Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 1 Chuyên đề : ĐẠI SỐ TỔ HỢP §1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 1.1 Quy tắc cộng Ví dụ: Có 8 quả táo và 6 quả lê. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một trong các quả ấy? Hd  Có 8 cách chọn táo và 6 cách chọn lê, và khi chọn táo (hoặc lê) thì không chọn lê (hoặc táo).  Do đó có cả thảy   cách chọn một trong 14 quả đã cho. Quy tắc cộng: Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y, và nếu cách chọn đối tượng x, không trùng với bất kỳ cách chọn đối tƣợng y nào, thì có  cách chọn đối tượng “x hoặc y”. Tổng quát, quy tắc cộng có thể phát biểu nhƣ sau: Nếu có   cách chọn đối tƣợng   ,   cách chọn đối tƣợng   ,…,   cách chọn đối tƣợng   , và nếu cách chọn   không trùng với bất kỳ cách chọn đối tƣợng   nào  , thì có          cách chọn đối tƣợng “      ”. Ví dụ: Từ các chữ số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có chữ số khác nhau? Giải  Số có 1 chữ số lập được từ các chữ số 1; 2; 3: Có 3 số là 1; 2; 3.  Số có 2 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1; 2; 3: Có 6 số là 12; 21; 13; 31; 23; 32.  Số có 3 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1; 2; 3: Có 6 số là 123; 132; 213; 231; 312; 321.  Vì các cách lập trên đôi một không trùng nhau, nên theo quy tắc cộng, có cả thảy       cách lập những số khác nhau có chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 3. 1.2 Quy tắc nhân Ví dụ: Từ tỉnh A tới tỉnh B có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, tàu thủy, hoặc máy bay. Từ tỉnh B tới tỉnh C có thể đi bằng tàu thủy hoặc máy bay. Muốn đi từ A tới C, bắt buộc phải qua B. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A tới tỉnh C ? Giải  Ứng với mỗi cách đi từ tỉnh A tới tỉnh B, có 2 cách đi từ tỉnh B tới tỉnh C.  Vì có 4 cách đi từ tỉnh A tới tỉnh B, nên có cả thảy  cách đi từ tỉnh A tới tỉnh C. Quy tắc nhân: Nếu có m cách chọn đối tượng x, và sau đó, với mỗi cách chọn đối tượng x như thế, có n cách chọn đối tượng y, thì có  cách chọn đối tượng “x rồi y”. Tổng quát, quy tắc nhân có thể phát biểu nhƣ sau: Nếu có   cách chọn đối tƣợng   , sau đó, với mỗi cách chọn đối tƣợng   nhƣ thế, có   cách chọn đối tƣợng   ; sau đó, với mỗi cách chọn     nhƣ thế, có   cách chọn đối tƣợng   ;…; Cuối cùng, với mỗi cách chọn       nhƣ thế, có   cách chọn đối tƣợng   , thì có       cách chọn đối tƣợng “        ”. Quy tắc nhân có thể phát biểu ngắn gọn hơn như sau: Nếu một phép chọn đƣợc thực hiện qua n bƣớc liên tiếp: Bƣớc 1 có   cách; Bƣớc 2 có   cách;…; Bƣớc n có   cách, thì phép chọn đó có thể đƣợc thực hiện theo       cách khác nhau. Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 2 Ví dụ 1: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số ? Giải  Gọi     ,     và số cần tìm là                thỏa:                      .  Chọn       : Có 6 cách.  Chọn   : Có 7 cách.  Chọn   : Có 4 cách.  Vậy theo quy tắc nhân có  cách lập các số thỏa mãn ycbt. Nói cách khác, từ các chữ số đã cho, có thể lập được 168 số chẵn có 3 chữ số. Ví dụ 1’: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau ? Giải  Gọi     ,     và số cần tìm là                thỏa:                    .  Trường hợp   : + Chọn   : Có 1 cách. + Chọn        : Có 6 cách. + Chọn          : Có 5 cách. + Do đó theo quy tắc nhân có  số cần tìm (có chữ số tận cùng bằng 0).  Trường hợp       : + Chọn   : Có 3 cách. + Chọn        : Có 5 cách. + Chọn          : Có 5 cách. + Do đó theo quy tắc nhân có  số cần tìm (có chữ số tận cùng bằng 2; 4 hoặc 6).  