn có tâm (5; 1)I − và bán kính 5 2 R = 2 2 5 ( ) : ( 5) ( 1) 4 C x y⇒ − + + = . Tọa độ hai điểm ,A B là nghiệm của hệ phương trình: 4 Nguyễn Công Mậu Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com 2 2 2 3 0 4 6 . 5 1 3 ( 5) ( 1) 4 2 2 x y x x x y y y + − = = =       ⇔ ∨    − + + = = − = −       Vậy tọa độ hai điểm ,A B là 1 3 4; , 6; . 2 2     − −  ÷  ÷     Bài 10: Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: 3y = . Gọi (C) là đường tròn cắt d tại 2 điểm B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C cắt nhau tại O. Viết phương trình đường tròn (C), biết tam giác OBC đều. Giải: Gọi (C)có tâm I bán kính R. OI cắt BC tại H thì H là trung điểm BC và OH vuông góc BC =>H(0; 3 )=>OH= 3 . Do tam giác OBC đều nên OH= 3 3 2 2 BC BC= ⇔ = . Trong tam giác vuông IB có 2 1 . 1 3 HB HI HO IH= = ⇒ = 1 3 4 3 (0; ) (0; ) 3 3 3 HI OH I= = ⇒ uuur uuur Trong tam giác vuông IBH có 2 2 2 2 4 3 R IB IH HB= = + = Vậy phương trình đường tròn (C): 2 2 4 3 4 ( ) 3 3 x y+ − = Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) và đường thẳng ∆ : x – y + 1 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt ∆ ở 2 điểm A, B phân biệt sao cho ∆MAB vuông tại M và có diện tích bằng 2. Giải: Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình 2 2 2 ( ) ( )x a y b R− + − = hoctoancapba.com ∆MAB vuông tại M nên AB là đường kính suy ra ∆ qua I do đó: a - b + 1 = 0 (1) Hạ MH ⊥ AB có ( , ) 2 1 1 2 2 M MH d ∆ − + = = = 5 Nguyễn Công Mậu H O C B I Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com 1 1 . 2 .2 . 2 2 2 2 MAB S MH AB R R ∆ = ⇔ = ⇔ = Vì đường tròn qua M nên 2 2 (2 ) (1 ) 2 (2)a b− + − = Ta có hệ 2 2 1 0 (1) (2 ) (1 ) 2 (2) a b a b − + =   − + − =  Giải hệ được a = 1; b = 2. Vậy (C) có phương trình 2 2 ( 1) ( 2) 2x y− + − = Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm C(3; -3) và điểm A thuộc đường thẳng d: 3x + y -2 = 0. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng DM phương trình : x – y –2 = 0. Xác định tọa độ các điểm A, B, D. Giải: A ∈d ⇒ A(t; 2 -3t) Ta có: d(C; DM) = 2 1 d(A; DM) ⇒ | 4t -4 | = 8 ⇔| t - 1 | = 2    −= = ⇔ 1t 3t t = 3 ⇒ A(3, -7) (loại vì A, C phải khác phía đối DM) t = -1 ⇒ A(-1, 5) (thỏa mãn) Giả sử D(m; m-2). )3;5(D5m )1m()3m()7m()1m( 0)1m)(7m()3m)(1m( CDAD CDAD 2222 ⇒=⇔    ++−=−++ =+−+−+ ⇒      = ⊥ Gọi I là tâm của hình vuông ⇒ I là trung điểm của AC ⇒ I (1; 1) Do I là trung điểm của BD ⇒ B(-3; -1) Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh ( ) B 2;0 ; ( ) C 3;5− . G Là trọng tâm thuộc đường thẳng d có phương trình là 2x y 1 0+ − = và diện tích tam giác ABC bằng 5 2 . Hãy xác định tọa độ điểm A ? Giải: BC ( 5;5) BC 5 2pt : BC là:x + y-2=0= − ⇒ = uuur ABC GBC ABC 5 1 5 S S S 2 3 6 = ⇒ = = V V V . (G là trọng tâm tam giác ABC) G d : 2x y 1 0 G(x; 2x 1)3∈ + − = ⇒ − + 6 Nguyễn Công Mậu Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com GBC (G.BC) 2 2 7 x G( ; ) x 2 2x 1 2S 1 1 1 3 3 3 d x 1 4 4 11 BC 3 3 2 2 3 2 x G( ; ) 3 3 3 − −  = ⇒  − − + = = ⇔ = ⇔ + = ⇔  − −  = ⇒   V Với 2 7 4 11 G( ; ) A( 1;2);G( ; ) A( 3;6) 3 3 3 3 − − ⇒ − ⇒ − Bài 14: Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho ba đường d 1 : x – 2y + 1 = 0; d 2 : 3x – y – 2 = 0; d 3 : 2x + y + 1 = 0. Tìm điểm M trên d 1 điểm N trên d 2 sao cho MN = 5 và MN song song với d 3 Giải: M thuộc d 1 , N thuộc d 2 nên M(2a - 1; a), N(b; 3b - 2) 2 2 2 5 5 ( 2 1) (3 2) 5MN MN b a b a= ⇔ = ⇔ − + + − − = <=> (1) 3 3 / / . 0 ( 2 1;3 2).