ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TỐNG THÀNH TRUNG NGHIÊN CỨU DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỘNG HỌC CÁC QUẦN THỂ ĐƯỢC MƠ TẢ BỞI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TỐNG THÀNH TRUNG NGHIÊN CỨU DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỘNG HỌC CÁC QUẦN THỂ ĐƢỢC MÔ TẢ BỞI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: Phƣơng trình vi phân tích phân Mã số : 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS Nguyễn Hữu Dƣ TS Trịnh Tuấn Anh HÀ NỘI - 2011 Mục lục Lời cam đoan i Bảng ký hiệu iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Toán tử đóng tốn tử compact 1.1.2 Phổ toán tử tuyến tính Khái niệm số tính chất hàm hầu tuần hồn 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 1.2 Lý thuyết tốn tử tuyến tính Một số tính chất hàm hầu tuần hoàn Lý thuyết phổ hàm số 13 Phổ hàm bị chặn 13 1.3.2 Phổ hàm hầu tuần hoàn 17 1.3.3 1.4 11 1.3.1 1.3 Một số tính chất phổ hàm số 18 Nửa nhóm liên tục mạnh 19 1.4.1 Định nghĩa ví dụ 19 1.4.2 Một số tính chất C0 −nửa nhóm 21 1.4.3 Nửa nhóm liên tục nửa nhóm compact 24 ii MỤC LỤC 1.4.4 25 Tính ổn định phương trình vi phân 26 1.5.1 Tính ổn định phương trình vi phân tuyến tính 27 1.5.2 1.5 Định lý bao hàm phổ Tính ổn định phương trình vi phân phi tuyến 33 Dáng điệu tiệm cận bán kính ổn định 2.1 36 Giới thiệu toán số kết H.Inaba 36 2.1.2 Một số mơ hình dân số 40 Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Lotka-Von Foerster 45 2.2.1 Những kết 45 2.2.2 2.3 36 2.1.1 2.2 Hệ Lotka-Von Foerster không So sánh với kết biết 54 Bán kính ổn định quần thể có cấu trúc tuổi 57 2.3.1 Bán kính ổn định hệ dương liên tục vô hạn chiều 57 2.3.2 Bán kính ổn định hệ Lotka-Von Foerster Dáng điệu động học quần thể thú-mồi 59 64 3.1 Sơ lược lịch sử ý nghĩa sinh học toán 64 3.2 Động học quần thể thú mồi Holling kiểu II 72 3.2.1 Giới thiệu 72 3.2.2 Sự bền vững hệ 75 3.2.3 Tính ổn định tiệm cận 80 3.2.4 Sự tồn nghiệm tuần hoàn 83 Mơ hình thú-mồi mơi trường tuần hồn 87 3.3.1 Giới thiệu mô hình 87 3.3.2 Sự bền vững hệ 92 Mơ hình thú-mồi với hệ số 101 3.4.1 101 3.3 3.4 Giới thiệu iii MỤC LỤC 3.4.2 Các kết 102 3.4.3 Ví dụ 111 3.4.4 Vài lời bình luận 113 Kết luận kiến nghị 115 Kết luận 115 Kiến nghị nghiên cứu 116 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 117 Tài liệu tham khảo 119 iv Bảng ký hiệu N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực R∗ + Tập số thực dương C[a, b] Không gian hàm số liên tục [a, b] AP (R, X) Không gian hàm hầu tuần hồn AAP (R+ , X) Khơng gian hàm hầu tuần hoàn tiệm cận R+ L(X, Y) Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach X đến không gian Banach Y L(X) := L(X, X) Khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từ khơng gian Banach X vào L1 (0, T, E) Khơng gian hàm từ [0, T ] vào E, khả tích Lơ-be L1 (0, ω) Không gian hàm số [0, ω], khả tích Lơ-be L∞ (0, ω, R+ ) Khơng gian hàm f đo esssup f < ∞ [0, ω] lấy giá trị R+ C0 (R+ , E) Không gian hàm liên tục f (t), hội tụ tới t → +∞ lấy giá trị E C(R, X) Không gian hàm liên tục R lấy giá trị X BU C(R+ , X) Không gian hàm liên tục bị chặn R+ lấy giá trị X v Bảng ký hiệu BC(R, X) Không gian hàm liên tục bị chặn R lấy giá trị X intR2 + Phần tập R2 + ρ(A) Tập điểm quy hay tập giải toán tử A R(λ, A)n = (λI − A)−n Lũy thừa bậc n toán tử giải R(λ, A) σ(A) Tập phổ toán tử A σ0 (A) Phổ biên toán tử A σb (f ) Tập phổ Bohr hàm f Sp(f ) Phổ Beurling hàm số f σ(f ) Tập phổ Carleman hàm f