Vì các trường hợp trên không giao nhau nên theo quy tắc cộng có cả thảy   số cần tìm. Nói cách khác, từ các chữ số đã cho, có thể lập được 105 số chẵn có 3 chữ số khác nhau. Ví dụ 2: Từ các chữ số 1; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số ? KQ: 256 Ví dụ 2’: Từ các chữ số 1; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? KQ: 4! Ví dụ 3: Có bao nhiêu số có 2 chữ số, mà tất cả các chữ số đều là chẵn ? KQ: 20 Ví dụ 3’: Có bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau, mà tất cả các chữ số đều là chẵn ? KQ: 16 Ví dụ 4: Có bao nhiêu số có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số giữa đều giống nhau? KQ: 900 Ví dụ 5: Có bao nhiêu số có 6 chữ số và chia hết cho 5? KQ: 180.000 Ví dụ 5’: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5? KQ: Chú ý 1:Sự khác nhau cơ bản giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân là:  Quy tắc cộng: Các hành động độc lập với nhau.  Quy tắc nhân: Các hành động liên tiếp nhau. Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 3 Dạng 1: Các bài toán sử dụng quy tắc cộng. PHƢƠNG PHÁP: Để thực hiện yêu cầu bài toán, nếu ta chia thành các trường hợp (phương án) khác nhau thì dùng quy tắc cộng. Bt 1: Một trường THPT được cử 1 học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn 1 học sinh tiên tiến trong lớp 11A hoặc lớp 11B. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có 15 học sinh tiên tiến và lớp 11B có 13 học sinh tiên tiến. Bt 2: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 2 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số ? Dạng 2: Các bài toán sử dụng quy tắc nhân. PHƢƠNG PHÁP: Để thực hiện yêu cầu bài toán, nếu ta chia thành các công đoạn (các bước) liên tiếp thì dùng quy tắc nhân. Bt 3: Cho 3 thành phố A, B, C. Biết rằng từ thành phố A đi đến thành phố B có 4 con đường khác nhau; Từ thành phố B đến thành phố C có 6 con đường khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C mà phải qua B. Bt 4: Đội bóng bàn của thành phố A có 5 đấu thủ và của thành phố B có 4 đấu thủ. Cần chọn 1 đấu thủ của thành phố A để đấu với đấu thủ của thành phố B. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế? Bt 5: Cho 8 chữ số . Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. Bt 6: Một học sinh phải thi 3 môn trong 6 ngày từ thứ hai đến thứ bảy (mỗi ngày chỉ thi 1 môn). Hỏi nhà trường có bao nhiêu khả năng lâp lịch thi. Dạng 3: Các bài toán phối hợp hai quy tắc Bt 7: Một ban nhạc có 7 nam, 11 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn: a) Một người ra hát. b) Một đôi song ca nam nữ. Bt 8: Trong một hộp có chứa 5 viên bi xanh và 9 viên bi đỏ, các viên bi đôi một khác nhau. Có bao nhiêu khả năng: a) Lấy ra từ hộp 1 viên bi. b) Lấy ra từ hộp 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi đỏ. Bt 9: Cho tập     . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu: a) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau mà không chia hết cho 5? b) Số chẵn gồm 6 chữ số, biết chữ số thứ ba luôn lẻ? c) Số gồm 5 chữ số khác nhau sao cho chữ số 5 luôn có mặt trong các số đúng 1 lần và chữ số đầu tiên lẻ. Bt 10: Một nữ sinh trung học, khi đến trường có thể chọn một trong 2 cách trang phục là: Quần xanh áo sơ mi, hoặc áo dài quần trắng. Biết nữ sinh đó có 7 quần trắng, 5 áo dài, 4 quần xanh và 6 áo sơ mi; Hỏi cô có bao nhiêu bộ trang phục? Bt 11: Một người có 7 áo; trong đó có 3 áo trắng và 5 cà vạt, trong đó có 2 cà vạt màu vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn áo và cà vạt nếu: a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được. b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng. Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 4 Bài tập ôn Bt 12: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách văn, 2 quyển sách ngoại ngữ. a) Nếu chọn 2 quyển sách thì có bao nhiêu cách chọn. b) Nếu chọn 2 quyển sách khác thể loại thì có bao nhiêu cách chọn. Bt 13 (Đh XD 1998): Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số . Bt 14 (Db A_2008): Cho tập hợp     . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số của E. Bt 15 (Db D_2006): Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau và mỗi số được lập đều nhỏ hơn 25000. Bt 16 (Db A_2007): Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau. Bt 17: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 1000. Bt 18: Có bao nhiêu số tự nhiên là ước dương của số       . Bt 19: Mỗi cạnh của một hình vuông được chia thành n đoạn bằng nhau bởi   điểm chia (không tính 2 đầu mút mỗi cạnh). Gọi a_số tứ giác tạo thành và b_số các hình bình hành trong a tứ giác đó. Xác định n biết . Bt 20: Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt. Hỏi có: a) Bao nhiêu vectơ khác    có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập n điểm đã cho. b) Bao nhiêu đoạn thẳng với 2 đầu mút thuộc tập n điểm đã cho. §2. HOÁN VỊ_ CHỈNH HỢP_ TỔ HỢP 2.1 Hoán vị a) Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử   . Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp A (Gọi tắt là một hoán vị của A). b) Quy ƣớc & tên gọi: Cho , khi đó  Đọc là n giai thừa và được tính như sau:   và . c) Số các hoán vị: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:    2.2 Chỉnh hợp a) Định nghĩa: Cho tập hợp D có n phần tử   . Khi đó lấy ra k phần tử của D và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của D (Gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của D). b) Số các chỉnh hợp: Số các chỉnh hợp chập kcuar một tập hợp có n phần tử là:                        , với . Chú ý 2:Do ta quy ước     nên công thức          đúng với mọi . Nhận xét 1: Cho tập D có n phần tử. Khi đó một hoán vị của D chính là một chỉnh hợp chập n của D. Vậy      . 2.3 Tổ hợp a) Định nghĩa: Cho tập hợp D có n phần tử   . Mỗi tập con của D có k () phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của D (Gọi tắt là một tổ hợp chập k của D). b) Số các tổ hợp : Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là:                với . Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 5 c) Hai tính chất cơ bản của số    : i)       . 2i)           . d) Sự giống và khác nhau giữa chỉnh hợp & tổ hợp:  Sự giống nhau giữa chỉnh hợp & tổ hợp là cả hai đều chọn k phần tử từ một tập hợp có n phần tử .  Sự khác nhau giữa 2 khái niệm là ở chỉnh hợp có sự sắp xếp thứ tự, vai trò, vị trí các phần tử được chọn là khác nhau; Còn ở tổ hợp thì k phần tử được chọn không được xếp thứ tự, chúng có vai trò như nhau. Dạng 4: Một số bài tập về hoán vị. Bt 21: Cho tập hợp A    . Hãy viết tất cả các hoán vị của tập A. Bt 22: Cho 5 chữ số . a) Hãy viết 4 hoán vị của tập hợp 5 chữ số đã cho. b) Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? c) Hỏi có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? d) Tìm tổng của tất cả các số tự nhiên đã nói ở câu b). Bt 23: Từ các chữ số  có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, trong đó ba chữ số chẵn phải đứng liền nhau. Bt 24: Một nhóm gồm 8 người, trong đó có 2 người là vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 8 người này thành một hàng dọc sao cho hai vợ chồng không được đứng kề nhau? Bt 25: Có ba cặp vợ chồng, trong dó có 2 vợ chồng ông bà Vương đến dự một bữa tiệc. Họ được xếp ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn. a) Họ có bao nhiêu cách xếp? b) Có bao nhiêu cách xếp trong đó hai ông bà Vương phải ngồi cạnh nhau? c) Có bao nhiêu cách xếp trong đó hai ông bà Vương không ngồi cạnh nhau? Dạng 5: Một số bài tập về chỉnh hợp. PHƢƠNG PHÁP: Ta dùng chỉnh hợp khi xếp k phần tử vào n vị trí có thứ tự (Bài toán về các số, chọn người có chức năng, nhiệm vụ khác nhau). Bt 26: Hãy viết tất cả các chỉnh hợp chập 2 của tập hợp     . Bt 27: Có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành chi đoàn gồm 3 người, trong đó có một bí thư, một phó bí thư, một ủy viên, biết rằng trong chi đoàn có 20 đoàn viên? Bt 28: Từ 6 chữ số , cần lập ra các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Hỏi