Chuyên đề ôn thi giới hạn của hàm số và ứng dụng vào đạo hàm

76 474 0
Chuyên đề ôn thi giới hạn của hàm số và ứng dụng vào đạo hàm

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Phần 1: Khái niệm và các kí hiệu. Ví dụ 1: 2 2 1 3 1 1 3 1 1 lim 1 1 1 2 x x x x → − + − + = = − + + . Ví dụ 2: 3 0 1 1 lim 3 3 x x x → + = + . Ví dụ 3: ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 1 1 3 1 3 1 3 3 7 lim 1 1 1 2 x x x x x →− − − − + − − + = = − − − . Ví dụ 4: 3 2 3 2 1 2 2 1 2.1 1 2 2 lim 2 1 2.1 1 3 x x x x x →   − + − − − + − − = = −  ÷  ÷ + +   . Ví dụ 5: 3 3 1 3 1 3 lim 2 1 1 1 x x x →   + + = =  ÷  ÷ + +   . Vi dụ 6: 1 3 1 2 3.1 1 2 lim 4 3 2 3 2.1 x x x →   + + + + = =  ÷  ÷ − −   . Ví dụ 7: ( ) 0 lim sin 2 cos sin 0 cos0 1 x x x → − = − = − . Ví dụ 8: ( ) 4 lim tan 2cot tan 2cot 1 4 4 x x x π π π → − = − = − . Ví dụ 9: ( ) 2 2 2 lim 2 3 2 3 4 9 5 x x x→ − = − = − = − . Ví dụ 10: ( ) 4 4 2 2 4 4 1 lim log 3 log 3 2 3 x x x − − → + = + = + . Ví dụ 11: ( ) 2 1 1 2 1 1 5 lim 3 2 3 2 2 3 3 x x x + − − + →− − = − = − = − . Ví dụ 12: ( ) 3 2 3 lim 2cos 3sin 2 2cos 3sin 1 3 3 3 2 x x x π π π → − = − = + . Ví dụ 13: 3 3 lim cos sin 3 cos sin 2 6 2 x x x π π π →   + = + =  ÷   . Ví dụ 14: ( ) ( ) 2 9 9 3 3 9 lim log 2 log 3 9 2 1 2 x x x x → − − = − − = − − . Ví dụ 15: 3 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2.2 4 lim 0 3 2 2 3.2 2 x x x x x →   + − + + − + = =  ÷  ÷ + + + +   . Ví dụ 16: 1 2 1 1 2 lim 1 2 5 2 2 x x →   = =  ÷ +   + . 1 CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ 17: ( ) 2 0 0 2 lim lim 2 0 x x x x x → →   = =  ÷  ÷   . Ví dụ 18: 0 0 3 3 3 lim lim 2 2 2 x x x x → →     = =  ÷  ÷     . Ví dụ 19: 2 0 0 1 lim lim x x x x x → →     = = ±∞  ÷  ÷     . Ví dụ 20: 2 0 0 3 3 lim lim x x x x x → →     = = ±∞  ÷  ÷     . Ví dụ 21: ( ) 3 2 0 0 2 lim lim 2 0 x x x x x → →   = =  ÷  ÷   . Ví dụ 22: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 lim lim 2 1 3 1 x x x x x x → → − + = + = − . Ví dụ 23: ( ) 2 2 2 4 lim lim 2 4 2 x x x x x → →   − = + =  ÷  ÷ −   . Ví dụ 24: 2 2 2 2 1 1 lim lim 2 4 4 x x x x x →− →−   +   = = −  ÷  ÷ −   −   . Ví dụ 25: 2 1 1 1 1 1 lim lim 1 2 1 x x x x x → →   −   = =  ÷  ÷ +   −   . Ví dụ 26: ( ) 2 5 5 25 lim lim 5 10 5 x x x x x → →   − = − + = −  ÷  ÷ −   . Ví dụ 27: ( ) 3 2 1 1 1 lim lim 1 3 1 x x x x x x → →   − = + + =  ÷  ÷ −   . Ví dụ 28: 3 2 1 1 1 1 1 lim lim 3 1 1 x x x x x x →− →−     + = =  ÷  ÷ + − +     . Ví dụ 29: ( ) 3 2 2 2 8 lim lim 2 4 12 2 x x x x x x →− →−   + = − + =  ÷  ÷ +   . Ví dụ 30: ( ) 3 2 2 2 8 lim lim 4 2 12 2 x x x x x x → →   − = − + + = −  ÷  ÷ −   . Ví dụ 31: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 4 1 1 x x x x x x x x x x → → → − +   − = = + + =  ÷  ÷ − −   . Ví dụ 32: ( ) ( ) 4 2 2 2 2 1 1 lim lim 32 16 2 2 x x x x x x → →   − = =  ÷ −   + + . Ví dụ 33: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 lim lim lim 1 1 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x → → → − + +     − + + = = =  ÷  ÷  ÷  ÷ − + + −     . 