Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ Đề tài : Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 Giải phơng trình vô tỷ A. Nhận thức cũ- Giải pháp cũ: Phơng trình vô tỷ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn .Trong chơng trình đại số 9 ,phơng trình vô tỷ là một dạng toán khó. Khi gặp các phơng trình có chứa căn tơng đối phức tạp, học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm khi giải Có những phơng trình không thể giải bằng các phơng pháp quen thuộc. Khi gặp phơng trình vô tỷ , học sinh thờng chỉ quen một phơng pháp là nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn. Nhng trong quá trình giải sẽ thờng mắc phải một số sai lầm trong phép biến đổi tơng đơng phơng trình ,vì vậy dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm. Có một số phơng trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến phơng trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đa về phơng trình bậc nhất, bậc 2 để giải lại rất là khó khăn . Vì vậy học sinh sẽ rất lúng túng và không tìm ra lời giải . B. Nhận thức mới giải pháp mới I. Nhận thức mới: Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phơng trình vô tỷ , giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình thành các phơng pháp giải một cách kịp thời. Với mỗi phơng trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách giải phù hợp nhất , nhanh nhất. Qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hớng dẫn học sinh đặt đề toán tơng tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu biết phân dạng , chọn các ví dụ tiêu biểu , hình thành đờng lối t duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao hiệu quả giáo dục . II. Giải pháp mới: A- Hệ thống hoá các kiến thức cơ bản liên quan và bổ sung một số kiến thức mở rộng . 1. Các tính chất của luỹ thừa bậc 2, bậc 3, tổng quát hoá các tính chất của luỹ thừa bậc chẵn và luỹ thừa bậc lẻ. 2. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử , các hằng đẳng thức . 3. Các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, bất đẳng thức có chứa giá trị tuỵêt đối. Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 1 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ 4. Cách giải phơng trình, bất phơng trình bậc nhất , bậc 2 một ẩn, cách giải hệ phơng trình. 5. Bổ sung các kiến thức để giải các phơng trình đơn giản: * A = B = 2 0 0 BA B A * = = BA A BA 0 * 00 ===+ BABA B. Cung cấp cho học sinh các phơng pháp thờng dùng để giải phơng ttrình vô tỷ . Ph ơng pháp 1. Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn ở 2 vế của phơng trình( thờng dùng khi 2 vế có luỹ thừa cùng bậc). Ví dụ: Giải phơng trình 23151 = xxx (1) + ở phơng trình (1) hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để nguyên hai vế nh vậy và bình phơng hai vế để làm mất căn . Vì vậy giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất của luỹ thừa bậc 2: a = b a 2 = b 2 ( Khi a, b cùng dấu ) Vì vậy khi bình phơng hai vế đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình ban đầu khi hai vế cùng dấu. ở phơng trình (1), VP 0 , nhng vế trái cha chắc đã 0 vì vậy ta nên chuyển vế đa về phơng trình có 2 vế cùng 0. (1) 23151 += xxx Đến đây học sinh có thể bình phơng hai vế: 23151 += xxx 21315272 2 += xxx (*) Ta lại gặp phơng trình có một vế chứa căn , học sinh có thể mắc sai lầm là bình phơng tiếp 2 vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay cha. )21315(449144 22 +=+ xxxx 042411 2 =+ xx Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 2 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ 0)2)(211( = xx = = 2 11 2 x x Và trả lời phơng trình (*) có 2 nghiệm : 2; 11 2 21 == xx Sai lầm của học sinh là gì? Tôi cho học sinh khác phát hiện ra những sai lầm : + Khi giải cha chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải không đó chiếu với điều kiện ở (1) : ĐK : 1x vì vậy 11 