(2;1) 0 d MN d MN n b a b a a b⇔ = ⇔ − + − − = ⇔ = uuuur uur thay vào (1) ta được a = b = 0 hoặc a = b = 2 Vậy có 4 điểm thoả mãn bài toán là: M(-1; 0), N(0; -2) hoặc M(3; 2), N(2; 4) Bài 15: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:x 2 + y 2 – x – 4y – 2 = 0 và các điểm A(3 ;-5) ; B(7;-3). Tìm điểm M trên đường tròn (C ) sao cho P = MA 2 + MB 2 nhỏ nhất. Giải: -Đường tròn (C) có tâm 1 5 ( ;2), 2 2 I R = -Gọi H là trung điểm đoạn AB => H(5; -4). Xét tam giác MAB có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 MA MB AB AB MH P MA MB MH + = − ⇔ = + = + do đó P nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất hay M là giao điểm của OH với (C) mà 5 3 : 4 4 x t IH y t = +   = − −  , thay vào phương trình đường tròn ta được ptrình t 2 + 3t + 2 = 0 <=> t = -1 và t = -2 => với t = -1 thì M(2; 0), với t = -2 thì M(-1; 4) -Kiểm tra thấy M(2; 0) là điểm cần tìm Bài 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A , biết B và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Đường phân giác trong của góc ABC có phương trình là 2 5 0x y+ − = . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua điểm (6;2)K . Giải: (5 2 ; ), (2 5; )B b b C b b− − − , (0;0)O BC∈ 7 Nguyễn Công Mậu Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com Gọi I đối xứng với O qua phân giác trong góc ABC nên (2;4)I và I AB∈ Tam giác ABC vuông tại A nên ( ) 2 3;4BI b b= − − uur vuông góc với ( ) 11 2 ;2CK b b= − + uuur 2 1 (2 3)(11 2 ) (4 )(2 ) 0 5 30 25 0 5 b b b b b b b b =  − − + − + = ⇔ − + − = ⇔  =  Với 1 (3;1), ( 3; 1) (3;1)b B C A B= ⇒ − − ⇒ ≡ loại Với 5 ( 5;5), (5; 5)b B C= ⇒ − − 31 17 ; 5 5 A   ⇒  ÷   Vậy 31 17 ; ; ( 5;5); (5; 5) 5 5 A B C   − −  ÷   Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) 2 2 2 6 2 0x y x y+ + − + = và đường thẳng d: 2 0x y+ − = . Tìm các đỉnh của hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (C) biết đỉnh A thuộc d và có hoành độ dương. hoctoan capba.com Giải: + Đường tròn 2 2 ( 1) ( 3) 8x y+ + − = có tâm ( 1;3)I − bán kính 2 2R = + A thuộc d nên ( ;2 )A x x− . + Ta có 2 2 2 8 ( 1) (1 ) 8IA x x= ⇒ + + + = 2 ( 1) 4 1 3 ( ) x x x L ⇒ + = =  ⇔  = −  Vậy (1;1) ( 3;5)A C⇒ − . + Đường thẳng BD đi qua ( 1;3)I − vuông góc với IA nên nhận (2; 2)IA = − uur // (1; 1)u − r làm véc tơ pháp tuyến có phương trình: 4 0x y− + = . + Tọa độ giao điểm B, D thỏa mãn phương trình: 2 2 2 1 ( 1) ( 1) 8 ( 1) 4 3 x x x x x =  + + + = ⇔ + = ⇔  = −  + 1 5x y= ⇒ = + 3 1x y= − ⇒ = Vậy B(1;5) ⇒ D(-3;1) hoặc ngược lại. Bài 18: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 2 trục toạ độ và đường thẳng có phương trình 8x + 15y - 120 = 0. Giải: Giả sử d: 8x + 15y – 120 = 0 cắt Ox, Oy lần lượt tại A,B. Gọi I(a;b) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABO. Ta có: * 0 < a,b < 8 * Bán kính r = d(I,Ox) = d(I,Oy) = d(I,d) 8 Nguyễn Công Mậu Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com 2 2 3( ) 8 15 120 3 20( ) 17 : ( 3) ( 3) 9 a b tm a b a b r a b l PT x y = = + −  ⇔ = = ⇔ ⇒ =  = =  ⇒ − + − = Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3,2), trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là G( 2 2 , 3 3 ) và I(1,- 2). Xác định tọa độ đỉnh C. Giải: 7 4 (2;4), ; 3 3 IM GM   = =  ÷   uuur uuur Gọi A(x A ; y A ). Có 2A G GM= uuur uuur ⇒ A(-4; -2). Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ IM uuur làm vec tơ pháp tuyến nên có PT: 2(x - 3) + 4(y - 2) = 0 ⇔ x + 2y - 7 = 0 Gọi C(x; y). Có C ∈ BC ⇒ x + 2y - 7 = 0. Mặt khác IC = IA ⇔ 2 2 2 2 ( 1) ( 2) 25 ( 1) ( 2) 25x y x y− + + = ⇔ − + + = . Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 2 7 0 ( 1) ( 2) 25 x y x y − − =   − + + =  Giải hệ phương trình ta tìm được 5 1 x y =   =  và 1 3 x y =   =  . Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3). Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng :3 4 4 0x y∆ − + = . Tìm trên ∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC bằng15. Giải: . Gọi 3 4 16 3 ( ; ) (4 ; ) 4 4 a a A a B a + − ⇒ − . Khi đó diện tích tam giác ABC là 1 . ( ) 3 2 ABC S AB d C AB= → ∆ = . Theo giả thiết ta có 2 2 4 6 3 5 (4 2 ) 25 0 2 a a AB a a =  −   = ⇔ − + = ⇔  ÷  =    Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4). Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử 11 1 ; 2 2 M    ÷   và đường thẳng AN có phương trình 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A. Giải: 9 Nguyễn Công Mậu Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com Ta có : AN = 10 3 a ; AM = 5 2 a ; MN = 5 6 a ; cosA = 2 2 2 2 . AM AN MN AM AN + − = 1 2 ⇒ · 45 o MAN = (Cách khác :Để tính · MAN = 45 0 ta có thể tính · · 1 2 3 ( ) 1 1 1 2. 3 tg DAM DAN − − = = + ) Phương trình đường thẳng AM : ax + by 11 1 2 2 a b− − = 0 · 2 2 2 1 cos 2 5( ) a b MAN a b − = = + ⇔ 3t 2 – 8t – 3 = 0 (với t = a b ) ⇒ t = 3 hay 1 3 t = − + Với t = 3 ⇒ tọa độ A là nghiệm của hệ : 2 3 0 3 17 0 x y x y − − =   + − =  ⇒ A (4; 5) + Với 1 3 t = − ⇒ tọa độ A là nghiệm của hệ : 2 3 0 3 4 0 x y x y − − =   − − =  ⇒ A (1; -1) Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng ∆ : x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích ∆IAB lớn nhất. Giải: (C) : x 2 + y 2 + 4x + 4y + 6 = 0 có tâm là I (-2; -2); R = 2 Giả sử ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Kẻ đường cao IH của ∆ABC, ta có S ∆ ABC = · 1 IA.IB.sinAIB 2 = sin · AIB Do đó S ∆ ABC lớn nhất khi và chỉ khi sin · AIB = 1 ⇔ ∆AIB vuông tại I ⇔ IH = IA 1 2 = (thỏa IH < R) ⇔ 2 1 4m 1 m 1 − = + ⇔ 1 – 8m + 16m 2 = m 2 + 1 ⇔ 15m 2 – 8m = 0 ⇔ m = 0 hay m = 8 15 Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi MNPQ có M(1; 2), phương trình NQ là x y 1 0− − = .Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình thoi, biết rằng NQ = 2MP và N có tung độ âm. Giải: Phương trình MP là: x y 3 0+ − = I MP NQ= ∩ ⇒ tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình ( ) x y 1 0 x 2 I 2;1 x y 3 0 y 1 − − = =   ⇔ ⇒   + − = =   . 10 Nguyễn Công Mậu B A C D N M [...]... phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com I là trung điểm của MP nên suy ra P ( 3;0 ) phương trình NQ là x − y − 1 = 0 nên tọa độ N, Q có dạng (m; m-1) 2 2 2 2 2 2 Do NQ = 2MP ⇒ IN = 4IM ⇔ ( m − 2 ) + ( m − 2 ) = 4 ( 1 + 1 ) m = 4 2 ⇔ ( m − 2) = 4 ⇔  m = 0 Vì N có tung độ âm nên N(0; -1) ⇒ Q(4; 3) Vậy P ( 3;0 ) , N(0; -1), Q(4; 3) làcác đỉnh cần tìm Bài 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường... (−2;5); D(4;7) Bài 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, các đường thẳng chứa đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình lần lượt là: x − 2 y − 13 = 0 và 13 x − 6 y − 9 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I (−5 ; 1) Giải: + Theo giả thiết thì A(-3 ;-8) 11 Nguyễn Công Mậu Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com... ) = 0 ⇔ x − y + 1 = 0 x + y −1 = 0 ⇒ I ( 0;1) x − y +1 = 0 Tọa độ điểm I thỏa hệ:  Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK ⇒ tọa độ của K ( −1;0 ) Bài 31: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1; 0), B(0; 