2 Ví dụ 34: 2 3 2 2 2 4 2 1 lim lim 3 8 2 4 x x x x x x x → →     − + = =  ÷  ÷  ÷ − + +     . Ví dụ 35: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 lim lim lim 3 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + + + +   − = = =  ÷  ÷ − − + + + +   . Ví dụ 36: ( ) ( ) ( ) 2 3 4 2 2 2 2 4 8 3 lim lim 8 16 2 4 x x x x x x x x → → − + +   − = = −  ÷  ÷ − + +   . Ví dụ 37: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 2 1 1 lim lim lim 2 2 2 4 4 x x x x x x x x x x x x → → →   − − − + −   = = =  ÷  ÷  ÷ − + +   −   . Ví dụ 38: ( ) ( ) 2 2 1 0 2 1 2 3 1 1 lim lim 2 1 4 2 2 x x x x x x x → →   − − + = =  ÷  ÷ + −   . Ví dụ 39: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 lim lim lim 3 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − − −     − + − − = = = −  ÷  ÷  ÷  ÷ − + + − + +     . Ví dụ 40: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 3 1 3 4 1 3 1 2 lim lim lim 1 2 1 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x → → →   − − − + −   = = =  ÷  ÷  ÷ − + +   − −   . Ví dụ 41: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 6 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 lim lim lim 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + + + + + +   − = = =  ÷  ÷ − − + + + +   . Ví dụ 42: ( ) 3 6 3 1 1 1 1 1 lim lim 2 1 1 x x x x x → →   − = − = −  ÷  ÷ − +   . Ví dụ 43: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 4 3 2 5 4 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 5 lim lim lim 4 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + + + + + + + +   − = = =  ÷  ÷ − − + + + + + +   Ví dụ 44: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 6 5 4 3 2 1 1 1 1 1 6 lim lim 5 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x → → − + + + + +   − = − =  ÷  ÷ − − + + + +   . Ví dụ 45: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 4 3 2 7 8 7 6 5 4 3 2 1 1 1 1 1 7 lim lim 8 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → − + + + + + +   − = =  ÷  ÷ − − + + + + + + +   . Ví dụ 46: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 5 lim lim lim 1 4 4 3 5 4 x x x x x x x x x x x x x x x → → → − − − − − − −   − + + = = =  ÷  ÷ − − − − +   . Ví dụ 47: ( ) 1 1 1 lim lim 1 2 1 x x x x x → →   − = + =  ÷ −   . 3 Ví dụ 48: ( ) ( ) 2 4 4 2 1 1 lim lim 32 2 4 16 x x x x x x → →   − = =  ÷  ÷ + + −   . Ví dụ 49: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 1 1 1 3 2 3 2 1 3 2 1 lim lim lim . 16 1 1 3 2 1 1 1 3 2 x x x x x x x x x x x x x x → → → + − + +   − + − = = =  ÷  ÷ − − + + − + + + +   Ví dụ 50: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 1 2 2 2 2 lim lim 1 1 2 4 9 8 x x x x x x x → →   − + − = − = −  ÷  ÷ − + + −   . Ví dụ 51: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 2 3 2 3 1 2 1 3 1 2 3 2 1 lim lim lim . 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x → → → + − + + + + − + +   + − = = =  ÷  ÷ + − + − + + + + − + +   Ví dụ 52: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 1 1 3 1 3 3 1 3 2 1 3 1 3 1 lim lim lim . 