Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 1 TÀI LIỆU MỤC LỤC: 1-Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan 2-Giá Trị Lớn Nhất Giá Trị Nhỏ Nhất 3- Lƣợng Giác 4-Phƣơng trình bất phƣơng trình Mũ và Logarit 5-Tích Phân và Ứng Dụng 6-Số phức 7-Phƣơng Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz 8-Hình Học Không Gian Thuần Túy 9-Tổ Hợp và Xác Suất Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 2 Tài liệu đã đƣợc tinh giảm chỉ còn những phần cơ bản và cần thiết, vừa đủ để các em có thể học nhanh và nắm bắt đƣợc phù hợp với kiến thức THPT cũng nhƣ kì thi Quốc Gia 2015 sắp tới. Chỉ cần nắm bắt đƣợc các vấn đề cơ bản của tài liệu này thì điểm 6,5-7 là điều không hề khó khăn. Chú ý tập tài liệu chỉ đề cập đến các kiến thức cơ bản sẽ xuất hiện trong kì thi Quốc Gia 2015 môn Toán nên sẽ không có các phần nâng cao. Các em học sinh ôn thi vào các trƣờng lớn hay các trƣờng có tổ chức thi xét tuyển lần 2 thì các kiến thức trong tài liệu là không đầy đủ. Do tài liệu đƣợc biên soạn bởi tác giả nên không tránh đƣợc sự thiếu xót. Nếu có thì mong các em thông cảm. Chúc các em học tốt và vƣợt qua kì thi năm nay một cách dễ dàng. Thân! Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 3 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A. Lý thuyết: I. Các bƣớc khảo sát hàm số:  Tập xác định.  Giới hạn, Tiệm cận (Nếu có)  Đạo hàm  Bảng biến thiên: Các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị (Nếu có)  Đồ thị: Điểm đặc biệt, Vẽ đồ thị. II. Tổng kết các dạng đồ thị: 1. Hàm bậc 3: 32 ,0y ax bx cx d a      Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm uốn.  Dạng đồ thị được căn cứ vào: Số nghiệm của '0y  và dấu của hệ số a.  Có 3 trường hợp:  TH1: '0y  có 2 nghiệm phân biệt  có 2 cực trị. 0a  0a   TH2: '0y  có nghiệm kép  không có cực trị. 0a  0a  Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 4  TH3: '0y  vô nghiệm  không có cực trị. 0a  0a  2. Hàm trùng phương: 42 ,0y ax bx c a     Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy.  Đồ thị có 2 dạng căn cứ vào : Số nghiệm của '0y  và dấu của hệ số a.  TH1: '0y  có 3 nghiệm phân biệt  có 3 cực trị. 0a  0a   TH2: '0y  có 1 nghiệm  có 1 cực trị. 0a  0a  3. Hàm phân thức: 22 ,0 ax b y a c cx d      Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 5  Đồ thị có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.  Đồ thị là hai đường hypebol đối xứng qua giao điểm của hai đường tiệm cận.  Đồ thị có hai dạng: Dựa vào dấu của y‟. TCN TCĐ - ' 0,y x D    hàm số đồng biến. TCN TCĐ - ' 0,y x D    hàm số nghịch biến. B. Các dạng toán liên quan: I. Đồng biên nghịch biến:  Lý thuyết: Liên quan đên phương trình bậc 2 Cho phương trình: 2 y ax bx c     0a   Hệ thức Vi-et: 1 2 1 1 ; bc S x x P x x aa        Để phương trình có hai nghiệm trái dấu 0P  Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu 0 0P        Để phương trình có hai nghiệm dương 0 0 0 P S          Để phương trình có hai nghiệm âm 0 0 0 P S          So sánh nghiệm 12 ,xx của phương trình với các số , cho trước: Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 6 Để phương trình có nghiệm 12 ,xx thõa mãn:  12 0 . ( ) 0 xx af          12 0 . ( ) 0 xx af           12 0 . ( ) 0 2 x x a f S                12 0 . ( ) 0 2 x x a f S                 12 0 . ( ) 0 . ( ) 0 2 af xx af S                    12 0 . ( ) 0 . ( ) 0 2 af xx af S                     12 0 . ( ) 0 . ( ) 0 2 af xx af S                       12 0 . ( ) 0 . ( ) 0 x x a f af                Chú ý: Nếu đề có dấu “=” thì ta sẽ thêm dấu ”=” tương ứng đối với các điều kiện.  Bài toán: Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên TXD hay trong một khoảng nào đó sau đây:             , , , , , , , , , , ,a b a b a a b b     Phƣơng pháp chung:  Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số suy luận.  Quy về bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với các số cho trước ở đây là các số a, b trong các khoảng đó. Ví dụ 1: Cho hàm số   32 1 32 3 y x mx m x    . Xác định m để hàm số đồng biến trên R. Giải: Do 1 0 3 a  nên để hàm số đồng biến trên R thì đồ thị hàm số không có cực trị Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 7 '0y có nghiệm kép hoặc vô nghiệm Ta có 2 ' 2 3 2y x mx m    Để hàm số đồng biến trên R '2 ' 3 2 0 1 2 y m m m         Vậy 12m Ví dụ 2: Cho hàm số     32 1 1 3 2 3 y m x mx m x     . Xác định m để hàm số nghịch biến trên R. Giải: Để hàm số nghịch biến trên R thì 0a  và '0y  có nghiệm kép hoặc vô nghiệm. Ta có:   2 ' 1 2 3 2y m x mx m     Để hàm số nghịch biến trên R    ' 2 2 ' 1 0 10 1 1 0 1 3 2 0 2 2 5 2 0 2 1 2 y m a m m m m m mm mm m                                        Vậy 1 2 m  Ví dụ 3: Cho hàm số 32 2 3 6( 1)y x x m x    . Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng   2,0 Giải: Ta có: 2 ' 6 6 6( 1)y x x m    Từ tính chất của đồ thị, do 0a  để hàm số có khoảng nghịch biến thì đồ thị hàm số phải có cực đại và cực tiểu. Gọi các điểm cực trị là 12 ,xx Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng   12 ,xx Vậy để hàm số nghịch biến trên   2,0 thì 12 20xx    0 4 3 0 . ( 2) 0 6( 3) 0 3 . (0) 0 6(m 1) 0 m a f m m af                       Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 8 Ví dụ 4: Cho hàm số 32 26y x x mx   Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng   2, Giải: Ta có: 2 ' 6 2 6y x x m   Từ tính chất của đồ thị, do 0a  để hàm số có khoảng đồng biến ta có hai trường hợp: + TH1: Hàm số không có cực trị 1 0 1 36 0 36 mm        suy ra hàm số đồng biến trên R nên hàm số đồng biến trên khoảng   2, + TH2: Hàm số có cực trị 0   . Gọi các điểm cực trị là 12 ,xx thì hàm số đồng biến trên các khoảng     12 , , ,xx  Để hàm số đồng biến trên   2, thì 12 2xx   1 0 36 14 1 . ( 2) 0 6 28 6 0 3 36 1 2 2 2 6 m a f m m S                          Vậy khi 14 3 m  thì hàm số đồng biến trên khoảng   2, Ví dụ 5: Cho hàm số 4 xm y xm    . a) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. b) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên   1,  Giải: Ta có TXD:     ; 4 4 ;D m m      và   2 3 ' 4 m y xm   a) Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó thì '0y  với mọi xD Có nghĩa là   2 3 ' 0 0 4 m ym xm      Vậy 0m  thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 9 b) Ta có khi 0m  thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là:   m và   4m,  Để hàm số nghịch biến trên   1,  thì     1, 4 ,m    Có nghĩa là 1 41 4 mm     . Kết hợp với điều kiện để nghịch biến 1 0 4 m    Bài tập vận dụng: 1/Cho hàm số 32 34y x x mx    . a) Xác định m để hàm số đồng biến trên R. b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R. c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng    2/Cho hàm số     32 2 3 2 1 6 1 1y x m x m m x      . a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên tập xác định. c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng   2, . 3/Cho hàm số 4mx y xm    . a) Xác định m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. c) Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng    4/Cho hàm số 1x y xm    . Xác định m để: a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Hàm số đồng biến trên khoảng   0, 5/Cho hàm số 42 2 3 1y x mx m    . Xác định m để a) Hàm số đồng biến trên   0, b) Hàm số đồng biến trên   2, Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 10 c) Xác định giá trị của m để hàm số đồng biến trên   1,2 6/Cho hàm số 4 2 2 2y x mx m    . Xác định m để: a) Hàm số nghịch biến trên khoảng   1,  b) Hàm số nghịch biến trên khoảng   1,0 7/Cho hàm số 32 3 3 3 4y x mx x m     . Xác định giá trị của m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1. 8/Cho hàm số 32 1 ( 1) 3( 2) 1 3 y mx m x m x      . Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên   2, . 9/Cho hàm số 22 3(2m 1)x (12 5) 2y x m x      . Xác định m để hàm số đồng biến đồng thời trên cả 2 khoảng    và   2, 10/Cho hàm số 32 3 ( 1) 4y x x m x m     . Xác định m để hàm số nghịch biến trên   1,1 11/Cho hàm số 32 1 2( 1) ( 1) 3 y mx m x m x m      . Xác định m để: a/Hàm số đồng biến trên   ,0 b/Hàm số nghịch biến trên   2, c/Hàm số đồng biến trên các khoảng     , 1 2;    [...]