UBND T NH B C NINH GIÁO D C VÀ ÀO T O C NG ÔN THI THPT QU C GIA MƠN TỐN m h c 2014 - 2015 c Ninh, tháng 11 n m 2014 GD& Ninh CHUYÊN ng ôn thi THPT qu gia 2014-2015 KH O SÁT HÀM S VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Biên so n s u t m: Ngô V n Khánh – GV tr ng THPT Nguy n V n C Ch 1: Bài toán v ti p n 1.1 D ng 1: Ti p n c a th hàm s t i m t m M(x , y ) Ỵ (C ) : y = f (x ) tính k = f ' (x ) (h s góc c a ti p n) * Tính y ' = f ' (x ) ; * Ti p n c a th hàm s y = f (x ) t i m M (x ; y ) có ph ng trình y - y = f ' (x ) (x - x ) v i y = f (x ) Ví d 1: Cho hàm s y = x - 3x + (C) Vi t ph ng trình ti p n c a a) i m A (-1; 7) b) i m có hồnh x = c) i m có tung y =5 Gi i: a) Ph ng trình ti p n c a (C) t i m M (x ; y0 ) có d ng: th (C): y - y0 = f '(x )(x - x ) Ta có y ' = 3x - Þ y '(-1) = Do ó ph ng trình ti p n c a (C) t i m A(-1; 7) là: y - = hay y = b) T x = Þ y = y’(2) = Do ó ph ng trình ti p n c a (C) t i y - = 9(x - 2) Û y - = 9x - 18 Û y = 9x - 11 m có hồnh x = là: é êx = ê c) Ta có: y = Û x - 3x + = Û x - 3x = Û êx = - ê êx = êë +) Ph ng trình ti p n t i c a (C) t i m (0; 5) Ta có y’(0) = -3 Do ó ph ng trình ti p n là: y - = -3(x - 0) hay y = -3x +5 +) Ph ng trình ti p n t i c a (C) t i m (- 3; 5) y '(- 3) = 3(- 3)2 - = Do ó ph +) T ng trình ti p n là: y - = 6(x + 3) hay y = 6x + + ng t ph ng trình ti p n c a (C) t i (- 3; 5) là: y = 6x - + Ví d 2: Cho th (C) c a hàm s y = x - 2x + 2x - a) Vi t ph ng trình ti p n v i (C) t i giao m c a (C) v i tr c hồnh GD& Ninh ng ơn thi THPT qu gia 2014-2015 b) Vi t ph ng trình ti p n v i (C) t i giao m c a (C) v i tr c tung c) Vi t ph ng trình ti p n v i (C) t i m x0 th a mãn y”(x0) = Gi i: Ta có y ' = 3x - 4x + G i M (x ; y ) ti p m ti p n có ph y - y = y '(x )(x - x ) Û y = y '(x )(x - x ) + y a) Khi M = (C ) Ox y0 = x0 nghi m ph x - 2x + 2x - = Û x = ; y’(2) = 6, thay giá tr trình ti p n: y = 6(x - 2) ng trình: (1) ng trình: ã bi t vào (1) ta c ph ng b) Khi M = (C ) Oy x0 = Þ y0 = y(0) = -4 y '(x ) = y '(0) = , thay giá tr ã bi t vào (1) ta c ph ng trình ti p n: y = 2x - c) Khi x0 nghi m ph ng trình y”= Ta có: y” = 6x – ỉ2 ỉ2ư 2 88 ỗ ữ ỗ ữ ữ ữ y = Û 6x - = Û x = = x ị y = y ỗ ữ = ; y '(x ) = y ' ỗ ữ = ỗ3ữ ỗ3ữ 27 ố ứ ố ứ Thay giá tr ã bi t vào (1) ta c ph ng trình ti p n: y = 100 x3 27 Ví d 3: Cho hàm s y = x - 3x + (C) a) Vi t ph ng trình ti p n d v i (C) tai m có hồnh x=2 b)Ti p n d c t l i th (C) t i m N, tìm t a c a m N Gi i a) Ti p n d t i mMc a th (C) có hồnh x = Þ y0 = Ta có y '(x ) = 3x - Þ y '(x ) = y '(2) = Ph ng trình ti p n d t i mMc a th (C) y = y '(x )(x - x ) + y0 Þ y = 9(x - 2) + Þ y = 9x - 15 y ph ng trình ti p n d t i mMc a b) Gi s ti p n d c t (C) t i N Xét ph ng trình th (C) y = 9x - 15 éx = x - 3x + = 9x - 15 Û x - 12x + 16 = Û (x - 2) x + 2x - = Û êê êëx = -4 y N (-4; -51) m c n tìm ( Ví d 4: Cho hàm s y = x - 3x + (C ) (C) t i m A c t (C) t i m B khác ) m A(x 0, y0 ) Ỵ (C), ti p n c a m A tìm hoành m B theo x th GD& Ninh ng ôn thi THPT qu gia 2014-2015 i gi i: Vì Ti p n c a m A(x 0, y0 ) ẻ (C) ị y = x - 3x + , y ' = 3x - Þ y ' (x ) = 3x - th hàm có d ng: y = y ' (x )(x - x ) + y Û y = (3x - 3)(x - x ) + x - 3x + Û y = (3x - 3)(x - x ) - 2x + (d ) Ph ng trình hồnh giao m c a (d) (C): 3 x - 3x + = (3x - 3)(x - x ) - 2x + Û x - 3x x + 2x = Û (x - x )2 (x + 2x ) = é(x - x )2 = éx = x 0 ê (x ¹ 0) Ûê Û êê êëx + 2x = êëx = -2x y m B có hồnh x B = -2x Ví d 5: Cho hàm s y = (C) t i iêm có hồnh x - 2x + 3x (C) Vi t ph ng trình ti p n d c a th x th a mãn y '' (x ) = ch ng minh d ti p n c a (C) có s góc nh nh t Gi i Ta có y ' = x - 4x + Þ y '' = 2x - y ''(x ) = Û 2x - = Û x = Þ M (2; ) Khi ó ti p n t i M có h s góc k = y ' (x ) = y ' (2) = -1 y ti p n d c a ổ 2ử m M ỗ2; ữ cú ph ỗ ữ ỗ 3ữ ố ữ ứ th (C) t i ng trình y - y = f ' (x ) (x - x ) = -1 (x - 2) hay y = -x + 3 Ti p n d có h s góc k = -1 suy y - t khác ti p n c a thi (C) t i m b y k (C) có h s góc k = y ' (x ) = x - 4x + = (x - 2) - ³ -1 = k Dâu “=” x y Û x = nên t a y ti p n d c a (C) t i ỉ 2ư ti p iờm trựng v i M ỗ2; ữ ỗ ữ ỗ 3ữ ố ữ ứ ổ 2ử m M ç2; ÷ có h s góc nh nh t ç ữ ỗ 3ữ ố ữ ứ GD& Ninh Vớ d 6: Vi t ph ng ôn thi THPT qu ng trình ti p n v i th (C): y = ng th ng (d): y = 3x - i + Ph ng trình hồnh giao gia x +2 t i giao x -1 2014-2015 m c a (C) m c a (d) (C): x +2 = 3x - Û x + = (3x - 2)(x - 1) (x = không ph i nghi m ph x -1 ng trình) Û 3x - 6x = Û x = (y = -2) Ú x = (y = 4) y có hai giao + Ta có: y ' = + T i ti p + T i ti p m là: M1(0; -2) M2(2; 4) -3 (x - 1)2 m M1(0; -2) y’(0) = -3 nên ti p n có ph ng trình: y = -3x - m M2(2; 4) y’(2) = -3 nên ti p n có ph ng trình: y = -3x + 10 Tóm l i có hai ti p n th a mãn yêu c u toán là: y = -3x - y = -3x + 10 m x - x + (Cm) i M m thu c th (Cm) có hồnh 3 ti p n v i (Cm) t i M song song v i ng th ng d: 5x-y=0 Ví d 7: Cho hàm s y = b ng -1 Tìm m Gi i Ta có y ' = x - mx ng th ng d: 5x-y=0 có h s góc b ng 5, nên th ng d tr ti p n t i M song song v i ng c h t ta c n có y ' (-1) = Û m + = Û m = Khi m = ta có hàm s y = x - 2x + ta có x = -1 y = -2 3 ng trình ti p n có d ng y = y ' (x )(x - x ) + y Þ y = 5(x + 1) - Û y = 5x + Ph Rõ ràng ti p n song song v i y m = giá tr c n tìm ng th ng d Ví d 8: Cho hàm s y = x - 3x + m (1) Tìm m ti p n c a th (1) t i m có hồnh t t i b ng c t tr c Ox, Oy l n m A B cho di n tích tam giác OAB b ng Gi i i x = Þ y = m - Þ M(1 ; m – 2) - Ti p n t i M d: y = (3x - 6x )(x - x ) + m - Þ d: y = -3x + m + GD& Ninh ng ôn thi THPT qu - d c t tr c Ox t i A: = -3x A + m + Û x A = - d c t tr c Oy t i B: yB = m + Þ - SOAB = m +2 Þ B(0 ; m + 2) gia 2014-2015 ổm + ữ Aỗ ; 0ữ ç ÷ ç ÷ è ø 3 m +2 Û | OA || OB |= Û| OA || OB |= Û m + = Û (m + 2)2 = 2 ém + = Û êê Û m + = -3 êë y m = m = - thi hàm s y = f (x ) (C) bi t tr 1.2 D ng 2: Vi t ti p n c a + G i M (x 0, y0 ) ti p + n ây tr v y = k (x - x ) + y ém = ê ê êëm = -5 m, gi