Đang tải... (xem toàn văn)
tổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảotổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảo
Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân CHƯƠNG III CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM,, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I NGUN HÀM I NGUN HÀM Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định K Hàm số F đgl nguyên hàm f K nếu: F '( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K • Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x) K là: ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C , C ∈ R • Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất • ∫ f '( x )dx = f ( x ) + C • ∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx • ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (k ≠ 0) Nguyên hàm số hàm số thường gặp • ∫ 0dx = C • ∫ dx = x + C • ∫ xα dx = • xα +1 + C, α +1 (α ≠ −1) ax + C (0 < a ≠ 1) ln a • ∫ cos xdx = sin x + C • ∫ a x dx = • ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ x dx = ln x + C • • x x • ∫ e dx = e + C • ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0) a • ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0) a ∫ cos2 x dx = tan x + C ∫ sin2 x dx = − cot x + C ax + b e + C , (a ≠ 0) a 1 dx = ln ax + b + C • ∫ ax + b a • ∫ eax + b dx = Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu ∫ f (u)du = F (u) + C u = u( x ) có đạo hàm liên tục thì: ∫ f [ u( x )] u '( x )dx = F [ u( x )] + C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì: ∫ udv = uv − ∫ vdu VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Trang Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Bài Tìm nguyên hàm hàm soá sau: a) f ( x ) = x –3 x + d) f ( x ) = x b) f ( x ) = ( x − 1)2 x2 c) f ( x ) = x −1 x2 e) f ( x ) = x + x + x x f) f ( x ) = h) f ( x ) = tan x x2 g) f ( x ) = sin 2x4 + i) f ( x ) = cos2 x x − x cos x m) f ( x ) = sin x cos x sin2 x.cos2 x e− x x x( x ) ÷ n) f ( x ) = e e – o) f ( x ) = e + p) f ( x ) = e3 x +1 ÷ cos x Bài Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: F (π ) = a) f ( x ) = x − x + 5; b) f ( x ) = − 5cos x; F (1) = k) f ( x ) = sin2 x.cos2 x − 5x ; x x3 − e) f (x )= ; x c) f ( x ) = x2 + ; x F (e) = d) f ( x ) = F (−2) = g) f ( x ) = sin x.cos x; i) f ( x ) = l) f ( x ) = f) f ( x ) = x x + π F ' ÷= 3 h) f ( x ) = x3 + 3x3 + 3x − ; F (0) = F (1) = x ; 3x − x + x2 x k) f ( x ) == sin ; F (1) = −2 ; F (1) = π π F ÷= 2 ( x + 1) Bài Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: π F ÷= a) g( x ) = x cos x + x ; f ( x ) = x sin x; 2 b) g( x ) = x sin x + x ; f ( x ) = x cos x; F (π ) = c) g( x ) = x ln x + x ; f ( x ) = ln x; F (2) = −2 Bài Chứng minh F(x) nguyên hàm hàm số f(x): F ( x ) = (4 x − 5)e x F ( x ) = tan x + x − a) b) x f ( x ) = (4 x − 1)e f ( x ) = tan x + tan x + x2 + x2 − x + F ( x ) = ln F ( x ) = ln ÷ ÷ x2 + x + x +3 c) d) −2 x f (x) = f ( x ) = 2( x − 1) ( x + 4)( x + 3) x4 + Bài Tìm điều kiện để F(x) nguyên hàm hàm số f(x): Trang Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân F ( x ) = mx + (3m + 2) x − x + Tìm m a) f ( x ) = x + 10 x − F ( x ) = ln x − mx + Tìm m 2x + b) f (x) = x + 3x + F ( x ) = (ax + bx + c) x − x F ( x ) = (ax + bx + c)e x Tìm a, b, c d) Tìm a, b, c c) x f ( x ) = ( x − 3)e f ( x ) = ( x − 2) x − x F ( x ) = (ax + bx + c)e −2 x F ( x ) = (ax + bx + c)e − x Tìm a, b, c Tìm a, b, c e) f) −2 x −x f ( x ) = −(2 x − x + 7)e f ( x ) = ( x − x + 2)e b c F ( x ) = (a + 1)sin x + sin x + sin x Tìm a, b, c g) f ( x ) = cos x F ( x ) = (ax + bx + c) x − Tìm a, b, c h) 20 x − 30 x + f (x) = 2x − ∫ f ( x )dx phương pháp đổi biến số g [ u( x )] u '( x ) ta đặt t = u( x ) ⇒ dt = u '( x )dx VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm • Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = ∫ f ( x )dx Khi đó: = ∫ g(t )dt , ∫ g(t )dt dễ dàng tìm Chú ý: Sau tính ∫ g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x) • Dạng 2: Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa a2 − x a2 + x Cách đổi biến x = a sin t , x = a cos t, hoaëc x = a tan t, x = a cot t, hoaëc π π ≤t≤ 2 0≤t ≤π π π −