Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Xuất phát từ mục đích việc dạy học tốn trường Trung học phổ thông Trong dạy học ta coi mục đích chủ yếu tập tốn hình thành phát triển tư toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức vận dụng kiến thức học vào thực tiễn Vì việc xây dựng hình thành cho học sinh phương pháp giải dạng toán cần thiết Trong đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng thường xuất toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình Với tốn thường có nhiều cách giải hay, độc đáo Sử dụng tính đơn điệu hàm số phương pháp có hiệu để giải phương trình, bất phương trình Trong năm học trước đây, chưa sử dụng cách làm chất lượng học tập học sinh phần thấp, kết kiểm tra lớp 12I, 12M 12H năm học 2007 - 2008 sau: Điểm Lớp đến 10 SL % 12I 45 6.7 12M 45 4.4 12H 45 4.4 135 5.2 Tổng Số HS Điểm 6.5 đến SL % 13.4 15.4 13.4 19 14.1 Điểm đến 6.5 SL % 17 37.7 16 35.5 18 40.0 51 37.8 Điểm đến SL % 13 28.8 12 26.6 13 28.8 38 28.1 Điểm SL % 13.4 18.0 13.4 20 14.8 Vấn đề đặt là: Làm để nâng cao chất lượng giảng dạy kết học tập học sinh? Năm học 2010 - 2011, nhà trường, tổ chuyên môn phân cơng giảng mơn tốn ba lớp 12E, 12B, 12N, chuẩn bị chuyên đề xem đề tài cải tiến phương pháp dạy học “ Hướng dẫn học sinh sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình” với mong muốn nâng cao hiệu giảng dạy kết học tập học sinh nội dung kiến thức quan Phần 2: CÁC GIẢI PHÁP CẢI TIẾN A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Tốn Tin - Trường THPT Ba Đình Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến: Giả sử K khoảng , đoạn nửa khoảng f hàm số xác định K Hàm số f gọi đồng biến K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số f gọi nghịch biến K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I Nếu f’(x) ≥ 0∀x ∈ I (hoặc f’(x) ≤ 0∀x ∈ I ) f’(x) = số hữu hạn điểm I hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) I Chú ý: Khoảng I định lý thay đoạn nửa khoảng Khi phải bổ sung giả thiết “Hàm số liên tục đoạn nửa khỏng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số f liên tục [a; b] có đạo hàm f’(x) > (a; b) hàm số f đồng biến [a; b] Tương tự cho hàm số nghịch biến Sử dụng thêm kết quả: * Nếu hàm số f(x) đồng biến nghịch biến D đồ thị cắt đường thẳng y = a ( a ∈ R) cắt điểm * Nếu hàn số f(x) đồng biến g(x) nghịch biến (hoặc ngược lại) miền xác định đồ thị hai hàm y = f(x) y = g(x) cắt chúng cắt điểm nhất, từ phương trình f(x) = g(x) có nghiệm vô nghiệm * Nếu f(t) hàm đồng biến nghịch biến D f(x)= f(y) ⇔ x = y * Nếu f(x) hàm nghịch biến D f(x) ≤ f(x0) x ≥ x0 * Nếu f(x) hàm đồng biến D f(x) ≤ f(x0) x ≤ x0 B NỘI DUNG I Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số Phương trình: Cách giải: Đưa phương trình dạng f(x) = a (a ∈ R ) Xét biến thiên f(x) f(x) đơn điệu f(x0) = a suy x0 nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: ĐK: x ≥ x +1 + x + + 2x −1 = + 2   Xét hàm f(x) = x + + x + + x − với x∈  ; +∞ ÷ 2 Người thực hiện: MaiThị Mơ  Đơn vị: Tổ Tốn Tin - Trường THPT Ba Đình Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình f’(x) = 1 1  + + > 0∀x ∈  ;+∞  x + x + 2x −1 2  1  Hàm số f(x) liên tục  ; +∞ ÷ 2  1  Vậy hàm số f(x) đồng biến  ; +∞ ÷ 2  Lại có f(1) = + nên đồ thị hàm số f(x) cắt đồ thị hàm y = + điểm có hồnh độ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nhận xét: ví dụ dùng phương pháp khử phương pháp luỹ thừa hay đặt ẩn phụ dẫn đến phức tạp, sử dụng phương pháp hàm số phương pháp đơn giản Ví dụ 2: Giải phương trình: x5 + x3 - − 3x + = Giải: Xét hàm số f(x) = x5 + x3 − − 3x + =0 với x ≤ 3 > 0∀x < − 3x f’(x) = 5x4 +3x2 +     f(x) liên tục  ; +∞ ÷ Vậy f(x) hàm đồng biến x ∈  −∞;  , f(-1) = 3 3   1 suy đồ thị hàm số f(x) cắt đường thẳng y = điểm có hồnh độ x = -1 Vậy x = -1 nghiệm phương trình Nhận xét: ví dụ lựa chọn phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số phương pháp có hiệu quả, phương pháp khác đặt ẩn phụ hay luỹ thừa phải đưa đến phương trình bậc cao biến đổi phức tạp Ví dụ 3: Giải phương trình: x + 15 = 3x − + x + (1) Giải: (1) ⇔ f ( x) = 3x − + x + − x + 15 = (2) Hàm số f(x) xác định ∀x ∈ R Xét hai khả sau: a, Nếu x ≤ ⇒ 3x − ≤ Mặt khác x + − x + 15 < 0∀x ∈ R Do f(x) Người thực hiện: MaiThị Mơ nghiệm (2)   2 − ÷ > 0( Dox > ) f’(x) = + x  3 x + 15   x +8 Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình Vậy f(x) đồng biến x > Mặt khác f(1) = Vậy x = nghiệm (1) Bài tập áp dụg: Giải phương trình sau: a ( x + ) ( x − 1) − x + = − ( x + ) ( x − 1) + x + x2 +2 b 1+ x + 1− x = − c + x − x + − x − x = 2( x − 1) (2 x − x + 1) d 2x4 + (1-2x)4 = 27 Bất phương trình Cách giải: Bước 1: Đưa bất phương trình dạng f(x) > a f(x) < a f(x) ≥ a f(x) ≤ a Bước 2: Xét biến thiên f(x) Bước 3: Xác định a = f(x0) Bước 4: Sử dụng dịnh nghĩa hàm đồng biến ,nghịch biến suy nghiệm bất phương trình Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x + > − x + (1) Giải: ĐK: x ≥ −2 (1) ⇔ x + + x + > Xét hàm số f(x) = x + + x + với x ≥ −2 f’(x) = + > 0∀x > −2 x + 2x + f(x) liên tục [ −2; +∞ ) Suy f(x) đồng biến [ −2; +∞ ) Mặt khác f(0) = Bất phương trình f(x) > hay f(x) > f(0) ⇔ x > Vậy bất phương trình có nghiệm x ∈ ( 0;+∞ ) Hệ phương trình Dạng 1: Một phương trình hệ có dạng f(x) = f(y), phương trình cịn lại giúp ta giới hạn điều kiện x, y hàm số f đơn điệu, từ suy x = y Cách giải : Xác định điều kiện x y từ hai phương trình Đưa hai phương trình dạng f(x) = f(y) Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Tốn Tin - Trường THPT Ba Đình Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình Xét biến thiên hàm số đặc trưmg f(t)  x − y = y − x (1)  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  (2) x + y =  Giải: Từ (2) có x ≤ 1; y ≤ ⇒ x ≤ 1; y ≤ Xét hàm số f(t) = t3 - 5t với t ∈ [ −1;1] f’(t) = 3t2 -5 < ∀t ∈ [ −1;1] Do f(t) nghịch biến [-1; 1] Do f(x) = f(y) ⇔ x = y Thay x = y vào (1) ta x8 + y4 -1 = Suy y = x = ± −1 nghiệm hệ phương trình  x3 − y + y − 3x − = (1)  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  2  x + − x − y − y + = (2)   −1 ≤ x ≤ 0 ≤ y ≤ Giải: ĐK:  (1) tương đương với x3 - 3x -2 = y3 -3y2 ⇔ (x + 1)2 (x - 2) = y2(y - 3) ⇔ (x + 1)2(x + - 3) = y2(y - 3) ⇔ f(x + 1) = f(y) Xét hàm số f(t) = t2(t - 3) với ≤ t ≤ f’(t) = 3t2 - 6t = ⇔ t = 0; t = Ta có bảng biến thiên: t f’(t) f(t) -4 Từ bảng biến thiên suy f(t) nghịch biến [0; 2] Do f(x + 1) = f(y) ⇔ x + = y Thay y = x + vào (1) ta được: x2 + − x2 − − x2 + = ( ⇔ x2 + = − x ⇔ x + ⇔ x4 + 8x2 = ) = 4(1 − x ) ⇔ x = y = Hệ có nghiệm ( x = 0; y = 1) Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Tốn Tin - Trường THPT Ba Đình Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình Dạng 2: Hệ đối xứng loại mà giải thường dẫn đến hai phương trình hệ có dạng f(x) = f(x) = f(y), f hàm đơn điệu Cách giải + Xét biến thiên hàm số f(t) + Xét x > y đến mâu thuẫn + Xét x < y đến mâu thuẫn + xét x = y suy nghiệm Cách giải 1: Xét hàm số f(t) = t3 - 2t2 + 2t + 1, t ∈ R f’(t) = 3t2 - 4t + > ∀t ∈ R f(t) đồng biến R với x > y ta có f(x) > f( y) Kết hợp với hệ ta có 2y > 2x ⇔ y > x Điều mâu thuẫn với giả thiết x > y Tương tự với x < y ⇒ f(x) < f(y) ⇔ 2y < 2x ⇔ y < x mâu thuẫn với x < y x = y Với x = y phương trình (1) trở thành x3 - 2x2 + = ⇔ (x - 1)(x2 -2x - 1) = ⇔ x = 1; x = ± hệ có nghiệm (1; 1), ( + 5;1 + 5), (1 − 5;1 + 5) Cách giải 2: Trừ vế tương ứng (1) cho (2) ta được: x3 - y3 - 2(x2 - y2) + 4(x - y) = ⇔ (x - y)[x2 + xy + y2- 2(x + y) + 4] = y = x ⇔ 2  x + xy + y − 2( x + y ) + = Với y = x thay vào (1) ta x - 2x2 +1 = ⇔ x = 1; x = ± suy nghiệm hệ Với x2 + xy + y2 -2(x + y) + = ⇔ y2 +(x -2)y + x2 -2x + =0 (1a) coi (1a) phương trình bậc hai ẩn y ta có ∆ = ( x − 2) − 4( x − x + 4) = -3x2 + 4x -12 < với x Suy phương trình (1 a) vô nghiệm Nhận xét : Cách giải nhiều trường hợp phức tạp Sử dụng cách giải cách làm đơn giản Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình Bài tập áp dụng: Giải hệ phương trình sau:  x+5 + y −2 =  a,   x−2 + y +5 =  (4 x + 1) x + ( y − 3) − y =  b,  2 4 x + y + − x =  II.PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔ GA RIT - HỆ HỖN HỢP Phương trình Cách giải: + Đưa phương trình dạng f(x) = a + Xét biến thiên f(x) + Kết luận nghiệm x Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x = + (1) x x  3 ⇔ f(x) =   +  (1) ÷ =1  ÷  2  ÷  x x  3 1 Xét f’(x) =  ÷ ln +  ÷ ln > 0∀x ∈ R  ÷  2  Suy f(x) nghịch biến R Mặt khác f(1) = nêm đồ thị f(x0 cắt đường thẳng y = điểm có hồnh độ x = hay phương trình có nghiệm Nhận xét: tốn dùng phương pháp hàm số Ví dụ 2; Giải phương trình: 3− x = − x + x − 14 Giải: ĐK x ≤ Phương trình cho tương đương với Xét hàm số f(x) = f’(x) = - 3− x 3− x + x − x + 14 = +x2 - 8x +14 + x − < 0∀x < 3− x f(x) liên tục ( −∞;3] suy f(x) nghịch biến ( −∞;3] Mặt khác f(3) = 0, x = nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình: log 12 ( x + x ) = log8 x Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Tốn Tin - Trường THPT Ba Đình Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình Giải: ĐK: x > Đặt t = log x ⇔ x = 8t ⇒ x = 82t ⇒ x = 82t (8 + t Phương trình (1) trở thành log12 ) 82 t = t ⇒ 8t + 64t = 12t t t    64  ⇔  ÷ + ÷ =1  12   12 ÷   t t  2 1 ⇔  ÷ + ÷ =1  3  3 t t  2 1 Đặt f(t) =  ÷ +  ÷  3 3 t t  2 1 f’(t) =  ÷ ln +  ÷ ln < 0∀t ∈ R  3 3 f(t) nghịch biến R f(1) = suy phương trình f(t) = có nghiệm t = Với t = suy x = ⇒ x = 64 Bất phương trình: Cách giải + Đưa bất phương trình dạng f(x) ≤ a ; f(x) ≥ a + Xét biến thiên hàm số, sử dụng định nghĩa hàm đồng biến, nghịch biến để kết luận nghiệm phương trình Ví dụ 1; Giải bất phương trình: log2( x − x + + 1) + log ( x − x + 7) ≤ (1) 5− 5+ ≤x≤ Giải: ĐK: x2 - 5x + ≥ ⇔ 4 Đặt t = x − x + 5(t ≥ 0) Bất phương trình trở thành: log2(t + 1) +log3(t2 + 2) ≤ Xét hàm số f(t) = log2(t + 1) + log3(t2 + 2) với t ≥ 2t f’(t) = (t + 1) ln + (t + 2) ln > 0∀t ≥ Hàm số đồng biến [ 0; +∞ ) Mặt khác ta có f(1) = Do bất phương trình f(t) ≤ hay f(t) ≤ f(1) Tương đương với t ≤ Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Tốn Tin - Trường THPT Ba Đình Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình Với t ≤ ta có x2 − 5x + ≤ ⇔ x2 − 5x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Nhận xét: Bất phương trình (1) chứa biểu thức hai lô ga rit không số chứa thức nên sử dụng phương pháp đặt ẩn số phụ két hợp phương pháp hàm số cách làm đơn giản Ví dụ 2: Giải bất phương trình: − x−2 log (4 x − x − 2) ≥ (1) Giải: ĐK: 4x - x2 -2 ≥ ⇔ x − x + ≤ ⇔ − ≤ x ≤ + Bất phương trình (1) tương đương với log2 [4x - x2 - 2] ≥ x− 2 ⇔ log  − x −  ≥ x −   Đặt t = x − với ≤ t < (1a) t t Bất phương trình trở thành: log ( − t ) ≥ ⇔ log ( − t ) − ≥ đặt f(t) = log2(2 - t2) -2t t f’(t) = - (2 − t ) ln − ln < 0∀t ∈ ( 0; ) 2t f(t) liên tục 0; )  Suy f(t) nghịch biến [0; 2) , mà f(0) = f(t) ≥ hay f(t) ≥ f (0) t ≤ kết hợp với điều kiện (1a) ta có t = Với t = ta có x − = ⇔ x = Nhận xét: Đối với loại tốn thơng thường ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ sau xét biến thiên hàm số Bài tập áp dụng: 1, Giải phương trình sau: a, 3x + 4x + 5x = 50 b, x + xlog2 + xlog25 c, 2x+1 - 4x = x - d, log(x2 -6x + 5) = log(x - 1) + -x e, 3.25x-2 + (3x - 10).5x-2 + - x = g, (x + 2)log ( x + 1) + 4( x + 1) log ( x + 1) − 16 = h, e x + e− x x2 = 1+ với x ≥ 2 i, ln(1+x)= x- x2 với x ≥ k, log3(x2 + x + 1) - log3 x = 2x -x2 Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Tốn Tin - Trường THPT Ba Đình Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình Giải bất phương trình: x x x 1 1 1 a,  ÷ +  ÷ +  ÷ < 6  3 2 b, log7x < log3( x + 2) log x 1 c, log3x +  ÷ 2 ≥ d, log4(x2 - x - 8) Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ lô ga rit Đối với hệ hỗn hợp cần xem xét rút x y từ phương trình x  x − ≥ 52  (1)  Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình:   21  1 + log  − x ÷ ≥ log x + (2)     ( ) x Giải: (1) tương đương với: 3x ≥ + ⇒ 4+ ( 5) x x x 1   ≤ ⇔ 4 ÷ +  ÷ ≤1 3  ÷   x x x  5 1 Đặt f(x) =  ÷ +  ÷ với x∈ R  ÷  3   x x  5 1 ln +  ÷ ln < 0∀x ∈ R f’(x) =  ÷  ÷ 3 3   Do f(x) nghịch biến R Nên f(x) ≤ 1hayf ( x) ≤ f (2) x ≥ Bất phương trình (2) tương đương với: + log2(21 - x) - log22 ≥ log ( x + 1) ⇔ 21 − x ≥ x + ⇔ x + x ≤ 20 Xét g(x) = x4 + 2x với x ∈ [ 2; +∞ ) g’(x) = 4x3 + ∀x ∈ [ 2; +∞ ) Suy g(x) đồng biến [ 2; +∞ ) Mà g(2) = 20 g(x) ≤ 20 hay g(x) ≤ g(2) x ≤ Kết hợp x ≥ x ≤ ta có x = nghiệm 2  x + 2010 2009 y − x = (1)  y + 2010 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  3log ( x + y + 6) = log ( x + y = 2) + (2)  x + y + > x + y + > Giải: ĐK  Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình 10 Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình (1) tương đương với log 2009 2009 y − x = log 2009 x + 2010 y + 2010 ⇔ y − x = log 2009 ( x + 2010) − log 2009 ( y + 2010) Xét hàm số f(t) = t + log2009(t + 2009) với t ≥ f’(t) = + ( t − 2009 ) ln 2009 > 0∀t ≥ Do f(t) đồng biến [ 0; +∞ ) Suy f(x2) = f(y2) ⇔ x = y ⇔ x = ± y + Với x = y ta có (2) trở thành: 3log33(3x+6) = 2log2(2x+2) + ⇔ 3log 29 x + 2) = log 2( x + 1) + ⇔ [ + log ( x + 1) ] = [ + log ( x + 1) ] + ⇔ 3log ( x + 2) = log ( x + 1) = 6u 4  x + = 32u  8 1 3u 2u u u ⇔ ⇒ +1 = ⇔ +1 = ⇔  ÷ +  ÷ = 3u x +1 = 9 9  Nhận thấy u =1 nghiệm 4     Xét f(u) =  ÷ +  ÷ với u∈ R 9 9 4 1 8 f’(u) =  ÷ ln +  ÷ ln 9 9 f’(u) < ∀u ∈ R Suy f(u) nghịch biến R Do u = nghiệm Với u = suy x = y = + Với x = -y ta có (20 trở thành: 3log3 (y + 6) = 2log22 + = suy y + = ⇔ y = −3 x = Tóm lại hệ có nghiệm (x; y) (3; -3), (7; -7) ln(1 + x) − ln(1 + y ) = x − y (1) 2 (2)  x − 12 xy + 20 y = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  1 + x >  x > −1 ⇔ 1 + y >  y > −1 Giải: ĐK  (2) tương đương với x = 2y x = 10y (1) tương đương với ln(1+ x) - x = ln(1+ y) -y Xét hàm số f(t) = ln(1+ x) - t với t > -1 Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình 11 Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình f’(t) = t −1 = − =0⇔t =0 1+ t 1+ t Ta có bảng biến thiên: t f’(t) f(t) -1 + 0 +∞ -∞ Từ bảng biến thiên suy ra: Nếu f(x) = f(y) x ≠ y x, y trái dấu, điều mâu thuẫn với x = 2y x = 10y Vậy f(x) = f(y) x = y Khi nghiệm hệ x = y =  2( x + x − y − 1) = x ( y + 1) (1)  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:   y + x + + ln( y + x) = (2)  Giải: ĐK: y2 +2x > (1) tương đương với 2x(x2 + 2) = (y + 1)(x2 + 2) ⇔ y +1 = 2x Thay vào (2) ta được: y3 + 2(y + 1) + + ln(y2 + y + 1) = ⇔ y3 + 2y + + ln(y2 + y + 1) = Xét hàm số f(y) = y3 + 2y + + ln(y2 + y + 1) ( y ∈ R) y +1 2( y + 1) + = 3y2 + f’(y) = 3y + + y + y =1 y + y +1 f’(y) > với y ∈ R suy hàm số đồng biến R Mà f(-1) = nên y = -1 nghiệm hệ phương trình  log ( x + x ) = log x  (1)  16π Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  sin +1 π x (2) x  < − cos  cos π x  16  Giải: ĐK x > (1) ⇔ log ( x + x ) = log x (2a) Đặt t = log x ⇒ x = 2t t t  2 1 Phương trình (2a) trở thành log6 (4 + ) = t ⇔ 4t + 2t = 6t ⇔  ÷ +  ÷ = (3)  3 3 t t t t  2 1 Hàm f(t) =  ÷ +  ÷ hàm giảm R  3 3 Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình 12 Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình Lại có f(1) = nên phương trình (3) có nghiệm t = Với t = suy log x = ⇔ x = 16 Thay x = 16 vào phương trình (2) ta sin π + < − cosπ ⇔ -1 0phương trình (2) có dạng f ( sin x ) = f(-cosx) Xét hàm số f(t) = t + t2 với t > f'(t) =2t + > với t > Hàm số f(t) đồng biến (0; + ∞ ) Do f ( sin x ) = f(-cosx) ⇔ sin x = -cosx Với -cosx ≥ , bình phương hai vế ta sin2x + sinx - = −1 + k 2π − 1+ ⇔ Giải ta sinx ( loại cosx >0) −1 x = π − arcsin 2mπ (m ∈ Z ) x = arcsin Vậy phương trình có nghiệm x = k2 π ; x = π − arcsin −1 + 2mπ với k, m ∈ Z Phần 3: KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Kết quả: Khi chưa thực đề tài này, q trình giảng dạy tơi thấy học sinh hay vướng mắc giải toán phương trình, bất phương trình, hệ Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình 13 Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình phương trình hệ bất phương trình Sau nghiên cứu áp dụng vào thực tế giảng dạy theo đề tài gây hứng thú học tập cho học sinh giúp học sinh giải nhiều toán khó phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình Đây dạng tốn thường xuất đề thi đại học, cao đẳng trung học chuyên nghiệp, giải dạng tập nhằm giúp học sinh rèn luyện khả tư duy, phát huy tính tích cực sáng tạo học toán giúp học sinh hệ thống kiến thức phương pháp giải để học sinh tự tin chuẩn bị bước vào kỳ thi Thực tế thực đề tài này, chất lượng môn học nâng lên rõ rệt, cụ thể qua kiểm tra đánh giá phần phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình kết học tập học sinh sau: Lớp Số HS 12E 12B 12N Tổng 45 45 45 135 Điểm Điểm 6.5 Điểm đến Điểm đến Điểm đến 10 đến dưới 6.5 SL % SL % SL % SL % SL % 13.3 13 28.9 22 48.9 9.8 0 17.8 15 33.3 19 42.2 6.7 0 13.3 12 26.7 22 48.9 11.1 0 20 14.8 40 29.6 63 46.7 12 8.9 0 Đối chiếu với kết học sinh sau học phần năm học trước ( chưa thực đề tài này) chất lượng học sinh tăng lên rõ rệt Tỉ lệ học sinh yếu giảm từ 42,9% xuống 8,9%; tỉ lệ học sinh giỏi tăng từ 5,2% lên 8.9% Do nắm phương pháp làm bài, phương pháp học tập, nên em u thích mơn tốn nhiều em học tập tiến rõ rệt, đặc biệt học phần phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình Bài học kinh nghiệm: - Bài tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình dạng tốn khó học sinh, giảng dạy phần cần lựa chọn phương pháp rèn luyện cho học sinh khả tư duy, khả hệ thống kiến thức - Trong thực tế, nhiều học sinh tiếp thu phương pháp giải nhanh việc trình bày chưa chặt chẽ, chưa rõ ràng giáo viên cần sửa cho học sinh cách tỉ mỉ - Chất lượng học sinh phụ thuộc nhiều vào giảng thầy, dạng tốn cần có phân loại hệ thống phương pháp giải Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Tốn Tin - Trường THPT Ba Đình 14 Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình Trên số kinh nghiệm rút từ thực tế giảng dạy mơn tốn lớp 12 năm học 2010 - 2011 Trong khn khổ có hạn đề tài khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót, mong nhận ý kiến trao đổi, đóng góp lãnh đạo, bạn đồng nghiệp để đề tài đầy đủ hơn, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn tốn lớp 12 trường THPT nói chung, trường THPT Ba Đình huyện Nga Sơn nói riêng Xin chân thành cám ơn Nga Sơn, ngày 28 tháng năm 2011 NGƯỜI THỰC HIỆN Mai Thị Mơ Người thực hiện: MaiThị Mơ Đơn vị: Tổ Toán Tin - Trường THPT Ba Đình 15 ... Đình 13 Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình phương trình hệ bất phương trình Sau nghiên cứu áp dụng vào thực tế... Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình Dạng 2: Hệ đối xứng loại mà giải thường dẫn đến hai phương trình hệ có dạng... Trường THPT Ba Đình Đề tài: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào tốn Giải phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Hệ bất phương trình Bài tập áp dụng: Giải hệ phương trình sau:  x+5 + y −2 =