6 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → + − + + + +   − + − + = = − = −  ÷  ÷ − − + + + − + + + + +   Ví dụ 53: ( ) ( ) 2 3 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 lim lim lim . 1 3 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x → → →   − + +  ÷   −   = = =  ÷  ÷ −       − + + + +  ÷  ÷     Ví dụ 54: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 3 2 2 2 2 4 2 4 4 4 lim lim 12 4 2 4 2 x x x x x x x x x → →   − + + +  ÷   −   = − = −  ÷  ÷ − −   . Ví dụ 55: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 1 1 1 1 1 3 lim lim . 2 1 1 1 x x x x x x x x x → →   − + +  ÷   −   = =  ÷  ÷ − − +   Ví dụ 56: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 1 3 3 1 1 1 lim lim 6 1 1 1 1 x x x x x x x x x →− →   + + = = −  ÷  ÷   −   + − − +  ÷   . Ví dụ 57: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 1 3 3 1 1 1 lim lim . 3 3 2 1 2 1 x x x x x x x x x x →− →−   + + = =  ÷  ÷   + +   + + − +  ÷   Ví dụ 58: ( ) 1 1 1 1 1 lim lim . 1 2 1 x x x x x → →   − = =  ÷  ÷ − +   Ví dụ 59: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 lim lim 8. 1 1 x x x x x x x x x → → − + + +   − = =  ÷  ÷ − −   Ví dụ 60: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 4 2 1 1 3 3 1 1 1 1 4 lim lim . 3 1 1 1 x x x x x x x x x x → → − + +   − = − =  ÷  ÷   −   − + +  ÷   Ví dụ 61: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 4 4 0 0 0 1 1 1 1 lim lim lim . 8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x → → →   + − = = =  ÷  ÷ + + + + + + + + + + +   4 Ví dụ 62: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 2 1 1 x x x x x x x x x → → → − +   − = = + =  ÷  ÷ − −   . Ví dụ 63: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 1 1 1 1 1 2 1 lim lim 0. 1 1 x x x x x x x x x → → − + +   − + = =  ÷  ÷ − −   Ví dụ 64: 3 1 lim 1 x x x I x →   − =  ÷  ÷ −   Cách 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 3 3 3 1 1 lim lim lim . 6 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x → → →   − + +  ÷ −   = = − = − = −       − + + − + + + + + +  ÷  ÷  ÷       Cách nhanh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim lim lim . 1 1 6 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x → → → → → → − − −   − − − = = = − = − = −  ÷  ÷ − −     − + +   − + + + +  ÷  ÷     Ví dụ 65: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 1 1 1 1 1 3 3 3 6 2 6 2 2 3 2 1 6 1 1 1 1 lim lim lim lim lim . 1 1 1 4 2 4 1 3 2 1 6 2 2 6 2 4 x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x → → → → → + − + + − + − − − = = − = − = − = − − − −   − + + − + + + +  ÷   Ví dụ 66: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 3 3 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 lim lim lim lim lim . 