1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY - HỌC HÌNH HỌC LỚP 12" 2 A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình ôn thi tốt nghiệp THTP và Đại học – Cao đẳng hiện nay, bài toán về tính thể tích của một khối đa diện xuất hiện khá phổ biến. Bài toán hình học không gian nói chung và bài toán về tính thể tích khối đa diện nói riêng là một phần kiến thức khó đối với học sinh THPT. Đa số học sinh bây giờ đang còn học theo kiểu “làm nhiều rồi quen dạng, làm nhiều rồi nhớ”, nếu học như thế sẽ không phát triển được tư duy sáng tạo, sẽ không linh hoạt khi đứng trước một tình huống mới lạ hay một bài toán tổng hợp. Vì lí do đó, để giúp học sinh tháo gỡ những vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục và giúp học sinh có thêm phương pháp trong giải toán, tôi đã quyết định chọn đề tài: “Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng dạy – học hình học lớp 12 ”. Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm là nghiên cứu phương pháp tính thể tích khối đa diện một cách hệ thống và sáng tạo để giúp giáo viên trang bị kiến thức cơ bản nhất về phương pháp tích thể tích khối đa diện cho học sinh, từ đó phát triển tư duy sáng tạo giải quyết các bài toán khó. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1. Thực trạng Trong chương trình phổ thông, phần kiến thức về tính thể tích khối đa diện được đưa vào giảng dạy ở lớp 12. Đây là phần kiến thức rất hay và khó đối với học sinh trong quá trình làm bài tập; đây cũng là phần kiến thức xuất hiện từ nhu cầu thực tế và được ứng dụng rất nhiều trong thực tế. Để giải bài toán về tính thể tích khối đa diện có hai phương pháp cơ bản là phương pháp tính trực tiếp và phương pháp tính gián tiếp. Phương pháp tính trực tiếp là dựa vào việc tính chiều cao và diện tích đáy từ đó suy ra thể tích khối đa diện; phương pháp tính gián tiếp tức là ta chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ để xác định thể tích. Đứng trước một bài toán học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “Phải định hướng lời giải bài toán từ đâu?”. Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi thử nghiệm đó sẽ dẫn đến kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như thế là không cao. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xét bài toán dưới nhiều góc 3 độ, khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán. Đặc biệt đối với bài toán về hình học không gian nói chung và bài toán tính thể tích khối đa diện nói riêng thì đối với hầu hết học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi cũng gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài tập. Nguyên nhân của thực trạng trên là học sinh chưa trang bị cho mình một kiến thức về phương pháp tính đầy đủ và hệ thống nên rất lúng túng khi đứng trước một bài toán. 2. Kết quả của thực trạng Trước khi áp dụng nghiên cứu này vào giảng dạy tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng học tập của học sinh hai lớp 12A3, 12A4 trường THPT Hậu Lộc 4 (về vấn đề tính thể tích khối đa diện) và thu được kết quả như sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 12A 3 45 1 2 8 18 24 53 10 22 2 5 12A 4 45 0 0 3 7 21 47 16 36 5 10 Như vậy số lượng học sinh nắm bắt các dạng này không nhiều do chưa nắm vững được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết. Để thực hiện để tài vào giảng dạy, trước hết tôi nhắc lại công thức tính thể tích các khối đa diện, tiếp đó đưa ra các phương pháp tính và ví dụ cụ thể để hướng dẫn học sinh thực hiện, cuối cùng tôi đưa ra bài tập tổng hợp để học sinh rèn luyện phương pháp tính. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN Thực hiện nghiên cứu và ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy tôi chia nội dung thành 3 phần dạy cho học sinh vào 3 buổi, mỗi buổi 3 tiết; trong mỗi buổi có các thí dụ minh họa và bài tập cho học sinh tự rèn luyện về phương pháp tính. Sau đây là nội dung cụ thể: Phần I 4 Để tính thể tích khối đa diện, phương pháp quan trọng nhất và được ứng dụng rộng rãi nhất trong quá trình tính toán là tính trực tiếp, tức là dựa vào chiều cao của các khối và diện tích đáy. Như vậy mấu chốt của phương pháp này là phải xác định được chiều cao và diện tích đáy, ta xét một số ví dụ minh họa như sau: Các thí dụ minh họa Thí dụ 1. Cho khối chóp . S ABC có 2 BC a  ,   0 90 ,BAC ACB    . Mặt phẳng ( ) SAB vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC , tam giác SAB cân tại S và tam giác SBC vuông. Tính thể tích của khối chóp . S ABC . Lời giải. (h.1) Tam giác ABC có 2 sin , 2 cos AB a AC a     nên 2 sin 2 ABC S a   . Vì ( ) ( ) SAB ABC  và SA SB  nên ( ) SH ABC  với H là trung điểm cạnh AB . Bây giờ ta xác định tam giác SBC vuông tại đỉnh nào. Nếu SBC  vuông tại đỉnh B thì CB BA  (theo định lí ba đường vuông góc), điều này vô lý vì ABC  vuông ở A . Tương tự, nếu SBC  vuông ở C thì  0 90 HCB  (Vô lí). Từ đó suy ra SBC  vuông tại S. Gọi K là trung điểm cạnh BC thì 2 2 2 2 2 1 1 , / / à cos 2 2 sin sin . SK BC a HK AC v HK AC a SH SK HK a SH a              Từ đó: . 2 3 1 . 3 1 sin 2 . sin 3 1 = sin 2 .sin . 3 S ABC ABC V S SH a a a       s Hình 1 A B C H K 5 Nhận xét: Ở ví dụ trên dễ dàng nhận thấy SH là chiều cao của khối chóp từ giả thiết ( ) ( ) SAB ABC  và SA SB  và việc còn lại là xác định SH. Thí dụ 2. Cho hình lập phương 1 1 1 1 . ABCD A BC D có cạnh bằng a . Gọi , M N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh , AB BC và 1 2 , O O thứ tự là tâm các mặt 1 1 1 1 1 1 , A B C D ADD A . Tính thể tích khối tứ diện 1 2 MNOO . Lời giải. (h.2) Ta có 1 2 ( ) ( ) mp NO O mp ABCD  và chúng cắt nhau theo giao tuyến NE ( E là trung điểm cạnh AD ). Gọi O là tâm của hình vuông ABCD thì MO NE  . Suy ra MO là đường cao của hình chóp 1 2 . O O M N . Ta có: 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 O O EE 2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 4 2 3 . 8 N N N NN O E O O ENO S S S S S a a a a a          1 2 1 2 . O O O O 2 3 1 Nên . 3 1 3 . . 3 8 2 . 16 M N N V S MO a a a    Nhận xét: Khi gặp bài toán này nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp tính gián tiếp, tuy nhiên các khối “bù” với khối 1 2 MNOO là quá nhiều và phức tạp. Nếu để ý mặt phẳng 1 2 ( ) NO O nằm trong mặt phẳng 1 1 ( ) NEE N thì việc xác định chiều cao và diện tích đáy của hình chóp 1 2 . O O M N trở nên đơn giản. A C Hình 2 O1 O2 D B A1 D1 B1 C1 E N N1 E1 M O 6 Thí dụ 3. Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Giả sử H là trung điểm cạnh AB và hai mặt phẳng ( ),( ) SHC SHD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp nếu hình chóp có ba mặt bên là tam giác vuông. Lời giải. (h.3) Vì ( )và ( ) SHC SHD cùng vuông góc với đáy ( ) ABCD nên SH là đường cao của khối chóp. Hai tam giác SAD và SBC lần lượt vuông tại A và B (theo định lí ba đường vuông góc). Tam giác SCD có SC SD  (vì HC HD  ) nên nó không thể vuông tại C hoặc D. Nếu SCD  vuông tại S thì SC CD a   . Nhưng do SBC  vuông tại B nên SC SB a   . Từ đó SCD  không là tam giác vuông. Từ giả thiết suy ra SAB  phải là tam giác vuông. Do SA SB  , (vì HA HB  ) nên SAB  vuông tại S, suy ra 1 . 