N(T − λI) Không gian riêng ứng với giá trị riêng λ toán tử T LR (Y, U) Tập hợp {A ∈ L(Y, U) : AC (Y) ⊆ U}, AC C− thác triển tuyến tính A L+ (Y, U) Tập hợp {A ∈ L(Y, U) : A ≥ 0} R(f ) Miền giá trị hàm f TrA Tổng tất phần tử đường chéo ma trận vuông A detA Định thức ma trận A supp f Bao đóng tập tất giá trị x thuộc miền xác đ f mà f (x) = vi Mở đầu Những năm 70 kỷ 20 trơi qua nói năm đặc trưng bùng nổ cơng trình nghiên cứu mơ hình tốn học sinh thái học Minh chứng cho điều tồn giới có tới hàng chục tạp chí chủ yếu đăng cơng trình tốn sinh thái Ngồi ra, số lượng cơng trình tốn sinh thái cơng bố tạp chí chun ngành (thực vật học, động vật học, thủy sinh vật học, nơng học, ) ngày tăng Tất nhiên, ta giả định: quan tâm đặc biệt ngày rộng rãi quần chúng tới vấn đề sinh thái học phù hợp với tượng bùng nổ Song mặt vấn đề Mặt khác vấn đề chỗ sinh thái học lĩnh vực sinh vật học, phương pháp tốn học xâm nhập vào sâu sắc đến mức mà ta nói tới xuất mơn khoa học mới: Tốn-Sinh thái Đối tượng nghiên cứu chủ yếu Toán-Sinh thái hệ sinh thái, cịn phương pháp nghiên cứu tốn học Hiện ta chia mơ hình tốn học sinh thái thành hai nhóm lớn: Các mơ hình giải tích mơ hình mơ Trong mơ hình giải tích người ta sử dụng phương thức hình thức hóa tốn học để mô tả đối tượng sinh thái sau sử dụng kĩ thuật giải tích tốn học để rút kết luận đặc thù tính chất chung chúng Đối với mơ hình mơ lý thuyết xác suất máy tính điện tử công cụ nghiên cứu cần thiết Các mơ hình Lotka-Vollterra cổ điển xem ví Mở đầu dụ điển hình mơ hình giải tích Mơ hình phổ biến Tốn-Sinh thái phải kể đến mơ hình quần thể gồm hai loài khác nhau, hai loài thức ăn cho cá thể loài Tác động qua lại loài dạng phổ biến tự nhiên gọi mối quan hệ "thú-mồi" Một vấn đề trung tâm sinh thái học nói chung (của Tốn-Sinh thái nói riêng) vấn đề ổn định, bền vững tính chất hệ sinh thái lân cận trạng thái cân Mặt khác, giới hạn ổn định hệ sinh thái xác định tải trọng tối đa hệ sinh thái, vượt qua giới hạn dẫn đến diệt vong hay bùng nổ hệ sinh thái Chúng ta gặp vấn đề ổn định xem xét vấn đề đánh giá giới hạn ô nhiễm môi trường, vấn đề xét hậu hay chí giải vấn đề khả thực phương sách hoạt động kinh tế tự nhiên Tất đánh giá trực quan xác thực chúng đại lượng số Mặt khác, giai đoạn qua, lý thuyết ổn định toán học phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng khoa học kĩ thuật Trong lý thuyết đó, định nghĩa ổn định phát biểu cách hoàn toàn chặt chẽ nhiều kết đạt liên quan đến điều kiện cần đủ để hệ ổn định Song vấn đề chỗ lý thuyết khơng nghiên cứu thân đối tượng cụ thể mà nghiên cứu mơ hình tốn học chúng Vì vậy, ta có mơ hình tốn học tương đối "tốt" (theo nghĩa tính phù hợp mơ tả đầy đủ) quần xã sinh học hay hệ sinh thái (chẳng hạn, thuật ngữ phương trình vi phân sai phân) ta trả lời câu hỏi tính ổn định quần xã thực cách nghiên cứu mơ hình chúng với phương pháp thông thường lý thuyết ổn định Tất nhiên, tình thực tế phức tạp nhiều so với điều ta mô tả Nhưng ý nghĩa không thay đổi Mở đầu Vì lẽ đó, nghiên cứu mơ hình tốn học cho hệ sinh thái sử dụng phương pháp tốn học để phân tích tính ổn định chúng cần thiết Trong luận án này, quan tâm chủ yếu đến số mơ hình thú-mồi hệ sinh thái Mục đích luận án nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, tồn nghiệm dương, nghiệm tuần hồn, hầu tuần hồn, tính bị chặn nghiệm, bền vững, tính ổn định bán kính ổn định hệ Bản luận án tổng hợp kết nghiên cứu báo, báo cáo xemina (seminar), hội nghị Toán học tác giả Nội dung