ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ ANH TUẤN MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH DẠNG ĐẠI SỐ CỦA GIẢ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ LỚP CẦU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ ANH TUẤN MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH DẠNG ĐẠI SỐ CỦA GIẢ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ LỚP CẦU Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng Hà Nội – Năm 2013 Lời cảm ơn Tôi cảm ơn sâu sắc GS TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng, người truyền đạt nhiều học quí báu tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS Lê Minh Hà, TS Võ Thị Như Quỳnh TS Phan Hoàng Chơn nhiệt tình giúp đỡ, góp ý cung cấp cho nhiều tài liệu phong phú Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô Bộ môn Đại số-Hình học-Tơpơ giúp đỡ có lời khun q giá việc nghiên cứu Khoa học Tơi xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình tơi, người ln ủng hộ giúp đỡ để yên tâm làm việc i Bảng kí hiệu F2 Trường với phần tử Vk 2- nhóm abel sơ cấp hạng k BVk Khơng gian phân loại nhóm Vk GLk = GL(Vk ) Nhóm tuyến tính tổng quát Vk H∗ (X) Đồng điều không gian tôpô X với hệ số F2 H ∗ (X) Đối đồng điều không gian tôpô X với hệ số F2 A Đại số Steenrod (modulo 2) Ext∗ (F2 , F2 ) A Đối đồng điều đại số Steenrod A T or∗ (F2 , F2 ) Đồng điều đại số Steenrod ii Mở đầu s Xét đồng cấu Hurewicz H : π∗ (S ) ∼ π∗ (Q0 S ) → H∗ (Q0 S ), Q0 S = thành phần liên thơng khơng gian vịng lặp vơ hạn Ω∞ S ∞ = limn Ωn S n với tôpô compact mở Giả thuyết cổ điển lớp cầu dự đốn có phần tử với bất biến Hopf phần tử với bất biến Kervaire nằm ảnh đồng cấu Hurewicz (Xem Curtis [8], Snaith-Tornehave [34], Wellington [35].) Trong công trình [22], Lannes Zarati xây dựng đồng cấu ϕk : Extk,k+i (F2 , F2 ) → (F2 ⊗ Dk )∗ , i A A s phân bậc liên kết đồng cấu Hurewicz H : π∗ (S ) ∼ π∗ (Q0 S ) → = H∗ (Q0 S ) Ở đây, Dk đại số Dickson gồm tất phần tử F2 [t1 , , tk ] bất biến tác động GLk Các phần tử với bất biến Hopf bất biến Kervaire đại điện chu trình vĩnh cửu tương ứng Ext1,∗ (F2 , F2 ) Ext2,∗ (F2 , F2 ), mà ϕ1 ϕ2 khác (xem Adams [2], A A Browder [6], Lannes-Zarati [22]) Từ đó, Nguyễn H V Hưng đưa giả thuyết nói đồng cấu Lannes-Zarati bị triệt tiêu phần tử có gốc i dương, với k > (xem [11]) Giả thuyết biết đến dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu Trong [31], Singer xây dựng đối ngẫu đại số lambda theo lý thuyết bất biến Gọi Γk = Dk [Q−1 ] địa phương hóa Dk cách làm nghịch đảo Qk,0 k,0 i k−1 Γ∧ môđun Γk , sinh đơn thức γ = Qi0 Qi1 Qk,k−1 , với k k,0 k,1 i0 ∈ Z, i1 , , ik−1 ≥ i0 + degγ ≥ Singer Γ∧ = ⊕k Γ∧ k đối đại số vi phân đẳng cấu với đối ngẫu đại số lambda, Λ, xây dựng năm 1966 tác giả [5] Vì vậy, Hk (Γ∧ ) ∼ T orA (F2 , F2 ) = k Sau đó, Nguyễn H V Hưng [13] xây dựng biểu diễn cấp độ dây chuyền cho đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati vào năm 2001 Cụ thể, ông khẳng định iii phép nhúng Dk ⊂ Γ∧ biểu diễn cấp độ dây chuyền đối ngẫu k đồng cấu Lannes-Zarati Trên sở định lý này, giả thuyết triệt tiêu + đồng cấu Lannes-Zarati với k > tương đương với giả thuyết nói q ∈ Dk A [q] = T ork (F2 , F2 ) với k > Do đó, hình thức tương đương nói dạng đại số giả thuyết lớp cầu đường chứng minh giả thuyết mà khơng cần dùng tới xác định tường minh nhóm Extk (F2 , F2 ) A Nhắc lại rằng, nhóm Extk (F2 , F2 ) xác định tường minh A cho bậc đồng điều k ≤ Dạng đại số giả thuyết lớp cầu chứng minh trường hợp riêng sau đây: (1) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ k triệt tiêu phần tử phân tích Extk (F2 , F2 ) với k > (xem Hưng-Peterson [16].) A (2) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ k triệt tiêu ảnh đồng cấu chuyển Singer với k > (xem Hưng-Nam [15].) (3) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ thứ triệt tiêu phần tử có gốc dương (xem Nguyễn H V Hưng [14] [11].) (4) Gần đây, Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh, tác giả luận văn chứng minh [18] đồng cấu Lannes-Zarati thứ triệt tiêu phần tử có gốc dương Luận văn chia làm chương Trong chương 1, chúng tơi trình bày kiến thức bao gồm đại số Steenrod, lý thuyết bất biến đại số lambda Trong chương 2, chúng tơi trình bày cách xây dựng đồng cấu Lannes-Zarati nói dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu Đồng thời, trình bày lại cơng trình Nguyễn H V Hưng [13] nói biểu diễn cấp độ dây chuyền đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati Trong chương 3, chúng tơi trình bày tốn tử squaring ứng dụng nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati Cụ thể, Tiết 3.2 chúng tơi trình bày lại cơng trình Nguyễn H V Hưng [14] nói tốn tử squaring cổ điển giao hốn thơng qua đồng cấu Lannes-Zarati với toán tử squaring đối ngẫu hệ sinh tối tiểu đại số Dickson xem A-mơđun Trong Tiết 3.3 chúng tơi trình bày lại chứng minh Nguyễn H V Hưng cho triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati thứ thứ Cuối cùng, Tiết 3.4 dành cho việc trình bày cơng trình gần Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh, tác giả luận văn cho triệt tiêu đồng cấu Lannes-Zarati thứ iv Mục lục Bảng kí hiệu ii 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.2 1.2 Đại số Steenrod 1.1.1 Định nghĩa tính chất Cấu trúc đại số Steenrod Lý thuyết bất biến đại số lambda 1.2.1 1.2.2 1.2.3 Một mở rộng đại số lambda 12 1.2.4 Các bất biến GLs đối ngẫu Θ 13 1.2.5 Lý thuyết bất biến Phức dây chuyền Γ∧ M 10 Các bất biến GLs đối ngẫu Λ 14 Dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu 2.1 Đồng cấu Lannes-Zarati dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu 2.1.1 2.2 17 17 Đồng cấu Lannes-Zarati 17 2.1.2 Dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu 22 Biểu diễn cấp độ dây chuyền đối ngẫu đồng cấu LannesZarati 23 Toán tử squaring đồng cấu Lannes-Zarati 3.1 33 Các toán tử squaring 33 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 Toán tử squaring cổ điển 33 Toán tử squaring Kameko 34 Toán tử squaring đối ngẫu đại số Dickson 37 Tính giao hốn toán tử squaring qua đồng cấu Lannes-Zarati 38 v 3.3 Chứng minh dạng đại số giả thuyết lớp cầu trường hợp k=3, 43 3.4 Chứng minh dạng đại số giả thuyết lớp cầu trường hợp k=5 48 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 vi Chương Kiến thức chuẩn bị Trong luận văn này, làm việc với vành hệ số trường F2 gồm hai phần tử 1.1 Đại số Steenrod Trong mục này, trình bày sơ lược đại số Steenrod trường F2 Chúng viết mục dựa theo tài liệu [27] [29] Đại số Steenrod đại số sinh toán tử đối đồng điều Sq k : H n (X) → H n+k (X), phép biến đổi tự nhiên đối đồng điều không gian tôpô X, xác định với n, k ≥ Các toán tử giao hoán với phép treo chúng gọi toán tử đối đồng điều ổn định Năm 1950, Cartan chứng minh k Sq k (xy) = Sq i (x)Sq k−i (y), i=0 với x, y ∈ H ∗ (X) Công thức gọi công thức Cartan Năm 1952, Adem chứng minh tất quan hệ đại số Steenrod sinh từ tập quan hệ sau, gọi quan hệ Adem, [a/2] a b Sq Sq = i=0 b−i−1 Sq a+b−i Sq i , a < 2b, a − 2i đó, hệ số nhị thức lấy theo modulo Năm 1953, Serre đại số Steenrod có sở cộng tính gọi cở sở chấp nhận Milnor [29] nghiên cứu cách sâu sắc cấu trúc đại số Steenrod Ông chứng minh đại số Steenrod đại số Hopf, phân bậc, có bổ sung, đối giao hốn, liên thơng, đối ngẫu đại số đa thức 1.1.1 Định nghĩa tính chất Đại số Steenrod, A, đại số phân bậc, liên kết, có đơn vị trường F2 sinh toán tử Sq i , i ≥ 0, bậc i, Sq = thỏa mãn quan hệ sau, gọi quan hệ Adem, [a/2] a b Sq Sq = i=0 b−i−1 Sq a+b−i Sq i , a < 2b, a − 2i (1.1) đó, hệ số nhị thức lấy theo modulo 2, kí hiệu [x] dùng để phần nguyên x, số nguyên lớn không vượt x Cho I = (i1 , , ik ) gồm k số nguyên dương Ta nói I dãy chấp nhận ij ≥ 2ij+1 với ≤ j ≤ k − Một tích toán tử Sq i1 Sq ik gọi đơn thức có độ dài k có bậc i1 + · · · + ik Đơn thức Sq I gọi đơn thức chấp nhận I dãy chấp nhận Mệnh đề 1.1 (Mosher-Tangora [27]) Tập hợp tất đơn thức chấp nhận sở cộng tính đại số Steenrod A, xem không gian véctơ F2 Chứng minh Chứng minh {Sq I }, với I lấy dãy chấp nhận được, hệ độc lập tuyến tính xem [27] Ta chứng minh {Sq I }, với I dãy chấp nhận được, hệ sinh A Thật vậy, với dãy J = (j1 , , jk ) (không thiết dãy chấp nhận được), ta định nghĩa moment m(J) = s js s Ta thấy rằng, J dãy chấp nhận được, phải qua trái ta áp dụng quan hệ Adem cho cặp js , js+1 , với js < 2js+1 , lúc Sq J phân tích thành tổng đơn thức có moment nhỏ m(J) Vì hàm moment bị chặn nên trình dừng lại sau hữu hạn bước {Sq I }, với I chấp nhận được, hệ sinh A Định lý 3.11 (Hưng [11]) Giả thuyết 2.5 với k = i+3 i+1 i 3,2 Chứng minh Trong [23], Lin ci = [(Sq )i (λ2 λ2 )] ∈ ExtA +2 +2 (i ≥ 0), tạo thành F2 -cơ sở cho không gian phần tử khơng phân tích Ext3 (F2 , F2 ), tích theo kí hiệu lambda viết theo thứ tự A ngược với tích theo kí hiệu lamda [5] Theo Nhận xét 3.8, để chứng minh định lý ta cần ϕ3 (c0 ) = 0, hay ta ϕ∗ không đơn thức Dickson bậc Hơn nữa, từ Định lý 2.15 Nhận xét 3.10 ta cần chứng minh đồng cấu d∗ nhắc tới Bổ đề 3.9 lớp đơn thức Dickson có bậc Ta thấy có đơn thức Dickson bậc Q2 Mặt khác, ta có 3,2 2 2 Q3,2 = Q2,0 v3 + Q2,1 nên theo bổ đề 3.9 ta có d∗ ([Q3,2 ]) = [Q2,0 ⊗ x2 + Q4 ⊗ 1] 2,1 Gọi ∂ vi phân Γ∧ P1 Ta có ∂(Q−1 Q2 ⊗ x2 ) = Q2 ⊗ x4 + Q2 ⊗ x2 , 3,0 3,1 2,1 2,0 ∂(Q−1 Q3,1 Q3,2 ⊗ x4 ) = Q2 ⊗ x4 , 3,0 2,1 −1 ∂(Q3,0 Q3,1 Q3,2 ⊗ 1) = Q2,1 ⊗ Như [Q2 ⊗x2 +Q4 ⊗1] = [∂(Q−1 Q2 ⊗ x2 + Q−1 Q3,1 Q3,2 ⊗ x4 + Q−1 Q3,1 Q2 ⊗ 1)] = 3,0 3,1 3,0 3,0 2,1 2,0 3,2 Định lý chứng minh Định lý 3.12 (Hưng [14]) Giả thuyết 2.5 với k = Chứng minh Trong [23] [24], Lin chứng minh lớp sau tạo thành F2 -cơ sở cho không gian phần tử khơng phân tích Ext4 (F2 , F2 ): A i+4 +2i+1 (1) di = [(Sq )i (λ6 λ2 λ2 + λ2 λ2 + λ2 λ4 λ5 λ6 + λ1 λ5 λ1 λ7 )] ∈ Ext4,2 A (i ≥ 0), 4,2i+4 +2i+2 +2i (2) ei = [(Sq )i (λ8 λ2 + λ4 (λ2 λ3 + λ7 λ2 ) + λ2 (λ3 λ5 λ7 + λ1 λ11 λ3 ))] ∈ ExtA (i ≥ 0), i+4 +2i+2 +2i+1 4,2 (3) fi = [(Sq )i (λ4 λ0 λ2 + λ3 (λ9 λ2 + λ3 λ5 λ7 ) + λ2 λ2 )] ∈ ExtA 7 i (4) gi+1 = [(Sq ) (λ6 λ0 λ2 +λ5 (λ9 λ2 +λ3 λ5 λ7 )+λ3 (λ5 λ9 λ3 +λ11 λ2 ))] 3 ∈ (i ≥ 0), 4,2i+4 i+3 ExtA +2 (i ≥ 0), 4,2i+5 i+2 i (5) pi = [(Sq )i (λ14 λ5 λ2 + λ10 λ9 λ2 + λ6 λ9 λ11 λ7 )] ∈ ExtA +2 +2 (i ≥ 0), 7 (6) D3 (i) = [(Sq )i (λ22 λ1 λ7 λ31 +λ16 λ2 λ31 +λ14 λ9 λ7 λ31 +λ12 λ11 λ7 λ31 )] ∈ Ext4,2 A i+6 +2i (i ≥ 0), 4,2i+6 i+3 i (7) pi = [(Sq )i (λ0 λ39 λ2 + λ0 λ15 λ23 λ31 )] ∈ ExtA +2 +2 (i ≥ 0) 15 Chú ý dùng định nghĩa đại số lambda dựa theo Singer [31], ngược thứ tự với định nghĩa gốc [5] 44 Ta dùng Nhận xét 3.8 để chứng minh định lý Gọi a0 bảy phần tử sinh: d0 , e0 , f0 , g1 , p0 , D3 (0), p0 Để chứng minh ϕ4 (a0 ) = ta chứng minh ϕ∗ không đơn thức Dickson có bậc gốc a0 Ta dùng phương pháp tương tự chứng minh với trường hợp biến Ta kiểm tra trường hợp Trường hợp Với d0 , có đơn thức Dickson bậc 14 Q4,1 Ta thấy Q4,1 = Q3,0 Q3,1 v4 +Q2 nên theo Bổ đề 3.9 d∗ ([Q4,1 ]) = [Q3,0 Q3,1 ⊗x+Q2 ⊗1] 3,0 3,0 ∧ Gọi ∂ vi phân Γ P1 Ta có ∂(Q−1 Q2 ⊗ 1) = Q2 ⊗ 1, 4,0 4,1 3,0 ∂(Q−2 Q3 ⊗ x) = Q2 ⊗ x2 + Q3,0 Q3,1 ⊗ x, 4,0 4,1 3,1 ∂(Q4,2 ⊗ x) = Q2 ⊗ x2 3,1 Từ suy d∗ ([Q4,1 ]) = Trường hợp Với e0 khơng có đơn thức Dickson bậc 17 Trường hợp Với f0 khơng có đơn thức Dickson bậc 18 Trường hợp Với g1 , có đơn thức Dickson bậc 20 Q4,2 Q4,3 Theo Bổ đề 3.9, ta có d∗ ([Q4,2 Q4,3 ]) = [Q2 Q3,2 ⊗ x2 + Q3,0 Q3 ⊗ x + Q3,0 Q2 ⊗ x + Q2 Q2 ⊗ 1] 3,0 3,2 3,1 3,1 3,2 Tính tốn vi phân ta thu ∂(Q−3 Q2 Q3 ⊗ 1) = Q−4 Q8 ⊗ + Q2 Q2 ⊗ 1, 3,0 3,1 4,0 4,1 4,2 3,1 3,2 ∂(Q−3 Q4 Q2 ⊗ 1) = Q−4 Q8 ⊗ 1, 3,0 3,1 4,0 4,2 4,3 ∂(Q−2 Q2 Q4,2 Q4,3 ) = Q−2 Q4 Q2 ⊗x2 +Q2 Q3,2 ⊗x2 +Q3,0 Q3 ⊗x+Q3,0 Q2 ⊗x, 4,0 4,1 3,0 3,1 3,2 3,0 3,2 3,1 ∂(Q−1 Q2 Q4,3 ⊗ x2 ) = Q4 ⊗ x4 + Q−2 Q4 Q2 ⊗ x2 , 4,0 4,2 3,0 3,1 3,2 3,2 ∂(Q4,3 ⊗ x ) = Q3,0 ⊗ x + Q3,2 ⊗ x , ∂(Q4,1 ⊗ x5 ) = Q2 ⊗ x6 3,0 Từ ta có d∗ ([Q4,2 Q4,3 ]) = Trường hợp Với p0 khơng có đơn thức Dickson bậc 33 Trường hợp Với D3 (0) có đơn thức Dickson bậc 61 Q4,0 Q4,1 Q4 , Q4,0 Q4,1 Q2 Q4,3 , Q3 Q2 4,3 4,2 4,0 4,3 Xét Q4,0 Q4,1 Q4 ; theo Bổ đề 3.9, ta có 4,3 d∗ ([Q4,0 Q4,1 Q4 ]) = [Q7 Q3,1 ⊗ x6 + Q8 ⊗ x5 + Q3 Q3,1 Q8 ⊗ x2 + Q4 Q8 ⊗ x] 4,3 3,0 3,0 3,0 3,2 3,0 3,2 Tính tốn vi phân ta thu ∂(Q−1 Q3 Q4 ⊗ x) = Q3 Q3,1 Q8 ⊗ x2 + Q4 Q8 ⊗ x, 4,0 4,1 4,3 3,0 3,2 3,0 3,2 45 ∂(Q4,0 Q3 ⊗ x3 ) = Q7 Q3,1 ⊗ x6 + Q8 ⊗ x5 4,1 3,0 3,0 Từ suy d∗ ([Q4,0 Q4,1 Q4 ]) = 4,3 Xét Q4,0 Q4,1 Q2 Q4,3 ; theo Bổ đề 3.9, ta có 4,2 d∗ ([Q4,0 Q4,1 Q2 Q4,3 ]) = [Q6 Q3,1 Q2 ⊗ x5 + Q5 Q3,1 Q4 ⊗ x4 + Q7 Q2 ⊗ x4 4,2 3,0 3,2 3,0 3,2 3,0 3,2 + Q4 Q5 ⊗ x3 + Q6 Q4 ⊗ x3 3,0 3,2 3,0 3,1 + Q3 Q5 Q2 ⊗ x2 + Q5 Q4 ⊗ x2 3,0 3,1 3,0 3,1 3,2 + Q4 Q4 Q2 ⊗ x] 3,0 3,1 3,2 Tính tốn vi phân ta thu ∂(Q−1 Q3 Q4,2 Q4,3 ⊗ x) = Q3 Q5 Q2 ⊗ x2 + Q5 Q4 ⊗ x2 + Q4 Q4 Q2 ⊗ x, 4,0 4,1 3,0 3,1 3,2 3,0 3,1 3,0 3,1 3,2 ∂(Q−3 Q5 Q2 Q4,3 ⊗ x3 ) = Q−1 Q9 Q2 ⊗ x6 + Q3,0 Q8 ⊗ x6 + Q8 Q2 ⊗ x5 + 3,0 3,1 3,2 4,0 4,1 4,2 3,1 3,2 3,1 Q6 Q3,1 Q2 ⊗ x5 + Q5 Q3,1 Q4 ⊗ x4 + Q7 Q2 ⊗ x4 + Q4 Q5 ⊗ x3 + Q6 Q4 ⊗ x3 , 3,0 3,2 3,0 3,2 3,0 3,2 3,0 3,1 3,0 3,2 ∂(Q−1 Q4,1 Q4 Q4,3 ⊗ x5 ) = Q3 Q3,1 Q6 ⊗ x10 + Q5 Q4 ⊗ x10 + Q4 Q6 ⊗ x9 + 4,0 4,2 3,0 3,2 3,0 3,2 3,0 3,2 −1 8 Q3,0 Q3,1 Q3,2 ⊗ x + Q3,0 Q3,1 ⊗ x + Q3,1 Q3,2 ⊗ x , ∂(Q−1 Q3 Q4 ⊗ x9 ) = Q3 Q3,1 Q6 ⊗ x10 + Q5 Q4 ⊗ x10 + Q4 Q6 ⊗ x9 4,0 4,1 4,3 3,0 3,2 3,0 3,2 3,2 3,0 Ta suy d∗ ([Q4,0 Q4,1 Q2 Q4,3 ]) = 4,2 Xét Q3 Q2 ; theo Bổ đề 3.9, ta có 4,0 4,3 d∗ ([Q3 Q2 ]) = [Q8 ⊗ x5 + Q6 Q4 ⊗ x3 ] 4,0 4,3 3,0 3,0 3,2 Tính tốn vi phân ta có: ∂(Q−1 Q4 Q2 ⊗ x3 ) = Q8 ⊗ x5 + Q6 Q4 ⊗ x3 4,0 4,1 4,3 3,0 3,2 3,0 Do ta có d∗ ([Q3 Q2 ]) = 4,0 4,3 Trường hợp Với p0 tất đơn thức Dickson bậc 69 Q3 Q3 , Q3 Q2 , Q4,0 Q4,1 Q5 , Q4,0 Q4,1 Q2 Q2 , Q4,0 Q3 Q4,2 4,1 4,0 4,2 4,3 4,2 4,3 4,0 4,3 Xét Q3 Q3 ; theo Bổ đề 3.9, ta có 4,0 4,3 d∗ ([Q3 Q3 ]) = [Q9 ⊗ x6 + Q8 Q2 ⊗ x5 + Q7 Q4 ⊗ x4 + Q6 Q6 ⊗ x3 ] 3,0 3,2 3,0 3,2 4,0 4,3 3,0 3,0 3,2 Tính toán trực tiếp ta thấy ∂(Q−1 Q4 Q3 ⊗ x3 ) = Q9 ⊗ x6 + Q8 Q2 ⊗ x5 + 4,0 4,1 4,3 3,0 3,0 3,2 Q7 Q4 ⊗ x4 + Q6 Q6 ⊗ x3 Từ suy d∗ ([Q3 Q3 ]) = 3,0 3,2 3,0 3,2 4,0 4,3 46 Xét Q3 Q2 ; theo Bổ đề 3.9, ta có 4,0 4,2 d∗ ([Q3 Q2 ]) = [Q8 Q2 ⊗ x5 + Q6 Q4 ⊗ x3 ] 3,0 3,1 3,0 3,2 4,0 4,2 Tính tốn trực tiếp ta thấy ∂(Q−1 Q4 Q2 ⊗ x3 ) = Q8 Q2 ⊗ x5 + Q6 Q4 ⊗ x3 4,0 4,1 4,2 3,0 3,2 3,0 3,1 Từ suy d∗ ([Q3 Q2 ]) = 4,0 4,2 Xét Q4,0 Q4,1 Q2 Q2 ; theo Bổ đề 3.9, ta có 4,2 4,3 d∗ ([Q4,0 Q4,1 Q2 Q2 ]) = [Q7 Q3,1 Q2 ⊗ x6 + Q5 Q3,1 Q6 ⊗ x4 + Q5 Q5 ⊗ x4 4,2 4,3 3,0 3,2 3,0 3,2 3,0 3,1 + Q3 Q5 Q4 ⊗ x2 + Q8 Q2 ⊗ x5 + Q6 Q6 ⊗ x3 3,0 3,2 3,0 3,2 3,0 3,1 3,2 + Q6 Q4 ⊗ x3 + Q4 Q4 Q4 ⊗ x] 3,0 3,1 3,2 3,0 3,1 Tính tốn trực tiếp vi phân ta thu ∂(Q−1 Q3 Q2 Q2 ⊗ x) = Q3 Q5 Q4 ⊗ x2 + Q4 Q4 Q4 ⊗ x, 4,0 4,1 4,2 4,3 3,0 3,1 3,2 3,0 3,1 3,2 ∂(Q−3 Q5 Q2 Q2 ⊗ x3 ) = Q−1 Q9 Q4 ⊗ x6 + Q8 Q4 ⊗ x5 + Q7 Q3,1 Q2 ⊗ x6 + 4,0 4,1 4,2 4,3 3,0 3,1 3,2 3,1 3,2 3,0 3,2 Q5 Q3,1 Q6 ⊗ x4 + Q5 Q5 ⊗ x4 + Q8 Q2 ⊗ x5 + Q6 Q6 ⊗ x3 + Q6 Q4 ⊗ x3 , 3,0 3,2 3,0 3,1 3,0 3,2 3,0 3,2 3,0 3,1 −1 −1 ∂(Q4,0 Q4,1 Q4,2 Q4,3 ⊗ x ) = Q3,0 Q3,1 Q3,2 ⊗ x + Q3,1 Q3,2 ⊗ x + Q3,0 Q3,1 Q8 ⊗ x10 + 3,2 Q4 Q8 ⊗ x9 , 3,0 3,2 ∂(Q4,1 Q6 ⊗ x6 ) = Q3 Q3,1 Q8 ⊗ x10 + Q4 Q8 ⊗ x9 + Q7 Q3,1 ⊗ x14 + Q8 ⊗ x13 , 4,3 3,0 3,2 3,0 3,2 3,0 3,0 ∂(Q4,0 Q3 ⊗ x11 ) = Q7 Q3,1 ⊗ x14 + Q8 ⊗ x13 4,1 3,0 3,0 2 Từ suy d∗ ([Q4,0 Q4,1 Q4,2 Q4,3 ]) = Xét Q4,0 Q3 Q4,2 ; theo Bổ đề 3.9, ta có 4,1 d∗ ([Q4,0 Q3 Q4,2 ]) = [Q6 Q3 Q3,2 ⊗ x5 + Q5 Q5 ⊗ x4 + Q7 Q2 Q3,2 ⊗ x4 4,1 3,0 3,1 3,0 3,1 3,0 3,1 + Q6 Q4 ⊗ x3 + Q8 Q3,1 Q3,2 ⊗ x3 + Q7 Q2 ⊗ x2 3,0 3,1 3,0 3,0 3,1 + Q9 Q3,2 ⊗ x2 + Q8 Q2 ⊗ x] 3,0 3,0 3,1 Tính tốn vi phân ta thu ∂(Q−1 Q5 Q4,2 ⊗ x) = Q7 Q2 ⊗ x2 + Q9 Q3,2 ⊗ x2 + Q8 Q2 ⊗ x, 4,0 4,1 3,0 3,1 3,0 3,0 3,1 ∂(Q−3 Q7 Q4,2 ⊗ x3 ) = Q6 Q3 Q3,2 ⊗ x5 + Q5 Q5 ⊗ x4 + Q7 Q2 Q3,2 ⊗ x4 + 4,0 4,1 3,0 3,1 3,0 3,1 3,0 3,1 Q6 Q4 ⊗ x3 + Q8 Q3,1 Q3,2 ⊗ x3 + Q3 Q7 ⊗ x6 + Q5 Q4 Q3,2 ⊗ x6 + Q4 Q6 ⊗ x5 , 3,0 3,1 3,0 3,0 3,1 3,0 3,1 3,0 3,1 3 6 ∂(Q4,0 Q4,1 Q4,2 ⊗ x ) = Q3,0 Q3,1 ⊗ x + Q3,0 Q3,1 Q3,2 ⊗ x + Q3,0 Q3,1 ⊗ x5 Từ suy d∗ ([Q4,0 Q3 Q4,2 ]) = 4,1 47 Xét Q4,0 Q4,1 Q5 , ta có 4,3 Sq (Q4,0 Q4,2 Q5 ) = Q4,0 Q4,1 Q5 4,3 4,3 A Mặt khác, theo Định lý 2.17 [Sq (Q4,0 Q4,2 Q5 )] = T or4 (F2 , F2 ) Từ 4,3 A suy [Q4,0 Q4,1 Q5 ] = T or4 (F2 , F2 ) 4,3 Định lý chứng minh 3.4 Chứng minh dạng đại số giả thuyết lớp cầu trường hợp k=5 Trước chứng minh Giả thuyết 2.5 cho k = 5, ta nhắc lại kết sau Chen [7] Giambalvo-Perterson [10] Nhắc lại rằng, định nghĩa đại số lamda dựa theo Singer [31], ngược thứ tự với định nghĩa gốc [5] Định lý 3.13 (Chen [7]) Các lớp sau tạo thành F2 - sở cho không gian phần tử không phân tích Ext5 (F2 , F2 ): A (1) P h1 = [λ7 λ3 λ2 + (λ2 λ4 λ2 + λ1 λ4 λ2 λ1 + λ4 λ2 λ2 )λ1 ] ∈ Ext5,14 (F2 , F2 ), 1 A (2) P h2 = [λ7 λ3 λ4 + (λ3 λ5 + λ2 λ4 λ2 + λ1 λ4 λ2 λ1 + λ4 λ2 λ2 )λ3 + λ7 λ2 λ2 λ2 + 1 5,16 λ7 λ0 λ2 λ1 λ1 ] ∈ ExtA (F2 , F2 ), i+5 +2i+2 (3) ni = [(Sq )i (λ2 λ5 λ3 λ9 +λ7 λ15 λ3 λ0 λ6 +λ7 λ15 λ1 λ5 λ3 )] ∈ Ext5,2 A (F2 , F2 ) (i ≥ 0), (4) xi = [(Sq )i (λ15 λ2 λ2 λ14 +λ2 λ4 λ12 +λ3 λ2 +λ23 λ2 λ2 λ6 +λ23 λ2 λ2 +λ2 λ1 λ4 λ2 )] ∈ 7 3 15 i+5 i+3 i+1 5,2 ExtA +2 +2 (F2 , F2 ) (i ≥ 0), 5,2i+5 i+4 i+3 i (5) D1 (i) = [(Sq )i (λ2 λ11 λ7 λ4 )] ∈ ExtA +2 +2 +2 (F2 , F2 ) (i ≥ 0), 15 (6) H1 (i) = [(Sq )i (λ2 λ11 λ7 λ14 + λ2 λ2 λ10 + λ15 λ31 λ7 λ1 λ8 + λ15 λ31 λ3 λ7 λ6 + 15 11 15 i+6 i+1 i 5,2 λ15 λ31 λ7 λ5 λ4 )] ∈ ExtA +2 +2 (F2 , F2 ) (i ≥ 0), (7) Q3 (i) = [(Sq )i (λ47 (λ2 λ0 λ6 + (λ2 λ9 + λ9 λ2 )λ5 + λ3 λ9 λ5 λ3 + λ2 λ11 λ3 ) + 3 i+6 +2i+3 5,2 λ2 λ11 λ23 λ3 )] ∈ ExtA 15 (F2 , F2 ) (i ≥ 0), (8) Ki = [(Sq )i (λ63 λ15 λ47 λ2 + λ63 λ47 (λ2 λ9 + λ9 λ2 ) + λ2 λ11 λ21 )] 3 31 i+7 i+1 5,2 ∈ ExtA +2 (F2 , F2 ) (i ≥ 0), (9) Ji = [(Sq )i (λ95 (λ2 λ19 + λ19 λ2 )λ0 + λ2 λ23 λ43 λ0 + λ63 λ15 λ31 λ19 λ0 )] 7 31 i+7 +2i+2 +2i 5,2 ∈ ExtA (F2 , F2 ) (i ≥ 0), (10) Ti = [(Sq )i ((λ2 λ79 + λ79 λ2 )λ2 + λ2 (λ2 λ9 + λ9 λ2 ))] 31 31 63 3 i+7 +2i+4 +2i+1 5,2 ∈ ExtA (F2 , F2 ) (i ≥ 0), 48 i+7 +2i+5 +2i 5,2 (11) Vi = [(Sq )i (λ63 λ15 λ47 λ31 λ0 )] ∈ ExtA (F2 , F2 ) (i ≥ 0), i+8 +2i 5,2 (12) Vi = [(Sq ) (λ191 λ31 λ7 λ23 λ0 +λ63 λ127 λ15 λ47 λ0 )] ∈ ExtA i (F2 , F2 ) (i ≥ 0), (13) Ui = [(Sq )i (λ191 (λ2 λ39 + λ39 λ2 )λ0 + λ2 λ47 λ87 λ0 + λ127 λ31 λ63 λ39 λ0 )] 15 15 63 i+8 +2i+3 +2i 5,2 ∈ ExtA (F2 , F2 ) (i ≥ 0) Ta dùng kí hiệu Q(i0 , , i4 ) để đơn thức Qi0 Qi1 Qi2 Qi3 Qi4 cho ngắn 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 gọn Định lý 3.14 (Giambalvo-Peterson [10]) Các phần tử sau tạo thành F2 -cơ sở cho không gian véctơ F2 ⊗ D5 : A (1) Q(0, 0, 0, 0, 2d−1 ), ≤ d, (2) Q(0, 0, 1, 2c − 1, 2d+1 − 2c − 1), ≤ c ≤ d, (3) Q(0, 2, 2b − 1, 2c+1 − 2b − 1, 2c − 1), ≤ b ≤ c, (4) Q(0, 2, 2b − 1, 2c+1 − 2b − 1, 2d+1 − 2c+1 − 1), ≤ b ≤ c < d, (5) Q(1, 1, 2b − 1, 2c+1 − 2b − 1, 2d − 1), ≤ b ≤ c, (6) Q(1, 1, 2b − 1, 2c+1 − 2b − 1, 2d+1 − 2c+1 − 1), ≤ b ≤ c < d, (7) Q(3, 2a − 1, 2b+1 − 2a − 1, 2c+1 − 2b+1 − 1, 2d+1 − 2c+1 − 1), ≤ a ≤ b < c < d, (8) Q(3, 2a − 1, 2b+1 − 2a − 1, 2c+1 − 2b+1 − 1, 2c − 1), ≤ a ≤ b < c, (9) Q(3, 2a − 1, 2b+1 − 2a − 1, 2b − 1, 2d+2 − 3.2b − 1), ≤ a ≤ b ≤ d Các phần tử có bậc tương ứng 2d+4 − 16, 2d+5 + 2c+3 − 12, −8 + 2b+2 + 2c+6 , −8 + 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 , −7 + 2b+2 + 2c+6 , −7 + 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 , −5 + 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 , −5 + 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 −5 + 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 Định lý 3.15 Giả thuyết 2.5 với k = Chứng minh Gọi a0 13 phần tử sinh: P h1 , P h2 , n0 , x0 , D1 (0), H1 (0), Q3 (0), K0 , J0 , T0 , V0 , V0 , U0 Theo Định lý 3.7, để chứng minh ϕ5 (ai ) = ta chứng minh ϕ5 (a0 ) = Gọi a0 12 phần tử sinh trên: P h1 , P h2 , n0 , x0 , D1 (0), H1 (0), Q3 (0), K0 , J0 , T0 , V0 , V0 Ta chứng minh ϕ5 (a0 ) = cách gốc a0 khác với bậc tất phần tử sinh F2 ⊗ D5 nhắc đến Định lý 3.14 A Ta kiểm tra trường hợp Trường hợp Với P h1 , = 16 + = 24 + 23 + 1, vô nghiệm; d+4 49 2d+5 + 2c+3 = 12 + = 24 + 22 + 1, vô nghiệm; 2b+2 + 3.2c+4 + 2d+4 = + 9, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 9, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+6 = + = 24 , vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + = 24 , vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + = 23 + 22 + 2, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + = 23 + 22 + 2, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + = 23 + 22 + 2, vô nghiệm Trường hợp Với P h2 , 2d+4 = 16 + 11 = 24 + 23 + + 1, vô nghiệm; 2d+5 + 2c+3 = 12 + 11, vô nghiệm; 2b+2 + 3.2c+4 + 2d+4 = + 11, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 11, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+6 = + 11 = 24 + 2, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 11 = 24 + 2, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 11 = 24 , vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 11 = 24 , vô nghiệm; 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 11 = 24 , vô nghiệm Trường hợp Với n0 , d+4 = 16 + 31, vô nghiệm; d+5 + 2c+3 = 12 + 31, vô nghiệm; 2b+2 + 3.2c+4 + 2d+4 = + 31, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 31, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+6 = + 31 = 25 + 22 + 2, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 31 = 25 + 22 + 2, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 31 = 25 + 22 , vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 31 = 25 + 22 , vô nghiệm; 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 31 = 25 + 22 , vô nghiệm Trường hợp Với x0 , 2d+4 = 16 + 37, vô nghiệm; 2d+5 + 2c+3 = 12 + 37, vô nghiệm; 2b+2 + 3.2c+4 + 2d+4 = + 37, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 37, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+6 = + 37 = 25 + 23 + 22 , vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 37 = 25 + 23 + 22 , vô nghiệm; 50 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 37 = 25 + 23 + 2, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 37 = 25 + 23 + 2, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 37 = 25 + 23 + 2, vô nghiệm Trường hợp Với D1 (0), 2d+4 = 16 + 52, vô nghiệm; 2d+5 + 2c+3 = 12 + 52 = 26 , vô nghiệm; 2b+2 + 3.2c+4 + 2d+4 = + 52 = 25 + 24 + 23 + 22 , vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 52 = 25 + 24 + 23 + 22 , vô nghiệm; 2b+2 + 2c+6 = + 52, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 52, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 52, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 52, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 52, vô nghiệm Trường hợp Với H1 (0), 2d+4 = 16 + 62, vô nghiệm; 2d+5 + 2c+3 = 12 + 62 = 26 + 23 + 2, vô nghiệm; 2b+2 + 3.2c+4 + 2d+4 = + 62 = 26 + 22 + 2, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 62 = 26 + 22 + 2, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+6 = + 62, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 62, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 62, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 62, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 62, vô nghiệm Trường hợp Với Q3 (0), = 16 + 67, vô nghiệm; d+4 2d+5 + 2c+3 = 12 + 67 = 26 , vô nghiệm; 2b+2 + 3.2c+4 + 2d+4 = + 67, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 67, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+6 = + 67 = 26 + 23 + 2, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 67 = 26 + 23 + 2, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 67 = 26 + 23 , vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 67 = 26 + 23 , vô nghiệm; 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 67 = 26 + 23 , vô nghiệm Trường hợp Với K0 , d+4 = 16 + 125, vô nghiệm; 51 2d+5 + 2c+3 = 12 + 125, vô nghiệm; 2b+2 + 3.2c+4 + 2d+4 = + 125, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 125, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+6 = + 125 = 27 + 22 , c = 1, b = 0, không thỏa mãn b > 0, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 125 = 27 + 22 , vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 125 = 27 + 2, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 125 = 27 + 2, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 125 = 27 + 2, vô nghiệm Trường hợp Với J0 , 2d+4 = 16 + 128 = 27 + 24 , vô nghiệm; 2d+5 + 2c+3 = 12 + 128 = 27 + 23 + 22 , vô nghiệm; 2b+2 + 3.2c+4 + 2d+4 = + 128 = 27 + 23 , vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 128 = 27 + 23 , vô nghiệm; 2b+2 + 2c+6 = + 128, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 128, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 128, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 128, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 128, vô nghiệm Trường hợp 10 Với T0 , d+4 = 16 + 141, vô nghiệm; d+5 + 2c+3 = 12 + 141 = 26 , vô nghiệm; 2b+2 + 3.2c+4 + 2d+4 = + 141, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 141, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+6 = + 141 = 27 + 24 + 22 , vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 141 = 27 + 24 + 22 , d = 2, c = 0, b = 0, không thỏa mãn b > 0, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 141 = 27 + 24 + 2, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 141 = 27 + 24 + 2, c = 1, b = 1, a = 0, không thỏa mãn b < c, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 141 = 27 + 24 + 2, vô nghiệm Trường hợp 11 Với V0 , 2d+4 = 16 + 156 = 27 + 25 + 23 + 22 , vô nghiệm; 2d+5 + 2c+3 = 12 + 156 = 27 + 25 + 23 , vô nghiệm; 2b+2 + 3.2c+4 + 2d+4 = + 156 = 27 + 25 + 22 , vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 156 = 27 + 25 + 22 , d = 2, c = 1, b = 0, không thỏa mãn 52 b > 0, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+6 = + 156, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 156, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 156, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 156, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 156, vô nghiệm Trường hợp 12 Với V0 , d+4 = 16 + 252, vô nghiệm; 2d+5 + 2c+3 = 12 + 252, vô nghiệm; 2b+2 + 3.2c+4 + 2d+4 = + 252, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 252, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+6 = + 252, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 252, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 252, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 252, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 252, vô nghiệm Trường hợp 13 Với U0 , 2d+4 = 16 + 260, vô nghiệm; 2d+5 + 2c+3 = 12 + 260, có nghiệm, d=3, c=1; 2b+2 + 3.2c+4 + 2d+4 = + 260, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 260, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+6 = + 260, vô nghiệm; 2b+2 + 2c+4 + 2d+5 = + 260, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+4 + 2d+5 = + 260, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+3 + 2c+6 = + 260, vô nghiệm; 2a+1 + 2b+5 + 2d+6 = + 260, vô nghiệm Trong trường hợp ta khơng thể so sánh bậc có phương trình có nghiệm Ta thấy đơn thức Dickson bậc 260 phần tử sinh F2 ⊗ D5 A có dạng Q5,2 Q5,3 Q13 5,4 A Gọi , ghép cặp đối ngẫu T ors ⊗ Exts −→ F2 Khi ta có A 13 2 [Q5,2 Q5,3 Q5,4 ], ϕ[λ191 (λ15 λ39 + λ39 λ15 )λ0 + λ2 λ47 λ87 λ0 + λ127 λ31 λ63 λ39 λ0 ] 63 = ϕ∗ [Q5,2 Q5,3 Q13 ], [λ191 (λ2 λ39 + λ39 λ2 )λ0 + λ2 λ47 λ87 λ0 + λ127 λ31 λ63 λ39 λ0 ] 5,4 15 15 63 = [Q5,2 Q5,3 Q13 ], [λ191 (λ2 λ39 + λ39 λ2 )λ0 + λ2 λ47 λ87 λ0 + λ127 λ31 λ63 λ39 λ0 ] 5,4 15 15 63 theo Định lý 2.15 Mặt khác, ta có 14 14 16 14 16 16 Q5,2 = (v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 v4 )v5 + 53 14 16 16 2 16 v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 , 12 12 12 16 12 12 2 Q5,3 = (v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 v4 )v5 + v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 v4 + 16 16 4 12 16 2 v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 + v1 v2 v3 + v1 v2 , 16 8 4 2 Q5,4 = v1 v2 v3 v4 v5 + v1 v2 v3 v4 + v1 v2 v3 + v1 v2 + v1 Do đó, khai triển Q5,2 Q5,3 Q13 theo v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , lũy thừa v1 5,4 A số chẵn Vì ghép cặp đối ngẫu T ors ⊗ Exts → F2 cảm sinh đồng điều A ghép cặp đối ngẫu Γ∧ ⊗ Λs → F2 mà ta nhắc đến chương để đồng Γ∧ s s với đối ngẫu Λs nên ta suy [Q5,2 Q5,3 Q13 ], [λ191 (λ2 λ39 + λ39 λ2 )λ0 + λ2 λ47 λ87 λ0 + λ127 λ31 λ63 λ39 λ0 ] 5,4 15 15 63 = Q5,2 Q5,3 Q13 , λ191 (λ2 λ39 + λ39 λ2 )λ0 + λ2 λ47 λ87 λ0 + λ127 λ31 λ63 λ39 λ0 5,4 15 15 63 = Nói cách khác, ϕ5 (U0 ) = Định lý chứng minh 54 Kết luận Trên số kiến thức mà người viết thu trình học tập làm luận văn Luận văn tập trung nghiên cứu dạng đại số Giả thuyết cổ điển lớp cầu Giả thuyết nói đồng cấu Lannes-Zarati triệt tiêu hạng lớn Chúng tơi trình bày lại cơng trình Nguyễn H V Hưng nói nhúng đại số Dickson vào phức dây chuyền mà Singer xây dựng biểu diễn cấp độ dây chuyền đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati Hệ phiên đại số Giả thuyết cổ điển lớp cầu tương đương với Giả thuyết nói bất biến Dickson bậc dương với số biến lớn cảm sinh lớp đồng điều đại số Steenrod Dạng đại số Giả thuyết lớp cầu chứng minh cho vài trường hợp F Peterson, Nguyễn H V Hưng, Trần N Nam, Võ T N Quỳnh, tác giả luận văn 55 Tài liệu tham khảo [1] J F Adams, On the structure and applications of the Steenrod algebra, Comment Math Helv 32, 180-214 (1958) [2] J F Adams, On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann of Math 72, 20-104 (1960) [3] J F Adams, Operations of the n-th kind in K-theory and what we don’t know about P R∞ , New developments in topology, G.Segal (ed.), London Math Soc Lect Note Series 11, 1-9 MR 49:3941 (1974) [4] D W Anderson and D M Davis, A vanishing theorem in homological algebra, Comment Math Helv 48, 318-327 (1973) [5] A K Bousfield, E B Curtis, D M Kan, D G Quillen, D L Rector and J W Schlesinger, The mod-p lower central series and the Adams spectral sequence, Topology 5, 331-342 (1966) [6] W Browder, The Kervaire invariant of a framed manifold and its generalization, Ann of Math 90, 157-186 (1969) [7] T W Chen, Determination of Ext5,∗ (F2 , F2 ), Topo App., 158, no 5, 660-689 A (2011) [8] E B Curtis, The Dyer-Lashof algebra and the lambda algebra, Illinois Jour Math 18, 231-246 (1975) [9] L E Dickson, A fundamental system of invariants of the general modular linear group with a solution of the form problem, Trans Amer Math Soc 12, 75-98 (1911) 56 [10] V Giambalvo, F P Peterson, A-generators for ideals in the Dickson algebra, J Pure Appl Algebra 158, pp 161-182 [11] Nguyễn H V Hưng, Spherical classes and the algebraic transfer, Trans Amer Math Soc 349, 3893-3910 (1997) [12] Nguyễn H V Hưng, The weak conjecture on spherical classes, Math Zeit 231, 727-743 (1999) [13] Nguyễn H V Hưng, Spherical classes and the lambda algebra, Trans Amer Math Soc 353, 4447-4460 (2001) [14] Nguyễn H V Hưng, On triviality of Dickson invariants in the homology of the Steenrod algebra, Math Proc Camb Phil Soc 134, 103-113 (2003) [15] Nguyễn H V Hưng, The hit problem for the Dickson algebra, Trans Amer Math Soc 353, 5029-5040 (2001) [16] Nguyễn H V Hưng and F P Peterson, Spherical classes and the Dickson algebra, Math Proc Camb Phil Soc 124, 253-264 (1998) [17] Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh, The squaring operarion on A- generators of the Dickson algebra, Proc Japan Acad., 85(6), Ser A, 67-70 (2009) [18] Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh, and Ngô A Tuấn, On the vanishing of the Lannes-Zarati homomorphism, submitted [19] M Kameko, Products of projective spaces as Steenrod modules, Thesis, John Hopkins University (1990) [20] L Kristensen, A Cartan formular for secondary cohomology operations, Math Scand 16, 97-115 (1965) [21] S Maclane, Homology, 1st edition, Berlin Heidelberg New York: Springer (1963) [22] J Lannes and S Zarati, Sur les foncteurs dérivés de la déstabilisation, Math Zeit 194, 25-29 MR 88j:55014 (1987) [23] W H Lin, Some differentials in Adams spectral sequence for spheres, Trans Amer Math Soc., to appear (1999) 57 5,∗ [24] W H Lin, Ext4,∗ (F2 , F2 ), ExtA (F2 , F2 ), Topology and its Applications 115, A 459-496 (2008) [25] A Liulevicius, The factorization of cyclic reduced powers by secondary cohomology operators, Amer Math Soc., no.42, Amer Math Soc., Providence [26] Huỳnh Mùi, Modular invariant theory and the cohomology algebras of symmetric group, J Frac Sci Univ Tokyo Sect IA Math 22, 319-369 (1975) [27] Robert E Mosher and Martin C Tangora, Cohomology operations and applications in homotopy theory, Harper and Row, Publishers, (1968) [28] J P May, A general algebraic approach to Steenrod operations, Lecture Notes in Math Vol 168, Springer-Verlag, 153-231 (1970) [29] J Milnor, The Steenrod algebra and its dual, Ann of Math 67, 150–171 (1958) [30] S B Priddy, Koszul resolutions, Trans Amer Math Soc 152, 36-60 MR 42:346 (1970) [31] William M Singer, Invariant theory and the Lambda algebra, Transactions of the American Mathematical Society, Vol 280, 673-693 (1983) [32] William M Singer, The transfer in homological Algebra, Mathematische Zeitschrift, Math Z 202, 493-523 (1989) [33] William M Singer, A new chain complex for the homology of the Steenrod algebra, Math Proc Camb Phil Soc 90, 279-292 (1981) S [34] V Snaith, J Tornehave, On π∗ (BO) and the Arf invariant of framed mani- folds, Amer Math Soc Comtemporary Math 12, 299-313 (1982) [35] R J Wellington, The unstable Adams spectral sequence of free iterated loop spaces, Memoirs Amer Math Soc., No 258 (1982) [36] C Wilkerson, Classifying spaces, Steenrod operations and algebraic closure, Topology 16, 227-237 MR 56:1307 (1977) [37] N Yoneda, On the homology theory of module, J Frac Sci Univ Tokyo Sect IA 7, 193-227 (1954) 58 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ ANH TUẤN MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH DẠNG ĐẠI SỐ CỦA GIẢ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ LỚP CẦU Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: ... chứng minh ϕ∗ đồng cấu đối đại số Mệnh đề chứng minh 2.1.2 Dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu Nguyễn H V Hưng đưa dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu [11] sau: Giả thuyết 2.5 (Hưng [11]) Đồng... đối đại số vi phân Ta có định lý sau Định lý 1.24 (Singer [31]) l : Γ∧ → Λ∗ đẳng cấu đối đại số vi phân 16 Chương Dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu 2.1 Đồng cấu Lannes-Zarati dạng đại số giả