CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT I. HÌNH HỌC PHẲNG 1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho A BCD vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có: 2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường a) Định lí hàm số cosin b) Định lí hàm số sin c) Công thức tính diện tích của tam giác 1 A C B R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) b c a A B C bc a – nửa chu vi – bán kính đường tròn nội tiếp A B C bc a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 2 cos cos 2 2 cos cos 2 b c a a b c bc A A bc a c b b a c ac B B ac a b c c a b ab C C ab + - * = + - =Þ + - * = + - =Þ + - * = + - =Þ A B C H M  ( ) 2 2 2 BC A B A C Pitago= +  . .A H BC A B A C=  2 2 . , .A B BH BC A C CH CB= =  2 2 2 2 1 1 1 , .A H HB HC A H A B AC = + =  2 BC A M = d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác 2 2 2 2 2 4 A B A C BC A M + * = - . 2 2 2 2 2 4 BA BC A C BN + * = - . 2 2 2 2 2 4 CA CB A B CK + * = - . 3/ Định lí Talet 4/ Diện tích của đa giác a/ Diện tích tam giác vuông  Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc vuông. b/ Diện tích tam giác đều  Diện tích tam giác đều: . 3 4 S D =  Chiều cao tam giác đều: . 3 2 h D = c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật  Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.  Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2 .  Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng. 2 A B C NK M 2 2 / / A MN A BC A M A N MN MN BC k A B A C BC S A M k S A B D D * = = =Þ æ ö ÷ ç ÷ * = = ç ÷ ç ÷ ç è ø (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng) A B C NM A C B 1 . 2 A BC S A B A C D =Þ A B C a h 2 3 4 3 2 A BC a S a h D ì ï ï = ï ï ï Þ í ï ï = ï ï ï î A B CD a O 2 2 HV S a A C BD a ì = ï ï ï Þ í ï = = ï ï î (cạnh) 2 đều (cạnh) đều d/ Diện tích hình thang  Diện tích hình thang: S Hình Thang 1 2 = .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc  Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo.  Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại trung điểm của mỗi đường. Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác. II. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Quan Hệ Song Song a/ Chứng minh đường thẳng // ( )d mp a với ( ) ( )d a Ë  Chứng minh: // 'd d và ' ( )d a Ì  Chứng minh: ( )d b Ì và ( ) // ( ) b a b/ Chứng minh ( ) // ( )mp mp a b  Chứng minh ( )mp a chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với ( ) mp b .  Chứng minh ( )mp a và ( ) mp b cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng. c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau  Hai ( ) ( ),mp a b có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song ,a b thì ( ) // // ( ) Sx a b a b =Ç .  ( ) ( ) // // ( ) ( ) a mp b a a mp a a b b ì ï ï ï =Þ Ç í ï Ì ï ï î . 2. Quan Hệ Vuông Góc a/ Chứng minh đường thẳng ( ) d mp a ^  Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong ( )mp a . 