HSG TOAN

4 115 0
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 19/04/2015, 14:00

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN LĂK ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011 TRƯỜNG PTCS LÊ ĐÌNH CHINH Môn: Toán 9 Thời gian: 150 phút Đề bài: Bài 1: ( 3đ) a) Rút gọn biểu thức: 22 )1( 11 1 + ++= aa A với a > 0 . b) Tính tổng của biểu thức sau: 22222222 100 1 99 1 1 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 ++++++++++++=B Bài 2: (2,5 đ) Cho 333 cpbnam == và 1 111 =++ pnm . Chứng minh rằng: 3 222 333 cpbnamcba ++=++ . Bài 3: (2,5 đ) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức: 2 222 cba ba c ac b cb a ++ ≥ + + + + + . Bài 4: (3 đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của yx yx A − + = 22 với x > y > 0 và x.y = 1. Bài 5: ( 4đ) Cho hai đường tròn tâm O bán kính 9 cm và tâm O’ bán kính 3 cm tiếp xúc ngoài nhau. Một đường thẳng bị hai đường tròn đó cắt tạo thành 3 đoạn thẳng bằng nhau. Tính độ dài mỗi đoạn thẳng đó. Bài 6: (5 đ) Cho ''Oyx∠ và điểm M nằm trong góc. Dựng đường thẳng đi qua M cắt Ox’, Oy’ theo thứ tự ở A và B sao cho tổng OA + OB có giá trị nhỏ nhất. Đáp án và biểu điểm: Bài 1: (3 đ) a) b) 2 2 22 22 22 224 22 2234 22 222 22 2222 22 2 )1( 1 )1( )1( )1( )1()1(2 )1( )1(22 )1( )1()112( )1( )1()1( )1( 11 1       + ++ = + ++ = + ++++ = + ++++ = + +++++ = + ++++ = + ++= aa aa aa aa aa aaaa aa aaaa aa aaaa aa aaaa aa A Do a > 0 nên A > 0 suy ra )1( 1 2 + ++ = aa aa A Từ a) suy ra . 1 11 1 )1( 1 1 1 1 )1( 1 )1( 11 1 2 2 22 + −+= + += + += + ++ = + ++ aaaaaaaa aa aa Do đó: 99,99 100 1 100 100 1 99 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 99 100 1 99 1 1 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 =−=       −++−+−+−+=       −+++       −++       −++       −+=B 0,75 0,75 0,25 0,75 0,5 Bài 2: (2,5 đ) Đặt 3333 kcpbnam === suy ra 3 3 3 3 3 3 ;; p k c n k b m k a === . Ta có: . 111 333 k pnm k p k n k m k cba =         ++=++=++ Mặt khác: 33 333333 222 111 k pnm k p k n k m k p cp n bn m am cpbnam =         ++=++=++=++ Do đó: ==++ kcpbnam 3 222 333 cba ++ 1 0,5 0,5 0,5 Bài 3: (2,5 đ) Áp dụng bất đẳng thức ( BĐT) Cô-si: x + y = 2 xy với 0;0 ≥≥ yx . Ta có: 4 . 2 .2 4 .2 4 2 22 cb a cb a a acb cb acb cb a + −≥ + ⇒ == + + ≥ + + + Tương tự: ; 4 2 ca b ca b + −≥ + . 4 2 ba c ba c + −≥ + Cộng từng vế 3 BĐT ta được : 22 )( 222 cbacba cba ba c ac b cb a ++ = ++ −++≥ + + + + + 0,5 0,5 1 0,5 Bài 4: (3 đ) Xét 2 222 2 )( )( yx yx A − + = . Đặt ayx =+ 22 thì xyyxyx 2)( 222 −+=− = a - 2. Do x > y nên a – 2 > 0. 2 2 2 − = a a A . Dễ thấy 8 2 2 ≥ −a a vì 0)4()2(8 22 ≥−=−− aaa . Do 0≥A nên min A = 22 khi và chỉ khi ⇔      =− ±=+ 2 6 yx yx 2 26 2 26 − = + = y x hoặc 2 26 2 26 −− = +− = y x 1 1 1 Bài 5: ( 4đ) Vẽ hình và viết GT, KL. Ta có: BC = CD = DE, kẻ OH ⊥ BE, O’K ⊥ BE, O’M ⊥ OH. Đặt CH = DK = x thì CD = 2x, O’M = 4x. OM = OH – MH = OH – O’K = 222 981 xx −−− Từ '' 22 OOMOO M =+ ta có ( 14416)981 22222 =+−−− xxx Rút gọn ta được: 422 90729277 xxx +−=− Bình phương hai vế ( với x ) 7 27 ≥ rồi rút gọn ta được: 62 60)6(48 22 ===⇒ =⇒=− DCDEBC xxx 0,25 0,75 0,75 0,75 0,5 1 3 O’ O 9 B H C D E M x 2xx x K 9 Bài 6: (5 đ) Vẽ hình viết GT,KL Qua M vẽ MD // Ox’, ( D ∈ Oy ). MC // Oy, ( C ∈ Ox’). Đặt OC = a, BD = y. ∆ BDM ~ ∆ MCA ( g.g) nên : bayx x a b y CA DM MC BD =⇒=== OA + OB = a + x + b +y = (a + b) + (x + y) Do đó: OA + OB nhỏ nhất khi và chỉ khi x + y nhỏ nhất. Do x và y là các số dương có tích không đổi nên x + y nhỏ nhất ⇔ x = y. Khi đó x là trung bình nhân của a và b. Cách dựng độ dài x thể hiện ở hình dưới đây: 0,25 1 1,75 0,5 1 0,5 A B M D a →← b C x O y x’ x b
- Xem thêm -

Xem thêm: HSG TOAN, HSG TOAN, HSG TOAN