... b/Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho MA=MB Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 19 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 IV Giao điểm của hai đồ thị:  Lý thuyết: Cho hàm số y  f ( x) và y  g ( x) Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: f ( x)  g ( x)  Bài toán 1: Dựa vào đồ thị biện luận... Tìm m để (d) cắt đồ thị tai 3 điểm phân biệt 4 2 4/Cho hàm số y  x  (3m 2) x  3m a) Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 25 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 b) Xác định m để đường thẳng y  1 cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt 4 2 5/Cho hàm số y  x  mx  m  1 Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc trục Ox x2 (C) Xác định m để đường... còn lại qua Oy Ta được: Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 22 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 3 2 1 -2 2 -1 -2 Dựa vào đồ thị để phương trình x  3 x  m  0 có đúng 3 nghiệm phân biệt thì đường 3 thẳng y  m cắt đồ thị y  x  3 x  m tại 3 điểm phân biệt  m    m  0 3 Vậy m   thì phương trình x  3 x  m  0 có 3 nghiệm phân biệt 3  Bài toán 2: Bài toán giao điểm của đồ thị... Giải:  m2 Gọi điểm M thuộc (C) có tọa độ M   m,   m 1  Theo đề khoảng cách từ M đên đường thẳng x  y  0 bằng  d M ,   m m2 m 1 12  12 2  2 m2  2  2 m 1  m2  2  m 1  2 m  0  2  m  2 m  2  2  m 1  Vậy M   0; 2 , M  2;4  Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 27 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Các bài toán trong các kì thi: TNTHPT-2014: Cho...Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 II Cực trị:  Bài toán 1: Xác định m để hàm số đạt cực trị  Phƣơng pháp: Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số để suy luận 3 2  Tìm m để đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d  a  0  Có cực trị   y '  0  Không có cực trị   y '  0 4 2  Tìm m để đồ thị hàm số y  ax  bx  c  a  0  Có 3 cực trị:... thỏa mãn x1  x2  x3  x4  17 10/Cho hàm số y  x 1 (C) Xác định m để y   x  m cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài x2 AB nhỏ nhất 2x 1 Xác định k để đường thẳng y  kx  k  1 cắt (C) tại 2 điểm A, B x 1 sao cho khoảng cách từ A đến Ox bằng khoảng cách từ B đến Oy 11/Cho hàm số y  V Các bài toán liên quan đên hình học phẳng đơn giản:  Dạng toán: Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số y  f...  1  6  2 1 1 1 Vậy   m   m  6 2 6  Giao điểm của đồ thị hàm số y  ax  b và đƣờng thẳng y  kx  m cx  d Phƣơng pháp chung:  Lập phương trình hoành độ giao điểm  Dựa vào yêu cầu đề bài và tính chất của đồ thị hàm số để suy ra bài toán bậc 2  Sử dụng Viet Ví dụ: Cho hàm số y  x 1 (C) x 1 Tìm m để đường thẳng y  mx  1 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm thuộc hai nhánh đồ thị Giải: Ta có PTHDGD:... biệt 3  Bài toán 2: Bài toán giao điểm của đồ thị và đường thẳng 3 2  Giao điểm của đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d và đƣờng thẳng y  kx  m Phƣơng pháp chung:  Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm 2  Bước 2: Sử dụng sơ đồ Hoocne để phân tích: ( x   )  ax  Bx  C   0 (1)  Bước 3: Khi đó hoành độ các giao điểm là nghiệm của x   0  2 (1)  ax  Bx  C  0, g ( x)  Bước 4:... Bx  C  0 đối với bài toán này 3 2 Ví dụ 1: Xác định m để hàm số y  mx  x  2 x  8m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Giải: Ta có PTHDGD: mx3  x2  2 x  8m  0 (*) Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 23 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015  ( x  2)  mx2  (2m  1) x  4m  0  x  2  2  mx  (2m  1) x  4m  0   g ( x) Để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt thì phương... tuyến cần tìm Nhận thấy được sự khác biệt giữa tiếp tuyến tại điểm M  xo ; yo  và tiếp tuyến qua điểm M Tiếp tuyến tại M thì có duy nhất 1 đường thẳng còn tiếp tuyến qua M thì có thể có nhiều đường Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 17 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 3 Ví dụ 1: Cho hàm số: y  x  3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến đi qua điểm A 1, 2  Giải: . Lƣợng Giác 4-Phƣơng trình bất phƣơng trình Mũ và Logarit 5-Tích Phân và Ứng Dụng 6-Số phức 7- Phƣơng Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz 8-Hình Học Không Gian Thuần Túy 9-Tổ Hợp và Xác Suất. thi Quốc Gia 2015 sắp tới. Chỉ cần nắm bắt đƣợc các vấn đề cơ bản của tài liệu này thì điểm 6,5 -7 là điều không hề khó khăn. Chú ý tập tài liệu chỉ đề cập đến các kiến thức cơ bản sẽ xuất hiện. đầy đủ. Do tài liệu đƣợc biên soạn bởi tác giả nên không tránh đƣợc sự thiếu xót. Nếu có thì mong các em thông cảm. Chúc các em học tốt và vƣợt qua kì thi năm nay một cách dễ dàng. Thân!