luận án chia thành ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị Chúng tổng hợp số kiến thức biết để sử dụng nghiên cứu chương sau Chương nghiên cứu dáng điệu bán kính ổn định quần thể có cấu trúc tuổi mơ tả hệ Lotka-Von Foerster tuyến tính Các kết chương cơng bố cơng trình [1, 4] Chương 3, chúng tơi xét dáng điệu nghiệm hai dạng mơ hình quần thể thú-mồi phi tuyến Đó mơ hình quần thể thú mồi với hàm đáp ứng Holling kiểu hai (có cải tiến) quần thể thú-mồi với hàm đáp ứng Beddington-DeAngelis Chúng điều kiện đủ cho phát triển bền vững lồi mơ hình tính ổn định tiệm cận hệ Hơn nữa, hệ phát triển bền vững, điều kiện đủ cho tồn nghiệm tuần hoàn dương bị chặn Các kết chương cơng bố cơng trình [2, 3, 5] Các kết luận án tổng hợp nghiên cứu tác giả, trình bày báo [1, 2, 3, 4, 5] báo cáo toàn phần hội nghị khoa học xêmina sau: - Xêmina Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường đại Chương Dáng điệu động học quần thể thú-mồi Ví dụ 3.4.3   u(t) = u(t) − ˙  v(t) ˙ 9v(t) − 0, 1u(t) , + u(t) + v(t) 5u(t) = v(t) − 0, − 0, 1v(t) + u(t) + v(t) (3.53) Trong ví dụ này, A = 9, D = 0, 8, E = 5, h1 = h2 = 0, P = 139, 11 > 0, N = −6, 56 < 0, N − 3M P = −15, 39 < Vậy, hệ tồn điểm cân Tuy nhiên, điều kiện phát biểu định lý 3.4.2 khơng thỏa mãn Bằng tính tốn phần mềm Maple, biết tồn quỹ đạo tuần hoàn, tức tồn quỹ đạo tuần hoàn hút tất nghiệm khác (xem hình 3.4.3) Hình 3.4 Tồn quỹ đạo tuần hồn mà hút tất nghiệm khác (A:) Một nghiệm điểm bên miền bao quanh đường cong đóng (B:) Một nghiệm điểm bên miền bao quanh đường cong đóng 3.4.4 Vài lời bình luận Trong hai phần trước chúng tơi chứng minh số tính chất nghiệm mơ hình thú mồi với hàm đáp ứng Beddington-DeAngelis đưa 113 Chương Dáng điệu động học quần thể thú-mồi số ví dụ minh họa kết Trong mục rút số kết luận sinh học suy từ tính chất chứng minh giới thiệu số hướng nghiên cứu mà tiếp tục thực eba1 Trường hợp E < (h1 + 1)D tương đương với trường hợp a2 > c1 d1 + d2 a1 eba1 Điều có nghĩa tỷ lệ chết thú lớn thú c1 d1 + d2 a1 tuyệt chủng nhanh (theo tốc độ mũ) mồi lại phát triển đạt eba1 tới ngưỡng Trong trường hợp ngược lại, tức a2 < suy hệ c1 d1 + d2 a1 bền vững Nếu thêm số điều kiện hệ có điểm cân dương nghiệm dần tới điểm cân dương Nghĩa là, mật độ thú mồi có xu hướng tiến tới trạng thái cân Hơn nữa, điều kiện A < E biểu thị theo tham số gốc d2 < e Tham số d2 trọng số thức ăn Nếu d2 tương đối nhỏ thú có hội sống sót hai lồi ổn định điểm cân 114 Kết luận kiến nghị Kết luận Các kết qủa luận án • Nghiên cứu mơ hình quần thể có cấu trúc tuổi đa trạng thái, giới tính mô tả hệ Lotka-Von Foerster không nhất, tác giả chứng minh dáng điệu nghiệm hệ vơ cực có tính chất tuần hồn, hầu tuần hồn, tựa tuần hoàn tương tự dáng điệu hàm mật độ di cư quần thể • Đối với hệ Lotka-Von Foerster nhất, tác giả đưa cách tính bán kính ổn định áp dụng vào tính bán kính hệ trường hợp chiều • Nghiên cứu mơ hình quần thể thú-mồi dạng phi tuyến, tác giả tồn hay khơng tồn nghiệm tuần hồn, nghiệm dương bị chặn, tính ổn định tiệm cận tồn cục tính bền vững hệ • Tác giả đưa mơ hình tổng qt lớp mơ hình thú-mồi với hàm đáp ứng Beddington-DeAngelis mơi trường tuần hồn với khơng gian pha R2 Đối với mơ hình này, tác giả đưa điều kiện đủ để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn với thành phần bị chặn trên, chặn số dương, tính bền (uniformly persistent) trường hợp tuyệt chủng loài thú 115 Kết luận kiến nghị • Đối với mơ hình thú mồi với hàm đáp ứng