Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy BÀI GiẢNG MÔN HỌC SỨC BỀN VẬT LiỆU GV: TRẦN HỮU HUY Tp.HCM, tháng 10 năm 2009 (Lưu hành nội bộ) CHƯƠNG 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG ĐỊNH NGHĨA CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG MƠMEN QN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN CÁC CƠNG THỨC BiẾN ĐỔI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VỊNG TRỊN MOHR QN TÍNH BÀI TẬP ĐH Tơn Đức Thắng - Khoa KTCT Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy ĐỊNH NGHĨA P P z z y y Trong trường hợp chịu uốn, xoắn… ứng suất khơng phụ thuộc vào diện tích A mà cịn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt… nghĩa phụ thuộc vào yếu tố khác gọi chung đặc3 trưng hình học mặt cắt ngang CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mơmen tĩnh Mơmen tĩnh diện tích A trục x (hay y) mặt cắt biểu thức tích phân sau: y y M A dA Sx = ∫ ydA;Sy = ∫ xdA A A x x Trong đó: - x, y tọa độ điểm M – tâm phân tố diện tích dA Mơmen tĩnh có thứ ngun [chiều dài3] Mơmen tĩnh có giá trị âm, dương không ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mơmen tĩnh - Trục trung tâm trục có mơmen tĩnh diện tích A trục không - Trọng tâm giao điểm hai trục trung tâm mặt cắt - Như vậy, mômen tĩnh trục qua trọng tâm khơng Từ suy cách xác định trọng tâm diện tích A sau: CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mơmen tĩnh Gọi C trọng tâm tiết diện cần tìm Qua C dựng hệ trục tọa độ x0Cy0 song song với hệ trục tọa độ oxy ban đầu y Y Ta có quan hệ sau: x = xc + xo M A SX = ∫ ( yc + yo ) dA A SY = ∫ ( x c + x o ) dA dA C x0 yC Y Thay vào cơng thức tính mơmen tĩnh y0 y = yc + yo X xC x0 X A ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mômen tĩnh Triển khai biểu thức trên: Sx = ∫ ( yc + yo ) dA = yc ∫ dA + ∫ yo dA = yc A + Sxo A A A Sy = ∫ ( x c + yo ) dA = x c ∫ dA + ∫ x o dA = x c A + Syo A A A Vì x0 y0 trục trung tâm nên Sx = Sy0 = Từ ta có: Sx = y c A;Sy = x c A Tọa độ điểm C (xC,yC) xác định sau: Sy S yc = x ; x c = A A CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mơmen tĩnh Nếu mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm tiết diện nằm trục mơmen tỉnh tiết diện trục khơng Nếu mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm nằm giao điểm hai trục đối xứng Trong thực tế, ta hay gặp mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp ghép từ nhiều hình đơn giản Ta tính mơmen tỉnh hình phức tạp tổng mơmen tĩnh hình đơn giản Sx = ∑ A i yi = A1 y1 + A y y + + A n y n Sy = ∑ A i x i = A1x1 + A x y + + A n x n ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mơmen qn tính Mơmen qn tính diện tích A trục x (hay y) biểu thức tích phân sau: I x = ∫ y dA; I y = ∫ x dA 2 A y y M A dA A - Mơmen qn tính có thứ ngun [chiều dài4] - Mơmen qn tính ln mang giá trị dương x x CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Bán kính qn tính Một đặc trưng hình học hay dùng để tính tốn kết cấu bán kính quán tính xác định sau: ix = Ix ; A iy = Iy A Bán kính quán tính trục gọi bán kính qn tính có thứ ngun [chiều dài] 10 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mơmen qn tính độc cực Mơmen qn tính độc cực diện tích A góc tọa độ biểu thức tích phân sau: Ip = ∫ ρ2 dA y A Trong đó, ρ khoảng cách từ điểm M – tâm phân tố diện tích dA đến góc tọa độ Từ ta có quan hệ: A M y dA ρ ρ2 = x + y x Ip = I x + I y x 11 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Mơmen qn tính ly tâm Mơmen qn tính ly tâm diện tích A hệ trục xoy biểu thức tích phân sau: I xy = ∫ xydA y Mơmen qn tính ly tâm có thứ ngun [chiều dài4] Và có giá trị âm, dương khơng A M A y dA ρ x x 12 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG Hệ trục quán tính Hệ trục qn tính hệ trục có mơmen qn tính ly tâm khơng Một hệ trục tọa độ có trục trục đối xứng diện tích A hệ trục qn tính mặt cắt Vì mơmen qn tính ly tâm hai diện tích đối xứng với trục đối xứng có giá trị ngược dấu nên mơmen qn tính hình khơng Hệ trục qn tính trung tâm hệ trục qn tính có gốc tọa độ đặt trọng tâm tiết diện 13 MƠMEN QN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình chữ nhật Cho hình chữ nhật b x h Xác định mơmen quán tính Ix, Iy trục đối xứng x y y ⇒ I x = ∫ y dA = A Tương tự: h ∫ −h Iy = ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT y bdy = hb3 12 by 3 h −h = bh 12 h Ta có: dA = b.dy dy y dA x b 14 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy MÔMEN QN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình tam giác by = b Ta có: h h−y h y dA I x = ∫ y dA = ∫ y b y dy A dy h y h−y b Ix = ∫ y b dy = ∫ by dy − ∫ y3dy h h 0 h h h h by3 by Ix = − 4h h x by b bh = 12 15 MƠMEN QN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình trịn Cho hình trịn bán kính R (D=2R) Xác định mơmen qn tính độc cực Ip hình trịn Ta có: R I p = ∫ ρ2 2πρdρ = Ip = dA dA = 2πρ.dρ 2πρ 4 R ρ πR πD = ≈ 0,1D 32 dρ πD Vì tính chất đối xứng nên: I x = I y = = ≈ 0, 05D 16 64 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT Ip Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy MƠMEN QN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GiẢN Hình vành khăn Coi diện tích hình vành khăn diện tích hình trịn lớn trừ diện tích hình trịn nhỏ, ta được: πD πd πD ⎛ ⎛ d ⎞ ⎞ Ip = − = ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ 32 32 32 ⎜ ⎝ D ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ πD Ip = (1 − η4 ) Với: η = d D 32 Ix = Iy = Ip = d D πD (1 − η4 ) ≈ 0, 05D4 (1 − η4 ) 64 17 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức chuyển trục song song - Biết Ix, Iy, Ixy - Tìm IX, IY, IXY Ta có liên hệ sau: Y M y A X I X = ∫ ( y + 2by + b ) dA a A I X = ∫ y dA + 2b ∫ ydA + b ∫ dA ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT A x Y b I X = ∫ Y dA = ∫ ( y + b ) dA A A dA X = x + a; Y = y + b A y x X 18 A Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức chuyển trục song song - Vậy ta có: Y y M I X = I x + 2bSx + b A y I Y = I y + 2aSy + a A x Y b I XY = I xy + aSx + bSy + abA A dA X Trong a, b tọa độ gốc tọa độ ban đầu hệ trục tọa độ XOY a x X 19 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức chuyển trục song song Trong trường hợp đặc biệt gốc tọa độ ban đầu nằm trọng tâm mặt cắt Y M IY = I y + a A I XY = I xy + abA y x Y b IX = I x + b2 A A dA Sx = S y = Ta có cơng thức sau: y X a x X 20 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 10 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy CÁC CƠNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Cơng thức xoay trục y u A a os dA y.c M v α i x.s y na Xét hệ trục uov xoay từ hệ trục ban đầu góc α - Biết Ix, Iy, Ixy - Tìm Iu, Iv, Iuv v Ta có liên hệ tọa độ: α ⎧u = x cos α + y sin α ⎨ ⎩ v = y cos α − x sin α y.s x a os x.c ina x u 21 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức xoay trục Thay vào công thức Iu I u = ∫ ( y cos α − x sin α ) dA A 2 I u = cos α ∫ y dA + sin α ∫ x dA − 2sin α.cosα ∫ xydA A A A I u = I x cos α + I y sin α − 2I xy sin α.cosα 2 Sử dụng công thức lượng giác: cos α = 1 (1 + cos2α ) ;sin α = (1 − cos2α ) ; 2sin α.cosα = sin 2α 2 22 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 11 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức xoay trục Triển khai thu gọn ta được: Iu = Iv = Ix + Iy + Ix + Iy I uv = Ix − Iy − Ix − Iy Ix − Iy cos2α − I xy sin 2α cos2α + I xy sin 2α sin 2α + I xy cos 2α 23 CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Công thức xoay trục Các công thức có dạng tương tự với cơng thức ứng suất mặt cắt nghiêng Nên: Ix + Iy ⎛ Ix − Iy ⎞ I max = + ⎜ ⎟ + I xy ⎝ ⎠ I = Ix + Iy ⎛ Ix − Iy ⎞ − ⎜ ⎟ + I xy ⎝ ⎠ Với phương qn tính chính: ĐH Tơn Đức Thắng - Khoa KTCT tg2α = − 2I xy Ix − Iy 24 12 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy VỊNG TRỊN MOHR QN TÍNH Cơng thức xoay trục Về tốn học ta nhận thấy có tương đồng phương trình chuyển đổi mơmen qn tính phương trình chuyển đổi ứng suất - Iu tương đương σu - Iv với tương đương σv - Ix tương đương σx - Iy với tương đương σy - Ixy với tương đương τxy Vì vậy, dùng hệ trục tọa độ với trục hoành biểu diễn Iu trục tung biểu diễn Iuv quan hệ Iu Iuv tương quan vòng tròn gọi vịng trịn Mohr qn 25 tính VỊNG TRỊN MOHR QN TÍNH Cơng thức xoay trục Ở đây, vịng trịn Mohr ln nằm bên phải trục tung giá trị Iu dương Ι uv Ι uv Ι xy M α P Ιu D α1 α2 B F C G E A Ιu Ι max Ι Ι Ιy Ιu Ιx Ι max ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT 26 13 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy Cách xác định hệ trục QTCTT hình phẳng bất kỳ: Trong trường hợp tổng qt, hình phẳng A khơng có trục đối xứng, hệ trục QTCTT xác định theo trình tự sau: - Chọn hệ trục Oxy ban đầu Xác định trọng tâm hình hệ trục - Chuyển trục song song trọng tâm hình Tính mơmen qn tính hệ trục trung tâm - Xoay trục để tìm phương qua trọng tâm 27 ĐH Tơn Đức Thắng - Khoa KTCT 14 ... dA dA = 2πρ.dρ 2πρ 4 R ρ πR πD = ≈ 0,1D 32 dρ πD Vì tính chất đối xứng nên: I x = I y = = ≈ 0, 05D 16 64 ĐH Tôn Đức Thắng - Khoa KTCT Ip Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy MƠMEN QN TÍNH... Thắng - Khoa KTCT A x Y b I X = ∫ Y dA = ∫ ( y + b ) dA A A dA X = x + a; Y = y + b A y x X 18 A Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy CÁC CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Cơng thức chuyển... Thắng - Khoa KTCT tg2α = − 2I xy Ix − Iy 24 12 Bài giảng Sức bền vật liệu GV Trần Hữu Huy VÒNG TRÒN MOHR QN TÍNH Cơng thức xoay trục Về tốn học ta nhận thấy có tương đồng phương trình chuyển