Đang tải... (xem toàn văn)
trình bày một số phương pháp giải các bài toán cực trị của bậc THCS
Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong năm đây, kỳ khảo sát chất lượng, thi học sinh giỏi bậc THCS kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT thường gặp toán yêu cầu tìm GTNN, GTLN đại lượng Các toán gọi chung toán cực trị Các toán cực trị phong phú đa dạng mang nội dung vô sâu sắc việc giáo dục tư tưởng qua mơn tốn Bài tốn tìm tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài toán Để hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối ưu cho cơng việc sống sau Các toán cực trị Đại số bậc THCS có ý nghĩa quan trọng em học sinh Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải cách giải thơng minh, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức tốn học bậc học để giải loại toán Các tốn cực trị Đại số bậc THCS góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện tư cho học sinh Với ý nghĩa vậy, việc hướng dẫn học sinh nắm phương pháp giải toán cực trị vấn đề quan trọng Qua thực tế giảng dạy thân rút số phương pháp để giải toán cực trị nhằm giúp thêm tài liệu cho việc bồi dưỡng học sinh - giỏi toán II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Áp dụng với học sinh khối 8, Là học sinh giỏi tham gia đội tuyển HSG trường, học sinh thi đồng đội Toán tỉnh III NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Giúp cho học sinh làm quen có số hiểu biết số dạng toán cực trị thường gặp Thực hiện: Lưu Việt Thu Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 Đề tài trình bày số phương pháp giải toán cực trị bậc THCS Mỗi phương pháp trình bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lý thuyết ví dụ minh hoạ từ tập cụ thể, rút nhận xét tổng quát IV PHẠM VI ĐỀ TÀI: Đề tài đề cập tới số phương pháp giải số loại toán cực trị đại số thường gặp chương trình tốn học THCS, đối tượng mà đề tài nhằm tới học sinh khá, giỏi toán THCS V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tổng hợp, hệ thống từ việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tham khảo mơt số tài liệu có liên quan B PHẦN NỘI DUNG I Kiến thức: Cho biểu thức f(x, y…) Ta nói M giá trị lớn (GTLN) biểu thức f(x, y…), kí hiệu max f = M, hai điều kiện sau thỏa mãn: - Với x, y … để f(x, y…) xác định F(x, y…) M ( M số ) - Tồn x0 , y0 , … cho f(x0, y0 , ) = M Cho biểu thức f(x, y…) Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x, y…), kí hiệu max f = m, hai điều kiện sau thỏa mãn: - Với x, y … để f(x, y…) xác định F(x, y…) m ( m số ) - Tồn x0 , y0 , … cho f(x0, y0 , ) = m II Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số cách đưa dạng A(x) 0 { A(x) } - Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần: Thực hiện: Lưu Việt Thu Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 + Chứng minh A(x) k với k số + Chỉ dấu "=" xảy - Để tìm giá trị lớn biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) k với k số + Chỉ dấu "=" xảy Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) = (x - 1)2 + (x-3)2 (Nâng cao phát triển Toán 8) Giải: A(x) = (x-1)2 + (x-3)2 = x2-2x+1+x2-6x+9=2(x2-4x+5)=2(x-2)2+2 2 Vì (x-2)2 với x Vậy Min A(x) = x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức B(x) = -5x2 - 4x+1 (Nâng cao phát triển Toán 8) Giải : Từ B(x) = -5x2 - 4x+1 ta có B(x)= -5(x2+ x)+1 2 2 2 4 2 2 2 = x x x x 5 25 5 2 2 2 Vì x 0 với x R nên x 0 5 5 2 9 B(x) x 5 5 Max B(x) = x 5 Bài tập vận dụng: Tìm GTLN A= – x2 + 3x Tìm GTNN B= x2 – 5x + Cho tam thức bậc hai C= ax2 + bx + c a Tim GTLN C a < b Tìm GTNN C a > III Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số cách đưa dạng A(x) A(x) 0 0 k k2 Thực hiện: Lưu Việt Thu Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức đại số A(x) 3x 6x 10 x 2x (Nâng cao phát triển Toán 8) 3x 6x 10 Giải: Từ A(x) x 2x Ta có A(x) = 3x 6x 3(x 2x 3) 1 3 2 x 2x x 2x (x 1) Vì (x+1)2 với x nên (x+1)2+2 2 với x 1 Do đó: (x 1) 1 Vậy A(x) = (x 1) 3 3 Max A(x) = (x+1)2 = x = -1 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ B(x) = 2x 16x 41 với x R x 8x 22 (Nâng cao phát triển Toán 8) 2x 16x 41 2(x 8x 22) 3 2 Giải: Từ B(x) = 2 x 8x 22 x 8x 22 (x 4) Vì (x- 4)2 với x nên (x- 4)2+6 6 3 Nên (x 4) 6 B(x) 2 3 2 2 (x 4) Min B(x) = (x- 4)2 = x = Bài tập vận dụng: Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau ( có ): a/ 27 12 x x2 b/ 3x x x 1 c/ 3x x 17 x 2x d/ x 27 x 3x x x Thực hiện: Lưu Việt Thu Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 IV Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số cách áp dụng bất đẳng thức Cosi - Bất đẳng thức Cosi cho số Cho a, b khơng âm, ta có bất đẳng thức a b 2 ab Dấu đẳng thức xảy a = b - Bất đẳng thức Cosi cho n số: Cho n số a1, a2, an khơng âm, ta có bất đẳng thức: a1 a a n n a1 , a a n n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an + Bài toán: a Chứng minh rằng, hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số b Chứng minh rằng, hai số dương có tổng khơng đổi tích chúng đạt giá trị lớn hai số (Nâng cao phát triển Toán 8) Giải: a Ta cần chứng minh với x >0; y > xy = k (không đổi) x+y đạt giá trị nhỏ x = y Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có: x+y xy mà xy = k (khơng đổi) Nên ta có: x+y 2 xy 2 k (1) Vậy tổng P = x + y lấy giá trị nhỏ x + y = k x = y b Tương tự hai số dương x y có x + y = k (hằng số) k Từ (x+y)2 4xy xy k2 Vậy tích Q = xy lấy giá trị lớn x = y Thực hiện: Lưu Việt Thu Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 Chúng ta vận dụng kết hai bất đẳng thức để giải tốn cực trị đại số Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn A(x) = ( x2 - 3x + 1) ( 21 + 3x - x2 ) (Nâng cao phát triển Toán 8) Giải: Các biểu thức x2-3x+1 21+3x-x2 có tổng khơng đổi (bằng 22) nên tích chúng lớn x2 - 3x + = 21+ 3x - x2 x2 - 3x – 10 = x1 = ; x2 = -2 Khi A=11.11 = 121 Vậy Max A = 121 x = x = -2 Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ B(x) = 16x 4x với x > 2x (Nâng cao phát triển Toán 8) 1 16x 4x Ta có B(x) = 8x + + Hai số 8x 2x 2x 2x Giải: Từ B(x) = hai số dương, có tích khơng đổi (bằng 4) nên tổng chúng nhỏ 8x = 1 16x2 =1 x = (x>0) 2x 1 1 6 x Vậy Min B = Bài tập vận dụng: Tìm GTNN a b a/ A= ( a + b ) với a, b > 1 1 b/ B= ( a + b + c ) với a, b, c > a b c a b c d c/ C= ( a + b + c + d ) với a, b, c, d > V Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức chứa nhiều biến số: Ví dụ 7: Tìm giá trị m p cho: Thực hiện: Lưu Việt Thu Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 A= m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ ( Báo tốn học tuổi trẻ ) Giải: A = (m2 -4mp + 4p2 ) + (p2 -2p + 1) + 27 + 10m - 20p = (m-2p)2 + (p-1)2 27 + 10(m-2p) Đặt X = m-2p Ta có A=x2 + 10X + 27 + (p-1)2 = (X2 + 10X + 25) + (p-1)2 + = (X+5)2 + (p-1)2 + Ta thấy: (X + 5)2 với m, p; (p-1)2 p Do đó: A đạt giá trị nhỏ khi: X 0 p 0 X m 2p hay p 1 p 1 m p 1 Vậy Min A=2 m=-3; p=1 Ví dụ 8:Tìm giá trị x, y, z cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P(x, y, z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + Giải: Khi gặp biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức khơng âm Ta có: P(x, y, z) = (9x2 + 36xy + 36y2) + (18y2 - 24yz+8z2) +(8x2 16xy+8z2) + 2x2 + = 9(x+2y)2 + 2(3y - 2z)2 + 8(x-z)2 + 2x2 + Ta thấy: (x+2y)2 với x, y (3y-2z)2 với y,z (x-z)2 với x, z x2 với x, y Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ hạng tử (x+2y)2, (3y-2z)2; (x-z)2, x2 đạt giá trị nhỏ lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồng thời 0, nghĩa hệ phương trình sau có nghiệm x 2y 0 3y 2z 0 x z 0 x 0 x 0 y 0 z 0 Thực hiện: Lưu Việt Thu Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 Vậy Min P(x,y,z) = x = 0, y=0, z = - Tổng quát: Khi gặp P = A + B + C_+ + Với A k12, B k22, C k32, ta kết luận P đạt giá trị nhỏ A, B, C đạt giá trị nhỏ lúc P(min) = k12+k22+k32+ Để tìm biến số tương ứng với P(min) ta giải hệ phương trình: A k12 B k C k Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 7x 5y 2z 3x xy yz xz 2000 t t 2005 Trong x;y;z;t số hữu tỉ Giải: 1 Ta có : A= 7x 5y 2z 3x xy yz xz 2000 t 2004 2 1 Vì 0 Q t 0 nên A 2004 2 Dấu đẳng thức xảy 7x 5y 0 2z 3x 0 xy yz zx 2000 0 t 0 2 (1) (2) (3) (4) Từ (1) ta có: y= x Từ (2) ta có: z x Thay vào (3) ta được: 21 x x x 2000 5x 2000 10 x2 =400 x= 20 - Với x = 20 ta có y = 28; z = 30 Thực hiện: Lưu Việt Thu Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 - Với x = -20 ta có y = -28; z = -30 Ngồi ra, từ (4) ta có: t= Vậy giá trị nhỏ A 2004 , đạt (x;y;z;t) = (20;28;30; ) Hoặc (x;y;z;t) = (-20;-28;-30; ) Bài tập vận dụng: Tìm GTNN biểu thức: a x2 - 2xy + 2y2 + 2x – 10y + 17 b 2x2 + 2xy + 5y2 - 8x – 22y VI Giải toán cực trị đại số phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho 2n số a1, a2 , an; b1, b2, bn ta ln có: (a1b1 + a2b2+ + anbn) (a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2) Dấu xảy khi: a1 a a n b1 b bn Các ví dụ: Ví dụ 10: Tìm giá trị x, y, z để cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P = x2 + y2 + z2 Tìm giá trị nhỏ biết x+y+z = 1995 Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số: 1, 1, 1; x, y, z Ta có: (x.1+y.1+z.1)2 (12 + 12 + 12) (x2 + y2 + z2) Hay: (x+y+z)2 3(x2 + y2 + z2) (x y z) Từ ta có P = x2 + y2 + z2 mà x+y+z = 1995 => Ta có: 19952 với x, y, z P= x2 + y2 + z2 Thực hiện: Lưu Việt Thu Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 x y z 19952 Pmin = hay x = y = z 1 Mà x+y+z = 1995 x=y=z = 1995 =665 Ví dụ 11: Cho x2 + y2 =52 Tìm giá trị lớn A = 2x 3y Giải: áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki cho số 2, 3; x,y, ta có: (2.x+3.y)2 (22 + 32 )(x2 + y2) (2x+3y)2 13.52262 2x 3y 26 Max A = 26 Thay y x y 3x y 3x 9x 2 2 52 x 4 vào x + y = 52 ta có x + Vậy Max A = 26 x=4; y=6 x= - 4; y= - Bài tập vận dụng: Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A= 2x + 3y VII Phương pháp giải toán cực trị đại số thoả mãn hệ điều kiện đó: Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P(x,y) = 6x+4y thoả mãn điều kiện xy 216 x y Giải: Từ P(x,y) = 6x+4y với x>0; y > 6x > 0; 4y > => [P(x,y)]2 = (6x+4y)2 4.6x.4y=96.xy Vì xy=216(gt) => [P(x,y)]2 96.216=20736 P(x,y) 144 P(x,y) 144 loại P(x,y) >0 Min P(x,y) = 144 x= 12; y = 18 Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn A(x,y,z) = xyz (x+y)(y+z)(z+x) 10 Thực hiện: Lưu Việt Thu Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 biết x, y, z x+y+z=1 Giải: áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số khơng âm x, y, z ta có: = x+y+z 3 xyz (1) = (x+y)+(y+z)+(z+x) 3 (x y)(y z)(z x) (2) Nhân vế (1) với (2) (do hai vế khơng âm) 2 Ta có: 9 A A 9 3 2 Max A = x=y=z= 9 Bài tập vận dụng: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm GTNN P= xy xyz Cho x, y, z > ; z 60 x + y + z = 100 Tìm GTLN Q = xyz VIII Phương pháp dùng tam thức bậc hai: Đổi biến để đưa tam thức bậc hai biến Ví dụ 14: Tìm giá trị lớn A = x + x Giải: Điều kiện x Đặt x = y 0 Ta có y2 = 2-x 1 9 A = 2-y + y = y 2 4 Max A = 1 y x x 4 Đổi biến để đưa bất phương trình bậc hai biến Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A= x2 + y2 Biết x2 (x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1 Giải: Từ x2 (x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1 Suy ra: (x2 + y2)2 - 4(x2 + y2) +3=-x2 0 Do đó: A2 - 4A + 0 (A-1)(A-3) 0 A 3 Min A=1 x=0 y= 1 Min A=3 x=0 y= 11 Thực hiện: Lưu Việt Thu Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 Đưa phương trình bậc hai sử dụng điều kiện 0 Ví dụ 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ A= x2 x 1 x2 x 1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm a = x2 x 1 x2 x 1 (1) 1 Do x +x+1 = x x 2 Nên (1) ax2 + ax+a=x2 -x+1 (a-1)x2 + (a-1)x+a-1=0 (2) Trường hợp 1: Nếu a=1 (2) có nghiệm x=0 Trường hợp 2: Nếu a 1 để (2) có nghiệm, cần đủ 0 => = (a+1)2 - 4(a-1)2 0 (a+1+2a-2)(a+1-2a+2) 0 (3a-1)(a-3) 0 a 3 (a 1) Với a = (a 1) a 1 a = nghiệm (2) x= 2(a 1) 2(1 a) Với a = x = 1; với a = x = -1 Gộp hai trường hợp ta có Min A= x = Max A= x= -1 Bài tập áp dụng: Tìm GTNN M= 4x 6x , ( x 1) với x # 3x x N= x 1 P= 3x x 17 x 2x IX Giải toán cực trị chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiến thức: * a b a b Dấu = xảy ab 0 12 Thực hiện: Lưu Việt Thu Trường THCS Định Tân * Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 a b a b Dấu = xảy ab> Ví dụ 17: Tìm GTNN biểu thức A= Giải: Ta có A = x x A= x 7 x A= x 7 x => a b x x Áp dụng bất đẳng thức trên, ta x x 4 A Vậy Min A= 4, (x – 3)(7 – x) 0 x Ví dụ 18: Tìm GTLN biểu thức: B= Giải: Áp dụng BĐT B= a b a b x 1004 x 1003 x 1004 x 1003 , ta có: ( x 1004) ( x 1003) 2007 Vậy Max B = 2007 Dấu = xảy khi: x - 1003 Bài tập vận dụng: Tìm GTNN a C= x2 x 1 x2 x b D= x 1 x x x Tìm GTLN E= x y y z x z , với x, y, z PHẦN C: PHẦN KẾT LUẬN Toán cực trị Đại số dạng tốn khó học sinh Để giải loại toán cần phải biết vận dụng nhiều phương pháp khác cách linh hoạt Trên số phương pháp mà trình giảng dạy thực tế hay sử dụng để giải toán cực trị đại số Với phương pháp hướng dẫn học sinh từ tập cụ thể khái quát thành dạng tổng quát, từ học sinh vận dụng để giải tập Qua trình hướng dẫn cách cụ thể vậy, học sinh biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp giải toán vào giải tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp Đối với học sinh giỏi em biết sử dụng kết hợp phương pháp để giải toán cực trị đại số dạng khó Qua giúp học sinh hứng thú gặp loại toán nói riêng học mơn tốn nói chung 13 Thực hiện: Lưu Việt Thu Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 Trên kinh nghiệm tơi rút từ q trình dạy học Đề tài tơi cịn tiếp tục nghiên cứu Trong có thiếu sót mong đóng góp chân thành đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! Định Tân, Ngày 10 tháng 04 năm 2011 NGƯỜI THỰC HIỆN Lưu Việt Thu 14 Thực hiện: Lưu Việt Thu ...Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011 Đề tài trình bày số phương pháp giải toán cực trị bậc THCS Mỗi phương pháp trình bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lý thuyết... TÀI: Đề tài đề cập tới số phương pháp giải số loại toán cực trị đại số thường gặp chương trình tốn học THCS, đối tượng mà đề tài nhằm tới học sinh khá, giỏi toán THCS V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tổng... LUẬN Toán cực trị Đại số dạng tốn khó học sinh Để giải loại toán cần phải biết vận dụng nhiều phương pháp khác cách linh hoạt Trên số phương pháp mà trình giảng dạy thực tế hay sử dụng để giải toán