i ph c h s góc c a ng trình f ' (x ) = k Þ x = x , y = f (x ) ng 1,ta dê dàng l p c ti p n c a th : Các d ng bi u di n h s góc k: *) Cho tr c ti p: k = 5; k = ±1; k = ± 3; k = ± *) Ti p n t o v i chi u d Khi ó h s góc k = tan a *) Ti p n song song v i *) Ti p n vng góc v i *) Ti p n t o v i ì ï ï 2p p ü ng c a tr c Ox m t góc a , v i a Ỵ ï150 ; 300 ; 450 ; ; ï í ý ï 3 ï ï ù ợ ỵ ng th ng (d): y = ax + b Khi ó h s góc k = a ng th ng (d): y = ax + b Þ ka = -1 Û k = ng th ng (d): y = ax + b m t góc a Khi ó: Ví d 9: Cho hàm s y = x - 3x (C) Vi t ph góc c a ti p n k = -3 Gi i: k -a = tan a + ka ng trình ti p n c a Ta có: y ' = 3x - 6x -1 a th (C) bi t h i M (x ; y0 ) ti p iêm Þ Ti p n t i M có h s góc k = f ' (x ) = 3x - 6x Theo gi thi t, h s góc c a ti p n k = - nên: 2 3x - 6x = -3 Û x - 2x + = Û x = Vì x = Þ y = -2 Þ M (1; -2) GD& Ninh ng ôn thi THPT qu gia 2014-2015 ng trinh ti p n c n tìm y = -3(x - 1) - Û y = -3x + Ph Ví d 10: Vi t ph ng trình ti p n c a th hàm s y = x - 3x + (C) Bi t ti p n ó song song v i ng th ng y = 9x + Gi i: Ta có: y ' = 3x - 6x m Þ Ti p n t i M có h s góc k = f ' (x ) = 3x - 6x i M (x ; y0 ) ti p ng th ng y = 9x + +6 Þ ti p n có h éx = -1 Þ M (-1; -3) 2 góc k = Þ 3x - 6x = Û x - 2x - = Û êê êëx = Þ M (3;1) Ph ng trinh ti p n c a (C) t i M(-1;-3) là: y = 9(x + 1) - Û y = 9x + (lo i) Theo gi thi t, ti p n ó song song v i Ph ng trinh ti p n c a (C) t i M(3;1) là: y = 9(x - 3) + Û y = 9x - 26 Ví d 11: Cho hàm s y = x - 3x + (C) Vi t ph n ó vng góc v i ng th ng y = ng trình ti p n c a (C) bi t ti p -1 x Gi i: Ta có y ' = 3x - Do ti p n c a (C) bi t ti p n ó vng góc v i th ng y = -1 x nên h s góc c a ti p n k = 9 Do ó y ' = k Û 3x - = Û x = Û x = ±2 +) V i x = Þ y = Pttt t i m có hồnh x = là: y = 9(x - 2) + Û y = 9x - 14 +) V i x = -2 Þ y = Pttt t i m có hoành x = - là: y = 9(x + 2) + Û y = 9x + 18 V y có hai ti p n c (C) vng góc v i y =9x - 14 y = 9x + 18 Ví d 12: L p ph ng trình ti p n v i bi t ti p n vng góc v i ng th ng y = -1 x là: th (C) c a hàm s : y = ng th ng (d): x + 5y - 2010 = Gi i: (d) có ph 1 ng trình: y = - x + 402 nên (d) có h s góc - 5 x + 2x , ng GD& Ninh ng ôn thi THPT qu gia 2014-2015 i D ti p n c n tìm có h s góc k - k = -1 Û k = (do D ^ (d )) Ta có: y ' = x + 4x nên hoành ti p m nghi m ph ng trình: x + 4x = Û x + 4x - = Û (x - 1)(x + x + 5) = Û x - = Û x = Þ y = y ti p m M có t a Ti p n có ph ỉ 9ư M ỗ1; ữ ỗ ữ ỗ 4ữ ố ữ ứ ng trình: y - y ti p n c n tìm có ph 9 11 = 5(x - 1) Û y = 5x 4 ng trình: y = 5x - 11 x +2 (C) Vi t ph ng trình ti p n v i (C) bi t r ng ti p 2x + n c t tr c hoành t i A, tr c tung t i B cho tam giác OAB vuông cân t i O, ây O góc t a Gi i Ví d 13: Cho hàm s y = Ta có: y ' = -1 (2x + 3)2 Vì ti p n t o v i hai tr c t a là: k = ±1 Khi ó g i M (x ; y ) ti p -1 Û = ±1 Û (2x + 3)2 m t tam giác vuông cân nên h s góc c a ti p n m c a ti p n v i th (C) ta có y ' (x ) = ±1 é êx = - êx = - êë i x = -1 y0 = lúc ó ti p n có d ng y = -x (tr ng h p lo i ti p n i qua góc t a , nên không t o thành tam giác OAB) i x = -2 y = -4 lúc ó ti p n có d ng y = -x - y ti p n c n tìm y = -x - 2x - có th (C) x -1 L p ph ng trình ti p n c a th (C) cho ti p n c t tr c Ox, Oy l n t t i m A B th a mãn OA = 4OB Gi i Gi s ti p n d c a (C) t i M (x ; y0 ) Ỵ (C ) c t Ox t i A, Oy t i B cho Ví d 14: Cho hàm s OA = 4OB y= GD& Ninh ng ôn thi THPT qu Do OAB vuông t i O nên tan A = s góc c a d y ¢(x ) = - OB = OA gia H s góc c a d b ng 1 0, "x ỗ ỗ ữ ữ ç2 ç2 ÷ ÷ 4 è ø è ø 250 GD& Ninh ng ôn thi THPT qu gia 2014-2015 ổ -1 ỗ ; ữ ữ y h cú nghi m x ; y = 1;1 , ỗ ữ ( ) ( )ỗ ố ữ 64 ø 1,0 Áp d ng B T AM - GM ta có : ab + bc + ac + = a + b + c ³ a + 2bc Û 2ab + 2ac + ³ a + bc + ab + ac Khi ó, + (ab + ac ) ³ a (+ b ( a + c) Û a (b + c ) + a + b + ³ ) Û t khác, a +c +2 £ a (b + c ) + a + b + a + b + (a + c a)( b - 2c ) £ (a + c + a + b - 2c ) =( a + b ) Þ (a + b )(a + c + 2) a +b + a +b + ³ + (a + c a)( 2b - c ) (a + b ư2 a +b +1 1 ỉ1 ç - ÷ £1 ÷ Do ó, P £ = = -ỗ ỗ ữ a +b a + b (a + b )2 è2 a + b ÷ ø (a + b ) y GTLN c a P b ng 251 0,5 0,5 GD& Ninh ng ôn thi THPT qu UBND T NH B C NINH GIÁO D C VÀ ÀO T O 2014-2015 THI TH THPT QU C GIA S N M H C 2014-2015 Mơn thi: Tốn Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát ) m) Cho ham sô y = Câu (2,0 gia 2x - 2x + thi xu t c a tr ng THPT Qu Võ s (C ) a) Khao sat s biên thiên va ve ô thi (C ) cua ham sô b) Tim m ê ng th ng d : y = 2mx + m + t (C) tai hai iêm phân biêt A va B cho biêu th c P = OA2 + OB2 at gia tri nho nhât ( v i O la gôc toa ô) Câu (1,0 m) ( ) ng trình: cos 2x cos x + sin x - = a) Gi i ph b) Gi i ph ng trình: 9x - 5.3x + = Câu (1,0 m) ng trình sau t p s ph c: z + z + = a) Gi i ph ( b) Cho khai tri n + x ) tìm h s c a s h ng ch a x khai tri n ó m) Tính tích phân I = Câu (1,0 Câu (1,0 e ị ỉ ỗx + + ln x ữ ữ dx ỗ ữ ỗ ữ + x ln x ø è ) ( ( ) m M -1; 3; -2 , n 1;2; m) Cho ì ï ïx = 2t ï ng th ng d : ïy = t tỴ í ï ïz = + t ï ï ỵ Vi t ph ng trình m t ph ng (P) ch a m M nh n vecto n làm vect pháp n Tìm t a giao m c a (P) ng th ng (d) Câu (1,0 m) Cho hình chóp t giác u S ABCD có O tâm c a áy kho ng cách t O ( n m t ph ng SBC ) ng góc gi a m t bên m t áy b ng a Tính th tích kh i chóp S ABCD theo a Xác nh a Câu (1,0 th tích kh i chóp t giá tr nh nh t m) Trong m t ph ng Oxy, cho hình thoi ABCD có ng chéo AC n m ng th ng d : x + y - = F (-2; -5) n m thoi ABCD bi t Câu (1,0 Câu (1,0 (a + b + c ) ( ) m E 9; n m ng th ng ch a c nh AB, ng th ng ch a c nh AD, AC = 2 Xác m C có hồnh nh t a âm ì ï(4y - 1) x + - 2y = 2x + ï m) Gi i h ph ng trình ï í (x, y Ỵ ) ïx + x 2y + y = ï ï ỵ m) Cho a, b, c s th c không ng th i b ng th a mãn u ki n ( ) = a + b + c Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a bi u th c P= a + b + c3 (a + b + c )(ab + bc + ca ) H T -252 m nh hình GD& Ninh ng ơn thi THPT qu UBND T NH B C NINH GIÁO D C VÀ ÀO T O gia 