Sáng kiến kinh nghiệm I. Đặt vấn đề: Trong thực tế chúng ta thường gặp những bài toán tìm nghiệm của phương trình hay tập nghiệm của bất phương trình. Vì vậy, các bài toán tìm nghiệm của phương trình hay tập nghiệm của bất phương trình thường xuyên có mặt trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT; hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học cũng như các đề thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia nhiều năm gần đây, các bài toán này rất phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách hợp lí, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. Hơn nữa, không phải phương trình hoặc bất phương trình nào cũng có bài giải trong sáng, ngắn gọn. Đặc biệt, là các phương trình, bất phương trình vô tỉ, lượng giác. Ví dụ như việc tìm nghiệm của phương trình 5 7 16 14x x x x+ − + + + + = theo phương pháp thông thường rất khó và phức tạp, nhiều khi dẫn đến không giải ra. Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 1 Sáng kiến kinh nghiệm Tuy nhiên, nếu chúng ta sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình trên thì bài toán có lời giải rất trong sáng và ngắn gọn, học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức. Căn cứ vào những lí do nêu trên, Tôi chọn đề tài: "Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và bất phương trình" làm sáng kiến kinh nghiệm cho bản thân. Do nhiều điều kiện cũng như kinh nghiệm còn hạn chế, hơn nữa, đây là vấn đề tương đối rộng nên không thể tránh khỏi sai sót. Rất mong sự góp ý quí báu của các thầy cô và sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp. II. Giải quyết vấn đề: Cơ sở để giải quyết vấn đề này là dung đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số và dựa vào chiều biến thiên của hàm số để kết luận về nghiệm của phương trình, hệ phương trình và bất phương trình… Ngoài ra, để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất có thể dựa vào nhận xét sau đây: 1. Giả sử hàm số ( )f x đơn điệu trên khoảng (a; b) thì trên khoảng (a; b) phương trình ( ) 0f x = có nhiều nhất một nghiệm. Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 2 Sáng kiến kinh nghiệm 2. Nếu hàm số ( )f x đơn điệu trên khoảng (a; b) thì 1 2 , ( ; )x x a b∀ ∈ ta có 1 2 1 2 ( ) ( ) .f x f x x x= ⇔ = Sau đây là một số bài toán minh họa cho các phương pháp này. Bài 1: Giải phương trình 5 7 16 14 (*)x x x x+ − + + + + = Bài giải Phương trình (*) tương đương ( ) 5 7 16 14 0.f x x x x x= + − + + + + − = Tập xác định [5; )D = +∞ Ta có 1 1 1 1 '( ) 0, [5; ). 2 2 5 2 7 2 16 f x x x x x x = + + + > ∀ ∈ +∞ − + + Vậy hàm số ( )f x đồng biến trên [5; )+∞ (1) Mặt khác, (9) 0f = (2). Từ (1) và (2) phương trình (*) có nghiệm duy nhất 9.x = Bài 2: Giải phương trình 2 sin cos 1 0 (*)x x x+ + − = Bài giải Xét hàm số ( ) 2 sin cos 1f x x x x= + + − Ta có '( ) 2 cos sin 2 2 cos 2 2 0. 4 f x x x x π   = + − = + + ≥ − >  ÷   Vậy hàm số ( )f x đồng biến trên R (1) Mặt khác, (0) 0 sin 0 cos0 1 0f = + + − = (2). Từ (1) và (2) phương trình (*) có nghiệm duy nhất 0.x = Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 3 Sáng kiến kinh nghiệm Bài 3: Chứng minh rằng với n là số tự nhiên chẵn và 3a > thì phương trình 2 1 2 ( 1) 3( 2) 0 n n n n x n x a + + + + − + + = vô nghiệm Bài giải Xét 2 1 2 ( ) ( 1) 3( 2) n n n f x n x n x a + + + = + − + + Tập xác định D = R Ta có 1 '( ) ( 1)( 2) 3( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 3) n n n f x n n x n n x n n x x + = + + − + + = + + − Cho '( ) 0 3f x x= ⇔ = Bảng xét dấu x −∞ 3 +∞ '( )f x - 0 + ( )f x +∞ +∞ 2 2 3 n n a + + − Dựa vào bảng biến thiên ta có 2 2 ( ) 3 0, (Do 3) n n f x a x a + + ≥ − > ∀ ∈ >R Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 4: Định m để phương trình 4 3 2 2 1 0 (*)x mx mx mx+ + + + = có nghiệm Bài giải Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 4 Sáng kiến kinh nghiệm Ta thấy 0x = không là nghiệm của phương trình (*). Chia hai vế phương trình (*) cho 2 x ta được 2 2 1 2 0 m x mx m x x + + + + = 2 2 1 1 2 0.x m x m x x     ⇔ + + + + =  ÷  ÷     Đặt 1 t x x = + thì 2.t ≥ Bài toán trở thành định m để 2 2 2 0 2 t mt m t  + + − =   ≥   có nghiệm. Khi đó tương đương 2 2 ( ) 2 2 t m f t t t  − = =  +   ≥  có nghiệm. Ta có 2 2 4 2 '( ) ( 2) t t f t t − − − = + Cho 2 2 '( ) 0 2 2 t f t t  = − + = ⇔  = − −   Bảng biến thiên: x -∞ 2 2− − -2 2 2− + 2 +∞ '( )f x - 0 + + 0 - - ( )f x +∞ +∞ 4 2 2+ - 1 2 -∞ Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 5 Sáng kiến kinh nghiệm Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm thì 1 2 m ≤ − hoặc 4 2 2.m ≥ + Ngoài ra, chúng ta cũng có thể giải bài toán bằng cách so sánh các nghiệm của phương trình 2 2 2 0t mt m+ + − = với hai số 2 và -2, thì cũng đi đến kết quả như trên, tuy nhiên phải tính toán phực tạp nhiều hơn. Bài 5: Giải bất phương trình 5 2 3 9 (*)x x+ + + < Bài giải Phương trình (*) tương đương ( ) 5 2 3 9 0f x x x= + + + − < Tập xác định 3 [ ; ) 2 D = − +∞ Ta có 1 1 3 '( ) 0, [ ; ). 2 2 5 2 3 f x x x x = + > ∀ ∈ − +∞ + − Vậy hàm số ( )f x đồng biến trên 3 [ ; ) 2 − +∞ (1) Mặt khác (11) 16 25 9 0f = + − = (2). Từ (1) và (2) bất phương trình (*) tương đương 3 3 2 2 ( ) (11) 11 x x f x f x   ≥ − ≥ −   ⇔     < <   Vậy tập nghiệm của bất phương trình (*) là 3 ;11 . 2 S   = − ÷    Bài 6: Tìm m để bất phương trình 3 1(*)mx x m− − ≤ + có nghiệm Bài giải Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 6 Sáng kiến kinh nghiệm Bất phương trình đã cho có nghiệm khi 2 2 1 0 0 mt t m t  − + − ≤  ≥  có nghiệm. Khi đó hệ trên tương đương 2 1 2 0 t m t t +  ≤  +   ≥  có nghiệm. Ta có ( ) 2 2 2 2 1 2 2 ( ) '( ) 2 2 t t t f t f t t t + + − = ⇒ = + + Cho '( ) 0 3 1 ( 0)f t t t= ⇔ = − > Bảng biến thiên: t 0 3 1− +∞ '( )f t + 0 - ( )f t 3 1 4 + 1 2 0 Vậy bất phương trình có nghiệm khi 3 1 4 m + ≤ . Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 7 Sáng kiến kinh nghiệm Bài tập tương tự 1/ Giải phương trình 1 2 2 3 2.x x x− + − + − = 2/ Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 2 3 1x m x+ = + . 3/ Tìm a để phương trình 3 2 18 2 0x x ax a− + − = có ba nghiệm dương phân biệt. 4/ Giải bất phương trình 9 5 2 4.x x+ > − + 5/ Tìm a để bất phương trình 2 2 7a x x a+ < + nghiệm đúng với mọi x. 6/ Định a để bất phương trình 2 2 2 log 1 log ( )x ax a+ < + có nghiệm. 7. Tìm m để phương trình 4 3 2 1 0x mx x mx+ + + + = có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau. 8. Tìm a để phương trình sau đây có đúng hai nghiệm ( ) 2 2 2 2 ln 2 2ln ln 4 ln ln 4 3 0x x x a x+ + + − + − = . Tân phú, ngày 02 tháng 10 năm 2012 Người viết Quách Thanh Thưởng Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 8 Sáng kiến kinh nghiệm Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 9 Sáng kiến kinh nghiệm Ý KIẾN CỦA BGH Người thực hiện: Quách Thanh Thưởng Trang 10 . của hàm số để kết luận về nghiệm của phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Ngoài ra, để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất có thể dựa vào nhận xét sau đây: 1. Giả sử hàm. quí báu của các thầy cô và sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp. II. Giải quyết vấn đề: Cơ sở để giải quyết vấn đề này là dung đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số và dựa vào chiều. thức. Căn cứ vào những lí do nêu trên, Tôi chọn đề tài: " ;Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và bất phương trình& quot; làm sáng kiến kinh nghiệm cho bản thân. Do nhiều