Bài 1: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng 3cm,4cm,5cm.Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng 6cm,8cm,10cm.Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Bài 3:Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông. Bài 4: Tam giác ABC có góc A tù, C ˆ = 30 0 ; AB = 29, AC = 40. Vẽ đường cao AH, tính BH. Bài 5: Cho ∆ ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác. a/ Chứng minh rằng ∆ ABC cân b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC. Bài 6. Trên hình 3 cho µ µ µ 0 360B C D+ + = . Chứng minh AB // ED Bài 7: Trong hình 1 cho MN // PQ. Tìm số đo góc B Bài 8:Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy M, N. Trên tia Oy lấy P, Q sao cho OM = OP, PQ = MN. Chứng minh : a. OPN OMQ∆ = ∆ b. MPN PMQ∆ = ∆ c. Gọi I là giao điểm của MQ và PN. Chứng minh IMN IPQ∆ = ∆ d. Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy e. OI là tia đường trung trực của MP g. c/m MP//NQ Bài 9. Cho tam giác ABC có µ 0 A 90= . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB. Trên tia đối của tia MB lấy K sao cho MK = MB. Trên tia đối của tia NC lấy I sao cho NI = NC. Tính · ACK Chứng minh IB//AC, AK//BC Chứng minh A là trung điểm của IK Bài 10. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh : A B C DE Hình 3 M N P Q B 20 0 40 0 ? Hình 1 a. DB CF ; b. BDC FCD 1 c. DE // BC vµ DE BC 2 = ∆ = ∆ = Bài 11. Cho tam giác ABC. Vẽ các đường tròn (C; AB) và (A; BC). Chúng cắt nhau tại D ( B và D ở hai bên đường thẳng AC). Nối B với D. Chứng minh : a. ABC CDA∆ = ∆ b. ABD CDB∆ = c. AB//CD d. AD//BC Bài 12. Cho AC cắt BD tại trung I điểm mỗi đoạn, chứng minh : a. IAB ICD∆ = ∆ b. CAD ACB∆ = ∆ c. ABD CDB∆ = ∆ Bài 13. Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy M, N. Trên tia Oy lấy P, Q sao cho OM = OP, PQ = MN. Chứng minh : a) OPN OMQ∆ = ∆ b) MPN PMQ∆ = ∆ c) Gọi I là giao điểm của MQ và PN. 1/Chứng minh IMN IPQ∆ = ∆ 2/Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy 3/OI là tia đường trung trực của MP, 4/MP//NQ Bài 14: Cho góc xOy; vẽ tia phân giác Ot của góc xOy. Trên tia Ot lấy điểm M bất kỳ; trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B sao cho OA = OB gọi H là giao điểm của AB và Ot. Chứng minh: 1/MA = MB 2/OM là đường trung trực của AB. 3/Cho biết AB = 6cm; OA = 5 cm. Tính OH? Bài 15 : Cho ∆ ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH ⊥ AC. Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh : 1/AB // HK 2/ ∆ AKI cân 3/ · · BAK AIK= 4/ ∆ AIC = ∆ AKC Bài 16 : Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh: a) ADE cân b) ABD = ACE Bài 17: Cho tam giác ABC có góc B = 90 0 , vẽ trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh: a) ∆ ABM = ∆ ECM b) AC > CE. c) góc BAM > góc MAC d) BE //AC e) EC ⊥ BC Bài18 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh: a) BE = CD. b) BMD = CME c)AM là tia phân giác của góc BAC. Bài 19: Cho ∆ ABC có 0 60C ˆ B ˆ =+ , phân giác AD. Trên AD lấy điểm O. Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho góc ABM = góc ABO. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm N sao cho góc ACN = góc ACO. Chứng minh rằng: a/ AM = AN b/ ∆ MON là tam giác đều Bài 20: Cho tam giác ABC có ∠ B = 80 0 ; C =40 0 . Tia phân giác của góc A cắt bc ở D. a/ Tính góc BAC , góc ADC. b/ Gọi E là mọt điểm trên cạnh Ac sao cho AE = AB. Chng minh : ABD = AED c/ Tia phõn giỏc ca gúc B ct AC ti I . Chng minh BI // DE Bi 21: Cho tam giỏc ABC ( AB < AC) cú AM l phõn giỏc ca gúc A.(M thuc BC).Trờn AC ly D sao cho AD = AB. a. Chng minh: BM = MD b. Gi K l giao im ca AB v DM .Chng minh: DAK = BAC c. Chng minh : AKC cõn d. So sỏnh : BM v CM. *Bi 22: Cho ABC cõn ti A, cnh ỏy nh hn cnh bờn. ng trung trc ca AC ct ng thng BC tiM. Trờn tia úi ca tia AM ly im N sao cho AN = BM a/ Chng minh rng gúc AMC = gúc BAC b/ Chng minh rng CM = CN c/ Mun cho CM CN thỡ tam giỏc cõn ABC cho trc phi cú thờm iu kin gỡ? HD:c/ Ta cú CM = CN , CM CN thỡ tam giỏc CMN vuụng cõn ti C. Suy ra gúc M = 45 0 .Tam giỏc ACM cõn ti M nờn ng cao xut phỏt t M (MK)cng l ng phõn giỏc. Nờn gúc CMK = 45 0 : 2 = 27,5 0 .m tam giỏc CMK vuụng ti K suy ra gúc KCM = 90 0 - 27,5 0 =62,5 0 . Vy tam giỏc cõn ABC phi cú gúc ỏy = 62,5 0 Bi 23:Tam giỏc ABC cú AB > AC. T trung im M ca BC v mt ng thng vuụng gúc vi tia phõn giỏc ca gúc A, ct tia phõn giỏc ti H, ct AB, AC lm lt ti E v F. Chng minh rng: a/ BE = CF b/ 2 ACAB AE + = ; 2 ACAB BE = c/ 2 B BC A EM B = Bi 24: Cho ABC cõn ti A = 1080. Gi O l mt im nm trờn tia phõn giỏc ca gúc C sao cho gúc CBO = 120 0 . V tam giỏc u BOM (M v A cựng thuc mt na mt phng b BO). Chng minh rng: a/ Ba im C, A, M thng hng b/ Tam giỏc AOB cõn Bài 25.Cho tam giác đều AOB, trên tia đối của tia OA, OB lấy theo thứ tự các điểm C và D sao cho OC = OD.Từ B kẻ BM vuông góc với AC, CN vuông góc với BD. Gọi P là trung điểm của BC.Chứng minh: a.Tam giác COD là tam giác đều b.AD = BC c.Tam giác MNP là tam giác đều Bài 26. Cho tam giác cân ABC, AB = AC, đờng cao AH. Kẻ HE vuông góc với AC. Gọi O là trung điểm của EH, I là trung điểm của EC. Chứng minh: 1/IO vuông góc vơi AH 2/AO vuông góc với BE Bài 27.Cho tam giác nhọn ABC. Về phía ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF ở B và C.Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh: 1/Tam giác ABI bằng tam giác BEC 2/BI = CE và BI vuông góc với CE. 3/Ba đờng thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm. Bài 28. Cho tam giác ABC vng ở C có µ 0 A 60= . Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. Kẻ EK AB, BD AE⊥ ⊥ . Chứng minh : 1/AC = AK và AE vng góc với CK 2/KA = KB 3/EB > AC 4/AC, BD, KE cùng đi qua một điểm Bài 29. Cho tam giác DEF cân tại D có DE = DF = 5cm, EF = 8cm. M, N lần lượt là trung điểm DF và DE. Kẻ DH EF⊥ . 1/Chứng minh EM = FN và · · DEM DFN= 2/Giao điểm của EM và FN là K. Chứng minh KE = KF 3/Chứng minh DK là phân giác của góc EDF 4/Chứng minh EM, FN, AH đồng quy 5/Tính AH Bài30. Cho góc vng xOy, điểm A thộc tia Ox, B thuộc Oy. Đường trung trực của OA cắt Ox tại D, đường trung trực của OB cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh : 1/CE = OD 2/CE vng góc với CD 3/CA = CB 4/CA//DE 5/A, B, C thẳng hàng Bài 31. Cho tam giác ABC vng tại A. Đường phân giác BE. Kẻ EH vng góc với BC. Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh : a. ABE HBE∆ = ∆ b. BE là đường trung trực của AH c. EK = EC d. AE < EC e. BE KC⊥ f. Cho AB = 3cm, BC = 5cm. Tính KC Bài 32. Cho ABC∆ có µ 0 A 120= . Các phân giác AD và CE gặp nhau ở O. Đường thẳng chứa tia phân giác ngồi tại đỉnh B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh : a. BO BF⊥ b. · · BDF ADF= c. Ba điểm D, E, F thẳng hàng Bài 33. Cho tam giác ABC cân tại A. trên hai cạnh AB, AC và về phía ngồi tam giác vẽ các tam giác đều ADB, AEC 1/Chứng minh BE =CD 2/ Kẻ phân giác AH của tam giác cân. Chứng minh BE, CD, AH đồng quy Bài 34. Cho · xOy nhọn. Trên tia Ox lấy điểm A và trên tia Oy lấy B sao cho OA = OB. Kẻ đường thẳng vng góc với Ox tại A cắt Oy tại D. Kẻ đường thẳng vng góc với Oy tại B cắt Ox tại C. Giao điểm của AD và BC là E. Nối CE, CD 1/Chứng minh OE là phân giác của góc xOy 2/Chứng minh tam giác ECD cân 3/Tia OE cắt CD tại H. Chứng minh Bài 35. Cho tam giác ABC vng tại A. Kẻ AH BC⊥ . Kẻ HP vng góc với AB và kéo dài để có PE = PH. Kẻ HQ vng góc với AC và kéo dài để có QF = QH 1/Chứng minh APE APH, AQH AQF∆ = ∆ ∆ = ∆ 2/Chứng minh E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF 3/Chứng minh BE//CF 4/Cho AH = 3cm, AC = 4cm. Tính HC, EF Bài 36. Cho ∆ ABC cân tại A ( µ 0 90A < ), vẽ BD ⊥ AC và CE ⊥ AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE. 1/Chứng minh : ∆ ABD = ∆ ACE 2/Chứng minh ∆ AED cân 3/Chứng minh AH là đường trung trực của ED 4/Treõn tia ủoỏi cuỷa tia DB laỏy K sao cho DK = DB. Chửựng minh ã ã ECB DKC= Bi 37. Cho on thng BC. I l trung im BC. Trờn ng trung trc ca BC ly im A khỏc I 1/Chng minh AIB AIC = 2/K IH AB; IK AC . Chng minh tam giỏc AHK l tam giỏc cõn 3/Chng minh HK//BC Bi 38. Cho tam giỏc ABC cõn ti A. Trờn tia i ca tia BA ly D, trờn tia i ca tia CA ly E sao cho BD = CE. V DH v EK cựng vuụng gúc vi BC. Chng minh : 1/HB = CK 2/ ã ã AHB AKC= 3/HK//DE 4/ AHD AKE = 5/ I l giao im ca DC v EB, chng minh AI DE Bi 39.Cho tam giỏc ABC cõn ti A ( à 0 A 90< ). K BD AC , CE AB .BD v CE ct nhau ti I. 1/Chng minh BDC CEB = 2/So sỏnh ã ã IBE và ICD 3/Tam giỏc IBC l tam giỏc gỡ ? Vỡ sao ? 4/Chng minh AI BC 5/Chng minh ED//BC 6/Cho BC = 5cm, CD = 3cm,. Tớnh EC, AB Bi 40. Cho tam giỏc cõn ABC cú à 0 A 120= ; ng phõn giỏc AD ( D thuc BC ). V DE AB; DF AC .Chng minh: 1/ Tam giỏc DEF u 2/T C k ng thng song song vi AD ct AB ti M. Chng minh tam giỏc AMC u 3/Chng minh MC BC 4/Tớnh DF v BD bit AD = 4cm Bi 41. Cho gúc nhn xOy. im H nm trờn tia phõn giỏc ca gúc xOy. T H dng cỏc ng vuụng gúc HA,HB xung hai cnh Ox v Oy (A thuc Ox v B thuc Oy). a) Chng minh tam giỏc HAB l tam giỏc cõn b) Gi D l hỡnh chiu ca im A trờn Oy, C l giao im ca AD vi OH. Chng minh BC Ox. c) Khi gúc xOy bng 60 0 , chng minh OA = 2OD. Bi 42. Cho tam giỏc ABC cõn ti A, ng cao AH. Bit AB = 5 cm, BC = 6 cm. a) Tớnh di cỏc on thng BH, AH? b) Chng minh hai gúc ABG v ACG bng nhau c) *Gi G l trng tõm tam giỏc ABC. Chng minh rng ba im A, G, H thng hng Bi 43:Cho ABC vuụng C, cú à A = 60 0 , tia phõn giỏc ca gúc BAC ct BC E, k EK vuụng gúc vi AB. (K AB), k BD vuụng gúc AE (D AE). Chng minh: a) AK = KB. b) AD = BC. Bi 44: Cho ABC cú AC > AB, trung tuyn AM. Trờn tia i ca tia MA ly im D sao cho MD = MA . Ni C vi D a. Chng minh ã ADC > ã DAC . T ú suy ra: ã MAB > ã MAC b. Kẻ đường cao AH. Gọi E là một điểm nằm giữa A và H. So sánh HC và HB; EC và EB. Bài 45: Cho ∆ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K. a) Chứng minh ∆BNC = ∆CMB. b) Chứng minh ∆BKC cân tại K. c) *Chứng minh BC < 4.KM Bài 46: Cho ∆ABC (Â = 90 0 ) ; BD là phân giác của góc B (D ∈ AC). Trên tia BC lấy điểm E sao cho BA = BE. a) Chứng minh DE ⊥ BE. b) Chứng minh BD là đường trung trực của AE. c) Kẻ AH ⊥ BC. So sánh EH và EC. Bài 47: Cho ∆ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E ∈ BC ). Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng: a) BD là trung trực của AE. b) DF = DC c) *AD < DC; d) AE // FC. Bài 48: Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, vẽ đường cao AH. a. Chứng minh HB > HC b. So sánh góc BAH và góc CAH. c. Vẽ M, N sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HM, HN. Chứng minh tam giác MAN là tam giác cân. Bài 49 : Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B có số đo bằng 60 0 . Vẽ AH vuông góc với BC ,( H ∈ BC) . a. So sánh AB và AC; BH và HC; b. Lấy điểm D thuộc tia đối của tia HA sao cho HD = HA. Chứng minh rằng hai tam giác AHC và DHC bằng nhau. c. Tính số đo của góc BDC. Bài 50 : Cho góc nhọn xOy, trên 2 cạnh Ox, Oy lần lượt lấy 2 điểm A và B sao cho OA = OB, tia phân giác của góc xOy cắt AB tại I. a) Chứng minh OI ⊥ AB . b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OI. Chứng minh BC ⊥ Ox . Bài51. Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông g với AB tại E, kẻ MF vuông góc với AC tại F. a. Chứng minh ∆CFM =∆ BEM. b. Chứng minh AM là trung trực của EF. c. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng này cắt nhau tại D. Chứng minh rằng ba điểm A, M, D thẳng hàng. Bài 52: Cho tam giác ABC có µ A = 90 0 , AB =8cm , AC =6cm . a. Tính BC . b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 2 AEcm = , trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD AB = . Chứng minh ∆BEC = ∆DEC . c. Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC . . giác. a/ Chứng minh rằng ∆ ABC cân b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC. Bài 6. Trên hình 3 cho µ µ µ 0 360B C D+ + = . Chứng minh AB // ED Bài 7: Trong hình 1 cho MN // PQ. Tìm số đo góc B Bài. cao xut phỏt t M (MK)cng l ng phõn giỏc. Nờn gúc CMK = 45 0 : 2 = 27, 5 0 .m tam giỏc CMK vuụng ti K suy ra gúc KCM = 90 0 - 27, 5 0 =62,5 0 . Vy tam giỏc cõn ABC phi cú gúc ỏy = 62,5 0 Bi 23:Tam. ng phõn giỏc AD ( D thuc BC ). V DE AB; DF AC .Chng minh: 1/ Tam giỏc DEF u 2/T C k ng thng song song vi AD ct AB ti M. Chng minh tam giỏc AMC u 3/Chng minh MC BC 4/Tớnh DF v BD bit AD = 4cm Bi