2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C và D Giải: u u ur Ta có: AB = ( −1; 2 ) ⇒ AB = 5 Phương trình của AB là: 2 x + y − 2... y −  = 4 t = ⇒ I2 11 11   11   11 11   12 Nguyễn Công Mậu Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com Bài 29: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x – 2y – 1 = 0, đường chéo BD: x – 7y + 14 = 0 và đường chéo AC qua điểm M(2 ; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật Giải: AC: kx – y – 2k + 1 = 0 3 cos CAB = cos DBA ⇔ 2 • k= k+2 k 2 +1 ⇔ 7 k 2 − 8k + 1 = 0 ⇔ k = 1;... 1 ⇔ ⇒ I ( 1; −3 ) R = IA = 5  3 x − y = 6  y = −3 Phương trình đường tròn là ( x − 1) + ( y + 3) = 25 2 2 Bài 28: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d 1: x – 2y + 3 = 0, d2 : 4x + 3y – 5 = 0 Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I trên d1, tiếp xúc d2 và có bán kính R = 2 Giải:  x = −3 + 2t , I∈ d1 ⇒ I ( −3 + t ; t ) y = t 27 7 d(I , d2) = 2 ⇔ 11t − 17 = 10 ⇔ t = , t = 11 11 2 2 27... Đường thẳng qua BC có phương trình là: 2x + y – 11 = 0 nên B(x B; 11-2xB) Mà IA = IB nên B(4; 3) hoặc B(2;7) + Vậy B(4; 3) và C(2;7) hoặc C(4; 3) và B(2;7) là hai nghiệm cần tìm Bài 26: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d 1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp... Giải: + Giả sử B( xB ; yB ) ∈ d1 ⇒ xB = − yB − 5; C ( xC ; yC ) ∈ d 2 ⇒ xC = −2 yC + 7  xB + xC + 2 = 6  yB + yC + 3 = 0 Vì G là trọng tâm nên ta có hệ:  + Từ cácu u phương trình trênuta có: B(-1;-4) ; C(5;1) ur uu r + Ta có BG (3; 4) ⇒ VTPT nBG (4; −3) nên phương trình BG: 4x – 3y – 8 = 0 + Bán kính R = d(C; BG) = 9 81 ⇒ phương trình đường tròn là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 5 25 Bài 27: Trong mặt phẳng. .. điểm của AC và BD nên ta có: C ( 2t − 1; 2t ) , D ( 2t ; 2t − 2 ) Mặt khác: S ABCD = AB.CH = 4 (CH: chiều cao) 13 Nguyễn Công Mậu Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com 4 5  4 5 8 8 2 | 6t − 4 | 4 t = 3 ⇒ C  3 ; 3 ÷, D  3 ; 3 ÷ = ⇔     Ngoài ra: d ( C ; AB ) = CH ⇔ 5 5 t = 0 ⇒ C ( −1;0 ) , D ( 0; −2 )  ⇒ CH = 5 8 8 2 Vậy tọa độ của C và D là C  ;... mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) nội tiếp hình vuông ABCD có phương trình: ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 10 Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm M (−3; −2) và điểm A có hoành độ dương Giải: Phương trình đường thẳng đi qua M(-3;-2) có dạng ax + by + 3a + 2b = 0 (a 2 + b 2 > 0) Đường tròn (C) có tâm I(2;3) và bán kính R = 10 (C) tiếp xúc với AB nên d ( I... đường tròn là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 5 25 Bài 27: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng (d ) có phương trình: 2 x − y − 5 = 0 và hai điểm A(1;2) ; B(4;1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (d ) và đi qua hai điểm A , B Giải: Phương trình đường trung trực của AB là 3 x − y − 6 = 0 Tọa độ tâm I của đường tròn là nghiệm của hệ: 2 x − y = 5  x = 1 ⇔ ⇒ I ( 1; −3 ) R = IA = 5  3 x . Mậu I d 1 d 2 A M B ∆ A 0 B 0 Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD. Điểm M 1 (0; ) 3 . Luyện thi đại học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoctoancapba.com Bài 1: Trong hệ tọa độ ,Oxy cho hình thoi ABCD cạnh AC có phương trình là: , 0317 =−+ yx hai đỉnh ,B D lần lượt. + − = Ta có hệ 2 2 1 0 (1) (2 ) (1 ) 2 (2) a b a b − + =   − + − =  Giải hệ được a = 1; b = 2. Vậy (C) có phương trình 2 2 ( 1) ( 2) 2x y− + − = Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình