Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số LỜI MỞ ĐẦU Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) trở thành môn học sở cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thơng, Tự động hố Xử lý tín hiệu số ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực thiết bị như: CD, VCD, DVD, camera, scanner, y khoa , hệ thống truyền hình số, thơng tin địa lý, đồ số, viễn thông v.v Phép xử lý DSP lọc, hệ thống đề cập đến nhiều xử lý tín hiệu số lọc số (Digital Filter) Nếu xét đáp ứng xung chia lọc số thành loại lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite Impulse Response) cịn gọi lọc khơng đệ quy, lọc có đáp ứng xung vơ hạn IIR (Infinte Impulse Response) gọi lọc đệ quy Xét đáp ứng tần số biên độ chia lọc, FIR hay IIR, thành loại bản: thông thấp, thông cao, thông dải chắn dải Các lọc thiết kế phương pháp sau đây: Phương pháp cửa sổ (Window Design Techniques), Phương pháp lấy mẫu tần số (Frequency Sampling Design Techniques) Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân gợn sóng (Optimal Equiripple Design Techniques) Mỗi phương pháp có đặc điểm ưu khuyết điểm riêng Trong khuôn khổ tiểu luận môn học, nhóm tơi xin phép trình bày tốn thiết kế lọc FIR thông dải phương pháp cửa sổ phương pháp lấy mẫu tần số Nội dung tiểu luận chia thành chương: Chương 1: Bài toán thiết kế Chương 2: Cơ sở lý thuyết lọc FIR Chương 3: Phương pháp thiết kế - Thiết kế lọc FIR phương pháp cửa sổ - Thiết kế lọc FIR phương pháp lấy mẫu tần số Chương 4:Chương trình thiết kế Chương 5:Kết luận Nhóm tơi xin trân trọng cảm ơn Thầy giáo TS Ngơ Văn Sỹ tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức quý giá, cung cấp tài liệu tham khảo bảo cho phương pháp làm việc khoa học Trong trình làm tiểu luận, cố gắng song chắn không tránh khỏi sai sót Rất mong nhận góp ý Thầy, anh chị bạn học viên lớp để nội dung tiểu luận hoàn chỉnh Đà Nẵng, ngày 15 tháng năm 2009 -1- Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN THIẾT KẾ Thiết kế lọc thơng dãi BPF(Band Pass Filte) nghĩa tìm hàm truyền hệ thớng H(z) phương trình hiệu nó) có dải thơng [ 1P , 2 P ] với dung sai  P (hoặc Rp theo dB) dải chắn [ 0, 1S ] [ 2 S ,  ] với dung sai  S (hoặc As theo dB)  P : Dung sai dãi thông  S : Dung sai dãi chắn 1P , 2 P : Tần số giới hạn dãi thông 1S , 2 S : Tần số giới hạn dãi chắn AS: Suy hao dãi chắn Rp: Độ gợn sóng dãi thơng Thiết kế lọc thỏa mãn tiêu cho với cấu trúc đơn giản Các thông số thiết kế: 1S 0,2 ; AS 60dB 1 p 0,35 ; R p 1dB  p 0,65 ; R p 1db  s 0,8 ; AS 60dB CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR -2- Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số Chương trình bày sơ lược sở lý thuyết thiết kế lọc số FIR, với phương pháp thiết kế nó, từ tìm hiểu thiết kế lọc thông dãi theo cấu trúc FIR phương pháp cửa sổ phương pháp lấy mẫu tần số Đáp ứng tần số cách hiệu thực tế để đặc trưng lọc Khi biết lọc, tức biết phương trình hiệu số hay biết hệ số nó, ta tính đáp ứng xung đáp ứng tần số - Đây tốn phân tích Ngược lại, biết yêu cầu đáp ứng tần số lọc, ta tìm hệ số lọc, từ viết phương trình hiệu số nó, cho đáp ứng tần số sát với yêu cầu tốt - toán thiết kế Bài toán thiết kế thường phức tạp có nhiều phương pháp thiết kế khác Q trình thiết kế lọc bắt đầu với đặc tính lọc bao gồm ràng buộc biên độ pha đáp ứng tần số, biên độ pha đáp ứng tần số, ràng buộc đáp ứng xung đơn vị đáp ứng nấc lọc Sau xác định đặc tính lọc, ta tiếp tục tìm tập hệ số lọc mà hệ số tạo lọc chấp nhận Bước sau dùng hệ thống phần cứng phần mềm minh họa, lượng tử hoá hệ số lọc chọn cấu trúc lọc thích hợp 2.1 Bộ lọc – lọc số: 2.1.1 Bộ lọc: Bộ lọc hệ thống xử lý tín hiệu thực chức chọn lọc tín hiệu theo tần số (bộ lọc cho tín hiệu dãi tần số qua ngăn khơng cho tín hiệu dãi tần khác qua) Dãi cho qua gọi dãi thông, dãi không cho qua gọi dãi chắn 2.1.2 Lọc số: Lọc số trường hợp riêng lọc Trong tín hiệu vào số tín hiệu số thường dùng máy tính, IC, vi xử lý Sơ đồ khối chức trình lọc số: Th A Lọc Lấy mẫu ADC DF DAC Hình 2.1: sơ đồ khối chức quá trình lọc  Phân loại lọc số: - Dựa vào dãi thông dãi chắn chia làm loại: -3- Lọc (khôiphục) Th Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số - - o Lọc thông thấp LPF o Lọc thông cao HPF o Lọc thông dãi BPF o Lọc chắn dãi BSF Căn vào độ dài đáp ứng xung h(n) lọc: o Đáp ứng xung hửu hạn (lọc FIR) o Đáp ứng xung vô hạn (lọc IIR) Dựa vào tính nhân (khả thực lọc): o Bộ lọc lý tưởng o Bộ lọc thực tế 2.2 Lọc FIR thông dãi 2.2.1 Khái niệm lọc FIR thơng dãi Lọc FIR pha tuyến tính có H(n) dài hữu hạn N ( n M  ) Các lọc thường kết nối với để tạo hệ thống có tính chất mong muốn Hai loại kết nối tổng quát nối tiếp (hay gọi nối tầng - cascade) ghép song song Ở hai hệ thống kết nối tuyến tính bất biến Bộ lọc thơng dải theo cấu trúc FIR thiết lập từ việc xây dựng cách tổ hợp (ghép song song) hai lọc thông thấp với Hai lọc thông thấp thiết lập dải tần số băng thơng có tần số cắt C1, C2 tương ứng mơ tả hình 2.2 đây: c2 + + - c1 c2 c1 Hình 2.2: Mô tả sự tạo thành bộ lọc thông dãi 2.2.2 Cấu trúc lọc FIR Một lọc đáp ứng xung hữu hạn với hàm hệ thống có dạng: -4- Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số 1 H ( z ) b0  b1 z    bM  z 1 M M1   bn z  n n 0 Như đáp ứng xung h(n) là: bn h( n)  0 n M  n  0va n  M  Và phương trình sai phân là: y ( n) b0 x ( n)  b1 x ( n  1)    bN  x ( n  M  1) Đây tích chập tuyến tính dãy hữu hạn Bậc lọc M-1, chiều dài lọc M (bằng với số lượng hệ số) Các cấu trúc lọc FIR luôn ổn định, tương đối đơn giản so với cấu trúc lọc IIR Hơn nữa, lọc FIR thiết kế để có đáp ứng pha tuyến tính điều cần thiết số ứng dụng Chúng ta xem xét cấu trúc lọc FIR sau đây: 2.2.2.1Cấu trúc dạng trực tiếp Phương trình sai phân thực dãy liên tiếp trễ đường phản hồi: y ( n) b0 x ( n)  b1 x ( n  1)    bN  x ( n  M  1) Do mẫu thức đơn vị nên ta có cấu trúc dạng trực tiếp Cấu trúc dạng trực tiếp cho hình 1.2 với M = 5: x(n) b0 z-1 b1 z-1 b2 z-1 b3 z-1 b4 y(n) Hình 2.3: Cấu trúc lọc FIR dạng trực tiếp 2.2.2.2Cấu trúc dạng ghép tầng: Hàm hệ thống H(z) biến đổi thành tích khâu bậc với hệ số thực Các khâu thực dạng trực tiếp lọc tổng thể có