SKKN Hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ khi giải một số bài toán hình học 7

16 1,235 1
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 19/04/2015, 15:38

Phòng giáo dục - đào tạo huyện quỳnh phụ Trờng thcs quỳnh hội ************************ đề tài hớng dẫn học sinh kẻ thêm đờng phụ khi giải một số bài toán hình học 7 H v tờn: Trn Th Thy Ngy sinh: 20/10/1978 Trỡnh o to: i hc Thỏng nm vo ngnh: 03/ 2000 Tháng 4 năm 2014. A. phần mở đầu I. Lý do chọn đề tài: Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản, mang tính trừu tợng nhng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập SGK, STK mà quan trọng là hình thành cho học sinh phơng pháp chung để giải các dạng Toán từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo hoàn thiện nhân cách. Nói đến toán học, ngời ta không thể không nhắc tới bộ môn hình học. Hình học không chỉ là nền móng vững chắc cho các môn khoa học tự nhiên mà hình học còn là một công cụ rèn trí thông minh, sáng tạo thúc đẩy t duy của học sinh. Có lẽ cũng chính vì thế mà hình học là một phần không thể thiếu trong hành trang toán học của các em học sinh. Phát triển năng lực trí tuệ theo từng mức độ cho học sinh ngay từ các lớp dới là trách nhiệm của nhà trờng, là đòi hỏi của xã hội, là nỗi mong mỏi của các bậc phụ huynh và cũng là ớc muốn chính đáng của bản thân các em học sinh. Trong các môn học, môn Toán đặc biệt có u thế về mặt này, song phát triển trí tuệ cho trẻ em thông qua hoạt động học tập, hoạt động vui chơi là một quá trình bền bỉ, không thể tính bằng tuần, bằng tháng. Hơn nữa, còn phải xuất phát từ trình độ nhận thức và hoàn cảnh sống của trẻ em để cho các em luyện tập dần từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm phát huy ở trẻ óc quan sát nhanh nhạy, trí tởng tợng phong phú, khả năng suy luận lôgíc Vậy làm thế nào để môn hình học dù khó vẫn có một sức hấp dẫn cuốn hút kỳ lạ và gây hứng thú cho ngời học ? Đứng trớc yêu cầu đó, là một giáo viên làm công tác bồi dỡng học sinh giỏi, tôi luôn cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, tiếp cận việc đổi mới phơng pháp giảng dạy nhằm giúp cho học sinh có đợc cái nhìn nhanh nhậy từ mỗi bài toán, tạo sự say mê hứng thú trong việc học tập của mình. Từ mỗi bài toán nhỏ, tôi cố gắng khai thác phát triển dới nhiều góc độ khác nhau làm cho học sinh phải tự suy nghĩ, phải tự tìm tòi và thấy rằng việc học toán thật thú vị, hấp dẫn. Qua mỗi tiết học nâng cao, giáo viên đa ra kiến thức nào thì nó sẽ là chiếc chìa khoá mở ra cho học sinh nhiều điều mới lạ, thú vị và từ đó xây dựng đợc khả năng tự học, tự nghiên cứu. Trớc thực tế đó, tôi muốn qua bài viết này sẽ trao đổi kinh nghiệm với tất cả các đồng chí đồng nghiệp. II. Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh nắm đợc cách vẽ đờng phụ khi giải một số bài toán so sánh độ dài các đoạn thẳng: So sánh hai đoạn thẳng, một đoạn thẳng với tổng hai đoạn thẳng. III. Giới hạn của đề tài. Trong chứng minh hình học, phần nhiều phải tự vẽ thêm đờng mới, tức là phải vẽ thêm đờng phụ mới chứng minh đợc. Việc vẽ thêm đờng phụ rất nhiều loại nên không có phơng pháp vẽ cố định. Vẽ đờng phụ hợp lý là một phơng pháp để giải các bài toán hình học. Để tìm ra hớng đi đúng cho một bài toán khó và lạ là một điều không đơn giản. Nhằm giúp các em giải quyết vấn đề khó này, tôi xin đề cập đến cách hớng dẫn học sinh kẻ thêm đờng phụ khi giải một số bài toán hình học 7. Song trong phạm vi của đề tài này, tôi sẽ xoay quanh dạng toán về so sánh độ lớn hai đoạn thẳng. Đây là dạng toán quen thuộc mà các em thờng gặp. B - phần nội dung Trớc hết, học sinh phải thấy đợc việc kẻ đờng phụ nhằm - Biến đổi hình vẽ, làm cho bài toán trở nên chứng minh dễ dàng hơn trớc - Tạo nên một hình mới để có thể áp dụng những định lý đặc biệt nào đó. Trong thực tế, việc kẻ thêm đờng phụ là một việc làm thực sự khó. Việc kẻ thêm đờng phụ phải theo đúng nguyên tắc dựng hình vì nếu không bài toán càng trở nên phức tạp, không tìm ra hớng giải. Chính vì vậy, khi đứng trớc một bài toán, các em cần chú ý các điểm sau: - Không phải bài toán nào cũng cần vẽ đờng phụ. - Khi vẽ không đợc tuỳ tiện mà phải hợp lý đúng nguyên tắc các phép dựng hình cơ bản. Các ví dụ cụ thể: 1. Các bài toán so sánh hai đoạn thẳng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, B= 60 0 . Chứng minh rằng AB = 2 1 BC. *Hớng giải 1: Dựng đoạn thẳng bằng 2AB, sau đó chứng minh 2AB = BC. Với hớng suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau: Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD AB = 2 1 BD - Xét ABC và ADC có: AB = AD (cách vẽ) BAD = DAC = 90 0 ( AB AC) AC: cạnh chung ABC = ADC ( c.g.c) BC = DC BCD là tam giác cân tại C Mà B = 60 0 (gt) BDC là tam giác đều BD = BC, mà AB = 2 1 BD . Suy ra: AB = 2 1 BC *Hớng giải 2: Dựng đoạn thẳng bằng BC 2 1 , sau đó chứng minh BC 2 1 = AB . Với hớng suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau: - Trên tia BC lấy D sao cho BD = AB. - ABD có AB = BD ABD cân tại B, mà B = 60 0 (gt) ABD là tam giác đều - ABC vuông tại A, B =60 0 C = 30 0 B > C BC > AB, mà AB = BD BC > BD D nằm giữa B và C (1) BAD + DAC = 90 0 , mà BAD = 60 0 ( ABD đều) DAC = 30 0 - ADC có DAC = C (=30 0 ) ADC cân tại D DA = DC Lại có AD = AB = BD ( ADB đều) DB = DC (2). Từ (1) và (2) suy ra AB = BC 2 1 Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh ấy. *Hớng giải 1: Dựng đoạn thẳng bằng 2AM, sau đó chứng minh 2AM = BC. Với hớng suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau: Trên tia đối của tia MA lấy D sao cho M là trung điểm của AD AM = 2 1 AD ABM và DCM có: BM = MC (AM là trung tuyến) AMB = DMC (đối đỉnh) AM = MD (cách dựng) ABM = DCM (cgc) ABM = MCD AB // DC, mà AB AC ( ABC vuông tại A) DC AC. ABC và DCA có: AB = DC ( ABM = DCM) BAC = DCA = 90 0 AC chung ABC = CDA (c.g.c) BC = AD, mà AM = 2 1 AD AM = 2 1 BC (đpcm). *Hớng giải 2: Dựng đoạn thẳng bằng AM, sau đó chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC 2 1 . Với hớng suy nghĩ này hình thành cách vẽ sau: Gọi M là giao điểm của đờng trung trực đoạn AB với cạnh BC Vì M trung trực của BC MB = MA AMB cân tại M B = BAM Lại có B < BAC BAM < BAC AM nằm giữa AB và AC BAM + MAC = 90 0 Mà B + C = 90 0 ( ABC vuông tại A) Từ (1) , (2), (3) suy