ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN nguyenchicong171184@gmail.com Ngày 10 tháng 5 năm 2014 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phương mặt phẳng Phương trình mặt phẳng (α) trong không gian có dạng tổng quát Ax + By + Cz + D = 0 véc–tơ −→ n = (A, B, C) là véc–tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (α) cắt ba trục Ox , Oy, Oz lần lượt tại A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c), abc = 0 thì mặt phẳng (α) có dạng đoạn chắn x a + y b + z c = 1 2. Phương trình đường thẳng Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x 0 , y 0 , z 0 ) và có véc–tơ chỉ phương −→ u = ( a, b, c) có dạng tham số      x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct (t ∈ R) Nếu abc = 0 thì ∆ còn được viết dưới dạng chính tắc x −x 0 a = y − y 0 b = z − z 0 c II. BÀI TẬP MINH HỌA 1. Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho điểm M(1, 2, 3). Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và cắt Ox + , Oy + , Oz + lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có t hể tích bằng 27. Hướng dẫn Giả sử mặt phẳng ( α) cắt chiều dương trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) với a, b, c > 0 . Khi đó mặt phẳng (α) có dạng x a + y b + z c = 1. Vì M ∈ (α ) nên 1 a + 2 b + 3 c = 1. Áp dụng bất đẳng thức AM − GM cho ba số dương 1 a , 2 b , 3 c . Ta có, 1 = 1 a + 2 b + 3 c ≥ 3 3  6 abc (∗) ⇒ V OABC = abc 6 ≥ 27. Dấu “=” xảy ra ở (∗) khi và chỉ khi 1 a = 2 b = 3 c . Từ đó tìm được a = 3, b = 6, c = 9. Vậy, mặt phẳng (α) có dạng 6x + 3y + 2z −18 = 0. 2. Bài toán 2: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1, 2, 3) và hai đường thẳng d 1 có phương trình x−2 2 = y+2 −1 = z−3 1 , d 2 có phương trình x−1 −1 = y−1 2 = z+1 1 . Lập phương trình đường thẳng d đi qua A vuông góc với d 1 và cắt d 2 . Hướng dẫn Giả sử d ∩ d 2 = {B} khi đó vì B ∈ d 2 nên B(1 − t, 1 + 2t, −1 + t). Từ đó −→ AB = (−t, −1 + 2t, −4 + t). Ta có thể coi −→ AB là véc–tơ chỉ phương của d, đường thẳng d 1 có véc–tơ chỉ phương −→ u 1 = (2, −1, 1). Vì d ⊥ d 1 nên −→ AB. −→ u 1 = 0 ⇔ −2t + 1 − 2t − 4 + t = 0 ⇔ t = −1. Đường thẳng d đi qua điểm A(1, 2, 3) và có véc–tơ chỉ phương −→ AB = (1, −3, −5) nên d có phương trình x−1 1 = y−2 −3 = z−3 −5 . 3. Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1, −1, 1) và cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt có phương trình x−1 2 = y 1 = z−3 −1 và x+2 1 = y−3 −2 = z 1 . Hướng dẫn Đường thẳng d 1 đi qua điểm A(1, 0, 3) và có véc–tơ chỉ phương −→ u 1 = (2, 1, −1), đường thẳng d 2 đi qua điểm 1 B(−2, 3, 0) và có véc–tơ chỉ phương −→ u 2 = (1, −2, 1). Ta có, −−→ MA = (0, 1, 2), mặt phẳng (α) đi qua M và chứa đường thẳng d 1 có véc–tơ pháp tuyến là −→ n α = [ −→ u 1 , −−→ MA] = (3, −4, 2) nên nó có phương trình 3x − 4y + 2z − 9 = 0. Tương tự, −→ MB = (−3; 4; −1) và mặt phẳng (β) đi qua M và chứa d 2 có phương trình x + y + z −1 = 0. Đường thẳng d đi qua M và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (α), (β). Dễ dàng tìm được d có phương trình x−1 6 = y+1 1 = z−1 −7 . 4. Bài toán 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương trình 4x − 2y + z − 1 = 0 và đường thẳng ∆ có phương trình      x = 1 y = −2 −t z = −1 + t Lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của ∆ lên mặt phẳng (α). Hướng dẫn Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1, −2, 1) và có véc–tơ chỉ phương −→ u ∆ = (0, −1, 1). Gọi (β) là mặt phẳng chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với mặt phẳng (α). Từ đó, mặt phẳng (β) nhận véc–tơ −→ n β = [ −→ u ∆ , −→ n α ] = (1, 4, 4) là véc–tơ pháp tuyến nên (β) có dạng x + 4y + 4z + 11 = 0. Đường thẳng cần tìm chính là giao tuyến của (α ) và (β). Dễ dàng tìm được phương trình chính tắc của d có dạng x−1 4 = y+2 5 = z+1 6 . III. BÀI TẬP VẬN DỤNG B-1. (KB–2004)Trong không gian Oxyz cho điểm A(−4, −2, 4) và đường thẳng d có phương trình      x = −3 + 2t y = 1 −t z = −1 + 4t Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A cắt và vuông góc với d. B-2. (KA–2005)Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có phương trình x−1 −1 = y+3 2 = z−3 1 và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y −2z + 9 = 0. (a) Tìm tọa độ điểm I ∈ d sao cho khoảng cách từ I đến (P) bằng 2. (b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) biết ∆ đi qua A và vuông góc với d. B-3. (KB–2006) Trong không gian Oxy z cho điểm A(0, 1, 2) và hai đường thẳng d 1 có phương trình x 2 = y−1 1 = z+1 −1 , d 2 có phương trình      x = 1 + t y = −1 −2t z = 2 + t (a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời song song với d 1 , d 2 . (b) Tìm tọa độ các điểm M ∈ d 1 , N ∈ d 2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng. B-4. (KD–2006) Trong không gian Oxyz cho điểm A(1, 2, 3) và đường thẳng d 1 : x−2 2 = y+2 −1 = z−3 1 , d 2 : x−1 −1 = y−1 2 = z+1 1 . (a) Tìm tọa độ điểm A  đối xứng với điểm A qua đường thẳng d 1 . (b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc với d 1 và cắt d 2 . B-5. (KA–2007)Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d 1 : x 2 = y−1 −1 = z+2 1 và đường thẳng d 2      x = −1 + 2t y = 1 + t z = 3 (a) Chứng minh d 1 , d 2 chéo nhau. (b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : 7x + y −4z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 . B-6. (KA–2008) Trong không gian Oxyz cho điểm A(2, 5, 3) và đường thẳng d có phương trình x−1 2 = y 1 = z−2 2 . 2 (a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. (b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) là lớn nhất. B-7. (KD–2009) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ : x+2 1 = y−2 1 = z −1 và mặt phẳng (P) : x + 2y −3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d ∈ (P) sao cho d cắt và vuông góc với ∆. B-8. (KA–2010) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ : x−1 2 = y 1 = z+2 −1 và mặt phẳng (P) : x − 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của ∆ và (P), điểm M ∈ ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC = √ 6. B-9. (KA–2011) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2, 0, 1) , B(0, −2, 3) và mặt phẳng (P) : 2x − y − z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) sao cho MA = MB = 3. B-10. (KD–2011) Trong không gian Oxyz cho điểm A(1, 2, 3) và đường thẳng d : x+1 2 = y 1 = z−3 −2 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc với d và cắt truc Ox . B-11. (KA–2012) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : x+1 1 = y 2 = z−2 1 và điểm I(0, 0, 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I. B-12. (KA–2013) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ : x−6 −3 = y+1 −2 = z+2 1 và điểm A(1, 7, 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với ∆, tìm tọa độ điểm M ∈ ∆ sao cho AM = 2 √ 30. 3 . ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN nguyenchicong171184@gmail.com Ngày 10 tháng 5 năm 2014 I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phương mặt phẳng Phương trình mặt phẳng (α) trong không gian có. của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) biết ∆ đi qua A và vuông góc với d. B-3. (KB–2006) Trong không gian Oxy z cho điểm A(0, 1, 2) và hai đường thẳng. lên mặt phẳng (α). Hướng dẫn Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1, −2, 1) và có véc–tơ chỉ phương −→ u ∆ = (0, −1, 1). Gọi (β) là mặt phẳng chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với mặt phẳng (α). Từ đó, mặt