Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Chủ đề 1: Bài tốn tiếp tuyến 1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M( x0 , y0 ) ∈ (C ) : y = f ( x) * Tính y ' = f ' ( x) ; tính k = f ' ( x0 ) (hệ số góc tiếp tuyến) * Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) với y0 = f ( x0 ) Ví dụ 1: Cho hàm số y = x − 3x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7) b) Tại điểm có hồnh độ x = c) Tại điểm có tung độ y =5 Giải: a) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) Ta có y ' = x − ⇒ y '(−1) = Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(-1; 7) là: y − = hay y = b) Từ x = ⇒ y = y’(2) = Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x = là: y − = 9( x − 2) ⇔ y − = x − 18 ⇔ y = x − 11 x =  3 c) Ta có: y = ⇔ x − 3x + = ⇔ x − x = ⇔  x = − x =  +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (0; 5) Ta có y’(0) = -3 Do phương trình tiếp tuyến là: y − = −3( x − 0) hay y = -3x +5 +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (− 3;5) y '(− 3) = 3(− 3) − = Do phương trình tiếp tuyến là: y − = 6( x + 3) hay y = x + + +) Tương tự phương trình tiếp tuyến (C) (− 3;5) là: y = x − + Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) hàm số y = x − x + x − a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hồnh b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = Giải: Ta có y ' = x − x + Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến có phương trình: y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 (1) Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 a) Khi M = (C ) IOx y0 = x0 nghiệm phương trình: x − x + x − = ⇔ x = ; y’(2) = 6, thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y = 6( x − 2) b) Khi M = (C ) IOy x0 = ⇒ y0 = y (0) = −4 y '( x0 ) = y '(0) = , thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y = x − c) Khi x0 nghiệm phương trình y”= Ta có: y” = 6x – 88 2 2 y” = ⇔ x − = ⇔ x = = x0 ⇒ y0 = y  ÷ = − ; y '( x0 ) = y '  ÷ = 27 3 3 100 Thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y = x − 27 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 − 3x + (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hồnh độ x=2 b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) điểm N, tìm tọa độ điểm N Giải a) Tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) có hồnh độ x0 = ⇒ y0 = Ta có y '( x) = x − ⇒ y '( x0 ) = y '(2) = Phương trình tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇒ y = 9( x − 2) + ⇒ y = x − 15 Vậy phương trình tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) y = x − 15 b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) N x = 3 Xét phương trình x − 3x + = x − 15 ⇔ x − 12 x + 16 = ⇔ ( x − ) ( x + x − ) = ⇔   x = −4 Vậy N ( −4; −51) điểm cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số y = x − 3x + (C ) điểm A( x0 , y0 ) ∈ (C), tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A cắt (C) điểm B khác điểm A tìm hồnh độ điểm B theo x0 Lời giải: Vì điểm A( x0 , y0 ) ∈ (C) ⇒ y0 = x0 − 3x0 + , y ' = x − ⇒ y ' ( x0 ) = x0 − Tiếp tuyến đồ thị hàm có dạng: y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y = (3x0 − 3)( x − x0 ) + x0 − 3x0 + ⇔ y = (3x0 − 3)( x − x0 ) − x0 + (d ) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C): Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 3 x − 3x + = (3 x0 − 3)( x − x0 ) − x0 + ⇔ x3 − x0 x + x0 = ⇔ ( x − x0 ) ( x + x0 ) = ( x − x0 ) =  x = x0 ⇔ ⇔ ( x0 ≠ 0) x = −2 x0 x + x0 =   Vậy điểm B có hồnh độ xB = −2 x0 hoctoancapba.com Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 − x + 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 thỏa mãn y '' ( x0 ) = chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Giải Ta có y ' = x − x + ⇒ y '' = x − y ''( x0 ) = ⇔ x0 − = ⇔ x0 = ⇒ M (2; ) ' Khi tiếp tuyến M có hệ số góc k0 = y ( x0 ) = y ' (2) = −1  2 ' Vậy tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm M  2; ÷ có phương trình y − y0 = f ( x0 ) ( x − x0 )  3 suy y − = −1( x − ) hay y = − x + 3 Tiếp tuyến d có hệ số góc k0 = -1 Mặt khác tiếp tuyến đồ thi (C) điểm kỳ (C) có hệ số góc k = y ' ( x) = x − x + = ( x − ) − ≥ −1 = k0  2 Dấu “=” xảy ⇔ x = nên tọa độ tiếp điểm trùng với M  2; ÷  3  2 Vậy tiếp tuyến d (C) điểm M  2; ÷ có hệ số góc nhỏ  3 Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x+2 giao điểm (C) với x −1 đường thẳng (d): y = 3x − + Phương trình hoành độ giao điểm (d) (C): x+2 = x − ⇔ x + = (3x − 2)( x − 1) (x = nghiệm phương trình) x −1 ⇔ x − x = ⇔ x = ( y = −2) ∨ x = ( y = 4) Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) M2(2; 4) −3 + Ta có: y ' = ( x − 1) + Tại tiếp điểm M1(0; -2) y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y = −3x − Đề cương ơn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 + Tại tiếp điểm M2(2; 4) y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y = −3x + 10 Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn u cầu tốn là: y = −3x − y = −3x + 10 m Ví dụ 7: Cho hàm số y = x3 − x + (Cm).Gọi M điểm thuộc đồ thị (Cm) có hồnh độ 3 -1 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 Giải Ta có y ' = x − mx Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến M song song với đường thẳng d trước hết ta cần có y ' (−1) = ⇔ m + = ⇔ m = 1 Khi m = ta có hàm số y = x3 − x + ta có x0 = −1 y0 = −2 3 Phương trình tiếp tuyến có dạng y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇒ y = 5( x + 1) − ⇔ y = x + Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 8: Cho hàm số y = x3 − 3x + m (1) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hồnh độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB Giải Với x0 = ⇒ y0 = m − ⇒ M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến M d: y = (3x0 − x0 )( x − x0 ) + m − ⇒ d: y = -3x + m + m+2 ⇒ - d cắt trục Oy B: yB = m + ⇒ B(0 ; m + 2) - d cắt trục Ox A: = −3 x A + m + ⇔ x A = - SOAB = m+2  A ; 0÷   3 m+2 ⇔ | OA || OB |= ⇔| OA || OB |= ⇔ m + = ⇔ (m + 2) = 2 m + = m = ⇔ ⇔  m + = −3  m = −5 Vậy m = m = - 1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến đồ thi hàm số y = f ( x) (C) biết trước hệ số góc + Gọi M ( x0 , y0 ) tiếp điểm, giải phương trình f ' ( x0 ) = k ⇒ x = x0 , y0 = f ( x0 ) + Đến trở dạng 1,ta dễ dàng lập tiếp tuyến đồ thị: y = k ( x − x0 ) + y0  Các dạng biểu diễn hệ số góc k:hoctoancapba.com Đề cương ơn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 *) Cho trực tiếp: k = 5; k = ±1; k = ± 3; k = ±  0 2π π  *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc α , với α ∈ 15 ;30 ;45 ; ;  Khi 3   hệ số góc k = tan α *) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi hệ số góc k = a −1 *) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): y = ax + b ⇒ ka = −1 ⇔ k = a k −a = tan α *) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b góc α Khi đó, + ka Ví dụ 9: Cho hàm số y = x − 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k = -3 Giải: Ta có: y ' = x − x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm ⇒ Tiếp tuyến M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x0 − x0 2 Theo giả thiết, hệ số góc tiếp tuyến k = - nên: x0 − x0 = −3 ⇔ x0 − x0 + = ⇔ x0 = Vì x0 = ⇒ y0 = −2 ⇒ M (1; −2) Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −3( x − 1) − ⇔ y = −3 x + Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 3x + (C) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + Giải: Ta có: y ' = x − x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm ⇒ Tiếp tuyến M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x0 − x0 Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + +6 ⇒ tiếp tuyến có hệ số góc k  x0 = −1 ⇒ M (−1; −3) 2 = ⇒ x0 − x0 = ⇔ x0 − x0 − = ⇔   x0 = ⇒ M (3;1) Phương trình tiếp tuyến (C) M(-1;-3) là: y = 9( x + 1) − ⇔ y = x + (loại) Phương trình tiếp tuyến (C) M(3;1) là: y = 9( x − 3) + ⇔ y = x − 26 Ví dụ 11: Cho hàm số y = x − 3x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = −1 x Giải: Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Ta có y ' = x − Do tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng −1 x nên hệ số góc tiếp tuyến k = 9 Do y ' = k ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ x = ±2 +) Với x = ⇒ y = Pttt điểm có hồnh độ x = là: y = 9( x − 2) + ⇔ y = x − 14 +) Với x = −2 ⇒ y = Pttt điểm có hồnh độ x = - là: y = 9( x + 2) + ⇔ y = x + 18 y= Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vng góc với đường thẳng y = −1 x là: y =9x - 14 y = 9x + 18 Ví dụ 12: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y = x + x , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x + y − 2010 = Giải: 1 (d) có phương trình: y = − x + 402 nên (d) có hệ số góc - 5 Gọi ∆ tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k − k = −1 ⇔ k = (do ∆ ⊥ (d )) Ta có: y ' = x + x nên hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: x + x = ⇔ x3 + x − = ⇔ ( x − 1)( x + x + 5) = ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y =  9 Vậy tiếp điểm M có tọa độ M  1; ÷  4 11 Tiếp tuyến có phương trình: y − = 5( x − 1) ⇔ y = x − 4 11 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y = x − x+2 Ví dụ 13: Cho hàm số y = (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến 2x + cắt trục hoành A, trục tung B cho tam giác OAB vuông cân O, O góc tọa độ Giải −1 ' Ta có: y = (2 x + 3) Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vng cân nên hệ số góc tiếp tuyến là: k = ±1 Khi gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có y ' ( x0 ) = ±1 ⇔  x0 = −2 −1 = ±1 ⇔  (2 x0 + 3)  x0 = −1 Với x0 = −1 y0 = lúc tiếp tuyến có dạng y = − x (trường hợp loại tiếp tuyến qua góc tọa độ, nên khơng tạo thành tam giác OAB) Với x0 = −2 y0 = −4 lúc tiếp tuyến có dạng y = − x − Vậy tiếp tuyến cần tìm y = − x − 2x −1 Ví dụ 14: Cho hàm số y = có đồ thị (C) x −1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thỏa mãn OA = 4OB Giải Giả sử tiếp tuyến d (C) M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) cắt Ox A, Oy B cho OA = 4OB OB 1 = ⇒ Hệ số góc d − Do ∆OAB vuông O nên tan A = OA 4   x0 = −1 ( y0 = ) 1  ⇔ ⇔  0 + × + m ≠ m <  Lúc tiếp tuyến D, E có hệ số góc là: kD = y’(xD) = xD + xD + m = −( xD + 2m); kE = y’(xE) = xE + xE + m = −( xE + 2m) Các tiếp tuyến D, E vng góc khi: kDkE = –1 ⇔ (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1 ⇔ 9m + 6m × (–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-t) ⇔ 4m2 – 9m + = ⇔ m = m 65 1 ĐS: m = − 65 hay m = m 65 8 2x − Ví dụ 19: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y = , biết x +1 khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến lớn Giải:  2a −  Gọi ∆ tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm M  a; ÷ , ( M ∈ (C ) )  a +1  ( ( ) ( ) ) Ta có: y ' = 4 ⇒ y '(a) = , ( a ≠ −1) ( x + 1) (a + 1) Vậy ∆ : y − 2a − = ( x − a ) ⇔ x − (a + 1) y + 2a − 4a − = (*) a + (a + 1) d ( I;∆) = 4(−1) − ( a + 1) 2 + 2a − 4a − + (a + 1) = a +1 + (a + 1) Ta có: + (a + 1) = 22 + ( a + 1)  ≥ 2.2(a + 1) ⇒ + ( a + 1) ≥ 2.2( a + 1) = a +   ⇒ d ( I;∆) ≤ a +1 = Vậy d ( I ; ∆ ) lớn d ( I ; ∆ ) = a +1 a + = a = ⇔ 22 = (a + 1) ⇔  ⇔ Cả hai giá trị thỏa mãn a ≠  a + = −2  a = −3 + Với a = thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: x − y − = ⇔ x − y − = + Với a = -3 thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: x − y + 28 = ⇔ x − y + = Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x − y − = ; x − y − = Ví dụ 20: Cho (C) đồ thị hàm số y = x +1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết 2x + 10 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Giải: P = + ( + i ) + ( + i ) + + ( + i ) (1+ i) 20 20 ( 1+ i) = 21 −1 i = ( + i )  ( + i ) = ( 2i ) ( + i ) = −210 ( + i )   10 −2 ( + i ) − ⇒P= = −210 + ( 210 + 1) i i Vậy phần thực −210 phần ảo 210 +  Bài tập tự luyện Bài Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: 21 10 10 1+ i  z=  ÷ + ( − i ) + ( + 3i ) ( − 3i ) + i 1− i  Bài Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn: Bài ( z + − 3i ) ( − i ) = (1 + i)2011 Tìm phần thực, phần ảo số phức z = (1 + i )19 2.3 Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: z , z , z , ta sẽ sử dụng Dạng đại số z z = x + yi với x, y ∈ R Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z − ( + 3i ) z = − 9i Giải: Gọi z= a+ bi (a,b ∈ R ) ta có: z − ( + 3i ) z = − 9i ⇔ a + bi − ( + 3i ) ( a − bi ) = − 9i −a − 3b = a = ⇔ −a − 3b − ( 3a − 3b ) i = − 9i ⇔  ⇔ 3a − 3b = b = −1 Vậy z= 2-i ( ) Ví dụ 2: Tính mơ đun số phức z biết rằng: ( z − 1) ( + i ) + z + ( − i ) = − 2i Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ∈ R ) Ta có 65 Đề cương ơn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i ⇔ ( 2a − 1) + 2bi  ( + i ) + ( a + 1) − bi  ( − i ) = − 2i     ⇔ ( 2a − 2b − 1) + ( 2a + 2b − 1) i + ( a − b + 1) − ( a + b + 1) i = − 2i  a = 3a − 3b =   ⇔ ( 3a − 3b ) + ( a + b − ) i = − 2i ⇔  ⇔ a + b − = −2 b = −   Suy mô đun: z = a + b = 2 Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z + z.z + z = z + z = Giải Gọi z = x + iy (x, y∈ R), ta có z = x − iy; z = z = z z = x + y 2 2 z + z.z + z = ⇔ 4( x + y ) = ⇔ ( x + y ) = (1) z + z = ⇔ x = ⇔ x = (2) Từ (1) (2) tìm x = ; y = ±1 Vậy số phức cần tìm + i - i Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z + − 2i = z + + 4i ảo Giải Đặt z= x+ yi (x,y ∈ R ) Theo ta có x + + ( y − 2) i = x + + ( − y ) i ⇔ ( x + 1) + ( y − ) = ( x + 3) + ( y − ) ⇔ y = x + 2 2 z − 2i x + ( y − ) i x − ( y − ) ( y − 1) + x ( y − 3) i = = Số phức w = x + (1− y) i z +i x + ( y − 1)  x − ( y − ) ( y − 1) = 12  x=−     ⇔ w số ảo  x + ( y − 1) > y = x +  y = 23     12 23 Vậy z = − + i 7 66 z − 2i số z +i Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Ví dụ 5: Tìm tất số phức z biết z = z + z Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ∈ R ) ta có: z + z + z ⇔ ( a + bi ) = a + b + a − bi 2 ⇔ a − b + 2abi = a + b + a − bi  a = b =  2 2 a = −2b a − b = a + b + a  ⇔ ⇔ ⇔ a = − ; b =  b ( 2a + 1) = 2ab = −b   a = − ; b =  1 1 Vậy z=0; z = − + i; z = − − i 2 2 −1 Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn z = z2 số ảo Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ∈ R ) Ta có z = a + b z = a − b + 2abi a + b = a = a = ±1   ⇔ ⇔ Yêu cầu toán thỏa mãn  2 a −b = b =1   b = ±1   Vậy số phức cần tìm 1+i; 1-i; -1+i; -1-i Ví dụ 7: Tìm số phức z biết z − 5+i −1 = z Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ∈ R ) a + b ≠ ta có 5+i 5+i − = ⇔ a − bi − − = ⇔ a + b − − i − a − bi = z a + bi a + b − a − =  2 ⇔ ( a + b − a − 5) − b + i = ⇔  b + =  z− ( )  a = −1; b = − a − a − =  ⇔ ⇔ b = −  = a = 2; b = −   Vậy z = −1 − i z = + i ( ) Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn z − i = ( z − 1) z + i số thực Giải: Giả sử z= x+ yi (x, y ∈ R ) 67 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Khi đó, z − i = ⇔ x + ( y − 1) = ( 1) ( z − 1) ( z + i ) = ( x − + yi ) ( x − ( y − 1) i ) = x ( x − 1) + y ( y − 1) + ( x + y − 1) i ( z − 1) ( z + i ) ∈ R ⇔ x + y − = ( ) Từ (1) (2) ta có x=1; y=0 x=-1; y=2 Vậy z=1; z=-1+ 2i  Bài tập tự luyện Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z − + i = Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Bài Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = – 2i Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z − ( + i ) = 10 z.z = 25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn z − ( + 2i ) = 26 z.z = 25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: a) z = z số ảo b) z = phần thực z hai lần phần ảo Bài Tìm số phức z thoả mãn z = z2 số ảo Bài Giải phương trình: a) z + z = b) z + z = z Bài Tìm số phức z biết ( z + 1)(1 + i ) + z −1 = | z |2 1− i Bài Tìm số phức z biết: z − = (1 + i )( z − 1) có phần ảo _ _ Bài 10 Tìm số phức z thỏa mãn: z − = 17( z + z ) = z z z =   Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn  z − ( + i) =   2( 1+ i)  2.4 Dạng 4: Biểu diễn hình học số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Trong dạng này, ta gặp tốn biểu diễn hình học số phức hay cịn gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thỏa mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến mơđun số phức) Khi ta giải toán sau: Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây: a) z − + i =2 b) + z = − i c) z − 4i + z + 4i = 10 Giải: 68 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y) a) Xét hệ thức: z − + i =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) ⇒ z – + i = (x – 1) + (y + 1)i Khi (1) ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ⇔ (x-1)2 + (y + 1)2 = 4.⇒ Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường trịn có tâm I(1;-1) bán kính R = y b) Xét hệ thức + z = z − i ⇔ |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| ⇔ (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 ⇔ 4x + 2y + = Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x + 2y + = A -2 Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = đường trung trực đoạn AB B x O -1 -1 -2 c) Xét hệ thức: z − 4i + z + 4i = 10 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức F1 (0;4) F2 =(0;-4) Do đó: z − 4i + z + 4i = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 Ta có F1F2 = ⇒ Tập hợp tất điểm M nằm (E) có hai tiêu điểm F F2 có độ dài trục lớn 10 Phương trình (E) là: x2 y + =1 16 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − i = (1+ i) z Giải: Đặt z= x+ yi (x,y ∈ R ) Ta có: z − i = ( + i ) z ⇔ x + ( y − 1) i = ( x − y ) + ( x + y ) i ⇔ x + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y ) 2 ⇔ x + y + xy − = ⇔ x + ( y + 1) = 2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn có phương trình x + ( y + 1) = 2 + 3i ) Ví dụ 3: Cho số phức z = ( (1 + i )5 Tìm tập hợp điểm biểu diễn A = z + 2iz , biết x − y − = Giải 69 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 t = ⇔ t − 4t = ⇔  t = t = ⇒ B ( 0; − 1) , C ( 4; − 1) t = ⇒ B ( 4; − 1) , C ( 0; − 1) Giả sử z2 = x + yi x, y ∈ R biểu diễn điểm M(x;y) Khi ta có: uu r nP = ( a, b, c ) , a + b + c ≠ Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z2 đường tròn tâm O, bán kính Ví dụ 4: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y) Ta có x − + ( y − 4)i = x + ( y − 2)i (1) ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = x + ( y − 2) ⇔ y = − x + Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1) đường thẳng x + y = Mặt khác z = x + y = x + x − x + 16 = x − x + 16 Hay z = ( x − ) + ≥ 2 Do z ⇔ x = ⇒ y = Vậy z = + 2i ( ) Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn u = ( z + − i ) z + + 3i số thực Tìm giá trị nhỏ z Giải Đặt z= x+ yi (x, y ∈ R ) ta có u = ( x + 3) + ( y − 1) i  ( x + 1) − ( y − 3) i  = x + y + x − y + + ( x − − y − ) i    Ta có: u ∈ R ⇔ x − y − = Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) điểm biểu diễn z mơ đun z nhỏ độ dài OM nhỏ ⇔ OM ⊥ d Tìm M(-2;2) suy z=-2+2i Ví dụ 6: Tìm số phức Z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện Z ( + i ) − + 2i = Giải Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) ⇒ z = x − yi z (1 + i ) − + 2i = 13 39 ⇔ x2 + y − x − y + =0 70 13 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Gọi M (x;y) điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy ⇒ M ∈ (C ) đường trịn có tâm 26 I ( ; ) bán kính R = 2 Gọi d đường thẳng qua O I ⇒ d : y = x 15 Gọi M1, M2 hai giao điểm d (C) ⇒ M ( ; ) M ( ; ) 4 4 OM > OM Ta thấy  OM = OI + R ≥ OM ( M ∈ (C )) ⇒ số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay z = 15 + i 4 Ví dụ 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u = z + + 3i số ảo z −i Giải Đặt z= x+ yi (x, y ∈ R ), đó: u= ( x + ) + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y + 3) i   x − ( y − 1) i     2 x + ( y − 1) i x + ( y − 1) (x = + y + x + y − 3) + ( x − y + 1) i x + ( y − 1) 2   x2 + y + 2x + y − =  ( x + 1) + ( y + 1) = ⇔ u số ảo  2  x + ( y − 1) > ( x; y ) ≠ ( 0;1)   Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường trịn tâm I(-1;-1), bán kính trừ điểm (0;1)  Bài tập tự luyện Bài Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z + (1 − 3i ) = z + − 2i b) z − i = z − z + 2i c) z − ( − 4i ) = Tìm số phức z có mơđun nhỏ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều Bài Trong số phức thỏa mãn z − + 3i = kiện: z − i = z − 3i − Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mơdun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ 71 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z + − 5i = z + − i Tìm số phức z có mơđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn z − − i = 52 , tìm số phức z mà z − + 2i nhỏ Bài Tìm số phức Z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện Trong tất số phức z thỏa mãn z − + 2i = , tìm số phức có z nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện (1+ i) z + = 1− i Tìm số phức có mơ đun nhỏ nhất, lớn 2.5 Dạng Phương trình bậc hai tập số phức 2.5.1 Vấn đề Tìm bậc hai số phức (Đọc thêm) Cho số phức w = a + bi Tìm bậc hai số phức Phương pháp: +) Nếu w = ⇒ w có bậc hai +) Nếu w = a > (a ∈ R) ⇒ w có hai bậc hai a - a +) Nếu w = a < (a ∈ R) ⇒ w có hai bậc hai − - − +) Nếu w = a + bi (b ≠ 0) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w ⇔ z2 = w ⇔ (x+yi)2 = a + bi  x2 − y = a ⇔ 2 xy = b Để tìm bậc hai w ta cần giải hệ để tìm x, y Mỗi cặp (x, y) nghiệm phương trình cho ta bậc hai w Nhận xét: Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối Ví dụ: Tìm bậc hai số phức sau: a) + i b) -1-2 i Giải: 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = + i  (1) y =  x2 − y =   x 2 ⇔ Khi đó: z = w ⇔ (x+yi) = + i⇔   xy =  x − 45 = (2)   x2  (2) ⇔ x4 – 4x2 – 45 = ⇔ x2 = ⇔ x = ± x=3⇒y= x = -3 ⇒ y = - Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = + i z2 = -3 - i 72 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = -1-2 i  − (1)   x − y = −1  y = x  2 ⇔ Khi đó: z = w ⇔ (x+yi) = -1-2 i ⇔   xy = −2  x − = −1 (2)   x2  (2) ⇔ x4 + x2 – = ⇔ x2 = ⇔ x = ± x= 2 ⇒y=- x=- ⇒y= Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = - i z2 = - + i 2.5.2 Vấn đề 2: Giải phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = (1) (A, B, C ∈ C, A ≠ 0) Phương pháp: Tính ∆ = B2 – 4AC *) Nếu ∆ ≠ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 = −B + δ −B − δ , z2 = 2A 2A (trong δ bậc hai ∆) *) Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 = − Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức a) z − z + = b) x + x + = Giải: a) z − z + = B 2A c) z + z − =  ∆ = − = −3 = 3i  bậc hai ∆ ±i  Phương trình có nghiệm: z1 = 1+ i 3 = + i, z2 = − i 2 2 b) x + x + =  ∆ = − 20 = −16 = 16i  Căn bậc hai ∆ ±4i  Phương trình có nghiệm: x1 = −1 − 2i, x2 = −1 + 2i c) z + z − =  Đặt t = z2  Phương trình trở thành: z2 =  z = ±1 t = t + 2t − = ⇔  ⇔ ⇔ t = −3  z = ±i  z = −3 73 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015  Vậy phương trình có nghiệm: -1, 1, −i 3, i Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai sau: a) z2 + 2z + = b) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = (tham khảo) Giải: a) Xét phương trình: z2 + 2z + = Ta có: ∆ = -4 = 4i2 ⇒ phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i z2 = -1 – 2i b) Ta có: ∆ = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2 nên 1+i bậc hai số phức 2i ⇒ Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 3i − + + i 3i − − − i = 2i ; z2 = = −1 + i 2 Ví dụ 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z + z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 Giải: Ta có z + z + 10 = ⇔ ( z + 1) = −9 ⇔ ( z + 1) = ( 3i ) 2  z = −1 + 3i ⇔  z = −1 − 3i z1 = −1 + 3i ⇒ z1 = ( −1) + 32 = 10 z2 = −1 − 3i ⇒ z2 = 10 2 Vậy A = z1 + z2 = 20 Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z − z + 13 = Tính z + z+i Giải:  z = + 2i 2 z − z + 13 = ⇔ ( z − 3) = −4 ⇔ ( z − 3) = ( 2i ) ⇔   z = − 2i Với z = + 2i ta có z + 6 = + 2i + = + i = 17 z+i + 3i Với z = − 2i ta có z + 6 = − 2i + = 24 − 7i = z+i 3−i Ví dụ 5: Giải phương trình sau tập hợp số phức: Giải 74 z − + 7i = z − 2i (tham khảo) z −i Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Điều kiện: z ≠ −1 Phương trình cho tương đương với z − ( + 3i ) z + + 7i = Phương trình có biệt thức ∆ = ( + 3i ) − ( + 7i ) = − 4i = ( − i ) 2 Phương trình có hai nghiệm là: z = + 2i z = + i  Bài tập tự luyện Bài Cho z1 , z2 nghiệm phức phương trình z − z + 11 = Tính giá trị 2 z + z2 biểu thức A = ( z1 + z2 )2 (1 + i ) 2009 z + 2i = tập số phức (Tham khảo) Bài Giải phương trình: z − (1 − i ) 2008 Bài Gọi z1 ; z2 nghiệm phức phương trình: z − z + = Tính: ( z1 − 1) 2011 + ( z2 − 1) 2011 2.5.3 Vấn đề 3: Phương trình quy bậc hai - Đối với dạng ta thường gặp phương trình bậc phương trình bậc dạng đặc biệt quy bậc hai - Đối với phương trình bậc (hoặc cao hơn), nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa phương trình tích) từ dẫn đến việc giải phương trình bậc bậc hai - Đối với số phương trình khác, ta đặt ẩn phụ để quy phương trình bậc hai mà ta biết cách giải a Phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ 1: Giải phương trình: z3 – 27 = z = z = ⇔ Giải: z3 – 27 = ⇔ (z – 1) (z2 + 3z + 9) = ⇔   z = −3 ± 3i  z + 3z + =  2,3  Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình tập hợp số phức: z − z + z − z − 16 = Giải: Nhận biết hai nghiệm z=-1 z=2 Phương trình cho tương đương với ( z − ) ( z + 1) ( z + ) = Giải ta bốn nghiệm: z = −1; z = 2; z = ±2 2i 75 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Ví dụ 3: Cho phương trình sau: z + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (1)biết phương trình có nghiệm ảo (Tham khảo) Giải: Đặt z = yi với y ∈ R Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = ⇔ -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = = + 0i đồng hoá hai vế ta được: −2 y + y =  giải hệ ta nghiệm y =   − y + y + y − 10 =  Suy phương trình (1) có nghiệm ảo z = 2i * Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i ⇒ vế trái (1) phân tích dạng: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b ∈ R) đồng hoá hai vế ta giải a = b =  z = 2i  z = 2i  ⇔  z = −1 − 2i ⇒ (1) ⇔ (z – 2i)(z2 +2z + 5) = ⇔   z + 2z + =  z = −1 + 2i  Vậy phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình z − ( − i ) z − ( − i ) z + 16 − 2i = biết phương trình có nghiệm thực (Tham khảo) Giải Gọi nghiệm thực z0 ta có: z0 − ( − i ) z0 − ( − i ) z0 + 16 − 2i =  z0 − 3z0 − z0 + 16 =  ⇔ ⇔ z0 = −2 zo + z − =   Khi ta có phương trình ( z + ) ( z − ( − i ) z + − i ) = Tìm nghiệm phương trình z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i Ví dụ 5: Giải phương trình z − ( − 3i ) z + ( − 2i ) z + 9i = biết phương trình có nghiệm ảo (tham khảo) Giải Giả sử phương trình có nghiệm ảo bi, b ∈ R Thay vào phương trình ta được: 76 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 ( bi ) − ( − 3i ) ( bi ) + ( − 2i ) ( bi ) + 9i = 2b + 6b =  ⇔ 2b + 6b + ( −b − 3b + 3b + ) i = ⇔  ⇔ b = −3 −b − 3b + 3b + =  ⇒ z = −3i 2 Phương trình phân tích thành ( z + 3i ) ( z − z + 3) = Các nghiệm phương trình z= -3i; z = ± 2i b Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = Giải: Đặt t = z2 + z, phương trình cho có dạng:  −1 + 23i z =  z2 + z − = t = −6   −1 − 23i ⇔ ⇔ z = t2 + 4t – 12 = ⇔  t = z + z − =  z =  z = −2  Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình cho có dang: t = z t2 +2zt – 3z2 = ⇔ (t – z)(t+3z) = ⇔  t = −3z  z = −1 + 5i + Với t = z ⇔ z2 + 3z +6 –z = ⇔ z2 + 2z + = ⇔   z = −1 − 5i   z = −3 + + Với t = -3z ⇔ z2 + 3z +6 +3z = ⇔ z2 + 6z + = ⇔   z = −3 −  Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: ( z − z )( z + 3)( z + 2) = 10 , z ∈ C Giải: PT ⇔ z ( z + 2)( z − 1)( z + 3) = 10 ⇔ ( z + z )( z + z − 3) = Đặt t = z + z Khi phương trình (8) trở thành: Đặt t = z + z Khi phương trình (8) trở thành 77 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 t − 3t − 10 = t = −2  z = −1 ± i ⇔ ⇒ t =  z = −1 ± Vậy phương trình có nghiệm: z = −1 ± ; z = −1 ± i Ví dụ 4: Giải phương trình sau tập số phức z − z + z2 + z +1 = (tham khảo) Giải: Nhận xét z=0 không nghiệm phương trình (1) z ≠ 1 Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được: ( z + ) − ( z − ) + = (2) z z 1 Đặt t=z- Khi t = z + − ⇔ z + = t + z z z Phương trình (2) có dạng: t2-t+ = (3) ∆ = − = −9 = 9i 2 + 3i − 3i PT (3) có nghiệm t= ,t= 2 + 3i 1 + 3i ⇔ z − (1 + 3i ) z − = (4) Với t= ta có z − = z 2 Có ∆ = (1 + 3i) + 16 = + 6i = + 6i + i = (3 + i ) (1 + 3i) + (3 + i) (1 + 3i) − (3 + i) i − = + i ,z= = 4 − 3i 1 − 3i ⇔ z − (1 − 3i ) z − = (4) Với t= ta có z − = z 2 Có ∆ = (1 − 3i) + 16 = − 6i = − 6i + i = (3 − i ) PT(4) có nghiệm: z= (1 − 3i) + (3 − i ) (1 − 3i) − (3 − i ) −i − = − i ,z= = 4 i −1 −i − Vậy PT cho có nghiệm: z=1+i; z=1-i ; z= ; z= 2  Bài tập tự luyện PT(4) có nghiệm: z= Bài Giải phương trình z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0., biết phương trình có nghiệm ảo.(tham khảo) 78 Đề cương ơn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Bài Cho phương trình: z3 – (4 + i)z2 + (3 + 8i)z – 15i = Biết phương trình có 2 nghiệm thực Gọi z1, z2, z3 nghiệm phương trình Hãy tính z1 + z2 + z3 Bài Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phương trình z − z − z + z − = tập số phức tính tổng S = 1 1 + 2+ 2+ z12 z2 z3 z4 Bài Giải phương trình tập số phức:  z +i a)  ÷ =1 i−z b) (z2+1)2+(z+3)2=0 c) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 79 ... CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT Biên soạn sưu tầm: Nguyễn Quang Tuấn – GV Trường THPT Hàn Thuyên 41 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 Kiến thức cần nhớ 1.1 Công... sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 25 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vng cân Chủ đề 3: Bài... biến thi? ?n vẽ đồ thị (C) hàm số Bài 32 Cho hàm số y = 36 Đề cương ôn thi THPT quốc gia năm học 2014-2015 b) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho ∆OAB vuông O