6 2 3 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x → → → → →       + − + + − + − = = − = − = − + =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷   − + + + − −       − + + + +  ÷   Ví dụ 67: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 3 2 2 4 4 1 1 1 1 1 lim lim lim . 12 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x → → → − + −   − = = = − = −  ÷  ÷ − − + + + + − + + + +   Ví dụ 68: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 2 2 2 4 2 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim lim . 8 6 24 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x → → → → →       − − − − − = = − = − − − = − + =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷   − − − − + + +       − + + +  ÷   Ví dụ 69: 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 4 4 4 1 1 1 2 2 2 4 1 1 2 2 3 3 2 1 2 3 3 7 12 4 7 2 12 4 2 lim lim lim 1 1 1 1 1 12 1 1 lim lim 1 1 12 4 2 12 4 4 1 1 7 2 7 4 1 lim lim 1 7 2 7 4 x x x x x x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → →       + − + + − + − = = − =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ − − −       − + − + = − =   − + + + + + − + + + + +  ÷   = −   + + + + +  ÷   ( ) ( ) ( ) 2 4 1 12 1 12 . 24 64 1 12 4 2 12 4 4x x x = − + + + + + Ví dụ 70: 5 4 1 1 lim 1 x x x →   −  ÷  ÷ −   Đặt 20 20 t x t x= ⇒ = Với 1 1x t→ ⇒ ⇒ Khi đó ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 5 20 4 5 4 3 2 4 20 1 1 1 1 1 1 1 4 lim lim lim 5 1 1 1 1 t t t t t t t t t t t t t t t t → → →   − + + +   − −  ÷ = = =  ÷  ÷  ÷ − − + + + + −     . Ví dụ 71: 4 6 1 1 lim 1 x x x →   −  ÷  ÷ −   Đặt 12 12 t x t x= ⇒ = Với 1 1x t → ⇒ ⇒ Khi đó ta có : 4 12 3 2 2 6 12 1 1 1 1 1 1 3 lim lim lim . 1 2 1 1 t t t t t t t t t t → → →       − − + +  ÷ = = =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ + − −       Ví dụ 72: 6 5 1 1 lim 1 x x x →   −  ÷  ÷ −   Đặt 30 t x= 30 x t⇒ = Với 1 1x t→ ⇒ ⇒ Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 6 30 5 6 5 4 3 2 5 30 1 1 1 1 1 1 1 5 lim lim lim . 6 1 1 1 1 t t x t t t t t t t t t t t t t t t → → →   − + + + +   − −  ÷ = = =  ÷  ÷  ÷ − − + + + + + −     Ví dụ 73: 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 1 1 3 3 1 2 1 1 2 1 1 1 2 lim lim lim lim lim 1 2 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 lim lim . 3 2 6 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → → − + −   − − − + = + = − + =  ÷  ÷ − − − −   − − + − +   − − − − − +  ÷   = − + = − =   − + − − − − +  ÷   Ví dụ 74: 8 4 1 1 lim 1 x x x → − − Đặt 8 8 t x t x= ⇒ = Với 1 1x t → ⇒ → Khi đó ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 2 4 8 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 2 1 1 t t t t t t t t t t → → → − − − = = − = − − + − − . Ví dụ 75: ( ) ( ) 5 4 3 1 lim x x x x x → − − Đặt 60 60 t x t x= ⇒ = Với 1 1x t→ ⇒ → Khi đó ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 60 60 12 15 12 2 20 30 20 10 8 9 8 7 6 5 4 3 2 3 1 1 1 1 60 60 1 1 1 1 lim lim lim lim . 5 1 1 1 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t → → → → − − − − + = − = = − − − + + + + + + + + + − 7 Phần 2: Các công thức của giới hạn hàm số Công thức số (1): Áp dụng : Ví dụ 1: 0 0 sin 1 sin 1 lim lim . 2 2 2 x x x x x x → → = = Ví dụ 2: 0 2 0 sin 2 sin 2 lim 2 lim 2. 2 x x x x x x → → = = Ví dụ 3: 0 3 0 sin 3 sin3 lim 3 lim 3. 3 x x x x x x → → = = Ví dụ 4: 1 0 2 sin sin 1 1 2 2 lim lim . 2 2 2 x x x x x x → →    ÷   = = Ví dụ 5: 3 0 0 2 3 3 sin sin 3 3 2 2 lim lim . 3 2 2 2 x x x x x x → →      ÷  ÷     = = Ví dụ 6: 8 0 sin lim 1. x x x → = 2 2 0 0 0 3 3 2 2 2 sin sin sin 1 1 1 3 3 3 lim lim lim . 1 2 4 6 6 6 .4 6 3 x x x x x x x x x → → →        ÷  ÷  ÷       = = = Ví dụ 7: 0 3 0 0 0 2 0 sin 3 sin 3 sin 3 lim 3 lim 3 3 lim . sin 2 sin 2 sin 2 2 lim 2 lim 2 x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → = = = Ví dụ 8: 0 4 0 0 0 3 0 sin 4 sin 4 lim 4 lim sin 4 4 4 lim . sin 3 sin 3 sin 3 3 lim 3 lim 3 x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → = = = Ví dụ 9: 1 0 2 0 0 1 0 0 3 sin 1 2 sin lim 2 2 sin lim 3 2 2 lim . 2 sin sin sin 1 3 3 3 lim lim 3 3 x x x x x x x x x x x x x x x → → → → →    ÷      ÷      ÷   = = =        ÷  ÷  ÷       Ví dụ 10: 3 0 2 0 2 0 3 3 sin 3 2 lim 3 3 2 sin 9 2 2 lim . 2 2 4 sin sin 2 3 3 lim 2 3 3 x x x x x x x x x → → →    ÷      ÷   = =      ÷  ÷     Ví dụ 11: 0 0 0 0 0 sin tan sin 1 sin cos lim lim lim lim . lim 1. cos cos x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → →   = = = =  ÷   Ví dụ 12: 0 0 0 0 2 0 sin 2 tan 2 sin 2 2 sin 2 2 cos2 lim lim lim lim lim . 2 3 3 3 cos 2 3cos 2 3 3 cos2 3cos 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → →    ÷   = = = =  ÷  ÷    ÷  ÷   Ví dụ 13: 0 4 0 0 0 0 0 3 0 4 sin 4 sin 4 lim lim lim tan 4 4 cos 4 4 cos 4 lim . sin 3 3 sin3 tan 3 3 lim lim lim cos3 cos3 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → →    ÷   = = =    ÷   9 Ví dụ 14: 2 2 0 0 0 sin sin sin lim lim . lim 1. x x x x x x x x x → → → = = Ví dụ 15: 2 2 0 0 0 2 0 2 0 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 lim lim . lim 2 lim .2 lim 4. 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → = = = Ví dụ 16: 2 2 1 1 0 0 0 0 0 2 2 sin sin sin sin sin 1 1 1 2 2 2 2 2 lim lim . lim lim . lim . 1 1 2 2 4 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x → → → → →            ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           = = = Ví dụ 17: 2 0 0 3 0 3 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 sin 3 sin 3 sin3 sin 3 lim lim 3 lim 3 lim sin 3 sin 3 sin 3 9 3 3 lim lim . lim . . . sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 4 sin 2 lim lim 2 lim 2 lim 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → → → → → → = = = = Ví dụ 18: 2 2 2 2 0 0 2 0 2 0 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 sin 2 4 lim lim 2 lim .2 lim . 3 3 2 2 3 3 x x x x x x x x x x x x → → → →   = = =  ÷   Ví dụ 19: ( ) 2 2 2 0 0 1 cos 2 1 sin lim lim 1. 2 x x x x x x → → − = = Ví dụ 20: ( ) 2 2 2 2 2 0 0 0 2 0 2 0 1 cos4 2sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 lim lim lim 2 lim .2 lim 4. 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → − = = = = Ví dụ 21: ( ) 2 2 2 1 1 0 0 0 0 2 2 sin sin sin 1 cos 1 1 1 2 2 2 lim 2 lim 2 lim . lim . 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x → → → →        ÷  ÷   −       = = =       Ví dụ 22: 2 0 0 0 0 2 1 1 0 0 2 2 sin sin lim . lim 1 cos 2 2sin lim lim 4. 1 cos 2sin sin sin 1 1 2 2 2 lim . lim 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → → − = = = −        ÷  ÷  ÷       Ví dụ 23: 3 0 0 0 0 2 0 sin 3 3 lim cos4 cos 2 2sin3 sin sin 3 3 3 lim lim lim . sin 2 cos3 cos 2sin 2 sin sin 2 2 2 lim 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → − = = = = − Ví dụ 24: 2 0 3 0 sin 2 2lim cos3 cos 2 2 lim . sin 3 cos4 cos 2 3 3 lim 3 x x x x x x x x x x x → → − = = − Ví dụ 25: 2 2 2 0 0 3 2sin 1 cos3 9 2 lim lim . 4 2 2 x x x x x → →    ÷ −   = = Ví dụ 26: 2 2 2 0 0 5 sin 1 cos5 2 25 2 lim lim . 3 6 3 x x x x x x → →    ÷ −   = = 10 [...]... 1 + 1÷  ÷   ÷       14 CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM 1 Khái niệm về số gia đối số và số gia hàm số Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định là D với x o thuộc D Cho x o một số gia đối số ∆x Khi đó số gia hàm số ∆ y = f ( xo + ∆ x ) − f ( xo ) Ví dụ 1: Xác đinh số gia hàm số tại x o = 1 cùng hàm số : y = f ( x ) = x2 Cho x o một số gia đối số ∆x Khi đó ta có số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo )... Định nghĩa đạo hàm cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định là D với xo ∈ D ∆y nếu tồn tại và duy nhất thì được gọi là ∆x đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm f ' ( xo ) hoặc y ' ( xo ) giới hạn lim 2 Bài tập 1: Cho hàm số y = f ( x ) = x tính đạo hàm của hàm số tại xo trong các trường hợp sau : a, xo = 1; b, xo = 0; c, xo = −1 a, Cho xo = 1 một số gia đối số ∆x Bài giải Khi đó số gia hàm số 2 ∆y =... Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 1 Giải Cho xo = 1 một số gia đối số ∆x Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( 1 + ∆x ) − f ( 1) = 3 ∆x + 1 − 1 Ví dụ 14: Cho y = f ( x ) = 4 x Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 1 Giải Cho xo = 1 một số gia đối số ∆x Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( 1 + ∆x ) − f ( 1) = 4 1 + ∆x − 1 Ví dụ 15: Cho y = f ( x ) = 2 Tính số gia hàm số ∆y...    3   3    Ví dụ 21: Cho y = f ( x ) = c với c là hằng số Tính số gia hàm số ∆y tại xo = −5 Giải Cho xo = −5 một số gia đối số ∆x Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( ∆x − 5 ) − f ( −5 ) = c − c = 0 Ví dụ 22: Cho y = f ( x ) = tan x Tính số gia hàm số ∆y tại xo = π một số gia đối số ∆x 4 Khi đó số gia hàm số π 4 Giải Cho xo = 18 π  π  sin  ∆x + ÷ sin  ÷ π π sin... −1 một số gia đối số ∆ x Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( ∆x − 1) − f ( −1) = 2 − 2 = 0 Ví dụ 16: Cho y = f ( x ) = 10 Tính số gia hàm số ∆y tại xo = −2 Giải Cho xo = −2 một số gia đối số ∆x Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( ∆x − 2 ) − f ( −2 ) = 10 − 10 = 