Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần CHUN ĐỀ 8: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1.1 Kiến thức liên quan 1.1.1 Tỉ số lượng giác góc nhọn MH • sin α = OM • cos α = OH OM • tan α = MH OH OH MH 1.1.2 Hệ thức lượng tam giác vuông Cho ∆ABC vuông A 2 • Định lý Pitago: BC = AB + AC hay a = b + c 2 • BA = BH BC ; CA = CH CB hay b = a.b ', c = a.c ' • AB AC = BC AH hay bc = ah 1 1 1 = + = 2+ • 2 hay AH AB AC h b c • BC = AM 1.1.3 Hệ thức lượng tam giác thường • Định lý hàm số Cơsin: a = b + c − 2bc.cos A a b c = = = 2R • Định lý hàm số Sin: sin A sin B sin C 1.1.4 Các cơng thức tính diện tích a Cơng thức tính diện tích tam giác 1 • S = a.ha = bhb = chc 2 1 • S = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 • cot α = • VABC A′B′C ′ a 183 = S ABC AA′ = S = pr • • S= p ( p − a )( p − b)( p − c ) với p = a+b+c (Công thức Hê-rông) 108 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Đặc biệt: • ∆ABC vuông A: S = AB AC a2 • ∆ABC cạnh a: S = b Diện tích hình vng cạnh a: S = a (H.1) c Diện tích hình chữ nhật: S = a.b (H.2) d Diện tích hình thoi: S = m.n (H.3) e Diện tích hình thang: S = h ( a + b ) (H.4) 1.1.5 Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng • Đường chéo hình vng cạnh a d = a • Đường cao tam giác cạnh a h = a • Điểm G trọng tâm tam giác ABC AG = 1.1.6 Thể tích khối đa diện a Thể tích khối lăng trụ • Thể tích khối lăng trụ: (H.5) (H.6) AM (H.7) V = Bh , với B diện tích đáy ; h chiều cao •Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc , với a, b, c chiều dài, rộng, cao •Thể tích khối lập phương: V = a với a cạnh 109 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần b.Thể tích khối chóp •Thể tích khối chóp: V = Bh , với B diện tích đáy, h chiều cao 1.2.Phương pháp tính thể tích khối đa diện 1.2.1.Phương pháp tính trực tiếp việc sử dụng cơng thức thể tích Khi tính thể tích khối đa diện cần quan tâm hai yếu tố quan trọng xác định thể tích là: chiều cao diện tích đáy dựa cơng cụ học hệ thức lượng tam giác thường, hệ thức lượng tam giác vuông,… a Thể tích khối chóp Ví dụ (Đề thi TSĐH Khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a Lời giải Vì SH ⊥ ( ABCD ) nên 1 VS CDMN = SH SCDMN = SH ( S ABCD − S BCM − S AMN ) 3 5 3 = a a2 = a 24 *Nhận xét: Trong nhiều tốn yếu tố quan trọng chiều cao Với khối chóp cần xác hóa đường cao (chân đường cao) hình chóp Ở ta liệt kê số trường hợp thường gặp sau: Ví dụ Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD có độ dài tất cạnh a Lời giải Gọi H tâm hình vng Vì S ABCD hình chóp nên SH ⊥ ( ABCD ) 110 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Do đó, VS ABCD = SH S ABCD Vì ABCD hình vng nên S ABCD = AB = a (đvdt) Ta có SA2 + SC = AB + BC = AC = 2a nên ∆SAC vuông S, mà H trung điểm AC nên SH = AC a = 2 1 a 2 ⇒ VS ABCD = SH S ABCD = a = a (đvtt) 3 *Nhận xét: Với khối chóp đều, chiều cao đoạn thẳng nối đỉnh tâm đáy Ví dụ Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC, biết cạnh đáy a cạnh bên hợp đáy góc 600 Lời giải Gọi H tâm tam giác ABC , M trung điểm BC Vì S ABC hình chóp nên SH ⊥ ( ABC ) Do đó, VS ABC = SH S ABC Vì ABC tam giác nên AM ⊥ BC Trong tam giác vuông ACM , a 3a AM = AC − CM = a − = ⇒ AM = a (1) 4 2 2 AM BC = a (đvdt) (2) Mà ta lại có AM ⊥ BC , SH ⊥ BC nên SM ⊥ BC Do đó, Góc mặt phẳng ( SBC ) mặt ⇒ S ABC = · phẳng ( ABC ) góc SM AM hay góc SMA = 600 AM = a SH a · ⇒ SH = HM tan 600 = Trong tam giác vuông SHM , tan SMH = HM Do H trọng tâm tam giác ABC nên HM = 1 a 3 ⇒ VS ABC = SH S ABC = a = a (đvtt) 3 24 *Ghi nhớ: + Cách xác định góc đt d mặt phẳng ( α ) : -Nếu d ⊥ ( α ) góc d ( α ) 900 -Nếu d ⊥ ( α ) góc d ( α ) góc d d’ hình chiếu d ( α ) 111 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần +Cách xác định góc hai mặt phẳng ( α ) ( β ) -Cách 1: Xác định hai đt A, B cho a ⊥ ( α ) , b ⊥ ( β ) góc ( α ) ( β ) góc a b -Cách 2: Nếu giao tuyến ( α ) ( β ) d xác định hai đt A, B nằm ( α ) ( β ) cho a ⊥ d , b ⊥ d thì góc ( α ) ( β ) góc a b Ví dụ Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, BCD tam giác vuông cân D, mặt phẳng π r Tính thể tích khối tứ diện ABCD Lời giải Gọi H trung điểm BC AH ⊥ BC Ta có tam giác ABC nên mà ( ABC ) ⊥ ( BCD ) , ( ABC ) ∩ ( BCD ) = BC ⇒ AH ⊥ ( BCD) Ta có ∆ABC tam giác cạnh a nên AH = a Mà ∆BCD tam giác vuông cân nên a BC = ⇒ BD = DH = a 2 a2 ⇒ S BCD = BD = (đvdt) DH = 1 a2 3 ⇒ VABCD = AH S BCD = a= a (đvtt) 3 24 *Nhận xét: Hình chóp có mặt bên mặt chéo vng góc với đáy góc chân đường cao thuộc giao tuyến mặt với đáy, đường cao nằm mặt bên mặt chéo ( α ) ⊥ ( β )  *Ghi nhớ: ( α ) ∩ ( β ) = d ⇒ a ⊥ ( β )  a ⊂ ( α ) , a ⊥ d 112 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải ( SAB) ⊥ ( ABCD )  Ta có: ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD )  ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA Do đó, VS ABCD = SA.S ABCD Diện tích đáy ABCD là: S ABCD = AB.BC = 2a Do AC hình chiếu SC mặt phẳng ( ABCD ) nên góc SC mặt phẳng ( ABCD ) · góc SCA = 600 · Ta có: AC = AB + BC = a ⇒ SA = AC.tan SCA = a 5.tan 600 = a 15 Vậy thể tích khối chóp là: VS ABCD = 2a 15 (đvtt) *Nhận xét: Hình chóp có hai mặt bên kề vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB = a, BC = 2a Các cạnh bên SA = SB = SC = 2a Tính thể tích khối chóp S ABC Lời giải Gọi H hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) đường xiên SA = SB = SC nên hình chiếu tương ứng HA = HB = HC Do đó, H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC mà tam giác ABC vuông A nên H trung điểm BC Vì SBC tam giác cạnh 2a nên đường cao SH = 2a =a Theo định lí Pitago, AC = BC − AB = 3a ⇒ AC = a ⇒ S ABC = a3 Nên thể tích khối chóp là: VS ABC = SH S ABC = (đvtt) 113 a2 (đvdt) AB AC = 2 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần *Nhận xét: Hình chóp có cạnh bên (hoặc hợp đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường trịn ngoại tiếp đáy Ví dụ (Đề TSĐH khối A năm 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A,D; AB=AD=2a, CD=a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 gọi I trung điểm AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính VS ABCD Lời giải Gọi H hình chiếu I BC Từ giả thiết suy SI vng góc với mặt đáy Ta dễ dàng tính được: IC = a 2, IB = BC = a , S ABCD = Ta có AD ( AB + CD ) = 3a 2 IH BC = S IBC = S ABCD − S ABI − SCDI a 3a = 3a − a − = 2 nên IH = S BCI 3 = a BC Từ tìm VS ABCD = 15 a (đvtt) Ví dụ 10 Hai cạnh đối diện tứ diện có độ dài x, cạnh khác có độ dài Với giá trị x thể tích tứ diện đạt giá trị lớn ? Lời giải Giả sử SA = BC = x, cạnh khác tứ diện có độ dài Gọi I, D trung điểm BC & SA S Ta có: SA ⊥ (BCD) Do đó: 1 V = dt ∆BCD.SA = BC.ID.SA D C A mà ID = CD2 – CI2 = SC2 – SD2 – CI2 = – x H B x2 Suy ra, V = x − = x2 − 2x 12 114 I Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Vì vậy, MaxV = đạt x = 3 b Thể tích khối lăng trụ Với thể tích khối lăng trụ ta sử dụng hướng để làm tìm cách xác định đường cao diện tích đáy Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = 4a, AC = 5a mặt phẳng ( ABC ' D ') hợp đáy góc 450 Tính thể tích khối hộp chữ nhật Lời giải Theo ĐL Pitago ta có: BC = AC − AB = 3a ⇒ S ABCD = AB.BC = 12a (đvdt) ( ABCD ) ∩ ( ABC ' D ') = AB  Do  BC ⊂ ( ABCD ) , BC ⊥ AB   BC ' ⊂ ( ABC ' D ') , BC ' ⊥ AB · Nên góc mặt phẳng ( ABC ' D ') đáy góc CBC ' = 450 Suy ra, tam giác vuông cân nên CC ' = BC = 3a Vậy thể tích khối hộp chữ nhật VABCD A ' B ' C ' D ' = CC '.S ABCD = 36a (đvtt) *Nhận xét:Với khối lăng trụ khối đa diện khác ta sử dụng số hướng sau: +Sử dụng trực tiếp công thức biết thể tích khối lăng trụ +Quy tính thể tích khối chóp đặc biệt + Chia nhỏ thành nhiều khối chóp để tính +Bù thêm vào khối đa diện phức tạp để khối đa diện dễ tính thể tích Ví dụ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' , đáy tam giác cạnh a diện tích tam giác A ' BC 2a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải Gọi I trung điểm BC a Ta có ∆ABC nên AI = AB = 2 Vì AI hình chiếu A’I mặt phẳng ( ABC ) , AI ⊥ BC ⇒ A′I ⊥ BC (ĐL ba đường vuông góc) 2S S A′BC = BC A′I ⇒ A′I = A′BC = 4a BC 115 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Do tam giác AIA’ vuông A nên AA′ = A′I − AI = VABC A′B′C ′ = S ABC AA′ = 61 a a 183 (đvtt) Ví dụ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng A với AC = a, · ACB = 600 , biết BC' hợp với ( AA ' C ' C ) góc 30 Tính AC' thể tích khối lăng trụ Lời giải Ta có ABC tam giác vuông A với AC = a, · ACB = 600 ⇒ AB = AC.tan 60o = a Ta có: AB ⊥ AC ; AB ⊥ AA′ ⇒ AB ⊥ ( AA′C ′C ) nên AC' hình chiếu BC' ( AA ' C ' C ) Vậy góc BC’ mặt phẳng ( AA ' C ' C ) góc · ' B = 300 AC AB ⇒ AC ′ = = 3a tan 30o Trong tam giác vuông AC ' A ' , AA ' = AC '2 − A ' C '2 = 8a = 2a Trong tam giác vuông ABC , AB tan · ACB = = ⇒ AB = a AC ⇒ S ABC a2 (đvdt) = AB AC = 2 Vậy VABC A ' B ' C ' = AA '.S ABC = a (đvtt) Ví dụ · Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 600 , biết AB' hợp với đáy ( ABCD ) góc 300 Tính thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Lời giải Vì ∆ABD cạnh a nên a2 a2 S ABD = ⇒ S ABCD = S ABD = ∆ABB′ vuông B ⇒ BB′ = AB tan 30o = a Vậy VABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD BB′ = 3a (đvtt) Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên 116 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần a hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải Ta có C ′H ⊥ ( ABC ) ⇒ CH hình chiếu CC' (ABC) Nên góc CC’ mặt phẳng ( ABC ) 600 S ABC = ⇒ C ′H = CC ′.sin 600 = 3a a2 3a 3 Vậy V = S ABC C H = ′ Ví dụ Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D có đáy hình chữ nhật với AB = a 3, AD = a Hai mặt bên ( ABB’ A’) ( ADD’ A’) tạo với đáy góc 450 ,600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên a Lời giải Gọi H hình chiếu A’ mặt phẳng ( ABCD ) , M,N hình chiếu AD,AB Dễ thấy, góc mặt ( ABB’ A’) ( ADD’ A’) đáy · ANH = 450 , · AMH = 600 Đặt A’H = x ta có: NH = A ' H cot · ANH = x x MH = A ' H cot · AMH = Vì AMHN hình chữ nhật nên x2 4x2 2 2 AH = AM + AN = x + = 3 mà AA '2 = AH + A ' H ⇒ a = x + 4x2 x2 = ⇒x=a 3 Vậy VABCD A ' B ' C ' D = S ABCD A ' H = a 3.a 7.a = 3a (đvtt) Ví dụ a Mặt phẳng (α) qua A,K song song với BD chia khối lập phương trình hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần Lời giải Gọi O,O’ tâm hình vng ABCD,A’B’C’D’, M = AK ∩ OO′ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, K ∈ CC ′ cho CK = 117 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Tâm I thuộc d: x-6y-10=0; tiếp xúc với d1 : x + y + = 0; d : x − y − = 15) Qua A(3;2) tiếp xúc với Ox B(-1;0) Qua A(3;3) tiếp xúc với d: 2x+y-3=0 B(1;1) 16) Bán kính R=1, tiếp xúc với Ox, tâm I thuộc d: x+y-3=0 17) Tiếp xúc với d1 : x − y + = 0; d : x − y + = tâm I thuộc d : x = 18) Cho A(2;0); B(6;4) Viết phương trình đường trịn C tiếp xúc với Ox A, khoảng cách từ tâm I đến B 19) Qua điểm A(5;0);B(1;4) tâm I thuộc ∆ : x + y − = Qua điểm A(1;0);B(0;1) tâm I thuộc ∆ : x + y + = Qua điểm A(-1;2);B(3;0) tâm I thuộc ∆ : x + y − = Qua điểm A(0;1);B(2;5) tâm I thuộc ∆ : Ox Qua điểm A(1;2);B(4;1) tâm I thuộc ∆ : x − y − = 20) Qua A(2;-1) tiếp xúc với Ox,Oy Qua A(4;2) tiếp xúc với Ox,Oy 21) Tâm I thuộc đường tròn (C): ( x − 2)2 + y = tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x − y = 0; d : x − y = 22) Tâm I thuộc đường thẳng d: x-y-1=0; tiếp xúc với d1 : x + y − = 0; d : x − y + = 23) Tâm I thuộc d: 3x+5y-8=0; tiếp xúc với Ox;Oy 24) Tâm I thuộc Ox; tiếp xúc với d1 : x + y + = 0; d : x + y − = 25) Tâm I thuộc d: 2x+y=0 tiếp xúc với d: x-7y+10=0 A(4;2) 26) Qua A(3;2) tiếp xúc với Ox B(-1;0) 27) Cho d: 2x-2y+1=0; (C): x + y − x = ; CMR d cắt (C) điểm phân biệt Lập phương trình đường trịn (C ' ) qua giao điểm tiếp xúc với x+y=0 28) Qua A(1;1) tiếp xúc với d1 : x + y − = 0; d : x + y − = Bài 2: Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp 1) Qua điểm a) A(-2;0); B( 