Beddington-DeAngelis hệ số hằng, tác giả thiết lập điều kiện đủ đặt cho hệ số để hệ bền vững, tính ổn định tiệm cận tồn quỹ đạo tuần hoàn hệ Ngoài tác giả trình bày ý nghĩa sinh học vấn đề nghiên cứu đưa lời giải số số mơ hình để minh họa kết nhận Kiến nghị nghiên cứu Hướng nghiên cứu luận án cịn nhiều tốn mở sau đây: Tìm điều kiện cần đủ tính bền vững, tính ổn định tồn cục, tồn tính nghiệm dương bị chặn hệ phương trình vi phân thành lập từ mơ hình khác hệ sinh thái Mỗi mơ hình hệ sinh thái có đặc điểm riêng cách xây dựng khác nhau, cần có phương pháp khác nghiên cứu tính bền vững, tính ổn định, tồn nghiệm tuần hồn dương Vì vậy, việc xây dựng phương pháp để nghiên cứu tính bền vững, tồn nghiệm tuần hồn, hầu tuần hoàn hệ sinh thái, phương pháp mà luận án đề cập đến cần thiết Nghiên cứu tính rẽ nhánh, tính ergodic, tồn nghiệm hầu tuần hoàn, tựa tuần hồn mơ hình thú-mồi phụ thuộc thời gian với hàm đáp ứng Beddington-DeAngelis Tiếp tục nghiên cứu sâu bán kính ổn định hệ Lotka-Von 116 Kết luận kiến nghị Foerster hệ khác mô tả quần thể hệ sinh thái Tuy nhiên, điều kiện thời gian lực nên tác giả chưa giải vấn đề Tác giả hy vọng vấn đề sớm giải Danh mục cơng trình khoa học hoạt động khoa học tác giả liên quan đến luận án Các kết luận án báo cáo hội nghị Hội nghị Khoa học Khoa Toán - Cơ - Tin học nhân kỷ niệm 50 năm thành lập, Hà Nội 10-2006 Hội nghị khoa học lần thứ XVII, Trường Đại học Mỏ địa chất Hà nội, 2006 Hội nghị Tốn học tồn quốc lần thứ 7, Quy Nhơn, 8-2008 Hội nghị khoa học Trường đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2010 công bố báo: [1] Nguyen Van Minh and Tong Thanh Trung, Dáng điệu tiệm cận quần thể có cấu trúc tuổi mô tả hệ Lotka- Von Foerster không nhất, (On the asymptotic behavior of age-structured populations modeled by Lotka – Von Foerster equations), Tạp chí Ứng dụng Toán học, số 1, Tập 1(2003), 23-35 117 Kết luận kiến nghị [2] Nguyen Huu Du, Nguyen Minh Man and Tong Thanh Trung, Dynamics of predator-prey population with modified Leslie-Gower and Holling type II schemes, Acta Mathematica Vietnamica, 32(2007), 99-111 [3] Nguyen Huu Du and Tong Thanh Trung, On the dynamics of predatorprey systems with Beddington-DeAngelis functional response, AsianEuropean Journal of Mathematics, Vol No (2011), 35-48 [4] Tong Thanh Trung, Stability radii of age-structered population described by the homogeneous Lotka-Von Foerster system,Tạp chí Ứng dụng Tốn học, (2010), 10 pp, (Đã gửi đăng) [5] Trinh Tuan Anh, Nguyen Huu Du and Tong Thanh Trung, On the permanence of predator-prey model with the Beddington-DeAngelis functional response in periodic environment, Acta Mathematica Vietnamica, (2010), 14 pp, (Đã gửi đăng) 118 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn dịnh, Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Xuân Liêm (1996), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục [3] Hoàng Tuỵ (1979), Giải tích đại, Tập 1, 2, 3, Nhà xuất Giáo dục [4] Demidovic (1967), Những giảng lý thuyết ổn định phương trình vi phân thường, Bản dịch từ tiếng Nga, Vũ Tuấn, Cấn Văn Tuất (1978) Tài liệu tiếng Anh [5] W Arendt, C J K Batty (1997), "Almost periodic solutions of first and second order Cauchy problems", Journal Differential Equations 137 ( N.2), 363-383 [6] W Arendt, C J K Batty (1999), "Assymptotically almost periodic solutions of inhomogeneous Cauchy problems on the half-line", Bull London Math Soc (31), 291-304 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO [7] N Dunford, J T Schwartz (1957), Linear Operators, Part I, II, Interscience Publisher, INC., NewYork [8] Nguyen Huu Du (2000), "On the existence of bounded solutions for Lotka - Volterra equations", Acta Math Vietnam., 25(2), 145 - 159 [9] A M Fink (1974), Almost periodic differential equations, Lecture Notes in Math., 377, Springer, Berlin.NewYork [10] I Gohberg, S Goldberg (1981), Basic Operator Theory , 285, Birkhăuser, Boston Basel Stuttgart a [11] J Hale (1971), Functional Differential Equations, Appl Math Sci, vol 3, Springer Verlag, Heidelberg [12] M A Aziz-Aloui, M Daher Okiye (2003), " Boundedness and Global Stability for a Predator-Prey Model with Modified Leslie - Gower and Holling-Type II Schemes", Applied Mathematics Letters, (16), 10691075 [13] Qian Wang, Meng Fan, Ke Wang (2003), ”Dynamics of a class of non autonomous semi-ratio-dependent predator-prey system with functional responses", J Math Anal Appl., (278), 433 - 471 [14] R Arditi, N Perrin, H Saiah (1991), "Functional response and heterogeneities: an experimental test with cladoceran", OIKOS (60), 69 - 75 [15] A A Berryman (1992), "The origins and evolution of predator - prey theory", Ecology (73), 1530 - 1535 [16] K S Cheng, S B Hsu, S S Lin (1981), "Some results on global stability of a predator-prey model", J Math Biol., (12) 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO [17] E S Eve Leigh, D A Chant (1982), "Experimental studies on acarine predator-prey interactions: the effects of predator density on prey consumption, predator searching efficiency, and the functional response to prey density, (Acarina: Phytoseiidae)", Canad J Zool., (60), 611 - 629 [18] A Gasull, R E Kooij, J Torrregrosa (1997), "Limit cycles in the Holling-Tanner model", Publ Math., (41), 149 - 167 [19] C S Holling (1965), "The functional response of predators to prey density and its role in mimicry and population regulation", Men Entomol Soc Canad., (46), - 60 [20] S B Hsu, T W Huang (1995), "Global stability for a class of predator-prey systems", SIAM J Appl Math., (55), 763 - 783 [21] N Kazarinov, P van den Driessche (1978), "A model predator-prey systems with functional response", Math Biosci (39), 125 - 134 [22] P H Leslie, J C Gower (1960), "The properties of a stochastic model for the predator-prey type of interaction between two species", Biometrika, (47), 219 - 234 [23] J T Tanner (1975), "The stability and intrinsic growth rate of prey and predator populations", Ecology (56), 855 - 867 [24] J T Tanner, S B Hsu, S P Hubbell, P Waltman (1978), "A contribution to the theory of competing species", Ecol Monographs (48), 337 - 349 [25] I Barbˇlat (1959), "Systems d’equations différentielles d’oscillations a nonlinéaires" , Rev Roumaine Math Pure Appl (4), 267 - 270 121 TÀI LIỆU THAM KHẢO [26] Y Hino , T Naito, Nguyen Van Minh, J.S.Shin (2002), Almost Periodic Solutions of Differential Equations in Banach Spaces, Taylor and Francis, London- New York [27] H Inaba (1988), "Asymptotic properties of the inhomogeneous LokkaVon Foerster system", Mathematical Population Studies, vol 1(3) [28] H Inaba (1988), "A semigroups - approach to the strong ergodic theorem of the multistate stable population process", Mathematical Population Studies, vol 1(1) [29] B M Levitan , V V Zhikov (1978), Almost Periodic Functions and Differential Equations , Moscov Univ Publ House Engish translation by Cambridge University Press (1982) [30] T.Naito, Nguyen Van Minh, J S Shin (2001), "New spectral criterial for almost periodic solutions of evolution equations", Studia Mathematica (145), 97-111 [31] T Naito, Nguyen Van Minh, R Miyazaki, J S Shin (2000), "A decomposition theorem for bounded solutions and existence of periodic differential equations", J Diff Eq (160), 236 - 282 [32] D L Angelis, R A Goldstein, R V O’Neill (1975), "A model for tropic interaction", Ecology, (56) , 881 - 892 [33] R Nagel (ed) (1984), One- parameter Semigroups of Positive Operator, Lecture Notes in Math , v 1184, Springer , Heidelberg [34] K.J Engel, R Nagel (2000), One- parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, 580, Springer , Heidelberg 122 TÀI LIỆU THAM KHẢO [35] J M A M van Neerven (1996), The asymptotic behavior of Semigroups of linear Operator, Bikhăuser verlag Basel Boston a Berlin,Operator Theory, Advances and Applications Vol 88 [36] S Murakami, T Naito , and Nguyen Van Minh (2004), "Masserra theorem for almost periodic solutions of functional differential equations", Journal of Mathematical Society of Japan, Vol 56(1) [37] A Pazy(1983), Semigroups of linear Operators and Applications to Differential Equations, Applied Math Sci 44, Springer - Verlag, Berlin - New York [38] J Prăss (1984), On spectrum of C0 - Semigroups, American Matheu matical Society [39] J Prăss (1993) , Evolutionary Integral Equations and Applications, u Birkhăuser Verlag, Basel - Boston - Berlin a [40] Q P Vu (1994), "Almost periodic solutions of Volterra equations", Dif.Int Eq., (7) [41] K Yosida (1980), Functional Analysis, 501, Springer - Verlag Berlin, Heidelberg, NewYork [42] G F Webb (1985), Theory of nonlinear Age - Dependent Population Dynamics, 294, Marcel Dekker, Inc, NewYork and Basel [43] R S Cantrell, C Cosner (2001), "On the Dynamics of Predator-Prey Models with the Beddington-DeAngelis Functional Response", Mathematical Analysis and Applications, (257), 206 - 222 [44] D T Dimitrov, H V Kojouharov (2005), "Complete Mathematical Analysis of Predator-Prey Models with linear prey growth and 123 TÀI LIỆU THAM KHẢO Beddington-DeAngelis functional response", Applied Mathematics and Computation, (165), 523-538 [45] Tzy - Wei Hwang (2003), "Global analysis of the predator-prey system with Beddington-DeAngelis functional response", J.Math.Anal.Appl, (281), 395 - 401 [46] Sebastian J Schreiber (2000), "Criteria for C r robust permanence", Journal ofDifferential Equations, (162), 400 - 426 [47] S J Schreiber (2004), "Coexistence for species sharing a predator", Journal of Differential Equations, (196), 209 - 225 [48] Miklós Farkas (1994), Periodic Motions, Applied Mathematical Sciences, Volume 104, pp578 [49] F Berezovskaya, G Karev, R Arditi (2001), "Parametric analysis of the ratio - dependent predator - prey model", J.Math.Biol, (43), 221 246 [50] W A Coppel (1965), "Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations", D.C.Heath and Company Boston, pp165 [51] Sze-Bi Hsu, Tzy-Wei Hwang,Yan Kuang (2001), "Global analysis of the Michaelis-Menten-type ratio-dependent predator-prey system", J Math Biol., (42), 489 - 506 [52] J B Collings (1997), "The effects of the functional response on the furcation behavior of a mite predator-prey interaction model", J Math Biol., (36), 149 - 168 124 TÀI LIỆU THAM KHẢO [53] J B Collings (1995), "Bifurcation and stability analysis for a temperature-dependent mite predator-prey interaction model incorporating a prey refuge", Bull Math Biol., (57), 63 - 76 [54] A A Soliman (1998), "Stability criteria of Differential Systems via Liapunov’s second method", Applied Mathematics and Computation, (92), 143 - 152 [55] Lawrence Perko (2000), Differential Equations and Dynamical systems, Springer, third edition, pp554 [56] Y Kuang, E Beretta (1998), "Global qualitative analysis of a ratio dependent predator-prey systems", J.Math.Biol., (36), 389-406 [57] S B Hsu, T W Huang (1995), "Global stability for a class of predator-prey systems", SIAM J Appl Math., (55), 763 - 783 [58] J R Beddington (1975), "Mutual interference between prasites or predators and its effect on searching efficiency", J.Animal Ecol., (44), 331 - 340 [59] C Cosner, D L Angelis, J S Ault, and D.B Olson (1999), "Effects of spatial grouping on the functional response of predators", Theoret Population Biol (56), 65 - 75 [60] F Brauer, C Castillo-Chavez (2001), Mathematical Models in Population Biology and Epidemialogy, Springer-Verlag, New York [61] Jack Hale (1977), Theory of Function Differential Equations, SpringerVerlag, New York, Heidelberg, Berlin [62] Y Takeuchi (1995), "Global Dynamical Properties of Lotka-Volterra System", World Scientific 125 TÀI LIỆU THAM KHẢO [63] A Fischer (April 1996), "Stability radii of infinite - dimensionnal positive systems", Report Nr 380, Institut făr Dynamische Systeme Fachu bereich Mathematick und Informatik, Univesităt Bremen, Postfach 33 a 04 40, 28334 Bremen, Germany [64] A Fischer (April 1997), "On robust stability of infinite - dimensional contimuous - time positive systems", Report Nr 397, Institut făr Dynamische Systeme Fachbereich Mathematick und Informatik, u Univesităt Bremen, Postfach 33 04 40, 28334 Bremen, Germany a [65] A Fischer, J M A M van Neerven (1998), "Robust Stability of C0 −Semigroups and an Application to Stability of Delay Equations", J Math Anal Appl., (226), 82 - 100 [66] T T Anh, T V Nhung (1999), Persistence in a Model of PredatorPrey Population Dynamics with the Action of a Parasite in Periodic Environment, Vietnam Journal of Mathematics, 27(4), 309 - 321 [67] J Hofbauer, J E H So (1989), Uniform persistence and repellers for maps, Pro Amer Math Soc., (107), 1137 - 1142 [68] V Hutston, K Schmitt (1992), Permanence and the dynamics of biological systems, Math Biosci, (111), 224 - 250 [69] H I Freedman, J W - H So (1989), Persistence in discrete semidynamical systems, SIAM J Math Anal, (20), 930 - 938 [70] N H Du, T T Trung (2011), On the dynamics of predator-prey systems with Beddington - DeAngelis functional response, Asian - European Journal of Mathematics, Vol 4(1), 35-48 126 TÀI LIỆU THAM KHẢO [71] F Zanolin (1992), Permanence and positive periodic solutions for Kolmogorov competing species systems, Results in Math, (21), 224 - 250 127 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TỐNG THÀNH TRUNG NGHIÊN CỨU DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỘNG HỌC CÁC QUẦN THỂ ĐƢỢC MƠ TẢ BỞI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN... định phương trình vi phân 26 1.5.1 Tính ổn định phương trình vi phân tuyến tính 27 1.5.2 1.5 Định lý bao hàm phổ Tính ổn định phương trình vi phân phi tuyến 33 Dáng điệu. .. Định lý 1.5.6 Hệ phương trình vi phân (1.4) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường x(t) ≡ hệ tương ứng (1.5) ổn định tiệm cận t → +∞ Chứng minh Xem [4] Định lý 1.5.7 Hệ phương trình vi phân (1.5) ổn