3 A B H C D ( ) . 2 A D BC A H S + =Þ A B D C . 1 . 2 H Thoi S A C BD=Þ Chng minh: ( ) // ' ' d d d mp a ỡ ù ù ù ị ớ ù ^ ù ù ợ ( ) d mp a ^ Chng minh: ( ) ( ) ( ) // d mp mp mp b b a ỡ ù ^ ù ù ị ớ ù ù ù ợ ( ) d mp a ^ Hai mt phng ct nhau cung vuụng goc vi mt phng th 3 thi giao tuyờn cua chung vuụng goc vi mt phng th 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P d P d a b a b ỡ ù ^ ù ù ù ù ^ ^ị ớ ù ù ù =ầ ù ù ợ b/ Chng minh ng thng 'd d^ Chng minh ( ) d a ^ va ( ) 'd a ẫ . S dung inh ly ba ng vuụng goc. Chng to goc gia d va 'd bng 0 90 . c/ Chng minh ( ) ( ) mp mp a b ^ Chng minh ( ) ( ) ( ) ( ) d mp mp d a a b b ỡ ù ẫ ù ù ^ị ớ ù ^ ù ù ợ (chng minh mp cha 1 ng thng vuụng goc vi mp kia) Chng to goc gia hai mt phng bng 0 90 . 3/ Gúc V Khong Cỏch. a/ Goc gia hai ng thng La goc tao bi hai ng thng ct nhau lõn lt ve cung phng vi hai ng thng o: ả ã // // ' ( , ) ( ', ') ' a a a b a b b b f ỡ ù ù = =ị ớ ù ù ợ b/ Goc gia ng thng d va mt phng ( ) mp a La goc tao bi ng thng o va hinh chiờu cua no trờn mt phng. ( ) ã ã , ( , ')d d d a f ộ ự = = ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ (vi 'd la hinh chiờu vuụng goc cua d lờn ( )mp a ). 4 d 'd a b 'a 'b c/ Góc giữa hai ( ) mp a và ( ) mp b  Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u , 2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên 2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến. ( ) · ( ) ¶ ( ); ( , )a b a b f = = d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:  Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng ( ) ,d M MH=D e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:  Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng) này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia. f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song  Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng. g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.  Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến ( ) mp a chứa 'd và song song với d .  Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) ( ) , a b lần lượt chứa d và 'd . 5 α β φ a b u M d 'd M M D H M d 'd S A B C H O A B C D S O H 4/ Hinh Chóp Đều a/ Định nghĩa. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. Nhận xét:  Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.  Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. b/ Hai hình chóp đều thường gặp * Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều .S A BC . Khi đó:  Đáy A BC là tam giác đều.  Các mặt bên là các tam giác cân tại S .  Chiều cao: SO .  Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: · · · SAO SBO SCO= = .  Góc giữa mặt bên và mặt đáy: · SHO .  Tính chất: 2 1 3 , , 3 3 2 A B A O A H OH A H A H= = = .  Lưu ý : Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều. + Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều. + Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy. * Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều .S A BCD .  