A. Lưu ý xét sự hội tụ của chuỗi số: a/ 3 2 2 ln 2 n n n n      . Dùng tính chất này: 1: ln 3: 1 ln x x x x x       Ta có ln , 1 n n n    nên 3 2 3 2 3 2 ln 1 , 1 2 2 n n n n n n n n n n          Mà 2 3 1 n n    hội tụ nên 3 2 3 2 n n n n      theo tcss2, Nên 3 2 3 ln 2 n n n n      hội tụ theo tcss1 b) 2 2 2 ( 1) ! n n n n     Xét chuỗi trò tuyệt đối 2 2 2 ! n n n    Ta có 2 2 ( 1) 2 1 ' (2 1) 1 2 2 lim lim lim lim 2.2 .ln2 1 1 2 ( 1)! . ! n n L n n n n n n n n a a n n n                 . Nên chuỗi 2 2 2 ! n n n    phân kì theo tiêu chuẩn D’alembert. Nên chuỗi 2 2 2 ( 1) ! n n n n     phân kì (Nếu chỉ sử dụng tiêu chuẩn D’alembert hay tiêu chuẩn Cauchy mà biết chuỗi 1 n n u    hội tụ (hay phân kỳ) thì chuỗi 1 n n u    cũng hội tụ (hay phân kỳ).) Lưu ý: 3/ Nếu chuỗi số 1 n n u    hội tụ thì lim 0 n n u   (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) Hệ quả( Đảo): Nếu lim 0   n n u hoặc không tồn tại thì chuỗi 1    n n u là phân kỳ Do đó nếu lim 0 n n u   thì không kết luận gì cho 1 n n u    , các bạn mà kết luận hội tụ là SAI! ** Nếu dùng Leibnitz cho chuỗi đan dấu thì phải đủ 2 điều kiện: B. Lưu ý khảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm:( tham khảo thêm sách Đỗ Công Khanh) a/ 2 ( 1) n n x n n     . Xét 1 1 ( 1)( 2) lim lim 1 1 ( 1) n n n n a n n a n n         suy ra 1 R  . Nên khoảng hội tụ là (-1,1) - Tại x=1: ta có chuỗi 1 1 ( 1) n n n     mà 2 1 1 : ( 1) n n n n     và 2 2 1 n n    hội tụ nên chuỗi 1 1 ( 1) n n n     hội tụ (tcss2) - Tại x=-1: ta có chuỗi 1 ( 1) ( 1) n n n n      là chuỗi Leibnitz nên hội tụ - Vậy miền hội tụ của chuỗi 2 ( 1) n n x n n     là [-1,1] ________________________________________________________________ TC LEIBNITZ: Cho chuỗi đan dấu 1 ( 1) n n n u     Nếu dãy {u n }đơn điệu giảm (     1 2 n u u u ) và   lim 0 n n u thì chuỗi đan dấu hội tu . Chú ý: Tại x=-1: ta có chuỗi 1 ( 1) ( 1) n n n n      là chuỗi có dấu bất kì nên dùng Leibnitz hoặc trò tuyệt đối để kiểm tra, chú ý phần này làm tương tự chuỗi số. _______________________________________________________________ b/      2 1 ( 2 3) n n n n x - Xét 1 lim 1 1 n n n a R a      nên 1 1 1 x x      . Do đđó khoảng hội tụ là ( 1;1)  *Tại 1 x  : chuỗi trở thành      2 1 ( 2 3) n n n lại có 2 lim( 2 3) 0 n n n       nên chuỗi phân kì. *Tại 1 x   : chuỗi trở thành       2 1 ( 1) ( 2 3) n n n n Do 2 lim( 2 3) 0 n n n     nên 2 lim( 1) ( 2 3) 0 n n n n      (nếu có) . (***) Nên chuỗi phân kì. - Vậy miền hội tụ là ( 1;1)  . __________________________________________________________ Chú ý: 1. (***): Ta có mệnh đề “   lim 0 n n a thì   lim 0 n n a ” Đảo lại: “   lim 0 n n a thì   lim 0 n n a ” 2. Giải cách khác: *Tại 1 x   : chuỗi trở thành       2 1 ( 1) ( 2 3) n n n n Xét 2 lim( 1) ( 2 3) n n n n     Nếu n chẵn thì 2 2 lim( 1) ( 2 3) lim( 2 3) n n n n n n n           