2 2 a SH AB   Vậy 3 2 . 1 1 . . . 3 3 2 6 S ABCD ABCD a a V S SH a   Thí dụ 4. Xét các khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với 5 , 2 a AB a SA SB SC SD     . Khối chóp nào có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Lời giải. (h.4) Vì khối chóp . S ABCD có các cạnh bên bằng nhau nên đáy phải nội tiếp. x a S H Hình 4 B C A D S Hình 3 B C A D H 7 Suy ra ABCD là hình chữ nhật. Gọi H là giao của và AC BD thì ( ). SH ABCD  Đặt ( 0) BC x x   thì 2 2 2 2 2 4 , ( 2 ) 4 ABCD a x S ax SH SA AH x a       2 2 2 2 2 . 1 4 (4 ). 3 4 6 S ABCD a x a V ax x a x      Vì 2 2 2 2 (4 ) 4 x a x a    nên theo BĐT Cauchy . S ABCD V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2 2 2 4 2 x a x x a     . Lúc đó 3 . ax 3 S ABCD a M V  . Bài tập tự luyện Bài 1. (Đề thi ĐH khối A năm 2012) Cho hình chóp . S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ) ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho 2 HA HB  . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ) ABC bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp . S ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a . Bài 2. Cho hình hộp . ' ' ' ' ABCD A B C D có đáy là hình thoi cạnh a và  0 60 BAD  . Hai mặt chéo ( ' ')và ( DD' ') ACC A B B cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , ' ' CD B C và ' MN BD  . Tính thể tích của hình hộp. Bài 3. Cho khối chóp . S ABC có    0 0 0 1, 2, 3,AS 60 ,AS 90 , 120 SA SB SC B C BSC      . Tính thể tích khối chóp đó. Bài 4. Cho khối chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và  0 60 BAD  . Các mặt phẳng ( ),( ),( ) SAB SBD SAD nghiêng đều với đáy ( ) ABCD một góc  . Tính thể tích khối chóp đó. Bài 5. Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình thang cân, đáy lớn AB bằng 4 lần đáy nhỏ CD , chiều cao của đáy bằng a . Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng nhau và bằng b . Tính thể tích của hình chóp. Bài 6. Cho khối chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB cân tại đỉnh S và mặt phẳng ( ) ( ) SAB ABC  . Giả sử E là trung điểm SC và hai mặt phẳng ( ),( ) ABE SCD vuông góc với nhau. Tính thể tích của khố chóp đó. 8 Bài 7. Hình chóp . S ABC có SA a  , SA tạo với đáy một góc  ,   90 , o ABC ACB    . G là trọng tâm ABC  . Hai mặt phẳng ( ),( ) SGB SGC cùng vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC . Tính thể tích của khối chóp . S ABC . Bài 8. Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a . Các cạnh ' , ' , ' A A A B A C nghiêng đều trên đáy một góc  . Tính diện tích xung quanh và thể tích của lăng trụ. Bài 9. Cho hình chóp 1 2 .A A ( 3) n S A n  có diện tích đáy bằng D , chu vi đáy bằng P . Các mặt bên nghiêng đều trên đáy một góc  . Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy nằm trong đa giác 1 2 A A n A . Tính thể tích hình chóp đó. Phần 2 Trong các bài toán tính thể tích khối đa diện đôi khi việc xác định chiều cao và diện tích đáy gặp rất nhiều khó khăn, khi đó chúng ta có thể tính một cách gián tiếp bằng cách chia khối cần tính thành nhiều khối nhỏ hoặc tính thể tích các khối “bù” với khối cần tính. Từ đó bằng công thức cộng thể tích ta có thể suy ra thể tích khối cần tính. Sau đây là một số thí dụ minh họa cho phương pháp thứ 2. Thí dụ minh họa Thí dụ 1. Cho khối chóp . S ABC với tam giác ABC vuông cân tại B , 2 AC a  , ( ) SA ABC  và SA a  . Giả sử I là điểm thuộc cạnh SB sao cho 1 3 SI SB  . Tính thể tích khối tứ diện SAIC . Lời giải. (h.5) Tam giác ABC vuông cân tại B có 2 AC a  nên 2 AB BC a   . Do đó 2 1 . 