có bao nhiêu số như thế. Hãy tính tổng các số tự nhiên đó. Bt 29: Một lớp có 25 học sinh nam và 13 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra một học sinh làm lớp trưởng, một học sinh làm lớp phó, và một học sinh làm thủ quỹ. a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn? b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu lớp trưởng là học sinh nam? Bt 30: Từ 10 chữ số  có thể lập được bao nhiêu số x có 6 chữ số khác nhau khi biết: a) x_số lẻ bé hơn 600000. b) x chia hết cho 5. c) Trong x phải có mặt ba chữ số . Bt 31: Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau sao cho trong đó luôn có mặt ba chữ số . Bt 32: Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 6 Bt 33: C Dạng 5: Một số bài tập về tổ hợp. Bt 34: Hãy viết tất cả các tổ hợp chập 2 và chỉnh hợp chập 2 của tập hợp     . Bt 35: Cho một đa giác lồi H có 15 cạnh. a) Có bao nhiêu vectơ khác    , có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của H. b) Có bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút là các đỉnh của H. Bt 36: Tìm số đường chéo của các đa giác lồi sau đây: a) Đa giác có 12 cạnh. b) Đa giác có n cạnh . c) Đa giác có số cạnh và số đường chéo bằng nhau. Bt 37: Một lớp có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ. a) Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra một học sinh làm lớp trưởng, một học sinh làm lớp phó, và một học sinh làm thủ quỹ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu lớp trưởng là học sinh nam? b) Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 6 học sinh để tham gia trồng cây, hỏi có bao nhiêu cáchc họn sao cho có ít nhất 4 học sinh nam và một học sinh nữ? Bt 38 (ĐHQG HCM_2001): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt không qua một lần. Bt 39: Cho 2 đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a có 12 điểm phân biệt và trên đường thẳng b có 8 điểm phân biệt. a) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng trên. b) Có bao nhiêu hình thang được tạo thành từ các điểm nằm trên hai đường thẳng a vab đã cho. Bt 40 (B_2005): Một đôi thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. Bt 41: Giả sử có 8 vận động viên bóng bàn tham dự một giải đấu. Trong vòng đầu của giải, ban tổ chức cần phân ra 4 cặp đấu. Hỏi có bao nhiêu cách ghép thành 4 cặp đấu. Bt 42: Tổ một có 10 người, tổ hai có 9 người. Có bao nhiêu cách chọn một nhóm gồm 8 người sao cho mỗi tổ trên có ít nhất là hai người. Bt 43: Chứng minh rằng          . Bt 44 (ĐHQG HN_1999): Chứng minh rằng:                 , với . Bt 45: Chứng minh rằng:                . Dạng 7: Chứng minh đẳng thức liên quan đến         . PHƢƠNG PHÁP: Sử dụng các công thức sau để biến đổi vế này thành vế kia, hoặc cả 2 vế cùng bằng một biể thức nào đó , hoặc hiệu 2 vế bằng 0.                   ;                                .                             ;       ;           Bt 46: Chứng minh rằng: a)          , . b)           . c)                        . d)             . Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 7 Bt 47 : Chứng minh rằng: a)       . b)            . c)                . d)                        Bt 48 : Chứng minh:               , với . Bt 49 : Cho . Chứng minh:         Bt 50 : Cho k, n là các số nguyên dương với k < n. Chứng minh rằng:                    (1) Từ (1) hãy suy ra rằng với mọi số nguyên dương m ta có:             . (2)                      (3) Hãy tính tổng      . Bt 51 : Tính                , với . Dạng 8: Phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa các số        . PHƢƠNG PHÁP Đặt điều kiện : Đối với , điều kiện là . Đối với   , điều kiện là   . Đối với           , điều kiện là    . Đối với          , điều kiện là    . Biến đổi và rút gọn để tìm nghiệm. Kết hợp với điều kiện để kết luận nghiệm. Bt 52(Db A_2002): Tìm các số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình:        . Lƣu ý: Khi giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, có chứa các số:         thì cần có kỹ năng rút gọn , giản ƣớc. Ta thƣờng dùng các kỹ thuật sau:             .                                                              ng t cho      Bt 53(Db D_2003): Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:                     . Bt 54(Db B_2007): Tìm x, y thỏa mãn hệ:                  . Bt 55(Db B_2006): Cho 2 đường thẳng song song     . Trên   có 10 điểm phân biệt, trên   có n điểm phân biệt . Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n thỏa mãn điều kiện trên. Bt 56(Db A_2004): Cho tập A gồm n phần tử, . Tìm n biết rằng số tập con gồm 7 phần tử của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A. Bt 57: Giải phương trình:               . Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 8 Bài tập ôn luyện: Bt 58(ĐHQG TpHCM_1997): Một học sinh có 12 quyển sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 sách Toán, 4 sách Văn, 6 sách Anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các quyển sách lên một kệ sách dài nếu mọi quyển sách cùng môn được xếp kề nhau? Bt 59(ĐH Cần Thơ_2001): Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau? Bt 60(HSG 12_1997): Tính tổng của tất cả  Số nhận được từ các hoán vị các chữ số của số 1234567. Bt 61(Db A_2006): Từ các số  có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. Bt 62(Db B_2003): Từ các chữ số  có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số và thỏa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị. Bt 63 : Một nhóm học sinh gồm n nam và n nữ đứng thành hàng ngang. Có bao nhiêu tình huống mà nam, nữ đứng xen kẽ nhau? Bt 64 (Db A_2003): Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau? Bt 65(Db A_2003) : Từ các chữ số  có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3? Bt 66(Db B_2005) : Từ các chữ số  có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt hai chữ số 1; 5? Bt 67 : Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi: a) Có bao nhiêu kết quả có thể? b) Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 được giải nhất? c) Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong 4 giải? Bt 68 : Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có 2 người nào có điểm bằng nhau. a) Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 người cao điểm nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể? b) Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể? Bt 69 : Một tổ học sinh gồm 10 bạn, trong đó có 3 bạn học sinh hay nói chuyện. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang mà 3 bạn học sinh hay nói chuyện không đứng cạnh nhau từng đôi một. Bt 70 (Db A_2005): Từ các chữ số  có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8. Bt 71 (Db B_2003): Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em, trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? Bt 72 : Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bt 73 : Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn, yêu cầu không quá 1 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bt 74 (Db D_2003): Từ 9 chữ số  có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau? Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 9 Bt 75 (Db B_2005): Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ. Bt 76 (Db D_2006): Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy. Bt 77 : Cho 2 đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a ta chọn 12 điểm phân biệt và trên đường thẳng b ta chọn 11 điểm phân biệt. a) Có bao nhiêu hình thang được tạo thành từ các điểm nằm trên 2 đường thẳng. b) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các điểm nằm trên 2 đường thẳng này. Bt 78 : Một đa giác lồi n cạnh (n > 3). Ta kẻ tất cả các đường chéo. Biết rằng không có 3 đường chéo nào trong chúng đồng quy. Tìm số giao điểm của các đường chéo này. Bt 79 : Một đại đội gồm 2n chiến sĩ, cần bố trí vào n nhà dân khác nhau sao cho mỗi nhà có đúng 2 chiến sĩ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? Bt 80 : Giả sử có 2n vận động viên bóng bàn tham dự một giải đấu. Trong vòng đầu của giải, ban tổ chức cần phân ra n cặp đấu. Hỏi có bao nhiêu cách ghép thành n cặp đấu?. Từ đó hãy chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì:                 luôn chia hết cho   . Bt 81 : Một đoàn khách du lịch gồm n người được xếp vào r khách sạn       . Yêu cầu đặt ra là đưa   khách ở tại khách sạn   , trong đó       là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện          . Chứng minh rằng số cách phân phối khách thỏa mãn yêu cầu trên là:          . Từ đó suy ra rằng với mỗi số nguyên dương m ta có:           . Chứng minh đẳng thức_Tính giá trị biểu thức_Giải phương trình & bất phương trình Bt 82 : Chứng minh rằng:               . Bt 83 : Cho k, n :. Chứng minh:                       Bt 84 (ĐH AN _2001): Cho  , . Chứng minh:                    . Bt 85 (B_2008): Chứng minh:                     , . Bt 86 (D_2005): Tính giá trị biểu thức            , biết rằng                ,  * . Bt 87 Db D_2005: Tìm số nguyên lớn hơn 1 thỏa mãn:             . Bt 88 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện:                        . Bt 89 (Db A_2007): Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, d. Tìm n biết số tam giác có 3 đỉnh lấy từ  điểm đã cho là 439. Bt 90 : Chứng minh các bất đẳng thức sau: a)                 , . b)            c)                      . Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 10 §3. NHỊ THỨC NEWTON Dạng 9: Chứng minh đẳng thức liên quan đến        _ Chứng minh bất đẳng thức. PHƢƠNG PHÁP Cách 1: Dùng khai triển       , rồi sau đó chọn x thích hợp. Cách 2: Khai triển một biểu thức hoặc hai biểu thức bằng 2 cách khác nhau; Sau đó đồng nhất hệ số; (Ta dùng cách này khi đẳng thức cần chứng minh có một vế là tổng của các tích       ).  Bt 91 : Chứng minh rằng: a)                   . b)                           . Bt 92 : Gọi T_số các tập con (kể cả tập rỗng)của một tập hợp có n phần tử. Chứng minh:   . Bt 93 : Chứng minh:                        . Bt 94 : Chứng minh rằng:                               Bt 95 : Chứng minh rằng:                               Bt 96 : Chứng minh rằng:                                              Bt 97 : Chứng minh rằng:                                . Bt 98 : Rút gọn các tổng sau: a)              . b)                 . Bt 99 : Rút gọn biểu thức:                          (với ). Bt 100 : Chứng minh rằng:               . Bt 101 (A_2005) : Tìm số nguyên dương n sao cho:                               . Bt 102 : Chứng minh:                            . Bt 103 (A_2007): Chứng minh rằng:                             ,   . Bt 104 (B_2003): Cho   . Tính tổng:                             Bt 105 : Chứng minh rằng:                   . Dạng 10: Tìm số hạng hoặc hệ số của số hạng thỏa mãn điều kiện cho trƣớc. PHƢƠNG PHÁP  Khai triển nhị thức       0 n k n k k n k C a b    = 0 n k n k k n k C b a     Xác định số hạng chứa   là:          , .  Từ giả thiết tìm k, suy ra số hạng hoặc hệ số cần tìm. Bt 106 : Tìm số hạng chứa   trong khai triển        . Bt 107 : Tìm hệ số của     trong khai triển        . Bt 108 : Tìm hai số hạng đứng chính giữa và số hạng không chứa x khi khai triển         . Bt 109 (Db A_2008): Tìm hệ số của số hạng chứa   trong khai triển nhị thức Newton của       , biết rằng        . [...]... tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định, số đó gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê (Số này cũng chính là P(A) trong định nghĩa cổ điển của xác suất) Như vậy, tần suất được xem như là giá trị gần đúng của xác suất Trong khoa học thực nghiệm, người ta thường lấy tần suất làm xác suất. .. tả bởi tập và được kí hiệu là 4.2 Xác suất của biến cố: a) Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử phép thử T có không gian mẫu là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất | | của A, kí hiệu là P(A), được xác định như sau: | | Chú ý 4: Từ định nghĩa trên suy ra { b)Định nghĩa thống kê của xác suất: Xét phép thử T và biến cố A... nhất Page 11 Bt 138 : Tính các tổng sau: a) b) Bt 139 (Db B_2008): Cho số nguyên n thỏa mãn Tính tổng: Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 12 §4 BIẾN CỐ_ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 4.1 Biến cố a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu: Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử), thường kí hiệu là T, là một thí nghiệm hay hành động mà: ⦁ Kết quả của nó không đoán trước được ⦁ Có thể xác định được tất cả các kết quả... điển của xác suất) Như vậy, tần suất được xem như là giá trị gần đúng của xác suất Trong khoa học thực nghiệm, người ta thường lấy tần suất làm xác suất Vì vậy tần suất còn được gọi là xác suất thực nghiệm Dạng 11: Mô tả không gian mẫu, tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố PHƢƠNG PHÁP: Xem lại phần tóm tắt lí thuyết Bt 140 : Mô tả không gian mẫu của phép thử “Gieo một con súc sắc” Bt 141 : Hãy mô... quả có thể xảy ra của phép thử đó Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là b) Biến cố (Sự kiện): biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi là một kết quả của thuận lợi cho A Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được...Bt 110 (2012): Cho thỏa mãn: Tìm số hạng chứa ( ) , với Bt 111 : Biết tổng các hệ số trong khai triển Bt 112 : Tìm hệ số của trong khai triển Bt 113 : Khai triển đa thức trong khai triển nhị thức bằng 1024 Hãy tìm số hạng chứa Hãy xác định hệ số Bt 114 : Xác định hệ số của trong khai triển ) thành đa thức Bt 115 (ĐHSP HN_2001): Trong khai triển ( , Hãy tìm... thanh niên ở lứa tuổi từ 18 đến 25 và đếm xem có bao nhiêu người có thói quen hút thuốc lá Hãy xác định không gian mẫu của phép thử này? Bt 143 : Xét T_phép thử “Gieo một con súc sắc” Xét biến cố B:” Số chấm trên mặt xuất hiện là số lẻ” và biến cố C:”Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố” Hãy viết các tập hợp Nguyeãn Hoaøng Khanh Page 13 Bt 144 : Xét phép thử T là gieo một đồng tiền xu liên tiếp... Bt 144 : Xét phép thử T là gieo một đồng tiền xu liên tiếp 3 lần Gọi A là biến cố “Có đúng hai lần đồng tiền ra mặt ngửa” và B_biến cố “Số lần xuất hiện mặt ngửa là một số lẻ” Hãy viết tập hợp mô tả biến cố A và tập hợp mô tả biến cố B Bt 145 : Bt 146 : Bt 147 : Bt 148 : Bt 149 : Bt 150 : Bt 151 : Bt 152 : Bt 153 : Bt 154 : Bt 155 : Bt 156 : Bt 157 : Bt 158 : Bt 159 : Bt 16 : Nguyeãn Hoaøng Khanh Page... 118 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Bt 119 : Chứng minh rằng: Bt 120 : Giải pt: Bt 121 : Chứng minh rằng: Bt 122 (ĐH VINH_2001): Chứng minh rằng: Bt 123 (D_2008): Tìm Bt 124 : Tính tổng: Bt 125 : Chứng minh: Bt 126 : Chứng minh rằng: thỏa mãn: ) , Bt 127(A_2006): Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton của ( biết rằng Bt 128 (B_2007): Tìm hệ số của trong khai . của xác suất) . Như vậy, tần suất được xem như là giá trị gần đúng của xác suất. Trong khoa học thực nghiệm, người ta thường lấy tần suất làm xác suất. Vì vậy tần suất còn được gọi là xác suất. giữa chỉnh hợp & tổ hợp:  Sự giống nhau giữa chỉnh hợp & tổ hợp là cả hai đều chọn k phần tử từ một tập hợp có n phần tử .  Sự khác nhau giữa 2 khái niệm là ở chỉnh hợp có sự sắp. là một tổ hợp chập k của n phần tử của D (Gọi tắt là một tổ hợp chập k của D). b) Số các tổ hợp : Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là:                với