Đáy A BCD là hình vuông.  Các mặt bên là các tam giác cân tại S .  Chiều cao: SO .  Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: · · · · SAO SBO SCO SDO= = = .  Góc giữa mặt bên và mặt đáy: · SHO . 6 A B 5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp a/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy. Ví dụ: Hình chóp .S A BC có cạnh bên ( ) SA A BC^ thì chiều cao là SA . b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy. Ví dụ: Hình chóp .S A BCD có mặt bên ( ) SAB vuông góc với mặt đáy ( ) A BCD thì chiều cao của hình chóp là chiều cao của SABD . c/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy. Ví dụ: Hình chóp .S A BCD có hai mặt bên ( ) SAB và ( ) SAD cùng vuông góc với mặt đáy ( ) A BCD thì chiều cao là SA . d/ Hình chóp đều: Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy. Ví dụ: Hình chóp tứ giác đều .S A BCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuông A BCD thì có đường cao là SO . 6/ Thể Tích Khối Đa Diện 1/ Thể tích khối chóp: 1 . 3 V B h= :B Diện tích mặt đáy. :h Chiều cao của khối chóp. 2/ Thể tích khối lăng trụ: .V B h= :B Diện tích mặt đáy. :h Chiều cao của khối chóp. Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là cạnh bên. 7 C D S O C A B B’ A’ C’ A B C A’ B’ C’ a b c a a a S A ’ B ’ C ’ A B C 3/ Thể tích hình hộp chữ nhật: . .V a b c= Þ Thể tích khối lập phương: 3 V a= 4/ Tỉ số thể tích: . ' ' ' . ' ' ' . . S A B C S AB C V SA SB SC V SA SB SC = 5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC ( ) ' ' 3 h V B B BB= + + Với , ',B B h là diện tích hai đáy và chiều cao. B. BÀI TẬP MẪU Thí dụ 1. Cho hình chóp .S A BC có đáy là tam giác vuông tại · 0 , 30 ,B BA C SA A C a= = = và SA vuông góc với ( ) mp A BC .Tính thể tích khối chóp .S A BC và khoảng cách Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chóp .S A BC . * Ta có: ( ) . 1 . . 1 3 S ABC A BC V S SA D = * Trong đó: ( ) 2SA a= * Tìm A BC S D ? Trong A BCD vuông tại B , ta có: 0 0 0 0 . sin 30 sin 30 2 3 cos 30 . cos 30 2 a BC BC A C A C A B a A B A C A C ì ì ï ï ï ï = = = ï ï ï ï ï ï Û í í ï ï ï ï = = = ï ï ï ï ï î ï î ( ) 2 1 1 3 3 . . . 3 2 2 2 2 8 A BC a a a S A B BC D = = =Þ 8 S A C B 3 0 0 a * Thay ( ) ( ) 2 , 3 vao ( ) 2 3 . 1 3 3 1 . 3 8 24 S AB C a a V a= ì =ị (vtt) ( ) 4 Tinh khong cỏch t A n ( ) mp SBC . * Ta co: ( ) ( ) ( ) . . 3. 1 , . , 5 3 S A BC S A BC SBC SB C V V d A SBC S d A SBC S D D ộ ự ộ ự = =ị ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ ở ỷ * Tim SBCD ? Ta co: ( ) BC A B BC mp SAB BC SB SBC BC SA ỡ ù ^ ù ^ ^ị ị ị D ớ ù ^ ù ợ vuụng tai B . 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 . . . . . 