Nếu n lẻ thì 2 2 lim( 1) ( 2 3) lim( 2 3) n n n n n n n            Suy ra 2 lim( 1) ( 2 3) n n n n     không tồn tại. Nên chuỗi phân kì ___________________________________________________________ c/ 1 1 (2 1) 4 n n n n x      - Đặt 2 1 X x   thì chuỗi trở thành 1 1 4 n n n n X     Xét 1 1 lim 4 4 n n n a R a      nên 3 5 4 2 2 X x      . Do đđó khoảng hội tụ là 3 5 ( ; ) 2 2  *Tại 5 2 x  : 1 1 1 (4) 4 4 n n n n n n         lại có lim 0 4 n n     nên chuỗi phân kì. *Tại 3 2 x   : 1 1 1 ( 1) ( 4) 4 4 n n n n n n n           Do lim 0 4 n n   nên ( 1) . lim 0 4 n n n    (nếu có) . (***) Nên chuỗi phân kì. - Vậy miền hội tụ là 3 5 ( ; ) 2 2  . ___________________________________________________________ Giải cách khác: *Tại 3 2 x   : 1 1 1 ( 1) ( 4) 4 4 n n n n n n n           Xét ( 1) lim 4 n n n   Nếu n chẵn thì ( 1) lim lim 4 4 n n n n n       Nếu n lẻ thì ( 1) lim lim 4 4 n n n n n        Suy ra ( 1) lim 4 n n n   không tồn tại. Nên chuỗi phân kì ___________________________________________________________ d/     1 7 . ! . ( ) n n n n n x e n - Đặt X x e   thì chuỗi trở thành    1 7 . ! . n n n n n X n Xét 1 7 lim 7 n n n a e R a e      nên 7 7 7 e e e X x      . Do đđó khoảng hội tụ là ( ; ) 7 7 e e  *Tại 7 e x  : chuỗi trở thành 1 1 7 . ! . ! . 7 n n n n n n n n n e e n n n        Ta có 1 1 1 .( 1)! ( 1) 1 . ! 1 1 n n n n n n n e n a e n e n a n n                do là tăng và hội tụ về e , Suy ra      1 1 n n a a a e hay     . ! lim lim 0 n n n n n e n a n (nếu có). Kết luận chuỗi là phân kỳ. * Tại 7 e x   : chuỗi trở thành 1 1 7 . ! ( ) ( 1) . ! . 7 n n n n n n n n n n e e n n n          lại có   . ! lim 0 n n n e n n ( cm trên) suy ra    ( 1) . ! lim 0 n n n n e n n (nếu có) (***) nên chuỗi phân kì. 1 1 n n        - Vậy miền hội tụ là ( ; ) 7 7 e e  . ________________________________________________________ Giải cách khác: - Tại 7 e x   : chuỗi trở thành 1 1 7 . ! ( ) ( 1) . ! . 7 n n n n n n n n n n e e n n n          Xét   ( 1) . ! lim n n n n e n n Nếu n chẵn thì:      ( 1) . ! . ! lim lim 0 n n n n n n n e n e n n n (do cm trên) Nếu n lẻ thì:       ( 1) . ! . ! lim lim 0 n n n n n n n e n e n n n (do cm trên) suy ra    ( 1) . ! lim 0 n n n n e n n nên chuỗi phân kì. _______________________________________ . thì chuỗi đan dấu hội tu . Chú ý: Tại x=-1: ta có chuỗi 1 ( 1) ( 1) n n n n      là chuỗi có dấu bất kì nên dùng Leibnitz hoặc trò tuyệt đối để kiểm tra, chú ý phần này làm tương tự chuỗi. hội tụ (hay phân kỳ) thì chuỗi 1 n n u    cũng hội tụ (hay phân kỳ).) Lưu ý: 3/ Nếu chuỗi số 1 n n u    hội tụ thì lim 0 n n u   (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) Hệ quả( Đảo):. tồn tại thì chuỗi 1    n n u là phân kỳ Do đó nếu lim 0 n n u   thì không kết luận gì cho 1 n n u    , các bạn mà kết luận hội tụ là SAI! ** Nếu dùng Leibnitz cho chuỗi đan dấu