2 1 =x không phải là nghiệm của (1) + Khi bình phơng hai vế của phơng trình (*) cần có điều kiện 7 2 072 xx vậy 2 2 =x không là nghiệm của (1) - Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh thờng gặp , từ đó tôi cho học sinh tìm ra cách giải đúng không phạm sai lầm đã phân tích . C 1 : Sau khi tìm đợc 11 2 =x và 2=x thử lại (1) không nghiệm đúng Vậy (1) vô nghiệm. ( cách thử lại này làm khi việc tìm TXĐ của phơng trình đã cho là tơng đối phức tạp ) 2 3 1 5 1 1 x xx x C 2 : Đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của (1) Sau khi giải đến (*) khi bình phơng hai vế đặt thêm điều kiện 7 2 x vậy x thoả mãn : 1 7 2 x x nên phơng trình (1)vô nghiệm C 3 : Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phơng trình . Điều kiện của (1) : 1 x do đó 1511515 <<< xxxxxx Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 3 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ Vế trái <0. VP 0 nên phơng trình (1) vô nghiệm . Sau đó tôi ra một số bài tập tơng tự cho học sinh trình bày lời giải. Bài tập t ơng tự : Giải phơng trình a) 24314 =++ xxx b) 31212 +=+ xxxx Ví dụ 2: Giải phơng trình : 271 33 =++ xx (2) ở phơng trình (2) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến việc lập phơng hai vế : Chú ý: + ở căn bậc lẻ: 12 +n A có nghĩa với A nên không cần đặt điều kiện + 07 01 x x + ở luỹ thừa bậc lẻ: a=b a 2n+1 =b 2n+1 ; (n N) nên không cần xét đến dấu của hai vế. Giải:+ Lập phơng hai vế ( ) ( ) 87.137.1371 2 33 2 3 =++++++ xxxxxx (**) Đến đây có thể học sinh rất lúng túng vì sau khi lập phơng hai vế, vế trái nhìn rất phức tạp, giáo viên hớng dẫn học sinh nghĩ đến hằng đẳng thức: ( a+b) 3 =a 3 +b 3 +3a 2 b+3ab 2 =a 3 +b 3 +3ab(a+b) Vậy (**) có thể viết : ( ) 871.)7)(1(371 33 3 =++++++ xxxxxx (I) (đến đây thay 271 33 =++ xx vào phơng trình) ta đợc: 0)7)(1(82.)7)(1(38 3 =+=++ xxxx ( II) Giải ra: 7;1 21 == xx ; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng , nên đó là 2 nghiệm của PT ban đầu. Vậy (2) có nghiệm 7;1 21 == xx + ở phơng trình (2) ngoài việc lập phơng hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt để đa phơng trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải. Chú ý: Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi không tơng đơng , vì nó chỉ tơng đơng khi x thoả mãn : 271 33 =++ xx . Vì vậy việc thay lại nghiệm của (II) vào phơng trình đã cho là cần thiết . Nếu không thử lại có thể sẽ có nghiệm ngoại lai. Bài tập t ơng tự : Giải phơng trình : Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 4 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ a) 333 511 xxx =++ b) 42312 33 =++ xx c) 333 101212 xxx =++ ( Đề thi vào toán tin -2000) Ph ơng pháp 2: Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối. Phơng pháp này là: Khi gặp phơng trình mà biểu thức trong căn có thể viết đ- ợc dới dạng bình phơng của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức : AA = 2 để làm mất dấu căn đa về phơng trình đơn giản Ví dụ: Giải phơng trình : 532813232222 =++++ xxxx (3) Nhận xét: + ở phơng trình (3) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc hai nên có thể bình phơng hai vế. Nhng ở phơng trình này sau khi bình phơng (lần 1) vẫn còn chứa căn nên rất phức tạp. + biểu thức trong căn có thể viết đợc dới dạng bình phơng của một biểu thức . Giải : ĐK: 2 3 032 xx ; 532813232222 =++++ xxxx C 1 : Đến đây để giải (***) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối, trớc khi phá dấu A thì cần xét dấu của A Nhận xét: 0132 >+x vậy chỉ xét dấu 432 x Nếu 2 19 2 3 1632 0432 x x x x Thì 43283225432132 ===++ xxxx Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 5 ( ) ( ) *)*(*;5432132 5432132 5164.322)32(1322)32( 22 =++ =++ =++++ xx xx xxxx Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ Giải ra 2 9 =x (Không thoả mãn điều kiện) + Nếu 2 19 2 3 432 < xx Thì 005432132 ==++ xxx vô số nghiệm x thoả mãn 2 19 2 3 x Kết luận: 2 19 2 3 x C 2 : ( Để giải (***) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối . .BABA ++ dấu = xảy ra khi và chỉ khi A.B 0) Giải: (***) 5324132 5432132 =++ =++ xx xx Ta có: 5324132324132 =++++ xxxx Vậy: 5324132 =++ xx Khi ( )( ) 0324132 + xx 2 3 0324 x x Giải ra: 2 19 2 3 x Bài tập t ơng tự: Giải phơng trình a) 1267242 =+++ xxxx b) 21212 =++ xxxx (Nhân 2 vế với 2 thì trong căn sẽ xuất hiện hằng đẳng thức) Ph ơng pháp 3: Đặt ẩn phụ: Phơng pháp đặt ẩn phụ là phơng pháp hay mà tôi rất tâm đắc , phơng pháp này có thể dùng để giải đợc rất nhiều phơng trình ở phơng pháp này dùng cách đặt ẩn phụ để đa về dạng phơng trình vô tỷ đơn giản Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ + Đặt 2 ẩn phụ + Đặt nhiều ẩn phụ A) Cách đặt 1 ẩn phụ : Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 6 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đa phơng trình về phơng trình có một ẩn là ẩn phụ đã đặt .Giải phơng trình tìm ẩn phụ , từ đó tìm ẩn chính. VD1:Giải phơng trình: 2 2 x +6x+12+ 23 2 ++ xx =9 (4) -Nhận xét:+ ở phơng trình này nếu bình phơng 2 vế sẽ đa về một phơng trình bậc 4 mà việc tìm nghiệm là rất khó + Biểu thức trong và ngoài căn có mối liên quan : 2x 2 +6x+12=2(x 2 +3x+2)+8 H ớng giải:+ Đặt ẩn phụ là y= 23 2 ++ xx + Chú ý: Đối với ĐK: x 2 +3x+2 0 có thể giải đợc nhng với những bài toán mà biểu thức trong căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lại xem có thoả mãn ĐK hay không Giải: ĐK: x 2 +3x + 2 0 ( x+1) (x+2) 0 1 2 x x Đặt : 23 2 ++ xx =y 0 PT (4) 2y 2 +y+8=9 2y 2 +y -1=0 Giải ra:y 1 =1/2 ( Thoả mãn ĐK); y 2 =-1( Loại) Thay vào: 23 2 ++ xx =1/2 x 2 +3x+2=1/4 Giải ra:x 1 = 2 23 + ; x 2 = 2 23 Đối chiếu với ĐK: x= 2 23 + thoả mãn là nghiệm của PT (4) VD2: Giải phơng trình: 071262 22 =++ xxxx ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10 năm 2003-2004) H ớng dẫn : ĐK : xxx + ;07126 2 Ta biến đổi để thấy đợc mối quan hệ giữa các biểu thứctrong phơng trình: Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 7 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ 07)2(62 22 =++ xxxx Đặt : axx = 2 2 Ta có phơng trình: aa =+ 76 (I) Giải(I) tìm a từ đó tìm x. VD2: Giải phơng trình: xxx 2)11)(11( =++ HD: ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt : ux =+1 ; Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phơng trình để đa về phơng trình ẩn u. Giải: ĐK : -1 1 x ; C1: Đặt: [ ] )1(2)12()1()1(2)12)(1()5( 1 )20( 1 222 2 ++=+ = =+ uuuuuu ux u ux =++ = 0)1(212 01 2 uu u + Nếu : (101 == uu thoả mãn) 011 ==+ xx (Thoả mãn ĐK) 0145 )12(2 012 )1(212 2 22 2 =+ += + +=+ uu uu u uu Giải ra: (1 1 =u loại); 25 24 1 5 1 5 1 2 2 = == xu thoả mãn điều kiện Vậy 25 24 ;0 == xx là nghiệm của (5) c2:ở bài này có thể đặt : bxax =+= 1;1 ; Đa về hệ phơng trình: =+ =+ 2 )1)(1( 22 22 ba baba Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 8 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ C2: Đặt ẩn phụ đa phơng trình về 2 ẩn: ẩn chính và ẩn phụ, tìm mối quan hệ giã ẩn chính và ẩn phụ. VD 3 : Giải phơng trình: xx = 22 2 (6) Nhận xét:- Nếu bình phơng hai vế đa về phơng trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm vô tỷ.Vì vậy ta có thể đặt ẩn phụ nhng cha đa đợc về phơng trình chỉ chứa một ẩn. -Hãy tìm cách đa về một hệ phơng trình có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ. Tìm mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ từ đó đ a về phơng trình đơn giản. Giải: ĐK: 02 02 2 x x Đặt: 2 22 yxxy == ;Ta có hệ: = = xy yx 2 2 2 2 Đây là hệ phơng trình đối xứng = = =+ yx yx xyxy 1 0)1)(( + Nếu x=y ta có phơng trình: xx =2 giải ra 1=x (thoả mãn điều kiện) + Nếu1-x=y ta có phơng trình: xx = 12 giải ra: 2 51 =x ( Thoả mãn điều kiện) Vậy phơng trình (6) có 2 nghiệm 2 51 ;1 21 == xx VD 4 : Giải phơng trình: 20062006 2 =++ xx Cách 1: Đặt yx =+ 2006 ta có hệ phơng trình =+ =+ 2006 2006 2 2 yx yx giải ra +=+ =+ = = 12006 2006 1 xx xx yx yx từ đó sử dụng phơng pháp 1 để giải tiếp. Chú ý : Cách này thờng sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đa đợc về hệ phơng trình đối xứng. Cách 2: Đa 2 vế về cùng bậc: Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 9 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ +=+ +=+ += + +++=++ 2006 2 1 2 1 2 1 2006 2 1 2 1 2006 2 1 4 1 20062006 4 1 22 2 xx xx xx xxxx Đến đây tiếp tục giải theo phơng pháp 1 Bài tập t ơng tự : Giải phơng trình a) 3 3 1221 =+ xx ; HD: Đặt ẩn phụ 3 12 = xy ta có hệ : =+ =+ xy yx 21 21 3 3 b) 14122 2 +=++ xxx ; HD : Đặt ẩn phụ xxy += 2 c) 15932764 22 =+++++ xxxx B) Đặt 2 ẩn phụ: ở dạng này ta đặt 2 ẩn phụ đa về hệ phơng trình 2 ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị của ẩn phụ, từ đó từ mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ đặt lúc đầu đa về phơng trình đơn giản. VD 1 : Giải phơng trình: 112 3 =+ xx (7) Nhận xét: ở vế trái có căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn là rất khó. + Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ: 112 =+ xx (hằng số) + Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đa về hệ 2 phơng trình không chứa căn và giải. Giải: ĐK: 1 x Đặt: vxux == 1;2 3 Ta có hệ phơng trình: =+ =+ 1 1 33 vu vu giải ra 2;1;0 321 === uuu Từ đó: 10;2;1 321 === xxx ( thoả mãn điều kiện) Vậy phơng trình (7) có 3 nghiệm: 10;2;1 321 === xxx VD2: Giải phơng trình: Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 10 [...]... giải phù hợp) VD5:Giải phơng trình: 2(3 x + 5) x 2 + 9 = 3x 2 + 2 x + 30 ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2004-2005) Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 12 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ HD : Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ các biểu thức: [ 3( 2 x + 3) + 1] x 2 + 9 = 3( x 2 + 9) + 2 x + 3 Đặt: 2 x + 3 = a; x 2 + 9 = b ; Ta có PT: (3a + 1)b... VT>1 nên phơng trình vô nghiệm + Nếu x>0 thì VP1 nên phơnhg trình vô nghiệm Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phơng trình BT tơng tự: Giải phơng trình 3 x 2 + 28 + 23 x 2 + 23 + x 1 + x = 2 + 9 Hớng dẫn: TXĐ: x 1 Nhận thấy x=2 là nghiệm Chứng tỏ: 1 x2 phơng trình vô nghiệm (ở những phơng trình phức tạp mà việc sử dụng các phơng pháp 1 đến phơng pháp 4 đều không... đến phơng pháp 5) Bài học kinh nghiệm Trên đây tôi đã trình bày cách nhận dạng và các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ Trớc khi giải học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ đễ đến khó để tìm ra ph ơng pháp phù hợp để giải Sau đó học sinh sẽ giải các bài tập tơng tự cùng dạng, và tự đặt thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phơng pháp giải Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi chuyên đề toán học chúng... x 2 > 1 nên pt vô nghiệm 5 x 6 > 4 5 x 6 3 3 x 4 2 > 1 nên pt vô nghiệm + xét x < 1 ta có: 4 3 x 2 < 1 Vậy pt có 2 nghiệm x=-1 và x=1 Ví dụ 2: Giải phơng trình: Ngời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai Trờng THCS Diễn Trờng 17 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ 5 x 1 + 3 x + 8 = x3 + 1 Giải: Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phơng trình +Nếu x . Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ Đề tài : Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 Giải phơng trình vô tỷ A. Nhận thức cũ- Giải pháp cũ: Phơng trình vô tỷ là phơng trình. Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ 0)2)(211( = xx = = 2 11 2 x x Và trả lời phơng trình (*) có 2 nghiệm : 2; 11 2 21 == xx Sai lầm của học sinh là gì? Tôi cho học sinh. kinh nghiệm: Phơng pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phơng trình vô tỷ Vế trái <0. VP 0 nên phơng trình (1) vô nghiệm . Sau đó tôi ra một số bài tập tơng tự cho học sinh trình bày lời giải.