2 ABC S AB BC a   . Vì ( ) SA ABC  nên SA là chiều cao của hình chóp . S ABC . Suy ra 3 . 1 . 3 3 S ABC ABC a V SA S  A Hình 5 C B S I 9 Mặt khác . . 1 . . 3 S AIC S ABC V SA SI SC V SA SB SC   . Vậy 3 3 . . 1 1 . 3 3 3 9 S AIC S ABC a a V V   . Nhận xét: Trong bài toán trên ta hoàn toàn có thể tính trực tiếp, tuy nhiên việc tính gián tiếp dựa vào tỉ lệ thể tích thì tính toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Thí dụ 2. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 2 , ; 2 AB a BC a SA SB SC SD a       . Giả sử E là điểm thuộc cạnh SC sao cho 2 SE SC  , F là điểm thuộc cạnh SD sao cho 1 3 SF FD  . Tính thể tích khối đa diện SABEF . Lời giải. (h.6) Ta có 2 . 2 ABCD S AB BC a   . Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABD ta có 2 2 5 BD AB AD a    . Gọi O AC BD   thì 1 5 2 2 a BO BD  . Xét tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao của tam giác SBD . Suy ra SO BD  . Chứng minh tương tự SO AC  . Suy ra ( ) SO ABCD  hay SO là đường cao của hình chóp . S ABCD . Ta có 2 2 2 2 5 3 ( 2) ( ) 2 2 a a SO SB BO a     . 3 2 . 1 1 3 . .2 . 3 3 2 3 S ABCD ABCD a a V S SO a   . Mặt khác . . 2 . . 3 S ABE S ABC V SA SB SE V SA SB SC   3 . . . 2 1 . . 3 3 3 3 S ABE S ABC S ABCD a V V V    (1) S Hình 6 O A D B C E F 10 A' C' Hình 7 D' B' A D B C N K M . . 2 1 1 . . . 3 4 6 S AEE S ACD V SA SE SF V SA SC SD    3 . EF . . 1 1 . . 6 12 12 3 S A S ACD S ABCD a V V V    (2) Từ (1) và (2) ta có: 3 3 3 . . 5 3 36 3 3 12 3 SABEF S ABE S AEF a a a V V V     . Nhận xét: Khối đa diện cần tính thể tích không thuộc các khối quen thuộc (không có công thức tính trực tiếp), nên ta phải tìm cách chia thành các khối nhỏ quen thuộc, và ta có thể tính gián tiếp một cách dễ dàng dựa vào tỷ lệ thể tích. Thí dụ 3. Chi hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D cạnh a . Gọi M là trung điểm của cạnh ' BB . Mặt phẳng ( ' ) A MD chia hình lập phương thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện trên. Lời giải. (h.7) Gọi N là giao điểm của ' A M và AB , K là giao điểm của DN và BC . Mặt phẳng ( ' ) A MD chia hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D thành hai khối đa diện ' A MKDAB và khối diện ' ' ' ' A B C D MKCD . Do ' '/ / A B BN nên ' ' ' 1 ' ' A B MB BN A B a BN MB      . Do / / BN CD nên 1 2 BK BN AB a BK CK CK CD CD       . Ta có 3 . 1 . . 6 24 B MNK a V BM BN BK  ; 3 . ' 1 AA'. . 6 3 A A ND a V AN AD   . 3 3 3 ' . ' . 7 3 24 24 A MKDAB A A ND B MNK a a a V V V     . [...]... hai mặt phẳng (ABC) và (A1BC) Tính tan và thể tích hình chóp A1BB1C1C Phần 3 Trong các buổi trước, chúng ta đã được rèn luyện 2 phương pháp tính thể tích là tính trực tiếp và tính gián tiếp Để tính thể tích khối đa diện, trong các bài toán thi đại học và học sinh giỏi còn sử dụng một phương pháp rất hiệu quả đó là phương pháp tọa độ hóa, nội dung phương pháp này gồm 4 bước: Bước 1: Chọn hệ trục tọa... thể tích đa diện Và thực tế sau khi được học một cách có hệ thống và đầy đủ các phương pháp tính thể tích thì học sinh đã hứng thú hơn trong các giờ học hình học không gian, học sinh giải tốt các bài toán về tính thể tích nói riêng và bài toán hình học không gian nói chung Qua đó học sinh còn rèn luyện được cách trình bày bài giải một cách khoa học, chặt chẽ, đầy đủ; đặc biệt còn rèn luyện cho học. .. Tính thể tích khối chóp S BMCN và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a 16 II KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ KIẾN NGHỊ ĐỂ XUẤT 1 Kết quả nghiên cứu Trong năm học 2 012 – 2013, tôi được nhà trường phân công dạy môn toán tại các lớp 12A3, 12A4 Đứng trước thực trạng học sinh rất ngại khi đối mặt với những bài toán hình học không gian, tôi đã mạnh dạn đưa vào chương trình bồi dưỡng phương pháp tính thể. .. tại I Tính thể tích của khối chóp S AHIK Bài 4 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Cho AB  a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD CM: SA  (AHK) Tính thể tích hình chóp OAHK 12 Bài 5 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có hình chóp A1ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, AA1 = b Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A1BC) Tính. .. Trong thí dụ 3 ta đã áp dụng việc tính thể tích các khối “bù” với khối cần tính thì trong thí dụ 4 ta thấy phương pháp này rất hiệu quả Bài tập tự luyện Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) , G là trọng tâm của tam giác SBD , mặt phẳng ( SBG) cắt SC tại M , mặt phẳng ( ABG) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S ABMN ; biết rằng SA... với SC, () cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K CM: AH  SB, AK  SD Tính thể tích khối chóp AHIKBCD Bài 2 Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' cạnh a , M , N lần lượt là trung điểm của AA ' và BC ; P, Q lần lượt là trọng tâm của tam giác A ' AD và C ' BD Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a Bài 3 (Đề khối A năm 2011) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  BC  2a ,.. .Thể tích khối lập phương Từ ABCD A ' B ' C ' D ' bằng a3 VABCD A ' B ' C ' D '  VA ' MKDAB  VA ' B 'C ' D ' MKCD  VA ' B ' C ' D ' MKCD  VABCD A' B ' C ' D '  VA ' MKDAB  a3  Suy ra VA ' MKDAB VA ' B 'C ' D ' MKCD 7a 3 17a 3  24 24  7 17 Nhận xét: Trong hai thí dụ đầu, ta chủ yếu dựa vào tỷ lệ thể tích thì ở thí dụ này ta dựa vào việc tính thể tích các khối “bù” với khối cần tính Thí... định tọa độ các điểm liên quan, chuyển bài toán hình học không gian thông thường thành bài toán hình học tọa độ Bước 3: Tính toán dựa vào các công thức hình học tọa độ trong không gian Bước 4: Kết luận Sau đây là một số thí dụ minh họa và các bài tập rèn luyện: Thí dụ minh họa Thí dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đáy ABCD là hình chữ nhật, SA=AB=a, AD= a 2 , gọi M, N lần... Kết quả cụ thể Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 12A3 45 10 22 18 40 17 38 0 0 0 0 12A4 45 5 11 17 38 22 49 1 2 0 0 2 Kiến nghị, đề xuất - Tổ chuyên môn cần tổ chức những diễn đàn trao đổi về chuyên môn để giáo viên có thể học hỏi kinh nghiệm và phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm của cá nhân - Nhà trường cần tăng cường hơn nữa những trang thiết bị hỗ trợ cho giảng dạy - Sở Giáo... mặt phẳng ( ABCD) bằng 300 có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau; OA  a, OB  b, OC  c; OA ', OB ', OC ' lần lượt là các đường phân giác trong của các tam giác OBC , OCA, OAB Tính thể tích của khối chóp O A ' B ' C ' Bài 2 Cho hình chóp O ABC Bài 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  a 3 , SA  ( ABCD) Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh . học sinh có thêm phương pháp trong giải toán, tôi đã quyết định chọn đề tài: Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng dạy – học hình học lớp 12 ”. Mục tiêu. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY - HỌC HÌNH HỌC LỚP 12& quot; 2 A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI MỞ ĐẦU . toán về tính thể tích khối đa diện có hai phương pháp cơ bản là phương pháp tính trực tiếp và phương pháp tính gián tiếp. Phương pháp tính trực tiếp là dựa vào việc tính chiều cao và diện tích