dạng ghép tầng khâu bậc   b b H ( z ) b0  b1 z     bM  z1 M b0   z     M  z1 M  b0 b0   K b  (1  B k ,1 z   B k , z  ) k 1 -5- Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số M   Trong K   , Bk,1 Bk,2 số thực đại diện cho hệ số khâu   bậc Cấu trúc dạng ghép tầng cho hình 2.4 với M = 7: x(n) b0 -1 -1 -1 y(n) z B 1,1 z B 2,1 z z-1 B 1,2 z-1 B 2,2 z-1 B 3,2 B3,1 Hình 2.4: Cấu trúc lọc FIR dạng ghép tầng 2.2.2.3Cấu trúc dạng pha tuyến tính: Đối với lọc chọn tần, người ta mong muốn có đáp ứng pha hàm tuyến tính theo tần số, nghĩa là: H(e j )         Trong  0   số Đối với lọc FIR nhân có đáp ứng xung khoảng [0, M-1], điều kiện tuyến tính là: h( n) h( M   n);  0, n M  h(n)  h( M   n);   / 2, n M  Xét phương trình sai phân cho phương trình (1.5) với đáp ứng xung đối xứng phương trình (1.9), ta có: y ( n) b0 x(n)  b1 x( n  1)    b1 x( n  M  2)  b0 x(n  M  1) b0 [ x( n)  x ( n  M  1)]  b1[ x( n  1)  x( n  M  2)]   Sơ đồ khối thực phương trình sai phân mơ tả hình 2.5 M lẻ M chẵn: -6- Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số Đối với M lẻ: M = 7, M chẵn: M = z-1 x(n) z-1 z-1 -1 z z b1 b0 b3 b2 z-1 x(n) M=7 z-1 -1 y(n) z-1 z-1 -1 z z b1 b0 M=6 -1 b2 y(n) Hình 2.5: Cấu trúc lọc FIR pha tuyến tính với các hệ số M chẵn và lẻ Rõ ràng, với bậc lọc (cùng M) cấu trúc pha tuyến tính tiết kiệm 50% nhân so với cấu trúc dạng trực tiếp 2.2.3 Các đặc tính lọc FIR pha tuyến tính Trong phần chúng ta thảo luận hình dạng đáp ứng xung, đáp ứng tần số hàm hệ thống lọc FIR pha tuyến tính Cho h(n),  n  M – 1, đáp ứng xung có chiều dài N hàm truyền hệ thống là: N1 M1 n 0 n 0 H ( z )  h( n) z  n  z  ( N  1)  h( n) z M  1 n có (M-1) điểm cực gốc (trivial poles) M-1 điểm không nằm vị trí mặt phẳng z Đáp ứng tần số là: M1 H ( e j )   h ( n )e  jn ,      n 0 2.2.3.1Đáp ứng xung h(n): Chúng ta đưa ràng buộc pha tuyến tính: H (e j )  ,      Trong đó:  số trễ pha Ta biết h(n) phải đối xứng, nghĩa là: -7- Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số h(n) h( M   n), n M  1,   M1 Do h(n) đối xứng theo , số đối xứng Có hai kiểu đối xứng:  M lẻ: Trong trường hợp này,   M 1 số nguyên Đáp ứng xung ứng xung mơ tả hình 2.6 đây: Hình 2.6 Đáp ứng xung đối xứng M lẻ  M chẵn:Trong trường hợp này,   M1 số nguyên Đáp ứng xung ứng xung mơ tả hình 2.7 đây: Hình 2.7: Đáp ứng xung đới xứng, M chẵn Ta có lọc FIR pha tuyến tính loại hai ta yêu cầu đáp ứng pha H  e  thoả mãn điều kiện: H (e j )    với      Đáp ứng pha đường thẳng không qua gốc Trong trường hợp  số trễ pha, nhưng: j -8- Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số dH (e j )   d Là số, trễ nhóm ( số trễ nhóm) Trong trường hợp này, tần số làm trễ với tốc độ không đổi Nhưng số tần số làm trễ với tốc độ lớn nhỏ Đối với kiểu pha tuyến tính này, thấy rằng: h ( n )  h (M   n ), n M    M  ,   2 Điều có nghĩa đáp ứng xung h(n) phản đối xứng (antisymmetric) Chỉ số đối xứng   M Một lần chúng ta lại có kiểu, cho M lẻ M chẵn  M lẻ: Trong trường hợp này,   M số ngun Đáp ứng xung mơ tả hình 2.8 đây: Hình 2.8 Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ Lưu ý mẫu h()   Trong trường hợp này,   M M M  1  0 M chẵn:    phải 0, nghĩa là, h số nguyên Đáp ứng xung mơ tả hình 2.9 -9- Tiểu ḷn thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số Hình 2.9 Đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn 2.2.3.2Đáp ứng tần số H(ejwn) Khi tổ hợp hai loại đối xứng phản đối xứng với M chẵn M lẻ, ta có bốn kiểu lọc FIR pha tuyến tính Đáp ứng tần số kiểu có biểu thức hình dạng riêng Để nghiên cứu đáp ứng pha kiểu này, ta viết biểu thức H(e j) sau:  M H (e j ) H r (e j )e j(    ) ;   ,   2 Trong Hr(ej) hàm đáp ứng độ lớn hàm đáp ứng biên độ Đáp ứng độ lớn hàm thực, vừa dương vừa âm, khơng giống đáp ứng biên độ luôn dương Đáp ứng pha kết hợp với đáp ứng biên độ hàm không liên tục, kết hợp với đáp ứng độ lớn hàm tuyến tính liên tục  Bợ lọc FIR pha tuyến tính Loại-1 (Type 1): Đáp ứng xung đối xứng, M lẻ M Trong trường hợp  0 ,   biến nguyên, h  n  h  M   n  , n M  , ta chứng tỏ rằng:  M  1 / H(e j )   a  n  cos n  e  j M  1 /  n 0  Trong đó:  M  1 a   h     M  a  n  2h   n   với mẫu với n  M  Bợ lọc FIR pha tún tính Loại-2 (Type 2): Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn M Trong trường hợp  0 , h  n  h  M   n  , n M  ,   biến ngun, ta chứng tỏ rằng: - 10 - Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số 3.2 Phương pháp lấy mẫu tần số 3.2.1 Định nghĩa phương pháp lấy mẫu tần số Phương pháp lấy mẫu tần số sử dụng phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Vì lọc số lý tưởng có đặc tính biên độ tần số H (e j ) dạng hình chữ nhật nên khơng thể thực thực tế Cơ sở phương pháp lấy mẫu tần số xấp xỉ đặc tính tần số H N (e j ) lọc số cần tổng hợp theo đặc tính tần số H (e j ) lọc số lý tưởng loại Việc xấp xỉ thực cách lấy mẫu tần số qua DFT, tức làm cho mẫu H N (e j ) H (e j ) tần số rời rạc ωk = kω1 = (k.2π/N): H N (e j )  k1  H (e j )  k1 H N (e jk1 )  H (e jk1 ) Hay: Bằng cách vậy, điểm tần số rời rạc ω k = kω1, sai số xấp xỉ H N (e j ) H (e j ) 0, tần số khoảng kω (k+1)ω1 sai số xấp xỉ hữu hạn Sai số xấp xỉ giảm nhỏ giảm tần số lấy mẫu ω = (2π / N), điều tương ứng với tăng độ dài N đặc tính xung h(n) N lọc số tổng hợp Ta xác định đặc tính biên độ tần số H N (e j ) loại lọc số FIR pha tuyến tính theo cơng thức sau: H N (e j )  sin(0.5 N N N1  ( 1) k 0 k A( k ) N k   sin    N   (1) Đặc tính pha θ(ω) lọc FIR pha tuyến tính loại loại 2:  N  1  N  1  N ( )   .   , với   .     Đặc tính pha θ(ω) lọc FIR pha tuyến tính loại loại 4:  N ( )    N  1   N  1   .    , với     .     Để đánh giá sai số xấp xỉ đặc tính tần số H N (e j ) theo đặc tính tần số lọc lý tưởng H (e j ) , người ta dung hàm sai số: E ( e  )  H ( e j )  H N ( e j ) - 18 - Tiểu luận thiết kế lọc FIR thông dãi bằng phương pháp cửa sổ và phương pháplấy mẫu tần số 3.2.2 Các bước thiết kế lọc theo kiểu lấy mẫu tần số Các bước tổng hợp đặc tính xung h(n) N lọc số FIR pha tuyến tính theo phương pháp lấy mẫu tần số sau: Bước 1: Chọn số điểm lấy mẫu N (chính độ dài đặc tính xung) Thực lấy mẫu đặc tính biên độ H (e  ) lọc lý tưởng loại chu kỳ 0