ra MAC = C AMC cân tại M MA = MC (**) Từ (*) và (**) suy ra MB = MC = MA AM là trung tuyến và AM = 2 1 BC Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Chứng minh rằng DE = 2 1 BC. *Hớng giải: Trên tia DE lấy điểm F sao cho E là trung điểm của DF. Do ADE và CFE có: AE = EC; AED = CEF; DE = EF ADE = CFE (c.g.c) DAE = ECF AB //CF BDC và FCD có: BD = CF (=AD) BDC = DCF (so le trong do AB//CF) DC chung BDC = FCD (c.g.c) DF = BC; mà DE = 2 1 DF DE = 2 1 BC Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến CM. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Chứng minh rằng : CM = 2 1 CD. * Hớng giải : - Hớng thứ nhất : Ta dựng đoạn thẳng bằng 2CM rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng CD. Với hớng suy nghĩ này, hình thành các cách vẽ đờng phụ. Cách 1 Trên tia đối của tia MC lấy điểm N sao cho MN = MC CM = 2 1 NC (1) Xét BMN và AMC có MB = MA (M là trung điểm AB ) BMN = AMC (hai góc đối đỉnh ) MN = MC (cách dựng) Vậy BMN = AMC (c .g.c) BN = AC Lạicó BNM= MCA (BMN = AMC) BN // AC NBC + BCA = 180 0 (hai góc trong cùng phía) Mà DBC + CBA = 180 0 ( kề bù); ABC = ACB(ABC cân tại A ) NBC = DBC Xét NBC và DBC có NB = BD (=AC ); NBC = DBC ; BC là cạnh chung NBC = DBC (c.g.c) NC =DC (2) Từ (1) và (2) MC = 2 1 DC Cách 2 Sử dụng kết quả bài toán trong ví dụ 3, ta sẽ có một số cách vẽ đờng phụ nh sau: Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CB = CN Ta có : DBC + CBA = 180 0 (2 góc kề bù) ACN + ACB = 180 0 (2 góc kề bù) Mà CBA = ACB do ABC cân tại A) DBC = ACN Ta có : CB = CN (cách dựng), MA = MB (gt) CM = 2 1 AN (1) Xét DBC và ACN có: DB = CA (cùng bằng AB); DBC = ACN (cmt); BC = CN (cách dựng) DBC = ACN (cgc) DC = AN (2) Từ (1) và (2) CM = 2 1 DC - Hớng thứ hai: Dựng đoạn thẳng khác bằng 2 1 CD rồi chứng minh cho đoạn thẳng đó bằng CM. Với hớng suy nghĩ này, hình thành các cách vẽ đờng phụ nh sau Cách 3: Gọi N là trung điểm của AC NA = NC = 2 1 AC. Mà AM = 2 1 AB (vì M là trung điểm của AB); AB = AC (gt) NA = AM Xét ABN và ACM có: NA = AM (cmt); A chung; AB = AC (gt) Vậy ABN = ACM (c.g.c) BN = CM (1) Lại có : BA = BD (gt), NA = NC (vì N là trung điểm của AC) BN = 2 1 CD (2) Từ (1) và (2) CM = 2 1 CD Cách 4: Gọi N là trung điểm của DC ND = NC = 2 1 DC (1) Ta có: BA = BD (gt) ;ND = NC BN//AC và BN = 2 1 AC DBN = MAC (cặp góc đồng vị do BN//AC) Lại có : MA = 2 1 AB ; AB = AC(gt) MA = 2 1 AC BN = MA (cùng bằng 2 1 AC) Xét AMC và BND có MA = NB (cmt) MAC = DBN AC = BD (cùng bằng AB) AMC = BND (c.g.c) MC = DN (2) Từ (1) và (2) CM = 2 1 DC *Khai thác bài toán : Kết quả chứng minh vẫn đúng nếu ABC vuông cân tại A hoặc ABC là tam giác đều(học sinh tự chứng minh). Ví dụ 5: Cho ABC có AB > AC; phân giác AD. Chứng minh rằng DB > DC. * Hớng giải: Tạo ra một đoạn thẳng bằng DB(hoặc DC) và so sánh đoạn thẳng mới với đoạn thẳng còn lại. Với hớng giải nh trên ta có thể vẽ đờng phụ theo hai cách sau: Cách 1: - Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC - Xét ADC và ADE có : AE = AC(cách vẽ) A 1 = A 2 (gt) AD là cạnh chung ADC = ADE(c.g.c) ED = DC(1) và D 1 = D 2 (2) - Do AB > AC(gt); AE = AC nên AB > AE E nằm giữa A và B - Ta có BED là góc ngoài của tam giác AED BED > D 2 (3) D 2 là góc ngoài của tam giác ABD D 2 > B (4) Từ (2); (3) và (4) BED > B - BED có BED > B BD > DE (quan hệ góc và cạnh đối diện) (5) Từ (1) và (5) BD > DC(đpcm) Cách 2: Trên tia AC lấy điểm E sao cho AB = AE Xét ADB và ADE có: AB = AE(cách vẽ) BAD = EAD(gt) AD là cạnh chung ADB = ADE (c - g - c) BD = DF (6) và ABD = AED (7) Do AB = AF; AB > AC nên AF > AC C nằm giữa A và F BCE là góc ngoài của tam giác ABC BCE > ABD (8) Từ (7) và (8) DCE > CED CDE có DCE > CED DF > DC (quan hệ góc cạnh đối diện) (9) Từ (6) và (9) BD > DC(đpcm) Bài tập tự giải Bài 1: Cho tam giác ABC có BC = 2AB. Gọi D, M lần lợt là trung điểm của các cạnh BC và BD. Chứng minh rằng AC = 2AM Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, A= 120 0 . Qua A kẻ đờng thẳng vuông góc với AB, cắt BC tại D. Chứng minh rằng BD = 2.DC Bài 3: Cho tam giác ABC, I là giao điểm các đờng phân giác của góc B và góc C. M là trung điểm của BC. Biết BIM= 90 0 ; BI = 2.IM. a) Tính số đo BAC b) Vẽ IH vuông góc với AC, H thuộc AC. Chứng minh rằng BA = 3.IH Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho ADB > ADC. Chứng minh rằng DC > DB. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 54 0 . Trên AC lấy điểm D sao cho DBC = 18 0 . Chứng minh BD < AC. 2. Các bài toán so sánh một đoạn thẳng với tổng(hiệu) hai đoạn thẳng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có B = C = 40 0 , phân giác BD. Chứng minh rằng: BD + DA = BC * Hớng giải: Tách BC thành tổng hai đoạn thẳng sao cho từng đoạn thẳng trong tổng đó lần lợt bằng đoạn thẳng BD, DA. Với hớng giải nh trên ta có thể vẽ đờng phụ nh sau - Lấy điểm I trên đoạn BC sao cho BD = BI. Ta cần chứng minh thêm IC = DA - Để chứng minh IC = DA ta tạo ra tam giác chứa cạnh DA bằng tam giác chứa cạnh IC, nghĩa là tạo ra tam giác chứa cạnh DA bằng tam giác ICD.Dựa vào đặc điểm tam giác ICD, ta có thể vẽ đờng phụ nh sau: Qua A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB tại N. Tam giác AND là tam giác cần dựng. Giải - Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho BI = BD - Qua D kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB tại N Do ND//BC nên AND = ABC; ADN = C (đồng vị) Mà ABC = ACB = 40 0 (gt) AND = ADN AND cân tại A AN = AD Mà AB = AC (gt) AB AN = AC AD BN = CD(1) -Vì BD là phân giác của ABC ABD = DBC = 20 0 Mặt khác do ND//BC(cách vẽ) nên NDB = DBC (so le trong) NBD = NDB = 20 0 BND cân tại N BN = ND(2) - Do BD = BI nên BDI cân tại B BDI = (180 0 - 20 0 ) : 2 = 80 0 . IDC = 180 0 ( ADN NDB - BDI) = 40 0 Từ (1) và (2) ND = CD - Xét AND và IDC có : AND = ICD(= 40 0 ) ND = DC(cmt) ADN = IDC(= 40 0 ) AND = IDC(g - c - g) AD = IC(2 cạnh tơng ứng) Vì BC = BI + IC; BI = BD; IC = DA nên BD + DA = BC(đpcm) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Chứng minh rằng AM < AB + AC 2 * Hớng giải: Ta có AM < AB + AC 2 2AM < AB + AC Để chứng minh 2AM < AB + AC ta tìm cách tạo ra một tam giác có ba cạnh bằng 2AM, AB, AC. Với hớng giải nh trên ta có thể vẽ đờng phụ theo cách sau: Trên tia AM lấy điểm D sao cho AM = MD. Tam giác ADC là tam giác cần dựng. Giải - Trên tia AM lấy điểm D sao cho AM = MD - Xét AMB và DMC có : AM = MD(cách vẽ) AMB = CMD(đối đỉnh) BM = MC(gt) [...]... MC C Kết quả sau khi thực hiện Qua việc đa ra Loại toán so sánh đoạn thẳng và cách vẽ đờng phụ tơng ứng thờng gặp trong hình học 7, tôi thấy đã đạt đợc một số kết quả nh sau: - Cung cấp cho học sinh một hệ thống các phơng pháp giải, tạo điều kiện cho học sinh hiểu sâu kiến thức hình học, định hớng cho học sinh cách vẽ đờng phụ khi gặp các bài toán tơng tự Đồng thời làm cơ sở cho học sinh có đợc cách... điều kiện cho học sinh hứng thú học tập, hăng say nghiên cứu tìm tòi cái mới, cái khó trong quá trình học tập - Góp một phần vào thời kỳ đổi mới phơng pháp giảng dạy (đổi mới cách dạy của giáo viên và cách học của học sinh) nhằm nâng cao chất lợng dạy và học theo hớng phát huy tích cực của học sinh "lấy học sinh làm trung tâm" Trên đây là một số phơng pháp vẽ đờng phụ giúp cho học sinh biết cách giải... toán khó hơn nữa Giúp cho học sinh rèn đợc những phẩm chất của trí tuệ nh : Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt, độc đáo trong t duy, làm tiền đề cho sự phát triển t duy của học sinh học tập môn Toán, tạo điều kiện cho học sinh xây dựng cho bản thân phơng pháp làm Toán, phơng pháp học tập một cách có hiệu quả - Nêu ra đợc giải pháp vẽ đờng phụ để giải loại toán giúp cho học sinh chống đợc t tởng ngại... sánh đoạn thẳng Bớc đầu đã thực nghiệm và có kết quả nhất định, nhất là việc bồi dỡng học sinh khá giỏi, phần nào đã giúp cho học sinh định hình đợc một cách giải toán ở thể loại này, phát huy tích cực chủ động sáng tạo trong giải toán nói chung, giúp cho học sinh rèn luyện đợc nhiều kỹ năng giải toán, tạo đà cho học sinh đổi mới cách học trong giai đoạn hiện nay Đề tài Vẽ đờng phụ này chắc chắn không... hoàn thiện đề tài trong những năm học tới Tài liệu tham khảo 1 SGK Toán 7 tập 1, 2 Nhà xuất bản Giáo dục Năm 2011 2 SBT Toán 7 tập 1, 2 Nhà xuất bản Giáo dục Năm 2010 3 Vũ Hữu Bình - Nâng cao và phát triển Toán 7 tập 1, 2 Nhà xuất bản Giáo dục Năm 2003 4 Vũ Dơng Thụy (CB); Nguyễn Ngọc Đạm Toán nâng cao & các chuyên đề hình học 7 Nhà xuất bản Giáo dục - Năm 2003 Nhận xét ĐáNH GIá CủA hội đồng khoa . hội ************************ đề tài hớng dẫn học sinh kẻ thêm đờng phụ khi giải một số bài toán hình học 7 H v tờn: Trn Th Thy Ngy sinh: 20/10/1 978 Trỡnh o to: i hc Thỏng nm vo ngnh: 03/. em giải quyết vấn đề khó này, tôi xin đề cập đến cách hớng dẫn học sinh kẻ thêm đờng phụ khi giải một số bài toán hình học 7. Song trong phạm vi của đề tài này, tôi sẽ xoay quanh dạng toán về. pháp giải, tạo điều kiện cho học sinh hiểu sâu kiến thức hình học, định hớng cho học sinh cách vẽ đờng phụ khi gặp các bài toán tơng tự. Đồng thời làm cơ sở cho học sinh có đợc cách vẽ đờng phụ với
- Xem thêm -

Xem thêm: SKKN Hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ khi giải một số bài toán hình học 7, SKKN Hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ khi giải một số bài toán hình học 7, SKKN Hướng dẫn học sinh kẻ thêm đường phụ khi giải một số bài toán hình học 7

Từ khóa liên quan