2 2 2 2 2 SB C a a S BC BS A C A B SA A B a a D ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ = = - + = - +ị ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ( ) 2 1 7 7 6 2 2 2 8 a a a = ì ì = * Thờ ( ) ( ) 4 , 6 vao ( ) 5 ( ) 3 2 3 8 21 , 3 24 7 7 a a d A SBC a ộ ự = ì ì =ị ờ ỳ ở ỷ . Thi du 2. Cho hỡnh chúp .S A BCD cú ỏy A BCD l hỡnh ch nht cú , 2A B a BC a= = . Hai ( ) mp SAB v ( ) mp SAD cung vuụng gúc vi mt phng ỏy, cnh SC hp vi ỏy mt gúc 0 60 . Tớnh th tớch khi chúp .S A BCD theo a . Bai giai tham khao ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SA B A BCD SA D A BCD SA ABCD SA B SAD SA ỡ ù ^ ù ù ù ^ ^ị ớ ù ù =ầ ù ù ợ . ị Hinh chiờu cua SC lờn ( ) mp A BCD la A C . ( ) ã ã 0 , 60SC A BCD SCA ộ ự = =ị ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ . Ma: ( ) . 1 . 1 3 S A BCD A CBD V SA S= . Tim ?SA 9 S A D B C 6 0 0 Trong SACD vuụng tai A : ã ã t an . t an SA SCA SA A C SCA A C = =ị ( ) 2 2 0 2 2 . t an 60 (2 ) . 3 15 2A B BC a a a= + = + = . Ta lai co: ( ) 2 . .2 2 3 A BCD S A B BC a a a= = = . Thay ( ) ( ) 2 , 3 vao ( ) 3 2 1 2 15 1 15 2 3 3 A BCD a V a a= ì ì =ị (vtt). Thi du 3. Hỡnh chúp .S A BC cú 2BC a= , ỏy A BC l tam giỏc vuụng ti ,C SA B l tam giỏc vuụng cõn ti S v nm trong mt phng vuụng gúc vi mt ỏy. Gi I l trung im cnh A B . a/ Chng minh rng, ng thng ( ) SI mp A BC^ . b/ Bit ( ) mp SAC hp vi ( ) mp A BC mt gúc 0 60 . Tớnh th tớch khi chúp .S A BC . Bai giai tham khao a/ CM: ( ) SI mp A BC^ Do SABD vuụng cõn tai co SI la trung tuyờn ị SI cung ụng thi la ng cao SI AB^ị . Ta co: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SA B A BC A B SA B A BC SI mp ABC A B SI SA B ỡ ù ^ ù ù ù = ^ầị ớ ù ù ^ è ù ù ợ (pcm) b/ Tinh thờ tich khụi chop .S A BC Goi K la trung iờm cua oan A C . SKị va la trung tuyờn va la ng cao trong SAC SK A C^D ị . Trong A BCD vuụng tai C co KI la ng trung binh. //KI BC KI A C BC A C ỡ ù ù ^ị ị ớ ù ^ ù ợ . Mt khac: ( ) ( ) ã ã 0 ( ) ( ) { } ( ) ; 60 ( ) mp A BC mp SAC A C KI A C mp A B C mp SA C mp A BC SKI SK A C mp SA C ỡ ù ^ = ù ù ộ ự ù ^ = =ị è ị ớ ờ ỳ ù ờ ỳ ở ỷ ù ^ è ù ù ợ . Ma: ( ) . 1 . 1 3 S A BC A BC V S SI D = Tim ?SI 10 S A B C I K 6 0 0 2 a [...]... Bi 1 (Trich ờ thi tuyờn sinh Cao ng khụi A,B,D 2011) Cho hinh chop S A BC co ay A BC la tam giac vuụng cõn tai B , A B = a, SA ^ ( A BC ) , goc gia mp ( SBC ) va mp ( A BC ) bng 300 Goi M la trung iờm cua canhSC Tinh thờ tich khụi chop S A BM theo a 1 HD: Cm : BC ^ ( SA B ) , Ke MN // BC , V S A BM = V M SA B = S D SA B MN 3 S: ( 2) ị V S A BM = V M SA B = a 3 3 36 Bi 2 (Trich ờ thi tuyờn sinh... ay A BCD Goi M , N , P lõn lt la trung iờm cua SB , BC ,CD Tinh thờ tich khụi t diờnCMNP HD: Goi H la trung iờm cua A D thi S SH ^ A D ị SH ^ ( A BCD ) MK // SH ( K ẻ HB ) ị MK ^ V CMNP = = ( A BCD ) M 1 S MK 3 DCNP A 1 a 2 a 3 a 3 3 = 3 8 4 96 B K H D 13 P N C Bi 3 (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B 2006) Cho hinh chop S A BCD co ay A BCD la hinh ch nhõt vi A B = a, A D = a 2, SA = a va SA... ỳ= A ' IH = 60 (ã ù ờ ỳ ở ỷ ù A C ^ A ' I è (A CC ' A ') ù ù ợ Trong D A ' HI vuụng tai H , ta co: t an 450 = B A 'H 1 a 3 ị A ' H = IH t an 45 o = IH = MB = HI 2 4 11 ( 3) C B 3 a 3 3a 3 = 4 4 16 Thi du 5 Cho hỡnh lng tr ng A BC A ' B 'C ' cú ỏyA BC l tam giỏc vuụng ti ã A , A C = a, A CB = 600 ng chộo BC ' ca mt bờn ( BC 'C 'C ) to vi Thay ( 2) , ( 3) vao ( 1) ị V A BC A ' B 'C ' = a 2 mt phng... : A C Â = A B cot 300 = a 3 3 = 3a Trong tam giỏc vuụng A CC ' : A C B CC ' = A C '2 - A C 2 = (3a )2 - a 2 = 2a 2 1 1 Vy, th tớch lng tr l: V = B h = A B A C CC ' = a 3.a 2a 2 = a 3 6 2 2 (vdt) Thi du 6 Cho hỡnh chúp u S A BCD cú cnh ỏy 2a , gúc gia mt bờn v mt ỏy bng 600 Tớnh th tớch ca hỡnh chúp S A BCD Bai giai tham khao Tinh thờ tich khụi chop S A BCD GiO l tõm ca mt ỏy thỡ SO ^ mp ( A... 2 S D A BC ? Tim 2 1 1 1 S D A BC = BC A C = BC A B 2 - BC 2 = BC ( 2SI ) - BC 2 2 2 2 2 2 1 = 2a 2a 3 - ( 2a ) = 2a 2 2 ( 3) 2 ( ) 3 Thờ ( 2) , ( 3) vao ( 1) ị V S A BC = 1 2a 2 2.a 3 = 2a 6 3 3 Thi du 4 Cho hỡnh lng tr A BC A ' B 'C ' cú ỏyA BC l tam giỏc u cnh bng a Hỡnh chiu vuụng gúc ca A ' xung mp ( A BC ) l trung im caA B Mt bờn ( A A 'C 'C ) to vi ỏy mt gúc bng 45o Tớnh th tớch ca khi... trung iờm cua cac oan thng A B , A C , A M V A BC A ' B 'C ' = B h = S DA BC A ' H A ( 1) 2 2 Do D A BC ờu nờn: S D A BC = BC 3 = a 3 ( 2) 4 4 Tim A ' H ? DoIH la ng trung binh trong ờu D A MB , ụng thi BM la trung tuyờn nờn cung la ng H A cao ỡ IH // MB ù I ù ị IH ^ A C va a Do o: ớ M ù MB ^ A C ù ợ ỡ AC ^ A 'H ù C ù ị A C ^ ( A ' HI ) ị A C ^ A ' I ớ ù A C ^ IH ù ợ ỡ (A BC ) ầ (A CC ' A ') = {A... ứ 3 3 3 3 ù ố ữ ù ợ 2 ổ 3ử ỗa ữ ữ+ A B 2 = a2 = ỗ ữ ỗ ữ ỗ 3 ứ ữ ỗ ố B A I M D 2 ổ 6ử ỗa ữ ữ = A I 2 + BI 2 ịD A IB vuụng tai I ỗ ữ ỗ ữ ỗ 3 ứ ữ ỗ ố C 1 a2 2 a a3 2 V N A IB = = 3 6 2 36 Bi 4 (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi B 2009) Cho lng tru tam giac A BC A ' B 'C ' co BB ' = a , goc gia ng thng BB ' va mp ( A BC ) bng 600 , tam giac A BC vuụng taiC va goc ã BA C = 600 Hinh chiờu vuụng goc cua... BC ca mt bờn BBCC to vi mt phng ( AACC) mt gúc 300 a) Chng minh tam giỏc ABC ' vuụng ti A b) Tớnh di on AC c) Tớnh th tớch ca khi lng tr ABC.ABC t ú suy ra th tớch ca khi chúp C.ABC HD: Bi 8: (Trich ờ thi tuyờn sinh ai hoc khụi A 2006) 16 Cho hinh lõp phng A BCD A ' B 'C ' D ' co canh bng 1 Goi M , N lõn lt la trung iờm cua A B va CD Tinh khoang cach gia hai ng thng A 'C va MN HD: PP ta S: d ( MN . CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT I. HÌNH HỌC PHẲNG 1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho A BCD vuông tại A, AH là đường cao, AM. tích hai đáy và chiều cao. B. BÀI TẬP MẪU Thi dụ 1. Cho hình chóp .S A BC có đáy là tam giác vuông tại · 0 , 30 ,B BA C SA A C a= = = và SA vuông góc với ( ) mp A BC .Tính thể tích khối. h A B A C CC a a a a= = = = (đvdt). Thi dụ 6. Cho hình chóp đều .S A BCD có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 . Tính thể tích của hình chóp .S A BCD . Bài giải tham