0 Ví dụ 17: Cho y = f ( x ) = sin x Tính số gia hàm số ∆y tại xo = π 3 17 Cho xo = Giải π một số gia... một số gia đối số ∆x 2 Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) − x 2 = ∆x ( ∆x + 2 x ) ∆x ( ∆x + 2 x ) ∆y = lim = lim ( ∆x + 2 x ) = 2 x ∆x →0 ∆x ∆x→0 ∆x →0 ∆x Vậy y ' ( x ) = 2 x Ta có : lim Bài tập 2: Cho hàm số y = f ( x ) = − x Tính đạo hàm của hàm số tại xo trong các trường hợp sau : 2 a, xo = 2; b, xo = 0; c, xo = −2 a, Cho xo = 2 một số gia đối số ∆x khi đó số gia hàm số. .. x ) = − x Tính số gia hàm số ∆y tại xo = −2 Cho xo = −2 một số gia đối số ∆x Khi đó số gia hàm số Giải ( ) ( ) 3 3 ∆ y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( ∆ x − 2 ) − f ( − 2 ) = − ( ∆ x − 2 ) −  − ( − 2 )  = − ∆ x3 − 6∆ x 2 + 12∆ x − 8 − 8 = −∆ x ∆ x 2 − 6∆ x + 12     4 Ví dụ 7: Cho y = f ( x ) = x Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 1 Cho xo = 1 một số gia đối số ∆x Khi đó số gia hàm số Giải 4 2 2... ) = ln ( 1 + x ) Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 1 Cho xo = 1 một số gia đối số ∆x ( ) 1 −∆x e −1 e Giải  ∆x + 2  ÷  2  Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( ∆x + 1) − f ( 1) = ln ( ∆x + 2 ) − ln 2 = ln  Ví dụ 27: Cho y = f ( x ) = − ln ( 2 + x ) Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 2 Cho xo = 1 một số gia đối số ∆x Giải  4  ÷  ∆x + 4  Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) −... 28: Cho y = f ( x ) = ln x Tính số gia hàm số ∆y tại xo = e 19 Cho xo = e một số gia đối số ∆x Giải  ∆x + e  ÷  e  Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo ) = f ( ∆x + e ) − f ( e ) = ln ( ∆x + e ) − ln e = ln  x Ví dụ 29: Cho y = f ( x ) = − log 2 Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 8 Cho xo = 8 một số gia đối số ∆x Giải  8  ÷  ∆x + 8  8 Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( xo... ( ∆ x − 1)  −1 1 x2 Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 1 Giải Cho xo = 1 một số gia đối số ∆x 2 −∆ x ( 2 + ∆ x ) 1 1 − ( 1 + ∆x ) ∆ y = f ( xo + ∆ x ) − f ( xo ) = f ( 1 + ∆ x ) − f ( 1) = − = = 2 1 2 Khi đó số gia hàm số ( 1 + ∆x) ( 1 + ∆x) ( 1 + ∆x ) 2 1 Ví dụ 12: Cho y = f ( x ) = x Tính số gia hàm số ∆y tại xo = 4 Giải Cho xo = 4 một số gia đối số ∆x Khi đó số gia hàm số ∆y = f ( xo + ∆x ) − f ( . niệm về số gia đối số và số gia hàm số. Cho hàm số ( ) y f x= có tập xác định là D với o x thuộc D Cho o x một số gia đối số x ∆ Khi đó số gia hàm số Ví dụ 1: Xác đinh số gia hàm số tại. 15 ( ) ( ) . o o y f x x f x ∆ = + ∆ − CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM Tính số gia hàm số y∆ tại o x =2 Giải Cho 2 o x = một số gia đối số x ∆ Khi đó số gia hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 3. ÷ ∆ +   2. Định nghĩa đạo hàm cho hàm số ( ) y f x= có tập xác định là D với o x ∈ D giới hạn lim y x ∆ ∆ nếu tồn tại và duy nhất thì được gọi là đạo hàm của hàm số ( ) y f x= tại điểm

Ngày đăng: 20/04/2015, 11:48

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan