 ĐỀ TÀI:  1  !    !"#$%&'()*+,- +./*01234#56 5#&7#89:.; ()-+./*<(&1 =>?@+A=B+C<3DE(# *+F 1G&((H=+C+#@="I;"J%GD=/- K-$-=/(K?(L(#-KC ! I*+(,.MG*++$3&JN12  O!G=<6D-#K%-&PQRS*3 <T%+(%(2#U5V2G; . 5J/5@-WKMGIM 3/I&#-WK'#SS =B/+/(%X*/&D*+J*J ;. !+JMGY7#@-VK7#+' 98#2V2GU:* OZ[\V;K X/=/%-& P"#$%&#'$()*+,-./+#.0)1 23#*4)1#$5'6 ]];789:7;<<=> ! ?$%&)@A+ ^Q%X !*SGX !-2SG; ^Z*+M%*G- !(DH+/J*- WK*; 2 ^+J(W2_(%"D*SG7#*+(J2-&; ^ . !+J7#8ZS !G`(%DV 2G; B$CD$E) F%O#aN=/SG ^.#+C*+-%; GH@+I%#$H)1DJ H 5(1G"#% +C !*+%S=B !2"#D+#b  K   LM  ? /  NO  @P @%&) G * +  (K ? (% DG 3GG+-S(DH =-;_4(%3DGD=F=c+  !4(%$#Jd(KG1#-(%$ #e; BQ+R%)1 QK S  %  ! S  %    (K %S=B S  %   %  S =B   # D   ! ? S% %S=B   D   !    ? EC ! fg hg i j ?2dke ffl hhh ii j;j 3 h;jBÀI TOÁN MỞ ĐẦU Bài toán 1.  , 0 1 a b a b >   + ≤  7# 2 2 1 1 2 1 P ab a b = + + + Giải Lời giải 1;#b 2 2 2 2 2 1 1 4 4 4 2 2 2 1 2 1 ( ) 1 P ab a b a ab b a b = + ≥ = ≥ = + + + + + + + 9  PmT  6D-  #  2 2 2 1 2 ( ) 1 0 (voâ nghieäm) 1 1 a b ab a b a b a b   + + = − + =   ⇔ ⇔   + = + =     ;  nS-  (K  V  / Min ? ?P Lời giải 2. #b 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 4 1 6 3 3 3 1 6 1 ( ) 1 4 P ab ab ab ab a b a ab b a b ab = + + ≥ + = + + + + + + + + + o1( 2 1 2 4 a b ab +   ≤ =  ÷   ;nS- 2 2 4 1 8 3 2 6 2 2 P a b a b ≥ + ≥ + +     +  ÷  ÷     9PmT6D-# 2 2 1 3 1 2 1 a b ab a b a b a b  + + =  ⇔ = ⇔ = =   + =  ; Lời bình: 8jG=B< 1 1 4 a b a b + ≥ + ;ODj/+#+#p ODh/+#/ 1 1 1 2 6 3ab ab ab = + p;;p+#S% !&0p Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị. 4 h;jPHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI ?"#$%&#'$()*+,-./+#.0)123#*4)1#$5'S%'$T B<#-<"I=BX;.$- </*@5q+rKBD2 <; * Bất đẳng thức Cauchy  n +CJ(K$ 1 2 , , , ( 2) n a a a n ≥ #Kb 1 2 1 2 n n n a a a a a a n + + + ≥ L ;9PmT 6D-#(?( 1 2 n a a a= = =L ; * Một vài hệ quả quan trọngb + 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) vôùi 0, 1, n i n a a a n a i n a a a   + + + + + + ≥ ∀ > =  ÷   L L + 2 1 2 1 2 1 1 1 vôùi 0, 1, i n n n a i n a a a a a a + + + ≥ ∀ > = + + + L L +  2n +C= 3d , 2n Z n∈ ≥ eb 1 2 1 2 , , , , , , , n n a a a b b b #b  1 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) n n n n n n n a b a b a b a a a b b b+ + + ≥ + <K(2sG+A=B<3+' (K !S!=t=;Q+A=B%G&<#GDM` 5&(2<6D-#&(2-K !,#X+C" #+A=B<#;n<S%'$T4 <;.- !(uS- %#+r+CW=B+#b Ví dụ 1:Cho a ≥ 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a+ a j 5 <$U)#V'$WX#Y-#Z+@[+1+\+ vsD%7## a j E=JoE # w x y f l z i jg jj jh 0; wg a j w j x j y j f j l j z j i j jg j jj j jh j 0; wg j E w w j x x j y y j f f j l l j z z j i i j jg jg j jj jj j jh jh j 0; wg wg j /D%#-(#HE5_={%2=J (#mwESN,;.=t/+J !#+roEm w jg //P.3b#mwT; 9<K+?6D-#=/&(2+C##GD# /P.3b#mwT#(K+A=B<K+J%Gh+C# a j w ≠ w j ;M-#+rDN+A=B<K+1G+C       a a j  α +#/ P3b#mwT a a j = α # !VP3T+#$-b E3Vb #mw ⇒ i w w j w jj w =⇒=⇒        = = α α αα a a  _#%UI+3VP.3T !; 6 [+1+\+]^#_ a j ^    +    a a j i _ i za ≥ h; a a j i ⋅ _ i wz⋅ ^ w jg nS-5#mwoEm w jg Ví dụ 2:Cho a ≥ 6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a h + a jz E3V3b #mf ⇒         = = f jz wf f jz h a a α  ⇒        = = αα α wf wf f jz h a  ⇒ f jzjz = a fh=⇒ α [+1+\+bEm# h | a jz m    +    a a jz fh h |         − fh j j # h  ≥ h; a a jz fh h ⋅ |         − fh j j # h mf; f aa | h fh j j a         − ≥ f; h f; fh j j f ff         −+ mwf|w f nS-5#mfoEmh#|w; f Ví dụ 3:  , 0 1 a b a b >   + ≤  7# 2 2 1 1 4P ab ab a b = + + + ; Sai lầm thường gặpb Sai lầm 1b#b 7 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 4 1 4 4 4 2 2 2 2 2 ( ) P ab ab ab ab ab ab ab a b a b ab a b   = + + + ≥ + + = + +  ÷ + + + +   ; o1( 1 1 4 2 .4 2 2 2 2 ab ab ab ab + ≥ = ;nS- 4 2 2P ≥ +  2(2 2)MinP = + Sai lầm 2b 2 2 2 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 2 4 . 4 2 6 4 4 2 4 4 4 ( ) P ab ab ab ab ab ab ab ab ab a b a b   = + + + + ≥ + ≥ + + = +  ÷ + +   96D- # 2 2 2 2 2 1 1 16 2 1 a b ab a b a b a b  + =   ⇔ = ⇔ = =   + =   ;#- 1 2 a b= = # ! 7P ≥  7MinP⇒ = ( 1 2 a b= = ; Nguyên nhân sai lầmb Sai lầm 1bZ*+ #(2P3T2 1 1 1 2 2ab ab ab = + = "I62 2 2 2 2 ( )a b ab a b+ + = + ; 1 4 2 2 4 2 1 a b MinP ab VN ab a b =    = + ⇔ = ⇒   + =   ;9PmT <(K6D-# ⇒ (K(%S ! 4 2 2MinP = + 8 Sai lầm 2bZ*+X(23=J !=( 1 2 a b= =  X+C/ 7MinP = ( 1 2 a b= = M  5C*++#; nW=B  2 (1 )x x x− + ≥ =6D-#( 1x = 2 ( 1) 1??Min x x   ⇒ − + =   ; ODMb 9[C65 ,a b #=J MinP // 1 2 a b= = #b 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 1 4 2 4 . 7 2 4 4 2 ( ) 4 2 P ab ab ab ab ab ab a b a b a b   = + + + + ≥ + + ≥  ÷ + +   +    ÷   96D-# 2 2 2 2 2 1 1 16 2 1 a b ab a b a b a b  + =   ⇔ = ⇔ = =   + =   ; Ví dụ 4:  , 0 1 a b a b >   + ≤  7# 3 3 2 2 1 1 1 S a b a b ab = + + + ; Sai lầm thường gặpb #b 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 1 1 1 2 2 9 2 1 1 3 3 3 3 3 3 3 S a b a b ab a b ab a b a b ab a b ab   = + + + + ≥ + +  ÷ + + + +    3 2 9 2 1 1 1 2 4 59 . 9 . 3 3 ( ) 3. 2 ab a b a b a b a b   = + + ≥ + ≥   + +   +    ÷   9 59 3 MinS = Nguyên nhân sai lầmb 3 3 2 3 59 ( ) 3 1 a b a b MinS a b vn a b  + =  = ⇔ =   + =  ODMb #=J=6D-#( 1 2 a b= = #-b 3 3 2 2 3 3 3 ( )a b a b ab a b+ + + = + %# C62 3 ( )a b+ #G=B< 3 3 2 2 1 1 1 2 2a b a b ab + + + %S-b  3 3 2 2 3 1 1 1 9 2 2 ( ) ( )a b a b ab a b ab a b + + ≥ + + − + #(K%G !#GDG=B<y+Cb 3 3 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 25 25 20 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 S a b a b ab a b ab a b ab a b a b a b = + + + + ≥ ≥ ≥ + + + + + + + 96D- #( 1 2 a b= = ; h;Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bunhia Cũng như bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức này cũng cần có một phương pháp để cân bằng các hệ số khi ta giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức này. * Bất*4)1#$5'%)$+S  2n +C= 3d , 2n Z n∈ ≥ eb 1 2 1 2 , , , , , , , n n a a a b b b #b 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) n n n n a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +L L L 10 [...]... a + b + c  = S 0    Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đốn S=S o tại điểm rơi a=b=c=2, khi đó tất cả các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thơi xảy ra dấu bằng tức là ta có sơ đồ điểm rơi sau: a 1 = b βb Sơ đồ: a=b=c=2 ⇒ α a b c 4 b 1 = = = = = ⇔ β 1 1 1 1 ⇒ α βc b c a α =4 β =1 c 1 = α βa Kết hợp với biến đổi theo kỹ thuật điểm rơi trong cối ” ta có lời giải sau: Lời giải đúng:... Cơsi Cách giải phải đi ngược qui trình thơng thường Đầu tiên phải dự đốn được điểm rơi xảy ra tại đâu, sau đó lồng ghép các số trong bất đẳng thức sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm rơi đã dự đốn… IV KẾT QỦA Chun đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tơi tham gia dạy 10NC và Luyện thi Đại học trong hai năm gần đây Trong q trình học chun đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng... + 1 b+c +    c+a 1   1 1 1  + +  = S o α ( a + b + c ) + β    b+c c + a   a+b α2 +β2  1 Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đốn S=S o tại điểm rơi a=b=c=2, khi đó các bất dẳng thức (1), (2), (3)đồng thời xảy ra dấu bằng tức là có sơ đồ điểm rơi sau đây: *Sơ đồ điểm rơi: a 1 = α βb a=b=c=2 ⇒ b 1 α a b c 4 = ⇔ = = = = ⇒ α βb β 1 1 1 1 b c a α =4 β =1 c 1 = α βa Từ đó ta có lời giải... (ĐTK 2005) a, b, c > 0 , tìm GTNN của các biểu thức sau: a + b + c ≤ 1 Bài 5: Cho  1 1 1 1 + + + a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca 1 1 1 1 1 1 S= 2 + 2 2+ 2 + + + a + b2 b + c c + a 2 ab bc ca 1 1 1 1 1 1 Q= 2 + 2 + 2 + + + a + bc b + ca c + ab ab bc ca P= Chú ý: Cần chú ý hai bất đẳng thức Cơsi và Bunhiacơpxki, biết được các dấu hiệu khi nào dùng bất đẳng thức nào.Phát hiện các dấu hiệu như có các bình... dụ3: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+b+c+ S= 2abc ≥ 10 3 17 2 Chứng minh rằng 8 9b 2 c 2 a 2 8 9c 2 a 2 b 2 8 9a 2 b 2 c 2 + + + + + + + + ≥6 6 2 4 2 4 2 4 a2 b2 c2 *Lời giải: 15 Dự đốn điểm rơi: a = b = c = 2 Sử dụng bất đẳng thức bunhiacơpski có: 2 + 18 + 4 2 + 18 + 4 8 9c 2 a 2 b 2 4 + + ≥ + 9c + ab 2 4 b b2 2 + 18 + 4 + 8 9b 2 c 2 a 2 4 + + ≥ + 9b + ca 2 4 a a2 8 9a 2 b 2 c 2 4 + + ≥ + 9a + bc 2 4... sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết quả sau khi thực hiện chun đề: Khơng Nhận biết, Nhận biết và Nhận biết và nhận nhưng khơng biết biết biết vận dụng dụng giải được vận biết vận dụng , ,chưa giải được bài được hồn chỉnh hồn chỉnh Số lượng 0 Tỉ lệ ( %) 0.0 3 50 37 3.3 55.6 41.1 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng tốn Kü tht chän ®iĨm r¬i trong bất đẳng thức nói chung... rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chun đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh Chun đề này chủ yếu đưa ra các bài tập từ đơn giản đến nâng cao từ đó hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do đó khi giảng dạy phải cung... = n b2 bn a1 ;dạng 3 ⇔ b 1 = a a2 = = n ≥ 0 b2 bn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 + b2 + 2 + c2 + 2 2 b c a Phân tích và tìm tòi lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2: ( ) 2 2 [a12 + a 2 ] b12 + b2 ≥ a1b1 + a 2 b2 a Dấu bằng xẩy ra ⇔ b1 1 = a2 ≥0 b2 Ý nghĩa: chuyển đổi một biểu thức ở trong căn thành một biểu thức khác ở ngồi căn Xét đánh giá giả định với các số α, β 11  2  1 2  2 1 β... việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc khơng dễ Do đó đây chỉ là một chun đề trong rất nhiều chun đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài tốn, thể hiện bài tốn từ đó học sinh có thể vân... 0.0 3 50 37 3.3 55.6 41.1 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng tốn Kü tht chän ®iĨm r¬i trong bất đẳng thức nói chung rất đa dạng và phong phú Mỗi bài tốn lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo Chun đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo Để đạt kết quả cao học sinh cần . là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật chọn điểm rơi trong việc giải các bài toán cực trị. 4 h;jPHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI. = ; h; Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bunhia Cũng như bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức này cũng cần có một phương pháp để cân bằng các hệ số khi ta giải các bài toán liên quan đến bất. B<#-<"I=BX;.$- </*@5q+rKBD2 <; * Bất đẳng thức Cauchy  n +CJ(K$ 1 2 , , , ( 2) n a a a n ≥ #Kb 1 2 1 2 n n n a