0;4); C(0;0) d) A(1;4); B(-4;0); C(-2;-2) b) A(-1;2); B(2;3); C(2;-1) d) A(1;1); B(3;-2); C(4;3) c) A(1;2); B(5;2); C(1;-3) d) A(4;1); B(4;-7); C(-5;2) x 2) Ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh: y = − ; y = x + 2; y = − x 5 3) A(1;0); B(0;2) Tìm điểm M đối xứng với O qua AB,Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABM 4) Tam giác ABC nhọn, A(5;4); B(2;7), AE, BF đường cao Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABEF 5) Đường tròn qua A(3;5) cắt Oy B(0;4); C(0;-2) Bài 3: Đường tròn nội tiếp 173 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 1) Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC: a) A(0;0); B(8;0); C(0;6) b)A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1) 2) d1 : x − y − 12 = 0; d : x + y − 12 = Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh thuộc Oy; d1; d Bài 4: Trục đẳng phương Qua điểm giao điểm đường tròn 1) Qua M(-1;-2) giao điểm d: x+7y+10=0 (C): x + y + x − 20 = 2) Qua M(1;-2) giao điểm d: x-7y+10=0 (C): x + y − x + y − 20 = 3) Qua giao điểm (C): x + y − 10 x = (C ' ): x + y + x − y − 20 = tâm I thuộc d: x+6y-6=0 4) Qua giao điểm (C): ( x − 3) + ( y − 2) = (C ' ): ( x − 4)2 + y = tâm I thuộc d: y=x+2 5) Cho đường tròn (C): x + y − x + y − = (C ' ): x + y + x − y − 14 = a) Xác định giao điểm (C) (C ' ) b) Viết phương trình đường trịn qua A(0;1) giao điểm (C) (C ' ) c) Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với d: x+5=0 giao điểm (C) (C ' ) 6) Qua A(1;1); B(0;2) tiếp xúc với (C): x + y − 10 x − 10 y + 34 = 7) (C): x + y − x − y + 12 = (C ' ): x + y − x − y + 12 = Viết phươn trình đường trịn qua giao điểm (C) (C ' ) có bán kính R= 13 2.3 Tiếp tuyến đường trịn 2.3.1 Tiếp tuyến điểm Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y + x − y − = A(0;-1) Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y + x + y − = A(2;3) Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y − 25 = A(3;-2) Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y = giao điểm (C) d: 3x+4y-3=0 Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến (C): ( x − 2)2 + ( y − 1) = điểm có hồnh độ Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến (C): ( x − 1) + ( y − 1) = điểm có tung độ Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x + y = giao điểm (C) Ox; Oy 2.3.2 Tiếp tuyến biết hệ số góc Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x + y + = biết tiếp tuyến // d: 5x+12y6=0 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến (C): ( x − 1) + ( y − 2) = biết tiếp tuyến // d: 2x-y=0 174 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y − = biết tiếp tuyến // d: 3x4y+1=0 Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x + y = biết tiếp tuyến ⊥ d: 3x-y+6=0 Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y + x − y − 20 = biết tiếp tuyến ⊥ d: x+y=0 Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y = tiếp tuyến tạo với Ox góc 450 Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y + = biết tiếp tuyến tạo với d: x+y+3=0 góc 45 2.3.3 Tiếp tuyến qua điểm Bài 1: a) Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y − 12 = biết tiếp tuyến qua A(-2;-1) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y = biết tiếp tuyến qua O(0;0) c) Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y = biết tiếp tuyến qua A(3;-2) d) Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y − = biết tiếp tuyến qua A(-4;-6) Bài 2: A(2;-1);(C): ( x + 1) + ( y − 2) = CMR vẽ tiếp tuyến đến (C) Viết phương trình tiếp tuyến Bài 3: A(3;5);(C): x + y + x − y − = tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) tiếp điểm M, N Viết phương trình đường thẳng qua MN Bài 4: M(-3;1); );(C): x + y − x − y + = Viết phương trình qua tiếp điểm tiếp tuyến qua M Bài 5: A(2;5); );(C): x + y + x − y − = a) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) b) Gọi tiếp điểm I, J Tính độ dài đoạn IJ Bài 6: A(2;1) ; );(C): x + y − x + y + = Gọi tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) I, J Viết phương trình qua I, J Bài 7: Yêu cầu giống Ví dụ với a) A(0;-1) ; (C): x + y + x − y − = b) A(0;0) ; (C): x + y + 12 x − y + 44 = Bài 8: A(8;-1);(C): x + y − x − y + = Tính IJ, S AIJ với I, J tiếp điểm tiếp tuyến qua A đến (C) Bài 9: Yêu cầu giống Ví dụ với a)A(4;0);(C): x + y − x − y − = b)A(-2;2);(C): x + y − x − y − = c)A(1;0);(C): x + y − x − y + = 175 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Bài 10: A(5;4);(C): x + y + 2my = Tìm m để độ dài tiếp điểm Bài 11: (C): x + y − x − y + = ; d: x-y-1=0 Tìm m thuộc d kẻ tiếp tuyến, CMR pt qua tiếp điểm I, J qua điểm cố định Bài 12: (C): ( x + 2) + ( y − 1) = Tìm quỹ tích điểm qua kẻ tiếp tuyến vng góc Bài 13: I(-2;1); d: 3x-4y=0 a) Viết phương trình đường trịn (C) tâm I tiếp xúc với d b) Tìm quỹ tích điểm mà vẽ tiếp tuyến vng góc tới (C) Bài 14: Cho d: x-y+1=0; (C): x + y + x − y = Xác định M thuộc d để từ kẻ tiếp tuyến đến (C) tiếp tuyến tạo với góc 600 Bài 15: Cho (C): x + y − x + = Tìm M thuộc Oy cho tiếp tuyến từ M tới C tạo với góc 600 ĐS: M(0; ± ) Bài 16: (C): x + y − x − y − = ; d: x+y+1=0 Tìm M thuộc d cho từ M kẻ tiếp tuyến vng góc tới (C) Bài 17: (C): x + y = ; d: y=m; Tìm m để d có điểm kẻ tiếp tuyến tạo góc 450 Bài 18: Cho đường trịn (C): ( x − 1) + ( y + 2) = d: 3x-4y+m=0 a) Tìm quỹ tích điểm P cho tam giác PAB tron PA, PB tiếp tuyến b) Tìm m để tồn P thuộc d kẻ tiếp tuyến PA, PB cho tam giác PAB 2.3.4 Phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn Bài 1: (C): x + y − x − y − = (C ' ): x + y − x + y + 11 = Bài 2: (C): x + y = (C ' ): x + y − y − = Bài 3: (C): x + y + x + = (C ' ): x + y − x + 12 = Bài 4: (C): x + y − x = (C ' ): x + y − x + 12 = Bài 5: (C): x + y − x + y − = (C ' ): x + y − x − y + = Bài 6: (C): x + y − x + = (C ' ): x + y − 12 x − y + 44 = Bài 7: (C): x + y − x + y − = (C ' ): x + y + x − y − 56 = 2.4 Dạng 4: Vị trí tương đối hai đường Bài 1: Xét vị trí tương đối đường tròn: a) (C): x + y − x − y = (C ' ): x + y − 32 x − 24 y + 300 = b) (C): x + y = 16 (C ' ): x + ( y − 3) = c) (C): x + y = (C ' ): ( x − 1) + ( y − 2) = Bài 2: (C): x + y − x − y + = ; d: x-y+3=0 Tìm M thuộc d để đường trịn tâm M có bán kính gấp đơi đường tròn (C) tiếp xúc với (C) 2.5 Dạng 5: Cát tuyến, độ dài dây cung 176 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Bài 1: (C): x + y − x − y + = ; M(2;4) Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (C) A, B cho M trung điểm AB Bài 2:Lập phương trình đường thẳng qua O(0;0) cắt (C): ( x − 1) + ( y − 3) = 25 thành dây cung có độ dài Bài 3: (C ) : x + y + x − y = Viết phương trình đường thẳng d vng góc với ∆ : x − y + 10 = cắt (C ) điểm A, B thỏa mãn AB=6 Bài 4: (C ) : x + y + x − y = Viết phương trình đường thẳng d // ∆ : x − y + 10 = cắt (C ) điểm A, B thỏa mãn AB=2 Bài 5: K(0;2); (C ) : x + y − x − y − = đường thẳng d qua K cắt (C ) M, N Viết phương trình đường thẳng d trường hợp MN ngắn Bài 6: A(1;2); (C ) : x + y = Lập phương trình đường thẳng qua A cắt (C ) theo dây cung ngắn Bài 7: (C ) : x + y − x − y + 11 = a) Tìm M thuộc (C ) để khoảng cách từ M đến A đạt GTNN, GTLN với *) A(3;2) *) A(0;1) b) Tìm M thuộc (C ) để khoảng cách từ M đến d đạt GTNN, GTLN với *) d: x-y-2=0 *) d: x+y-7=0 *) d : y-1=0 2 Bài : (C ) : ( x − 3) + ( y − 2) = Tìm E thuộc (C ) để tam giác OEF vuông E với O gốc tọa độ, F(4 ;-2) Bài : d : x+y-2=0 ; (C ) : x + y − x − y + = a) Tìm tọa độ giao điểm d (C ) b) Tìm C thuộc (C ) để *) S ABC = *) S ABC đạt GTLN *) ∆ABC cân *) ∆ABC có chu vi lớn *) ∆ABC vng Bài 10 : d1 : x + y − = 0; d : x − y − = Viết phương trình đường trịn (C ) qua M(1 ;-1), tâm I thuộc d1 cắt d điểm A, B cho AB= Bài 11 : (C ) : x + y − x − y = Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C ) M cắt trục tọa độ A, B cho M trung điểm AB Bài 12 : (C ) : x + y = ; d : x+y+m=0 Tìm m để d cắt (C ) điểm A, B cho SOAB đạt GTLN ĐS : m= ±1 BÀI ĐỌC THÊM Sủ dụng phép biến hình tốn tọa độ hình học phẳng 3.1 Kiến thức liên quan r 3.1.1 Phép tịnh tiến Tv 177 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến Tv theo Vectơ v = ( a; b ) biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x+a;y+b) 3.1.2 Phép đối xứng tâm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng tâm I(a;b) biến điểm M(x;y) thành điểm M’(2a-x;2b-y) 3.1.3 Phép đối xứng trục Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng trục ∆ biến điểm M(x;y) thành điểm M’sao cho ∆ đường trung trực MM’ +) Nếu ∆ trục Ox M’(x;-y) +) Nếu ∆ trục Oy M’(-x;y) +) Nếu ∆ đường phân giác góc phần tư thứ I thứ III M’(y;x) +) Nếu ∆ đường phân giác góc phần tư thứ II thứ IV M’(-y;-x) +) Nếu ∆ đường thẳng ax+by+c=0, đặt c0 =ax + by0 với M ( x0 ; y0 ) tọa độ M’  2a ( c + c0 )  xM ' = x0 −  a + b2 là:   y = y − 2b ( c + c0 )  M a + b2  3.1.4 Phép quay Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay tâm I(a;b) góc quay ϕ biến điểm M thành điểm M’(x’;y’) +) Nếu tâm quay gốc tọa độ góc quay 900 M’(-y;x) +) Nếu tâm quay gốc tọa độ góc quay - 900 M’(y;-x) +) Nếu tâm quay gốc tọa độ góc quay ϕ tọa độ M’ thỏa mãn:  x ' = x cos ϕ − y sin ϕ   y ' = x sin ϕ + y cos ϕ 3.1.5 Phép vị tự Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép vị tự tâm I(a;b), tỉ số k biến điểm M(x;y) thành uu uu u u r ur M’(x’;y’) thỏa mãn: IM ' = k IM Tọa độ M’ thỏa mãn x ' = a + k ( x − a)    y' = b + k ( y − a )  3.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đường trịn (T): ( x − 1) + ( y + 3) = hai điểm A(-1;1); B(2;-2) Tìm tọa độ 2 điểm C; D đường tròn (T) cho tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải Cách 1: Đường trịn (T) có tâm I(1;-3) bán kính R=3 178 Đề cương ơn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần uu ur r Phương trình CD có VTCP AB = ( 3; −3) = ( 1; −1) ⇒ VTPT n = ( 1;1) ⇒ CD : x + y + m = Tứ giác ABCD hình bình hành ⇒ AB = CD = ⇒ d ( I ; CD ) = IH = R − Mà d ( I ; CD ) = 1− + m CD 18 = 9− = 4 = m−2 +)m=5 ⇒ CD : x + y + = m = ⇔  m = −1 = x + y + =  Tọa độ C, D thỏa mãn hệ phương trình:  2 ( x − 1) + ( y + 3) =   x = ⇒ y = −6 2 ⇒ y = − x − ⇒ ( x − 1) + ( − x − ) = ⇔ x + x − = ⇔   x = −2 ⇒ y = −3 C(1;-6); D(-2;-3) +)m=-1 ⇒ CD : x + y − = x + y −1 =  Tọa độ C, D thỏa mãn hệ phương trình:  2 ( x − 1) + ( y + 3) =  x = ⇒ y = 2 ⇒ y = − x ⇒ ( x − 1) + ( − x ) = ⇔ x − 10 x + = ⇔   x = ⇒ y = −3 C(1;0); D(4;-3) Cách 2: Sử dụng tịnh tiến: uu ur r Ta có AB = (3; −3) Phép Tuuu : D → C AB (I) → (I') x = +1 = ⇒  I' ⇒ I '(4; −6);R' = R = yI ' = −3 − = −6  Phương trình đường tròn (T’): ( x − ) + ( y + ) = 2 2 ( x − ) + ( y + ) =   ( x − ) + ( y + ) ⇔ Tọa độ C = (T) ∩ (T') ⇒  2 x = y + ( x − 1) + ( y + 3) =   2 uu uu ur ur +) C(4;-3) ⇒ AB = DC ⇒ D ( 1;0 ) uu uu ur ur +) C(1;-6) ⇒ AB = DC ⇒ D ( −2; −3) Vậy cặp điểm C(4;-3); D(1;0) C(1;-6); D(-2;-3) 179  x =  =   y = −3 ⇒  x =    y = −6  Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Ví dụ 2: Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết tâm I(1;1), điểm J(-2;2) thuộc đường thẳng AB điểm K(2;-2) thuộc đường thẳng CD Lời giải Vì I(1;1) tâm đối xứng hình vng Đ I : J → J ' ⇒ J'(2.1 + 2;2.1 − 2) ⇒ J'(4;0) ∈ CD ⇒ CD : qua K(2;-2) có VTCP u ur uu 1−1− J ' K = ( −2; −2 ) = −2 ( 1;1) ⇒ CD : x − y − = ⇒ d ( I ; CD ) = =2 2 ⇒ IC = 2 = ur u 2 ⊕ Mà C(t;t-4) ⇒ IC = ( t − 1; t − ) ⇒ ( t − 1) + ( t − ) = 16 ⇔ 2t − 12t + 10 = t = ⇔ t = t = ⇒ C ( 1; −3) ⇒ A ( 1;5 ) a = Do D ∈ CD ⇒ D ( a; a − ) ⇒  a = ⇒ Vai trò A, B  A ( 1;5 ) ⇒ B ( −3;1)  ⊕ với  ngược lại C ( 1; −3) ⇒ D ( 5;1)  Ví dụ 3: (Trích đề thi khối A năm 2009) Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB Lời giải Do điểm I(6;2) tâm đối xứng hình chữ nhật Xét phép đối xứng: Đ I : M → M ' ⇒ M '(2.6 − 1;2.2 − 5) ⇒ M '(11; −1) ∈ CD ur u u ur uu Mà E ∈ ∆ ⇒ E ( t ;5 − t ) ⇒ IE = ( t − 6;3 − t ) ; M 'E = ( t − 11;6 − t ) ur u u u u u ur Vì M ' E ⊥ IE ⇒ IE.M ' E = t = ⇒ ( t − ) ( t − 11) + ( − t ) ( − t ) = ⇔ ( t − ) ( 2t − 17 ) = ⇔  17 t =  1  Ví dụ 4: Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD biết tâm I  ;2 ÷ điểm M(-1;2); 2  N(5;2); P(1;1); Q(4;-2) nằm đường thẳng AB, BC, CD, DA Lời giải Vì tứ giác ABCD hình bình hành, I tâm đối xứng nên Đ I : M → M ' ⇒ M '(2;2) ∈ CD 180 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Do CD ≡ M ' P ⇒ CD : x − y = Vì AB//CD ⇒ AB : x − y + = Xét Đ I : N → N ' ⇒ N '( −4; 2) ∈ A D ⇒ AD ≡ QN' : x + y = Mặt khác: BC//AD ⇒ BC : x + y − = Từ phương trình cạnh hình bình hành ABCD ta xác định tọa độ đỉnh A(1;4); B(3;3); C(0;0); D(-2;1)  1 Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) AC=2BD Điểm M  0; ÷ thuộc đường thẳng B,  3 điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ điểm B, biết hồnh độ điểm B dương Lời giải Vì I tâm đối xứng hình thoi Đ I : N → N ' ⇒ N '(4 − 0;2 − 7) ⇒ N' ( 4; −5 ) ∈ AB ⇒ AB ≡ M N' : x + y− = 4.2 + 3.1 − = = IH Theo đề AC=2BD ⇒ IA = IB 1 1 1 = 2+ ⇔ = + ⇔ IB = Mà tam giác vng ABI có IH IA IB 4 IB IB ⇒ d ( I ; AB ) = 2  − 4b   4b +  Do B ∈ AB ⇒ B  b; ÷, b > ⇒ IB = ( b − ) +  ÷ = ⇒ b = ⇒ B ( 1; −1)     Nhận xét: Các hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng giả thiết cho biết tọa độ giao điểm hai đường chéo biết tọa độ tâm đối xứng nên ta sử dụng phép đối xứng tâm Ví dụ 6: (Trích đề thi khối B năm 2008) Xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H(-1;-1), đường phân giác góc A có phương trình: x-y+2=0 đường cao qua B là: 4x+3y-1=0 Lời giải Xét phép đối xứng trục AD: Đ AD : H → H ' Kẻ HK vng góc với đường phân giác góc A cắt phân giác góc A I, K thuộc BC ⇒ ∆AKH cân A HK có phương trình: x + y + m = ⇒ −1 − + m = ⇔ m = x + y + =  x = −2 ⇔ ⇒ I ( −2;0 ) ⇒ K ( −3;1) Toạ độ I :  x− y+2=0 y=0   Gọi BE ⊥ AC ; E ∈ AC ; AK ⊥ BE ⇒ phương trình AK có dạng: x − y + n = ⇒ −3.3 − 4.1 + n = ⇒ n = 13 ⇒ AK : x − y + 13 = ⇒ toạ độ đỉnh A là: uu ur 3 x + y + 13 = x = ⇔ ⇒ A ( 5;7 ) ⇒ AH = ( −6; −8 ) = −2 ( 3; )  x − y + = y = 181 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần ur −3t − 13   −3t − 17   3t + 13  u u  C ∈ AK ⇒ C  t ; ⇒ CH =  −1 − t ; − ÷ =  −1 − t ; ÷ ÷  4      uu uu u r ur 10  10  AH CH ⇔ ( + t ) + 3t + 17 = ⇔ t = − ⇒ C  − ; ÷  4 Ví dụ 7: (Trích đề thi khối B năm 2007) Cho A ( 2;2 ) đường thẳng ∆1 : x + y − = 0; ∆ : x + y − = Tìm toạ độ B C thuộc ∆1 ; ∆ cho ∆ABC vuông cân A Lời giải: Cách 1: B ∈ ∆1 ⇒ B ( b;2 − b ) C ∈ ∆ ⇒ C ( c;8 − c ) uu ur uu ur ⇒ AB = ( b − 2; −b ) ; AC = ( c − 2;6 − c ) uu uu ur ur   AB AC =  ( b − ) ( c − ) + ( − c ) ( −b ) = ⇔ ∆ABC vuông cân A ⇔  2 2 2  AB = AC ( b − ) + b = ( c − ) + ( − c )   Giải hệ phương trình khó! học sinh uu ur AB = ( b − 2; −b ) Điều kiện cần đủ để ∆ABC vuông cân A Cách 2: Ta có uu ur  AC = ( b; b − ) u u ur  AC = ( −b;2 − b )  uu ur  xC − = b  xC = b + ⇔ ⇒ C ( b + 2; b ) ∈ ∆  AC = ( b; b − ) ⇒   yC − = b −  yC = b ⇒ b + + b − = ⇒ b = ⇒ B ( 3; −1) ; C ( 5;3) uu ur  xC = − b ⇒ C ( − b;4 − b ) ∈ ∆  AC = ( −b;2 − b ) ⇒   yC = − b ⇒ − b + − b − = ⇒ b = −1 ⇒ B ( −1;3) ; C ( 3;5 ) uu r ur Lưu ý Với phép quay ta có kết quan trọng sau: Cho ∆ABC với AB ≠ uu ur b) Điều kiện cần đủ để ∆ABC vuông cân A AC = ( y0 ; − x0 ) uu ur AC = ( − y0 ; x0 ) ur  u u  x0 3 x0 y0  AC =  − y0 ; + ÷   2 2÷    c) Điều kiện cần đủ để ∆ABC  ur  u u =  x0 + y ; − 3x0 + y0  AC  ÷   2 2÷    Chứng minh: Suy trực tiếp từ công thức: 182 ( 1) Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần  x′ = x cos α − y sin α   y′ = x sin α + y cos α Ví dụ Cho A ( 2;2 ) Tìm điểm B thuộc đường thẳng d : y = điểm C thuộc trục 0x cho ∆ABC Lời giải: uu ur Cách 1: Do B ∈ y = ⇒ B ( b;3) ⇒ AB = ( b − 1;2 ) uu ur uu ur C ∈ x ⇒ C ( c;0 ) ⇒ AC = ( c − 1; −1) ; BC = ( c − b; −3 ) 2   AB = AC  ( b − 1) + = ( c − 1) + ⇔ ∆ABC ⇔  2 AB = BC   ( b − 1) + = ( c − b ) +  Giải hệ phương trình khó! học sinh uu ur Cách 2: Gọi B ( b;3) Ta có AB = ( b − 1;2 ) Mà ∆ABC ⇔ ( 1) u u  b −1 ur  ( b − 1) − 3; + 1÷  AC =   ÷     ur  ( b − 1) u u  b −1 AC =  + 3; − + 1÷   ÷     b +1   b +1  ( b − 1) ( b − 1) ⇒ C − 3; + ÷ C  + 3; − + 2÷  ÷  ÷ 2      b +1  ( b − 1) ( b − 1) −4 − 3; + ÷∈ x ⇒ +2=0⇔b= +1  Với C   ÷ 2     −4   ⇒ B + 1;3 ÷; C 1 − ;0 ÷ 3      b +1  ( b − 1) ( b − 1) + 3; − + ÷∈ x ⇒ − +2=0⇔b= +1  Với C   ÷ 2       ⇒ B + 1;3 ÷; C 1 + ;0 ÷     2 Ví dụ 9: (Trích đề thi khối D năm 2011) Cho đường trịn ( C ) : x + y − x + y − = điểm A ( 1;0 ) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt ( C ) điểm M ; N cho ∆AMN vuông cân A Lời giải: 183 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Cách 1: Đáp án giáo dục đào tạo Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; −2 ) , bán kính 10 Ta có: IM = IN AM = AN ⇒ AI ⊥ MN ⇒ phương trình ∆ có dạng: y = m Hoành độ M ; N nghiệm phương trình: x − x + m + 4m − = ( 1) ( 1) có nghiệm x1; x2 ⇔ m2 + 4m − < ( *) Khi ta có: M ( x1 ; m ) ; N ( x2 ; m ) u ur u u u u ur AM ⊥ AN ⇔ AM AN = ⇔ ( x1 − 1) ( x2 − 1) + m = ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + m + = m = ( t / m *) áp dụng định lí viét ( 1) ⇒ 2m + 4m − = ⇔   m = −3 Vậy phương trình ∆ y = y = −3 Cách 2: Do vai trị M; N nên ta giả sử góc lượng giác: ( AM;AN ) = 90 2 Gọi M ( x ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ x + y − 2x + 4y − = ( 1) uu uu r uu ur Ta có: AM = ( x − 1; y ) ⇒ AN = ( − y ; x − 1) ⇒ N ( − y ; x − 1) 2 mà N ∈ ( C ) ⇒ ( − y ) + ( x − 1) − ( − y ) + ( x − 1) − = ⇔ x + y + 2x − = 2 x  2  x + y − 2x + 4y − = x − y0 − =  y0  ⇔ ⇔ Ta có hệ phương trình:  2 x  x + y + 2x − =  x + y + 2x − =    y0  =2 =1 = −2 = −3 x0 = ⇒ M ( 2;1) ; N ( 0;1) ⇒ ∆ : y =  Nếu  y0 =   x = −2 ⇒ M ( −2; −3) ; N ( 4; −3) ⇒ ∆ : y = −3  Nếu   y = −3  KL: ∆ : y = y = −3 Ví dụ 10: (Trích đề thi khối D năm 2009) Cho ( C ) : ( x − 1) + y = Gọi I tâm, xác định toạ · độ điểm M ∈ ( C ) cho IM0 = 300 Lời giải: Cách 1: Đáp án giáo dục đào tạo 184 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Gọi M ( a;b ) ∈ ( C ) ⇒ ( a − 1) + b = 1; ∈ ( C ) ⇒ I0 = IM = · ∆IM0 có 0IM = 1200 ⇒ 0M = I0 + IM − 2I0.IM.cos120 ⇔ a + b = 3  a= 2 ( a − 1) + b =  3 3   ⇔ Toạ độ M nghiệm hệ:  Vậy M =  ; ± ÷ 2  a + b = 2 b = ±    Cách 2: Đường trịn ( C ) có tâm I ( 1;0 ) , bán kính R = · · Dễ thấy ∈ ( C ) ∆ 0MI cân I nên IM = 300 ⇔ MI0 = 1200 uu u r u u r 1 3 3 3 0 Do I0 = ( −1;0 ) nên IM = ( − cos120 ; − sin120 ) =  ; − ÷⇒ M  ; − ÷   2 2 uu u r 1 3 3 3 0 Hoặc IM = − cos ( −120 ) ; − sin ( −120 ) =  ; ÷⇒ M  ; ÷ 2  2  ( ) 3 3 3 3  KL: M  ; − ÷ M  ; ÷  2 2  Ví dụ 11: (Trích đề thi khối A năm 2005) Cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0; d : 2x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD , biết A;C thuộc d1 ;d B;D thuộc Ox Lời giải: Cách 1: Đáp án Bộ giáo dục đào tạo Vì A ∈ d1 ⇒ A ( t; t ) Vì A C đối xứng qua BD B; D ∈ 0x ⇒ C ( t; − t ) Vì C ∈ d ⇒ 2t − t − = ⇒ t = ⇒ A ( 1;1) ;C ( 1; −1) IB = IA = Trung điểm AC I ( 1;0 ) Vì I tâm hình vng nên  ID = IA =  B ( b;0 ) B ∈ 0x   b − =  b = 0;b = ⇔ ⇒ ⇔ ⇒ B ( 0;0 ) ;D ( 2;0 ) B ( 2;0 ) ;D ( 0;0 )  D ∈ 0x D ( d;0 )  d − = d = 0;d =   Vậy bốn đỉnh hình vng A ( 1;1) ;B ( 0;0 ) ;C ( 1; −1) ;D ( 2;0 ) A ( 1;1) ;B ( 2;0 ) ;C ( 1; −1) ;D ( 0;0 ) uu ur  AD = ( a; b − a ) uu ur ur Cách 2: A ( a;a ) ;B ( b;0 ) ⇒ AB = ( b − a; −a ) ⇒  u u  AD = ( −a; −b + a )  uu ur +) AD = ( a; b − a ) ⇒ D ( 2a; b ) ∈ 0x ⇒ b = 0; D ( 2a;0 ) ⇒ B ( 0;0 ) ; D ( 2a;0 ) ⇒ I ( a;0 ) ⇒ C ( a; −a ) ∈ d ⇒ 2a − a − = ⇔ a = 185 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần ⇒ A ( 1;1) ;D ( 2;0 ) ;C ( 1; −1) 186 ... B '') VM BDD '' B '' 3a 1 a a a3 (đvtt) = MH S BDD '' B '' = a = (đvtt) ⇒ VA BDMN = 16 3 2 119 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần Bài tập tự luyện Bài (Đề TN -THPT PB 2007 Lần 2)... B 50 140 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần ⇔ ( A − B ) = 25 ( A2 + B ) ⇔ 12 A2 − AB − 12 B = ⇔ ( A − B ) ( A + 3B ) = ? ?3 A = B ⇔  A = −3B *) 3A=4B, chọn A=4 B =3 ⇒ ∆ : 4(... P(2;-1) cho d tạo với d1 , d tam giác cân giao điểm d1 d 144 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 - phần 32 ) Cho d1 : 2x-3y+5=0; d : x+3y-2=0, A giao điểm d1 d Tìm B ∈ d1 , C∈ d để tam