MỤC LỤC Mở đầu Tổng quan Danh mục ký hiệu Chương 1: Một số mơ hình giải tích hệ Máy-Cơng trình 1.1 Phần tử có vật rắn chịu kéo 1.1.1 Ma trận chuyển tiếp phần tử hồi chịu kéo 1.1.2 Ma trận chuyển tiếp phần tử vật rắn chịu kéo 1.1.3 Giải toán trị riêng đàn hồi có vật rắn chịu kéo 1.2 Phần tử có vật rắn chịu xoắn 1.2.1 Ma trận chuyển tiếp phần tử đàn hồi chịu xoắn 1.2.2 Ma trận chuyển tiếp phần tử vật rắn chịu xoắn 1.2.3 Giải tốn trị riêng đàn hồi có vật rắn chịu xoắn 1.3 Phần tử dầm có vật rắn chịu uốn 1.3.1 Ma trận chuyển tiếp cho phần tử dầm đàn hồi 1.3.2 Ma trận chuyển tiếp phần tử vật rắn chịu uốn 1.3.3 Giải toán trị riêng dầm đàn hồi có vật rắn chịu uốn 8 10 14 14 15 16 16 16 18 20 Chương 2: Mơ hình phần tử hữu hạn cho phần tử đàn hồi có vật rắn 30 2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phần tử đàn hồi 2.1.1 Tư tưởng phương pháp 2.1.2 Cơ sở toán học phương pháp 2.2 Một số phần tử hữu hạn vật đàn hồi thông dụng 2.2.1 Phương pháp sử dụng ma trận hàm dạng 2.2.1.1 Phần tử chịu kéo 30 30 31 34 34 34 2.2.1.2 Phần tử chịu xoắn 2.2.1.3 Phần tử dầm chịu uốn 2.2.2 Phương pháp khai triển ma trận độ cứng động lực 2.2.2.1 Phần tử chịu kéo 2.2.2.2 Phần tử chịu xoắn 2.2.2.3 Phần tử dầm chịu uốn 2.3 Mơ hình phần tử hữu hạn cho phần tử đàn hồi có vật rắn 2.3.1 Mơ hình “Phần tử kéo” 2.3.2 Mơ hình “Phần tử xoắn” 2.3.3 Mơ hình “Phần tử uốn” 35 36 37 37 39 39 41 42 43 43 2.4 Các ví dụ áp dụng 47 2.4.1 “Phần tử kéo” 2.4.2 “Phần tử xoắn” 2.4.3 “Phần tử uốn” 47 50 51 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Phụ lục 57 Phụ lục 1: Chương trình tính cho chịu kéo 57 Phụ lục 2: Chương trình tính cho chịu xoắn 60 Phụ lục 3: Chương trình tính cho dầm chịu uốn 63 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa Đơn vị A diện tích thiết diện m B số C ma trận cản toàn hệ N.s/m Ce ma trận cản phần tử N.s/m d đường kính trục m e số phần tử E môđun đàn hồi f tần số dao động riêng Hz G môđun trượt N/m2 i, j đơn vị ảo, số phần tử Ip mơmen qn tính cực thiết diện m4 Ix mơmen qn tính chống xoắn thiết diện m4 J mơmen qn tính thiết diện m4 JG mơmen qn tính khối lượng vật rắn kg.m2 K ma trận khối lượng tổng thể N/m Ke ma trận khối lượng phần tử N/m ˆ Ke ma trận độ cứng động phần tử kg l tỉ số chiều dài vật rắn dầm đàn hồi L chiều dài vật rắn m L0, L1, L2 chiều dài vật đàn hồi m M ma trận khối lượng hệ tổng thể kg Me ma trận khối lượng phần tử kg M1, M2, Mj mômen đầu nút phần tử N.m ˆ ˆ ˆ M1 , M , M j mômen đầu nút phức phần tử N.m N tổng số phần tử, số bậc tự N1, N2 lực kéo nén đầu nút phần tử N ˆ ˆ N1 , N biên độ phức lực kéo nén đầu nút phần tử N P véc tơ lực suy rộng ngoại lực N(N.m) Ký hiệu Ý nghĩa Đơn vị ˆ P biên độ phức véc tơ lực suy rộng ngoại lực N(N.m) q véc tơ tọa độ suy rộng Q1, Q2 lực cắt đầu phần tử N re véctơ trường chuyển vị m R bán kính đĩa vật rắn m S đại lượng vô hướng t biến thời gian T1, T2 ma trận chuyển tiếp phần tử Te, T động phần tử, động toàn hệ J u(x,t) dịch chuyển dọc trục m Ue, U véctơ dịch chuyển nút phần tử, toàn hệ m(rad) w(x,t) độ võng thiết diện dầm m x, y, z tọa độ đề ˆ Z, Z véctơ trạng thái đầu phần tử  mật độ khối lượng vật liệu kg/m3  trị riêng 1/m , 1 tỉ số khối lượng vật rắn dầm đàn hồi 2 tỉ số mô men quán tính vật rắn dầm đàn hồi  tần số riêng s rad LỜI MỞ ĐẦU Phương pháp Phần tử hữu hạn công cụ phổ biến nhất, nay, việc phân tích động lực kết cấu cơng trình Tuy nhiên, hầu hết chương trình máy tính dùng phân tích kết cấu Phương pháp Phần tử hữu hạn chưa giải trường hợp kết cấu cơng trình có phần tử mơ hình vật rắn tuyệt kích thước lớn so với kích thước kết cấu Để giải vấn đề thông thường có hai giải pháp: Giải pháp thứ sử dụng phần tử đàn hồi có độ cứng lớn giải pháp thứ hai phân chia vật rắn nút Với cách thứ gặp phần tử có độ cứng lớn, việc tính tốn máy tính trở nên khó khăn, chí khơng thể thực Với cách thứ hai, điều phân chia vật rắn thành chất điểm rời rạc không liên quan đến Cách làm thực tế loại bỏ hoàn toàn có mặt vật rắn đối tượng cần nghiên cứu Ý tưởng luận văn tìm cách phát triển Phương pháp Phần tử hữu hạn để mô tả kết cấu vật rắn đồng thời hệ hỗn hợp Máy-Cơng trình để làm tăng độ xác mơ tả đối tượng thường gặp thực tế Mục đích luận văn xây dựng mơ hình Phần tử hữu hạn cho hệ hỗn hợp: vật đàn hồi - vật rắn phục vụ cho việc phân tích động lực học cơng trình thực tế kỹ thuật Nội dung luận văn gồm phần Mục lục, mở đầu, tổng quan, danh mục ký hiệu, hai chương, kết luận phần phụ lục chương trình tính tốn phần mềm MAPLE Trong đó:  Chương 1: Một số mơ hình giải tích hệ Máy-Cơng trình  Chương 2: Mơ hình phần tử hữu hạn cho phần tử đàn hồi có vật rắn Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm, người hướng dẫn tận tình để luận văn hồn thành Tác giả xin chân thành cảm ơn Trung tâm Hợp tác đào tạo Bồi dưỡng Cơ học, Viện Cơ học tạo điều kiện thuận lợi trình học tập làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Phạm Anh Tuấn, KS Nguyễn Văn Đắc, KS Đỗ Thị Ngọc Oanh đồng nghiệp Phòng Cơ điện tử, Viện Cơ học người thân gia đình động viên, giúp đỡ đóng góp ý kiến q báu q trình hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 30 tháng năm 2003 Tác giả TỔNG QUAN Trong năm gần đây, lĩnh vực Động lực học Máy-Cơng trình quan tâm nhiều nhà Cơ học nước Tuy nhiên, thời gian dài Động lực học máy Động lực học cơng trình nghiên cứu gần tách biệt khơng có mối liên hệ ảnh hưởng lẫn Việc có nhiều nguyên nhân, chủ yếu hai nguyên nhân chính: Thứ đối tượng nghiên cứu hai ngành khác nhau, thứ hai cơng cụ tính toán chưa đủ mạnh để giải đồng thời hai đối tượng hệ khảo sát Đối tượng Động lực học máy cấu máy chuyển động lớn không gian ba chiều Mô hình cho hệ Máy hệ hữu hạn vật rắn liên kết với khớp Vì mơ hình đưa để giải mơ hình Hệ nhiều vật rắn khơng biến dạng Thơng thường với số ít, vài trục vài trăm bậc tự giải tốn động lực học Máy cho kết phản ánh xác mơ hình cấu máy thực tế kỹ thuật Công cụ để giải mơ hình Động lực học máy năm gần chương trình mơ hệ nhiều vật ADAMS, ALASKA, NEWEUL Với Động lực học công trình vấn đề lại hồn tồn ngược lại Đối tượng kết cấu đàn hồi có chuyển động bé, chúng hệ liên tục, có vơ số bậc tự Để giải toán cách hiệu phải rời rạc hoá chúng thành hệ hữu hạn bậc tự Vì để mơ tả xác kết cấu cần số lượng lớn, chí lên tới hàng vạn, bậc tự Công cụ chủ yếu để giải tốn phần mềm Phân tích kết cấu SAP, NASTRAN, ANSYS Tuy nhiên, thực tế khách quan, đối tượng hai ngành có tương tác qua lại, ảnh hưởng lẫn Khi cấu máy chuyển động lớn không gian làm ảnh hưởng tới trường ứng suất, biến dạng chuyển động bé, ngược lại biến đổi trường ứng suất, biến dạng chuyển động bé lại ảnh hưởng đến độ xác, độ ổn định cấu máy chuyển động lớn không gian Nên việc nghiên cứu đồng thời mơ hình bao gồm chuyển động bé chuyển động lớn hệ tổng thể nhu cầu cần thiết việc giải tốn kỹ thuật với u cầu độ xác độ tin cậy cao Vì nghiên cứu Động lực học Hệ Máy-Cơng trình vấn đề quan trọng mang tính thời Nghiên cứu Động lực học Hệ Máy-Cơng trình có hai hướng giải Hướng thứ đứng quan điểm Động lực học Máy để giải tốn có phần tử đàn hồi Hướng thứ hai đứng quan điểm Động lực học cơng trình nghiên cứu tốn có phần tử vật rắn Nhờ phát triển cơng cụ tính tốn nên giải đồng thời hai hai đối tượng hệ Đối với hướng thứ nhất, nhà Cơ học nước nghiên cứu thu nhiều thành tựu Tư tưởng chủ đạo phương pháp mơ hình phần tử đàn hồi tổ hợp đặc biệt vật rắn không biến dạng Các thuộc tính đàn hồi quy đổi cho mơ hình thay tương đương với phần tử đàn hồi theo tiêu chí đặt ra, chẳng hạn tần số riêng, dạng riêng Có thể kể đến cơng trình nghiên cứu bật: Phương pháp thu gọn bậc tự Guyan (1965), mơ hình siêu phần tử chương trình ALASKA GS Peter Maier Cộng hòa Liên bang Đức Lý thuyết phương pháp Ahmed A Shabana trình bày sách “Dynamics of Multibody systems” Ở Việt Nam hướng nghiên cứu nhà khoa học đề cập năm gần đây, kể đến số cơng trình như: Luận án TS Vũ Văn Khiêm (1996), Trường đại học Bách khoa Hà Nội “Tính tốn dao động tuần hồn cấu có khâu rắn khâu đàn hồi phương pháp số” hướng dẫn GS Nguyễn Văn Khang; Luận án TS Chu Văn Đạt (2001), Học viện Kỹ thuật Quân “Ứng dụng mô hình siêu phần tử Động lực học Động lực học hệ nhiều vật đàn hồi phẳng” hướng dẫn PGS Phan Nguyên Di Đề tài “Động lực học máy tương tác với cơng trình biển” GS Nguyễn Cao Mệnh (Viện Cơ học) chủ trì Trong hướng nghiên cứu thứ hai, tư tưởng chủ đạo phát triển cơng cụ phân tích Động lực học cơng trình để giải tốn hệ đàn hồi có phần tử vật rắn Có thể kể đến loạt cơng trình nghiên cứu sau: H.D Nelson (1976) với cơng trình “The Dynamics of Roror-Bearing system Using Finite Elements”; M.Sakata, K Mimura and S.K.Park (1989) với cơng trình “Vibration of bladed flexible rotor due to Gyroscopic moment”; Vahit Mermertas and Haluk Erol (2001) với cơng trình “Effect of mass attachment on the free vibration of cracked beam”; F.Oncescu, A A Lakis and G.Ostiguy (2002) với công trình “Investigation of the stability and steady state response of asymmetric rotors, using Finite Element Formulation”; P.D Cha (2002) với cơng trình “Natural frequencies of a linear elastic beam carrying any number of sprung masses” nhiều cơng trình khác Ở Việt Nam hướng nghiên cứu mẻ GS Nguyễn Xuân Hùng (Viện Cơ học ứng dụng Thành phố Hồ Chí Minh) bước đầu có số cơng trình nghiên cứu phân tích Động lực cấu mềm phương pháp ma trận độ cứng động lực Tuy nhiên, tận bây giờ, cơng trình nghiên cứu nêu dừng lại việc quan niệm vật rắn vật điểm: nghĩa vật rắn có khối lượng mơmen qn tính tập trung điểm bỏ qua kích thước khơng gian vật rắn Khi kích thước khơng gian vật rắn không đáng kể cách tập trung khối lượng nút chấp nhận được, kích thước vật rắn lớn, việc phân chia khối lượng nút vơ hình dung loại bỏ có mặt vật rắn đối tượng cần nghiên cứu, làm giảm mức độ xác mơ hình Vì việc khảo sát đồng thời vật rắn có kích thước kết cấu đàn hồi cần thiết Hướng nghiên cứu mới, nhiều vấn đề cần nhà khoa học tập trung giải hồn tồn có triển vọng phát triển Đấy lý để tác giả chọn luận văn “Phân tích Động lực học Máy-Cơng trình Phương pháp Phần tử hữu hạn” Chương MỘT SỐ MƠ HÌNH GIẢI TÍCH CỦA HỆ MÁY-CƠNG TRÌNH Trong chương trình bày sở khoa học để thiết lập phương trình đặc trưng dao động số mơ hình giải tích đơn giản hệ Máy-Cơng trình bao gồm vật đàn hồi vật rắn tuyệt đối Các mơ hình cụ thể khảo sát hệ thanh, dầm đàn hồi có vật rắn chịu kéo, xoắn uốn Từ tính tần số riêng mơ hình Phương pháp giải chọn phương pháp ma trận chuyển tiếp Ngoài ra, phần đại lượng học dịch chuyển, góc xoay, lực cắt biểu diễn miền không gian tần số thay cho miền không gian thời gian việc sử dụng khái niệm biên độ phức Với cách làm này, phương trình đạo hàm riêng theo biến thời gian t đưa phương trình đại số Để thuận tiện cho việc theo dõi phần tiếp theo, khái niệm biên độ phức trình bày Khái niệm biên độ phức: Giả thiết cho hàm điều hòa u(t ) với tần số  , lúc ta biểu diễn u(t ) dạng: ˆ u (t )  u ( )e it ˆ u( ) gọi biên độ phức u(t ) , i số ảo Khái niệm biên độ phức mở rộng cho hàm bất kỳ, biên độ phức hàm u(t ) biến đổi Phuriê nó: ˆ u ( )  2   u(t )e it dt  ˆ ngược lại, biết u( ) ta tính u(t ) phép biến đổi ngược:  ˆ u (t )   u ( )e it d  Dưới đưa mơ hình giải tích nêu sở thiết lập ma trận chuyển tiếp cho phần tử đàn hồi, phần tử vật rắn riêng rẽ ứng với mơ hình Tích ma trận cho ta ma trận chuyển tiếp toàn phần tử đàn hồi có vật rắn Sử dụng điều kiện biên ta thu phương trình đặc trưng dao động tồn hệ Từ tính tần số dao động riêng 1.1 Phần tử có vật rắn chịu kéo 1.1.1 Ma trận chuyển tiếp phần tử đàn hồi chịu kéo Khảo sát phần tử đàn hồi chịu kéo, với quy ước chiều dương chuyển vị u(x,t) lực kéo N(x,t) hình 1.1 Với tham số , E, A, Lj mật độ khối lượng, mơđun đàn hồi, diện tích thiết diện chiều dài Trục toạ độ trùng với trục Khi phương trình dao động tự do, không cản dầm thiết diện mơ tả phương trình: E  u( x, t )  u ( x, t )  0 x t (1.1.1) Đưa (1.1.1) sang miền không gian tần số phép biến đổi Phuriê ˆ nói u ( x, t )  u ( x,  )e it , ta thu được: ˆ d 2u( x, ) ˆ  2u( x, )  dx  với  E (1.1.2)  (1.1.3) ˆ Nghiệm (1.1.2) có dạng: u( x, )  Asin(x)  B cos(x) Các số A, B phụ thuộc vào điều kiện biên hai đầu thanh: ˆ ˆ u (0)  u j 1, u ( L j )  u j ,  EA ˆ u x x 0 ˆ u ˆ  N j 1, EA x xL j ˆ  Nj x Nj-1 Nj , E, Lj uj-1 uj Hình 1.1 Chuyển vị lực đầu phần tử chịu kéo Từ điều kiện ta có mối liên hệ: ˆ ˆ u j  cos(L j )  sin(L j )  u j 1    EA    ˆ ˆ  N j   EA sin(L )  cos(L )  N j 1       j j    ký hiệu véc tơ trạng thái đầu nút j j-1 tương ứng là:  ˆ ˆ ˆ Zj  uj Nj  , Zˆ T j 1  ˆ ˆ  u j 1 N j 1  T (1.1.4) KẾT LUẬN Luận văn sử dụng đồng thời phương pháp giải tích Phương pháp Phần tử hữu hạn phát triển để giải tốn hệ thanh, dầm có vật rắn với dao động điển hình kéo, xoắn uốn Các kết mà luận văn đạt sau: Xây dựng mơ hình giải tích thanh, dầm chứa vật rắn có kích thước lớn Trên sở mơ hình nhận tần số riêng phụ thuộc vào kích thước vật rắn Kết sở để đánh giá sai số Phương pháp Phần tử hữu hạn cho phần tử tương ứng Mơ hình Phần tử hữu hạn thanh, dầm chịu kéo, xoắn, uốn chứa vật rắn tuyệt đối có kích thước lớn xây dựng dựa Phương pháp ma trận độ cứng động lực xấp xỉ bậc hai Mơ hình sử dụng để nghiên cứu hệ khung khơng gian phức tạp Khi kích thước, khối lượng vật rắn khơng ta thu mơ hình Phần tử hữu hạn thông thường Kết nghiên cứu tần số riêng thanh, dầm chứa vật rắn có kích thước Phương pháp Phần tử hữu hạn phát triển cho thấy:  Các tần số dao động dọc, xoắn không bị ảnh hưởng kích thước vật rắn Trong trường hợp Phương pháp Phần tử hữu hạn phát triển khơng làm tăng độ xác so với Phương pháp phần tử hữu hạn thông thường  Các tần số dao động uốn phụ thuộc nhiều vào kích thước vật rắn Phương pháp Phần tử hữu hạn phát triển nâng cao độ xác so với Phương pháp Phần tử hữu hạn thông thường Đặc biệt, việc phân chia khối lượng, mơ men qn tính nút khơng làm giảm độ xác mơ hình mà cách làm cịn phản ánh khơng chất Cơ học hệ khảo sát 55 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tiến Khiêm Cơ sở Động lực học công trình Giáo trình dành cho học viên Cao học ngành Cơ học Hà Nội 2002 [2] Nguyễn Văn Khang Dao động kỹ thuật Nhà xuất Khoa học kỹ thuật 1998 [3] Singiresu S Rao Mechanical vibration Wiley Inc, 1990 [4] Chu Quốc Thắng Phương pháp Phần tử hữu hạn Nhà xuất Khoa học kỹ thuật 1997 [5] R.W Clough Dynamics of structures McGrow-Hill Inc, 1993 [6] Nguyễn Xuân Hùng Tính kết cấu máy tính Chương trình ADS-2001 Nhà xuất Khoa học kỹ thuật 2002 [7] Nguyễn Xn Hùng Động lực học cơng trình biển Nhà xuất Khoa học kỹ thuật 1999 [8] Đào Huy Bích Lý thuyết đàn hồi Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2000 [9] Lưu Quang Minh, Nguyễn Văn Vượng Sức bền Vật liệu, Tập I Nhà xuất Giáo dục 1998 [10] Đỗ Sanh Cơ học lý thuyết, Tập II Nhà xuất Giáo dục 1998 [11] Đinh Văn Phong Phương pháp số Cơ học Nhà xuất Khoa học kỹ thuật 2000 [12] Ahmed Sabana Dynamics of Multibody systems Wiley Inc, 2000 [13] Nguyễn Tiến Khiêm, Trần Văn Liên The dynamics stiffness matrix method in forced vibration analysis of multiple-crack beam Journal of Sound and Vibration 2002 541-555 [14] Franz Holzweiig, Hans Dresig Giáo trình Động lực học Máy Vũ Liêm Chính, Phan Ngun Di dịch [15] Edward J Haug Computer aided kinematics and dynamics of Mechanical systems Wiley Inc, 1989 56 Phụ lục CÁC CHƢƠNG TRÌNH TÍNH TỐN BẰNG PHẦN MỀM MAPLE Phụ lục 1: Chƣơng trình tính cho chịu kéo > with(linalg); > H1L:=vector(2,[cos(phi1),-sin(phi1)/(lambda*E*A)]); sin(  )  H1L :=  cos (  ),     EA    > H2L:=vector(2,[-lambda*E*A*sin(phi1),-cos(phi1)]); H2L := [  E A sin(  ), cos (  ) ] > T1:=stackmatrix(H1L, H2L); sin(  )   EA   cos (  )    cos (  )  T1 :=    E A sin(  )   > H1R:=vector(2,[cos(phi2),-sin(phi2)/(lambda*E*A)]); sin(  )  H1R :=  cos (  ),     EA    > H2R:=vector(2,[-lambda*E*A*sin(phi2),-cos(phi2)]); H2R := [  E A sin(  ), cos (  ) ] > T2:=stackmatrix(H1R, H2R); sin(  )   EA   cos (  )    cos (  )  T2 :=    E A sin(  )   > H1:=vector(2,[1,0]); H1 := [ 1, ] > H2:=vector(2,[m*omega^2,-1]); H2 := [ m  2, -1 ] > T:=stackmatrix(H1, H2);  T :=  m   > Ts:=evalm(T2&*T&*T1): 57 0  -1  > lambda:=sqrt(rho/E)*omega;  :=   E > T11:=Ts[1,1]; sin(  ) m    T11 :=  cos (  )  cos (  ) sin(  ) sin(  )   EA   > T12:=Ts[1,2]; sin(  ) m    cos (  )  EA T12 :=   EA   sin(  )  sin(  ) cos (  )   EA > T21:=Ts[2,1]; T21 := (  E A sin(  ) cos (  ) m  ) cos (  ) cos (  )  E A sin(  ) > T22:=Ts[2,2]; (  E A sin(  ) cos (  ) m  ) sin(  ) T22 :=   cos (  ) cos (  ) EA > K11:=factor(-T11/T12); K11 := ( cos (  ) cos (  )  E A cos (  ) sin(  ) m  2 sin(  ) sin(  )  E A )  E A cos (  )  E A sin(  ) sin(  ) sin(  ) m  2 sin(  ) cos (  )  E A > K12:=factor(1/T12);  E A2 K12 :=  cos (  )  E A sin(  ) sin(  ) sin(  ) m  2 sin(  ) cos (  )  E A > K21:=factor(T21+T22*K11); K21 :=   E A2 ( sin(  ) 2 cos (  ) ) ( sin(  ) 2 cos (  ) ) cos (  )  E A sin(  ) sin(  ) sin(  ) m  2 sin(  ) cos (  )  E A > K22:=factor(T22*K12); K22 := ( sin(  ) sin(  )  E A sin(  ) cos (  ) m  2 cos (  ) cos (  )  E A )  E A cos (  )  E A sin(  ) sin(  ) sin(  ) m  2 sin(  ) cos (  )  E A > phi1:=lambda*L1;  :=  L1 > phi2:=lambda*L2;  :=  L2 > K011:=limit(K11,omega=0); 58 K011 := EA L1  L2 > K012:=limit(K12,omega=0); K012 :=  EA L1  L2 > K021:=limit(K21,omega=0); K021 :=  EA L1  L2 > K022:=limit(K22,omega=0); K022 :=  EF L1  L2 > omega:=sqrt(beta);  :=  > m11:=-diff(K11,beta): > M0_11:=limit(m11, beta=0); M0_11 :=  L1 A  L2 A L1 2  L2 A L1  L2 m   L2 A ( L1  L2 ) > m12:=-diff(K12,beta): > M0_12:=limit(m12, beta=0);  L2 A L1 2  L2 A L1 L2 m   L1 A  L2 A L1 M0_12 := ( L1  L2 ) > m21:=-diff(K21,beta): > M0_21:=limit(m21, beta=0); M0_21 :=  L2 A L1 2  L2 A L1 L2 m   L1 A  L2 A L1 ( L1  L2 ) > m22:=-diff(K22,beta): > M0_22:=limit(m22, beta=0); M0_22 :=  L2 A L1   L1 A  L2 A  L2 A L1 2 L1 m ( L1  L2 ) > a:=factor(TheEquation); 59 a := ( K2(  )  K4(  ) E J K2(  ) K2(  ) m  Lg   K2(  ) K3(  ) m   K1(  )  K4(  ) L E J K1(  )  K1(  ) E J K1(  )  K2(  )  JG  K1(  )  K2(  )  m H Lg  K1(  )  K3(  ) m H   K2(  ) K4(  ) E J  3  E J K3(  ) K2(  ) L   E J K3(  ) K3(  ) ) ( E J  ) >Pt1:=cos(phi1+phi2) /(sin(phi1)*cos(phi2)*(L1+L2)*lambda)=muy; Pt1 := cos (    )  muy sin(  ) cos (  ) ( L1  L2 )  Phụ lục 2: Chƣơng trình tính cho chịu xoắn > with(linalg); > H1L:=vector(2,[cos(phi1),-sin(phi1)/(lambda*G*Ix)]); sin(  )  H1L :=  cos (  ),      G Ix    > H2L:=vector(2,[-lambda*G*Ix*sin(phi1),-cos(phi1)]); H2L := [  G Ix sin(  ), cos (  ) ] > T1:=stackmatrix(H1L, H2L);  cos (  )  T1 :=    G Ix sin(  )  sin(  )    G Ix   cos (  )    > H1R:=vector(2,[cos(phi2),-sin(phi2)/(lambda*G*Ix)]); sin(  )  H1R :=  cos (  ),      G Ix    > H2R:=vector(2,[-lambda*G*Ix*sin(phi2),-cos(phi2)]); H2R := [  G Ix sin(  ), cos (  ) ] > T2:=stackmatrix(H1R, H2R);  cos (  )  T2 :=    G Ix sin(  )  sin(  )    G Ix   cos (  )    > H1:=vector(2,[1,0]); H1 := [ 1, ] > H2:=vector(2,[JD*omega^2,-1]); H2 := [ JD  2, -1 ] 60 > T:=stackmatrix(H1, H2);  T :=  JD   0  -1  > Ts:=evalm(T2&*T&*T1): > lambda:=sqrt(rho*Ip/(G*Ix))*omega;  :=  Ip G Ix  > T11:=Ts[1,1]; sin(  ) JD   T11 :=  cos (  )   G Ix    cos (  ) sin(  ) sin(  )   > T12:=Ts[1,2]; sin(  ) JD    cos (  )   G Ix T12 :=    G Ix   sin(  )  sin(  ) cos (  )    G Ix > T21:=Ts[2,1]; T21 := (  G Ix sin(  ) cos (  ) JD  ) cos (  ) cos (  )  G Ix sin(  ) > T22:=Ts[2,2]; T22 :=  (  G Ix sin(  ) cos (  ) JD  ) sin(  )  cos (  ) cos (  )  G Ix > K11:=factor(-T11/T12); K11 := ( cos (  ) cos (  )  G Ix cos (  ) sin(  ) JD  2 sin(  ) sin(  )  G Ix )  G Ix cos (  )  G Ix sin(  ) sin(  ) sin(  ) JD  2 cos (  ) sin(  )  G Ix > K12:=factor(1/T12); K12 :=  G Ix2 cos (  )  G Ix sin(  ) sin(  ) sin(  ) JD  2 cos (  ) sin(  )  G Ix > K21:=factor(T21+T22*K11);  G Ix2 ( sin(  ) 2 cos (  ) ) ( cos (  ) 2 sin(  ) ) K21 := cos (  )  G Ix sin(  ) sin(  ) sin(  ) JD  2 cos (  ) sin(  )  G Ix > K22:=factor(T22*K12); K22 := ( sin(  ) sin(  )  G Ix sin(  ) cos (  ) JD   cos (  ) cos (  )  G Ix )  G Ix cos (  )  G Ix sin(  ) sin(  ) sin(  ) JD   cos (  ) sin(  )  G Ix > phi1:=lambda*L1;  :=  L1 61 > phi2:=lambda*L2;  :=  L2 > K011:=limit(K11,omega=0); K011 := G Ix L1  L2 > K012:=limit(K12,omega=0); K012 :=  G Ix L1  L2 K021:=limit(K21,beta=0); K021 :=  G Ix L1  L2 > K022:=limit(K22,omega=0); K022 := G Ix L1  L2 > omega:=sqrt(beta);  :=  > m11:=-diff(K11,beta): > M0_11:=limit(m11, beta=0); M0_11 := L2 JD  Ip L2 L1  L2  Ip L1 2  Ip L1 3 L2  Ip ( L1  L2 ) > m12:=-diff(K12,beta): > M0_12:=limit(m12, beta=0); M0_12 := L2  Ip  L2  Ip L1 2 L1 L2 JD  Ip L1 3  Ip L2 L1 ( L1  L2 ) > m21:=-diff(K21,beta): > M0_21:=limit(m21, beta=0); L2  Ip  L2  Ip L1 2 L1 L2 JD  Ip L1 3  Ip L2 L1 M0_21 := ( L1  L2 ) > m22:=diff(K22,beta): > M0_22:=limit(m22, beta=0); M0_22 := L2  Ip   Ip L2 L1   Ip L1 3 L2  Ip L1 2 L1 JD ( L1  L2 ) 62 Phụ lục 3: Chƣơng trình tính cho dầm chịu uốn > with(linalg); > K1:=x->(cosh(x)+cos(x))/2;K2:=x->(sinh(x)+sin(x))/2; 1 K1 := x cosh ( x ) cos ( x ) 2 1 K2 := x sinh( x ) sin( x ) 2 > K3:=x->(cosh(x)-cos(x))/2;K4:=x->(sinh(x)-sin(x))/2; 1 K3 := x cosh ( x ) cos ( x ) 2 1 K4 := x sinh( x ) sin( x ) 2 >H1L:=vector(4,[K1(phi1),K2(phi1)/lambda, - K3(phi1)/(E*J*lambda^2), K4(phi1)/(E*J*lambda^3)]); K2(  ) K3(  ) K4(  )  H1L :=  K1(  ), , ,     E J 2 E J 3    >H2L:=vector(4,[lambda*K4(phi1),K1(phi1), - K2(phi1)/(E*J*lambda), K3(phi1)/(E*J*lambda^2)]); K2(  ) K3(  )  H2L :=   K4(  ), K1(  ),  ,    EJ E J 2    H3L:=vector(4,[lambda^2*E*J*K3(phi1),lambda*E*J*K4(phi1),K1(phi1), K2(phi1)/lambda]); > K2(  )  H3L :=   E J K3(  ),  E J K4(  ), K1(  ),        >H4L:=vector(4,[-lambda^3*E*J*K2(phi1), -lambda^2*E*J*K3(phi1),lambda*K4(phi1), -K1(phi1)]); H4L := [  E J K2(  ),  E J K3(  ),  K4(  ), K1(  ) ] > T1:=stackmatrix(H1L,H2L,H3L,H4L);  K1(  )        K4(  ) T1 :=       E J K3(  )     E J K2(  )  K2(  )  K1(  ) K3(  ) E J 2 K2(  )  EJ   E J K4(  ) K1(  )  E J K3(  )  K4(  ) 63 K4(  )   E J 3   K3(  )     EJ   K2(  )       K1(  )  >H1R:=vector(4,[K1(phi2),K2(phi2)/lambda, -K3(phi2)/(E*J*lambda^2), K4(phi2)/(E*J*lambda^3)]); K2(  ) K3(  ) K4(  )  H1R :=  K1(  ), , ,     E J 2 E J 3    >H2R:=vector(4,[lambda*K4(phi2),K1(phi2), -K2(phi2)/(E*J*lambda), K3(phi2)/(E*J*lambda^2)]); K2(  ) K3(  )  H2R :=   K4(  ), K1(  ),  ,    EJ E J 2    > H3R:=vector(4,[lambda^2*E*J*K3(phi2),lambda*E*J*K4(phi2), -K1(phi2), K2(phi2)/lambda]); K2(  )  H3R :=   E J K3(  ),  E J K4(  ), K1(  ),        >H4R:=vector(4,[-lambda^3*E*J*K2(phi2), -lambda^2*E*J*K3(phi2),lambda*K4(phi2), -K1(phi2)]); H4R := [  E J K2(  ),  E J K3(  ),  K4(  ), K1(  ) ] > T2:=stackmatrix(H1R,H2R,H3R,H4R);  K1(  )        K4(  ) T2 :=       E J K3(  )     E J K2(  )  K2(  )  K1(  ) K3(  ) E J 2 K2(  )  EJ   E J K4(  ) K1(  )  E J K3(  )  K4(  ) K4(  )   E J 3   K3(  )     EJ   K2(  )       K1(  )  > H1:=vector(4,[1, L, 0, 0]); H1 := [ 1, L , 0, ] > H2:=vector(4,[0, 1, 0, 0]); H2 := [ 0, 1, 0, ] > H3:=vector(4,[-m*omega^2*Lg,(JG-m*H*Lg)*omega^2, -1, L]); H3 := [ m  Lg , ( JG m H Lg )  2, -1, L ] > H4:=vector(4,[m*omega^2,m*H*omega^2, 0, -1]); H4 := [ m  2, m H  2, 0, -1 ] > T:=stackmatrix(H1,H2,H3,H4); 64    T :=   m  Lg    m 2  L 0 ( JG m H Lg )  -1 mH 0  0   L   -1  > Ts:=evalm(T2&*T&*T1): > T11:=Ts[1,1]: T12:=Ts[1,2]: T13:=Ts[1,3]: T14:=Ts[1,4]: > T21:=Ts[2,1]: T22:=Ts[2,2]: T23:=Ts[2,3]: T24:=Ts[2,4]: > T31:=Ts[3,1]: T32:=Ts[3,2]: T33:=Ts[3,3]: T34:=Ts[3,4]: > T41:=Ts[4,1]: T42:=Ts[4,2]: T43:=Ts[4,3]: T44:=Ts[4,4]: > Pt:=T12*T34-T32*T14=0.0: > omega:=sqrt(E*J/(Ro*A))*lambda^2;  := EJ  Ro A > K011:=limit(K11,omega=0); K011 := 12 ( L1  L2 ) E J/( L1 4 L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2 4 12 L2 L L1 ) > K012:=limit(K12,omega=0); K012 := ( L1 2 L2 L1  L2 2 L L2 ) E J ( L1 4 L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2 4 12 L2 L L1 ) > K013:=limit(K13,omega=0); K013 := 12 ( L1  L2 ) E J/( L1 4 L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2 4 12 L2 L L1 ) > K014:=limit(K14,omega=0); K014 := ( L1 2 L1 L  L2 L1  L2 ) E J ( L1 4 L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2 4 12 L2 L L1 ) > K021:=limit(K21,omega=0); K021 := ( L1 2 L2 L1  L2 2 L L2 ) E J ( L1 4 L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2 4 12 L2 L L1 ) > K022:=limit(K22,omega=0); K022 := ( L1 3 L1 L2  L1 L L2  L2 L1  L2 L  L2 3 L L2 ) E J L1 4 L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2  12 L2 L L1 ) > K023:=limit(K23,omega=0); 65 ( K023 := 6 ( L1 2 L2 L1  L2 2 L L2 ) E J ( L1 4 L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2 4 12 L2 L L1 ) > K024:=limit(K24,omega=0); K024 := ( L1 3 L1 L  L1 L2  L2 L1  L2 L  L2 ) E J ( L1  L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2  12 L2 L L1 ) > K031:=limit(K31,omega=0); K031 := 12 ( L1  L2 ) E J/( L1 4 L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2 4 12 L2 L L1 ) > K032:=limit(K32,omega=0); K032 := 6 ( L1 2 L1 L2  L2 2 L L2 ) E J ( L1 4 L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2 4 12 L2 L L1 ) > K033:=limit(K33,omega=0); K033 := 12 ( L1  L2 ) E J/( L1 4 L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2 4 12 L2 L L1 ) > K034:=limit(K34,omega=0); K034 := 6 ( L1 2 L1 L  L1 L2  L2 ) E J ( L1 4 L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2 4 12 L2 L L1 ) > K041:=limit(K41,omega=0); K041 := ( L1 2 L1 L  L1 L2  L2 ) E J ( L1 4 L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2 4 12 L2 L L1 ) > K042:=limit(K42,omega=0); K042 := ( L1 3 L1 L  L1 L2  L2 L1  L2 L  L2 ) E J ( L1  L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2  12 L2 L L1 ) > K043:=limit(K43,omega=0); K043 := 6 ( L1 2 L1 L  L1 L2  L2 ) E J ( L1 4 L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2 2 L2 L1  12 L2 L L1  L2 4 12 L2 L L1 ) > K044:=limit(K44,omega=0); K044 := E J ( L1 L  L1 L2  L1 3 L1 L 2 L1 L L2  L2 L1  L2 ) L1  L1 L2  12 L1 L L2  L1 L2  L2 L1  12 L2 L L1  L2 2  12 L2 L L1 ) > L1:=L0/2; 66 ( L1 := L0 L2 := L0 H := L Lg := L > L2:=L0/2; > H:=L/2; > Lg:=L/2; > m11:=-diff(K11,beta): > M0_11:=limit(m11,beta=0); M0_11 := ( 630 L  A L0  315 L m  1155 L  A L0 2 630 L m L0 140  882 L  A L0 3 525 L m L0 2 1260 L JG 210 L0 m L  1260 L JG L0  329  A L0 L  52  A L0 5 315 L0 JG 35 L0 m ) ( L0 2 L0 L  L ) > m12:=-diff(K12,beta): > M0_12:=limit(m12,beta=0); M0_12 := L0 ( 945 L m  1260 L  A L0  2142 L  A L0 2 1890 L m L0 1680  1575 L m L0 2 1554 L  A L0 3 3780 L JG 630 L0 m L  3150 L JG L0  564  A L0 L  105 m L0 4 630 JG L0 2 88  A L0 ) ( L0 2 L0 L  L ) > m13:=-diff(K13,beta): > M0_13:=limit(m13,beta=0); M0_13 := ( 315 L m  630 L m L0  105 L  A L0 2 1260 L JG 525 L m L0 140  168 L  A L0 3 91  A L0 L  210 L0 m L  1260 L JG L0  315 JG L0  18  A L0 5 35 m L0 ) ( L0 2 L0 L  L ) > m14:=-diff(K14,beta): > M0_14:=limit(m14,beta=0); 67 M0_14 :=  L0 ( 945 L m  378 L  A L0 2 1890 L m L0  546 L  A L0 1680  1575 L m L0 2 3780 L JG 3150 L JG L0  276  A L0 L  630 L0 m L  52  A L0 5 630 JG L0 2 105 m L0 ) ( L0 2 L0 L  L ) > m22:=-diff(K22,beta): > M0_22:=limit(m22,beta=0); M0_22 := L0 ( 1008 L  A L0  945 L m  1596 L  A L0 2 1890 L m L0 6720  1128 L  A L0 3 1575 L m L0 2 3780 L JG 630 L0 m L  408  A L0 L  2520 L JG L0  64  A L0 5 420 JG L0 2 105 m L0 ) ( L0 2 L0 L  L ) > m23:=-diff(K23,beta): > M0_23:=limit(m23,beta=0); M0_23 := L0 ( 945 L m  378 L  A L0 2 1890 L m L0  546 L  A L0 1680  1575 L m L0 2 3780 L JG 3150 L JG L0  276  A L0 L  630 L0 m L  52  A L0 5 630 JG L0 2 105 m L0 ) ( L0 2 L0 L  L ) > m24:=-diff(K24,beta): > M0_24:=limit(m24,beta=0); M0_24 :=  L0 ( 315 L m  140 L  A L0 2 630 L m L0  184 L  A L0 2240  525 L m L0 2 1260 L JG 210 L0 m L  88  A L0 L  840 L JG L0  16  A L0 5 35 m L0 4 140 JG L0 ) ( L0 2 L0 L  L ) > m33:=-diff(K33,beta): > M0_33:=limit(m33,beta=0); M0_33 := ( 315 L m  630 L  A L0  630 L m L0  1155 L  A L0 140  882 L  A L0 3 525 L m L0 2 1260 L JG 210 L0 m L  329  A L0 L  1260 L JG L0  52  A L0 5 315 JG L0 2 35 m L0 ) ( L0 2 L0 L  L ) > M0_34:=limit(m34,beta=0); M0_34 :=  L0 ( 945 L m  1260 L  A L0  2142 L  A L0 2 1890 L L0 m 1680  1554 L  A L0 3 1575 L L0 m  3780 L JG 564  A L0 L  630 L0 m L  3150 L JG L0  88  A L0 5 105 L0 m  630 JG L0 ) 68 ( L0 2 L0 L  L ) > m44:=-diff(K44,beta): > M0_44:=limit(m44,beta=0); M0_44 := L0 ( 945 L m  1008 L  A L0  1596 L  A L0 2 1890 L L0 m 6720  1128 L  A L0 3 3780 L JG 1575 L L0 m  408  A L0 L  630 L0 m L  2520 L JG L0  105 L0 m  64  A L0 5 420 JG L0 ) ( L0 2 L0 L  L ) > factor(Pt); ( K1(  ) m  K4(  ) K3(  ) K2(  ) m  2  J K1(  ) E  K3(  ) E J  ) ( 12 L E J  K3(  ) 2 24 K3(  ) L K4(  ) E J  2 K3(  ) K2(  ) m  L  K1(  ) L E J  3 24 K1(  ) L K2(  ) E J  2 24 K4(  ) E J  24 K2(  )  E JK1(  ) m L  K4(  ) ) ( E J2  )0 > phi1:=lambda*L1;  :=  L1 > phi2:=lambda*L2;  :=  L2 > factor(Pt); (  cosh (  ) m sin(  )  cos (  ) m sinh(  )  cosh (  ) cos (  ) E J ) ( cosh (  ) L E J  cos (  ) cosh (  ) L sin(  ) E J  2 cosh (  )  JG sin(  )  cos (  ) L sinh(  ) E J  2 cos (  )  JG sinh(  ) E J  sinh(  ) sin(  ) ) E J2  ) >mu1:=2*cosh(phi)*cos(phi) /(phi*(sin(phi)*cosh(phi)-sinh(phi)*cos(phi)));  := cosh (  ) cos (  )  ( cosh (  ) sin(  ) cos (  ) sinh(  ) ) >mu2:=-(l*B*phi+phi^2*l^2*cosh(phi)*cos(phi) +sinh(phi)*sin(phi))/(2*AA*phi^3);  2 l ( cosh(  ) sin(  )cos(  ) sinh  ) )   l cosh(  ) cos(  )sinh  ) sin(  ) ( ( ( cos(  ) sinh  )cosh(  ) sin(  ) )  ( 69 ( ... Phương pháp Phần tử hữu hạn công cụ phổ biến nhất, nay, việc phân tích động lực kết cấu cơng trình Tuy nhiên, hầu hết chương trình máy tính dùng phân tích kết cấu Phương pháp Phần tử hữu hạn chưa... Nghiên cứu Động lực học Hệ Máy- Cơng trình có hai hướng giải Hướng thứ đứng quan điểm Động lực học Máy để giải toán có phần tử đàn hồi Hướng thứ hai đứng quan điểm Động lực học cơng trình nghiên... khoa học tập trung giải hồn tồn có triển vọng phát triển Đấy lý để tác giả chọn luận văn ? ?Phân tích Động lực học Máy- Cơng trình Phương pháp Phần tử hữu hạn? ?? Chương MỘT SỐ MƠ HÌNH GIẢI TÍCH CỦA HỆ