2014-2015 NG D N CH M THI TH THPT QU C GIA S N M H C 2014-2015 Mơn thi: Tốn Câu 1.a áp án *TX : *SBT: y ' \ 2x m 1,0 0, x 0,25 Þ I ẻ d ị c = ị A(1; 3); B(-3;1) Ham sô nghich biên cac khoang va ; ; 0,25 Tinh gi i han va tiêm cân Lâp bang biên thiên 0,25 ô thi: Giao Ox: (- 1; 0); Giao Oy: (0; 2) Ve ung ô thi 0,25 0,5 1.b PT hoanh ô giao iêm: 4mx 2x 2x 1 2mx m 1; x 4mx m , (1); t g x * (d) c t (C ) tai hai iêm phân biêt 4mx 0,25 4mx m PT (1) co hai nghiêm phân biêt khac -1/2 m ' 4m g 0,25 m 0 *Goi hoanh ô cac giao iêm A va B la x1, x2 thi x1, x2 la cac nghiêm cua PT (1) x1 x2 x1.x2 m 4m Co: OA2+OB2 = x1 2mx1 m = 4m 2m x12 = 4m = 2 1 2m Dâu b ng xay 2 m x2 m 2m x22 2mx2 m 4m m x1 4m m x2 m m 2 (Ap dung B T cô si vi m d ng) 1 ( thoa man);KL: m la gia tri cân tim 2 2.a 0,25 0,25 0,5 253 GD& Ninh ng ôn thi THPT qu gia 2014-2015 cos 2x (cos x + sin x - 1) = écos 2x = ê Û êê ỉ pư ÷ sin çx + ÷ = ç ÷ ê ç 4÷ ø êë è 0,25 p kp + (k Ỵ ) éx = k 2p pư ÷ = ờờ + ữ (k ẻ ) ữ ữ ờx = p + k 2p 4ø 2 ëê +) V i cos 2x = Û x = æ +) V i sin ỗx ỗ ỗ ố 2.b ( ) 9x - 5.3x + = Û 3x (t > 0) t t =3 x 3a Ph ét = éx = Û êê Þ êê êët = êëx = log 0,25 0,5 - 5.3x + = 0,25 ng trình tr thành t + 5t + = 0,25 0,5 Ta có, D = -11 < Suy ph 0,25 ng trình có hai nghi m là: z = 3b ( Ta có khai tri n sau: + x ) -1 + 11i -1 - 11i ; z2 = 2 0,25 0,5 k =8 k = å C 28-k x k 0,25 k =0 ó suy h s c a x C 22 = 112 0,25 1,0 I = e e e + ln x ò x dx +ò + x ln x dx ; 1 ln x dx x ln x y I e e x dx x e d x ln x x ln x ln x ln x e 0,5 e ln e ln ln e 2 0,5 e4 e ln 1,0 Ph ng trình m t ph ng (P) ch a m M nh n vecto n làm vecto pháp n là: (x + 1) + (y - 3) + (z + 2) = Û x + 2y + 3z + = y ph 0,5 ng trình (P) là: x + 2y + 3z + = Thay x, y, z t ph ng trình ng th ng (d) vào m t ph ng (P) ta c: 2t + 2t + 3(2 + t) + = Û t = -1 Þ x = -2, y = -1, z = 254 0,5 GD& Ninh yt a giao gia ( ) m BC ( ) 1,0 S Trong mp SOM k OH ^ SM S ABCD hình chóp ( ) 2014-2015 ng th ng m t ph ng I -2; -1;1 mc a i M trung ng ôn thi THPT qu (1) u nên SM ^ BC ,OM ^ BC Suy BC ^ SOM Þ OH ^ BC (2) ( H ) (1) (2) suy OH ^ SBC Þ OH = D (1) (2) ta c ng có A Suy VS ABCD = B OH = sin a sin a Xét DSOM vuông t i O ta có SO = OM tan a = Ta có AB = 2OM = 0,25 M O ((SBC ), (ABCD )) = SMO = a Xét DOHM vng t i H ta có OM = C 1 tan a = sin a cosa Þ SABCD = AB = sin a sin2 a 0,25 1 4 SABCD SO = = ( vtt) 3 sin a cosa sin acosa t P = sin2 a c osa Ta có P = sin a c osa = c osa - c os 3a ( ) t cos a = t, t Ỵ 0;1 Suy P = t - t Ta có P ¢ = - 3t , 3 P ¢ = Û t1 = Ú t2 = 3 p b ng bi n thiên 3 t P¢ + P 0,5 VS ABCD nh nh t P l Û t= 3 Û cos a = Û a = arccos 3 y VS ABCD nh nh t b ng ( vtt) a = arccos 1,0 255 GD& Ninh +) G i E’ m Þ E’ thu c AD ng ơn thi THPT qu gia 2014-2015 i x ng v i E qua AC B ( ) m E 9; Vì EE’ vng góc v i AC qua Þ ph ng trình EE’: x - y - = i I = AC Ç EE’, t a E I A J C E' I ìx - y - = ìx = ï ï nghi m h ï Ûï Þ I 3; - í í ïx + y - = ïy = -2 ï ï ỵ ỵ ( ) F D m c a EE’ Þ E '(-3; -8) Vì I trung AD qua E '(-3; -8) F (-2; -5) Þ ph ng trình AD: 3x - y + = 0,25 A = AC ầ AD ị A(0;1) Gi s C (c;1 - c) 0,25 Vì AC = 2 Û c = Û c = 2; c = -2 Þ C (-2; 3) m AC Þ J (-1;2) Þ ph i J trung ng trình BD: x - y + = Do D = AD ầ BD ị D(1; 4) Þ B(-3; 0) V y A(0;1) , B(-3; 0), C (-2; 3), D(1; 4) 0,25 1,0 ì ï(4y - 1) x + - 2y = 2x + (1) ï ï (I ) í ïx + x 2y + y = (2) ï ï ỵ t 0,25 x + = t ³ Þ ph ng trình (1) có d ng: 2t - (4y - 1)t + 2y - = ét = 2y - ê D = (4y - 1) - (2y - 1) = (4y - 3) Þ ê êt = (l ) êë 2 ìy ³ ï ï +) V i t = 2y - ³ Û x + = 2y - Û í thay vào (2) ta ïx = 4y - 4y ï ï ỵ 0,25 c 0,25 16y (y - 1) + 4y (y - 1) + y - = Û y = (do y ³ ) Þ x = V y, h (I) có nghi m (0;1) 0,25 1,0 ab + bc + ca = Do ó P= ( 1é 2 ê(a + b + c ) - a + b + c êë ( a +b +c 3 (a + b + c ) 3 ) ® )úùúû ¾¾¾ ab + bc + ca = (a + b + c ) gt 3 é ổ ổ ửự ờổ 4a ỗ 4b ữ ỗ 4c ữ ỳ ữ +ỗ ỗ ữ ữ +ỗ ữỳ = ờỗ ữ ữ ố ữ ố ữ 16 ờỗa + b + c ứ ỗa + b + c ữ ỗa + b + c ữ ỳ è ø ø ë û 256 0,25 GD& Ninh ng ôn thi THPT qu gia 2014-2015 t x= 4a 4b 4c ,y = ,z = a +b +c a +b +c a +b +c Thì ìy + z = - x ì ï ï ïx + y + z = Ûï í í ïxy + yz + zx = ïyz = x - 4x + ï ï ỵ ï ỵ ( Vì y + z ) ³ 4yz nên £ x £ 0,25 Ta có P= 3 æ ö x + y + z = ỗx + (y + z ) - 3yz (y + z )÷ = (3x - 12x + 12x + 6) ữ ỗ ứ 16 16 16 è ( ) 0,25 é ù ê 3ú ë û Xét hàm s f (x ) = 3x - 12x + 12x + v i x Î ê0; ú f (x ) = 16, max f (x ) = 176 0,25 257 GD& Ninh ng ôn thi THPT qu UBND T NH B C NINH GIÁO D C VÀ ÀO T O 2014-2015 THI TH THPT QU C GIA S N M H C 2014-2015 Mơn thi: Tốn Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian phát ) thi Câu (2,0 gia xu t c a tr ng THPT Ngô Gia T m) Cho hàm s y = x - 2mx + (1) a) Kh o sát s bi n thiên v th (C) c a hàm s (1) ng v i m = b) Tìm giá tr c a m A th hàm s (1) có ba m c c tr A, B, C cho BC = m c c tr thu c tr c tung Câu (1,0 m) Gi i ph Câu (1,0 ng trình log2 + log2 x - = m) a) Gi i ph (sin 2x + sin x ) ng trình cos 2x - cos x = b) G i A t p h p t t c s t nhiên g m ba ch s Ch n ng u nhiên m t s t t p h p A Tính xác su t Câu (1,0 m) Tính tích phân I = Câu (1,0 D: ị m t khác ch n c s chia h t cho t a Oxyz, cho dt -t2 m) Trong không gian v i h ng th ng x -1 y -2 z = = m t ph ng (P ) : 2x - y - 2z + = Vi t ph ng trình -1 ( Câu (1,0 ) m) Cho hình chóp tam giác t áy b ng 60° G i M, N l n l kho ng cách t C Câu (1,0 ng ng th ng D song song v i m t ph ng (P) m A 3; -1;2 , c t th ng d i qua u khác u S.ABC có c nh áy b ng a, góc gi a c nh bên t trung m AB, BC Tính th tích kh i chóp S.ABC n m t ph ng (SMN) m) Trong m t ph ng v i h t a AB = AD , tâm I (1; -2) G i M trung ng th ng AC BM Tìm t a ng trình Oxy, cho hình ch ( ) nh t ABCD có m c nh CD, H 2; -1 giao m c a hai m A, B x + - x ³ - 3x - 4x Câu (1,0 m) Gi i b t ph Câu (1,0 m) Gi s a, b, c s th c d ng th a mãn a + b + c = Tìm giá tr nh a2 b2 nh t c a bi u th c P = + - (a + b)2 2 (b + c) + 5bc (c + a ) + 5ca H t -258 GD& Ninh ng ôn thi THPT qu UBND T NH B C NINH GIÁO D C VÀ ÀO T O Câu 1.a gia 2014-2015 NG D N CH M THI TH THPT QU C GIA S N M H C 2014-2015 Môn thi: Toán áp án m 1,0 i m = hàm s tr thành : y = x - 2x + TX :R; lim y = +¥ x đƠ 0,25 ộx = Cú y ' = 4x - 4x ; y ' = Û êê êëx = ±1 BBT (l p úng Hàm s Hàm s y 1.b y ( ) 0,25 ) ( ) ngh ch bi n (-¥; -1) (0;1) ng bi n -1; 1; +¥ 0,25 =1 t i x = 0; yCT = t i x = ±1 th : (V úng xác) éx = Ta có y ' = 4x - 4mx = 4x x - m ; y ' = Û êê êëx = m ( ) hàm s có ba c c tr y’=0 có ba nghi m phân bi t y’ Û (*) có hai nghi m phân bi t khác Û m > (**) 0,25 0,5 (*) i d u qua ba nghi m ó é êx = Þ A (0;1) Khi ó y ' = Û ê êx = ± m Þ B m ;1 - m ,C - m ;1 - m êë ( ) ( Do ó BC = Û m = Û m = (t/m (**)) 0,25 ) 0,25 0,25 0,25 1,0 élog x = log + log2 x - = Û êê êëlog2 x = -2 éx = ê Ûê êx = êë 2 0,5 0,5 3a 0,5 Û cos 2x - sin 2x = sin x + cos x 0,25 3 cos 2x sin 2x = sin x + cos x 2 2 é é ê2x + p = x - p + k 2p êx = - 2p + k 2p ỉ ỉ p÷ pữ ờ ỗ ỗ 3 ữ ữ cos ỗ2x + ữ = cos ỗx - ữ ờ ,k ẻ Z ỗ ỗ 0,25 ữ ÷ p p 2p 3ø 3ø è è ê2x + = -x + + k 2p êx = k ê ê 3 ë ë Û 3b 0,5 259 GD& Ninh Các s g m ba ch s ng ôn thi THPT qu ôi m t khác Þ n (A) = 504 gia 2014-2015 c A93 = 504 u khác l p 0,25 ( ) Ch n ng u nhiên m t s t A có 84 cách nên n W = 84 i B: “S ch n c chia h t cho 3” l p c chia h t cho c l p t b s sau: {1;2; 3}, {1; 2; 6}, {1;2;9}, {1; 3; 5}, {1; 3; 8}, {1; 4; 7}, {1; 5; 6}, {1; 5; 9}, {1; 6; 8}, {1; 8; 9} {2; 3; 4}, {2; 3; 7}, {2; 4; 6}, {2; 4; 9}, {2;5; 8}, {2; 6; 7}, {2; 7; 9}, {3; 4; 5}, {3; 4; 8} {3; 5; 7}, {3; 6; 9}, {3; 7; 8}, {4; 5; 6}, {4; 5; 9}, {4; 6; 8}, {5; 6; 7}, {5; 7; 9}, {6; 7; 8}, {7; 8; 9} 0,25 ib s l p c 3!=6 s nên có t t c 29.6=174 s Ch n m t s s ó có 174 cách Þ n B = 174 ( ) y xác su t P B = I = ò dt = ò 4 - t2 +t = ln -t = n (B ) n (W) ( ) = 174 29 = 504 84 1,0 ỉ 1 ữ dt ỗ ữ + ỗ ữ ữ ỗ2 - t + t ø è 0,5 ln 0,5 ( i B = d Ç D Þ B Ỵ D nên gi s B + 2t ;2 - t; 3t ( ) Khi ó AB = -2 - 2t; - t; 3t - vtcp c a d ( ) 1,0 ) 0,5 t ph ng (P) có vtpt n = 2; -1; -2 ( )( ) ( ) Vì d//(P) nên AB.n = Û -2 - 2t - - t - 3t - = Û t = - ổ 10 ữ ị AB = ç- ; ; -3÷ hay u = (4; -10; 9) l vtcp c a d ỗ ữ ỗ 3 ÷ è ø 0,5 ìx = + 4t ï ï ï ï y ph ng trình d: íy = -1 - 10t , t Ỵ ï ïz = + 9t ï ï ỵ 1,0 *)Vì S.ABC hình chóp Þ VS ABC u nên ABC tam giác = SG SABC 260 ( u tâm G SG ^ ABC ) 0,25 GD& Ninh Tam giác ABC AN = ng ôn thi THPT qu gia 2014-2015 u c nh a nên a a2 Þ S ABC = Có AG hình chi u c a AS (ABC) nên góc gi a nh bên SA v i áy (SA,AG) = SAG = 60° (vì SG ^ AG Þ SAG nh n) a AN = 3 Trong tam giác SAG có SG = AG tan 60° = a a2 a3 y VS ABC = a = 12 Vì G tr ng tâm tam giác ABC nên AG = 0,25 Do G tr ng tâm tam giác ABC nên C, G, M th ng hàng CM = 3GM mà M Ỵ (SMN) nên d C , SMN = 3d G , SMN ( ( )) ( ( )) Ta có tam giác ABC u nên t i K SG ^ (ABC ) Þ SG ^ MN 0,25 Þ MN ^ (SGK ) ( ) Trong (GKH), k GH ^ SK Þ GH ^ MN Þ GH ^ SMN , H ẻ SK ị d G , SMN = GH ( ( )) Ta có BK = 2 1 a AN ; BG = AG = AN Þ GK = AN - AN = AN = 3 12 Trong tam giác vng SGK có GH ng cao nên 1 1 48 49 a = + = + = Þ GH = GH SG GK a a a 3a y d C , SMN = 3GH = ( ( )) 7 0,5 1,0 Theo gi thi t ta có H tr ng tâm tam giác BCD nên IC = 3IH ( ) Mà IH = 1;1 , gi s ìx - = 3.1 ìx = ï ï ï Ûï Þ C (4;1) C (x ; y ) Þ í í ï ï ïy + = 3.1 ïy = ỵ ỵ 261 GD& Ninh Do I trung i có AB = ng ơn thi THPT qu gia 2014-2015 m AC nên A(-2;-5) 2AD nên CM BC = = Þ MBC = BAC BC AB 0,25 Mà BAC + BCA = 90° Þ MBC + BCA = 90° Þ AC ^ BM ( ) ng th ng BM i qua H(2;-1), có vtpt IH = 1;1 Þ pt BM: x + y – = Þ B (t;1 - t ) ( ) ( 0,25 Có AB = t + 2; - t ; CB = t - 4; -t ( )( ) ) ( ) Vì AB ^ BC Þ AB.CB = Û t + t - - t - t = ( ) ( Û t = ± Þ B + 2; -1 - ho c B - 2; -1 + ) 0,25 i u ki n: ì ï ì ï ïx ³ ï0 £ x £ ï -3 + 41 ï ï1 - x ³ Û í-3 - 41 í -3 + 41 Û £ x £ ï ï £x £ ï2 - 3x - 4x ³ ï ï ï 8 ï ỵ ï ỵ t ph ng trình ã cho t ng 1,0 (*) 0,25 ng v i x + - x + x (1 - x ) ³ - 3x - 4x Û 3(x + x ) - (1 - x ) + (x + x )(1 - x ) ³ x2 + x x2 + x +2 -1 ³ Û 1-x 1- x é êx ³ -5 + 34 ê Ûê ê êx £ -5 - 34 ëê Û3 t h p u ki n (*), ta suy x2 + x ³ Û 9x + 10x - ³ 1-x 0,5 nghi m c a b t ph ng trình -5 + 34 -3 + 41 £x £ Áp d ng b t 1,0 ng th c Cơsi, ta có a2 ³ (b + c)2 + 5bc a2 4a = 9(b + c)2 2 (b + c ) + (b + c) 2 b 4b ³ (c + a ) + 5ca 9(c + a )2 ng t , ta 0,25 Suy a2 b2 ổ a2 b2 ữ ỗ ữ + ỗ ữ 2 ỗ(b + c)2 + (c + a )2 ứ ữ ỗ 9ố (b + c) + 5bc (c + a ) + 5ca 262 cú ổ 2ỗ a b ữ ữ + ỗ ữ ỗb + c c + a ứ ÷ 9è GD& Ninh ng ôn thi THPT qu ö æ a + b + c(a + b) ữ ỗ ữ = ỗ ữ ỗ çab + c(a + b) + c ÷ è ø gia 2014-2015 ỉ (a + b)2 ư2 ÷ ç ÷ + c(a + b) ÷ ç ç 2ç ÷ = ỉ 2(a + b) + 4c(a + b ) ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ç (a + b )2 è(a + b)2 + 4c(a + b ) + 4c ứ ỗ 2ữ ữ ỗ + c(a + b ) + c ữ ç è ø Vì a + b + c = Û a + b = - c nờn 2 ổ ổ ỗ 2(1 - c)2 + 4c(1 - c ) ÷ - (1 - c )2 = ỗ1 - - (1 - c )2 ÷ ÷ ÷ P³ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç (1 - c)2 + 4c(1 - c) + 4c ø ỗ c + 1ữ ố ứ ố (1) ử2 8ổ ỗ1 - ữ - (1 - c)2 v i c ẻ (0; 1) ữ Xột hm s f (c) = ỗ ữ ỗ ữ 9ố c + 1ứ 16 ổ ỗ1 - ÷ ÷ - (c - 1); Ta có f '(c) = ỗ ữ ữ ỗ c + 1ø (c + 1) è ( ) f '(c) = Û (c - 1) 64 - (3c + 3)3 = Û c = ng bi n thiên: c – a vào b ng bi n thiên ta có f (c) ³ - (1) (2) suy P ³ - , d u y giá tr nh nh t c a P - , + 0,5 v i m i c Ỵ (0; 1) ng th c x y a = b = c = t a = b = c = 263 (2) ... 9x2 + 12x – (C) *) Kh o sát s bi n thi? ?n: (B n c t gi i) Ta có: y’ = 6x2 – 18x + 12 y’’ = 12x - 18 40 GD& Ninh ng ôn thi THPT qu x y’ (1; 1) ; CT(2; 0) *) B ng bi n thi? ?n + y - 1 gia - 2014 -2015. .. sát s bi n thi? ?n v th (C ) hàm s v i m = b) Tìm giá tr c a m th hàm s có m c c i, c c ti u t o thành tam giác vuông cân 27 GD& Ninh ng ôn thi THPT qu gia 2014 -2015 Ch 3: Bài toán t ng giao 3.1...GD& Ninh CHUYÊN ng ôn thi THPT qu gia 2014 -2015 KH O SÁT HÀM S VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Biên so n s u t m: Ngô V n Khánh – GV tr ng THPT Nguy n V n C Ch 1: Bài toán v ti p n 1.1 D ng 1: