TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Toỏn THCS THPT: PhanAnh LờI NóI ĐầU Thõn chào bạn em học sinh! Toán mơn học hay, gắn bó với em từ ngày tuổi học trị Mơn học trở nên quan trọng em đứng trước kì thi Tuyển sinh vào trường THPT Chương trình Tốn – sau nhiểu lần chỉnh sửa Bộ GDĐT, đến hoàn chỉnh, phù hợp với lực học tập em Tuy nhiên năm học qua thật nhanh, với áp lực lớn môn học khác, nhiều em học sinh chưa thật nắm vững nội dung chương trình Tốn9 Để em vượt qua kì thi quan trọng này, điều quan trọng giúp em có phương pháp học tốt mơn Tốn 9, tơi soạn TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN Hy vọng tài liệu giúp em nhìn nhận lại cách tồn diện nội dung chương trình Tốn 9, có phương pháp giải Toán tốt hơn, nắm vững số chuyên đề Toán NỘI DUNG GỒM: Phần I: Hệ thống lại số vấn đề Toán 9: Phần trình bày dạng tập Đại số Hình học thường gặp cấu trúc đề thi Tuyển sinh vào lớp 10 Mỗi dạng Toán có ví dụ minh họa có lời giải, tiếp tập tương tự dành cho em tự luyện PhầnII: Tuyển tập số đề thi theo cấu trúc thường gặp: Phần trình bày 10 đề thi mơn Tốn tuyển sinh vào THPT theo cấu trúc đề thường gặp với đáp án, lời giải chi tiết Với giải có phân bổ biểu điểm cụ thể để em tiện đánh giá lực thân, nắm vững bước giải quan trọng toán Phần III: Một số đề tự luyện: Phần gồm 05 đề thi tự luận theo cấu trúc đề thường gặp, giúp em thử sức với đề thi Mặc dù cố gắng, song hẳn tài liệu không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý bạn em để tài liệu hoàn thiện hơn! Email: phananh2387@gmail.com Chân thành cảm ơn bạn em! PhanAnh PHẦN I: Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh HỆ THỐNG CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN -*** VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A Kiến thức cần nh: A.1 Kiến thức A.1.1 Căn bậc hai a Căn bậc hai số học - Với số dơng a, số a đợc gọi bậc hai số học a - Số đợc gọi bậc hai số học x - Mét c¸ch tỉng qu¸t: x = a ⇔  x = a b So sánh bậc hai sè häc - Víi hai sè a vµ b không âm ta có: a < b a < b A.1.2 Căn thức bậc hai đẳng thức A2 = A a Căn thức bậc hai - Với A biểu thức đại số , ngời ta gọi A thức bậc hai A, A đợc gọi biểu thức lấy hay biểu thức dới dấu - A xác định (hay có nghĩa) A b Hằng đẳng thức A2 = A - Víi mäi A ta cã A2 = A - Nh vËy: + A2 = A nÕu A ≥ + A2 = − A nÕu A < A.1.3 Liên hệ phép nhân phép khai phơng a Định lí: + Với A B ta có: A.B = A B + Đặc biƯt víi A ≥ ta cã ( A )2 = A2 = A b Quy tắc khai phơng tích: Muốn khai phơng tích thừa số không âm, ta khai phơng thừa số nhân kết với c Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số không âm, ta nhân số dới dấu với khai phơng kết A.1.4 Liên hệ phép chia phép khai phơng a Định lí: Với A vµ B > ta cã: A = B A B b Quy tắc khai phơng thơng: Muốn khai phơng thơng a/b, a không âm b dơng ta lần lợt khai phơng hai số a b lấy kết thứ chí cho kết thứ hai c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho số b dơng ta cã thÓ chia sè a cho sè b råi khai phơng kết A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a Đa thừa số dấu - Với hai biểu thức A, B mµ B ≥ 0, ta cã A2 B = A B , tøc lµ + NÕu A ≥ B A2 B = A B + Nếu A < B A2 B = − A B Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN b §a thừa số vào dấu + Nếu A B A B = A2 B + NÕu A < vµ B ≥ th× A B = − A2 B c Khư mÉu biểu thức lấy Toỏn THCS THPT: PhanAnh - Với biểu thức A, B mà A.B vµ B ≠ 0, ta cã A = B AB B d Trục thức mẫu - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta cã A A B = B B - Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A ≥ vµ A ≠ B , ta cã C C ( A ± B) = A − B2 A±B - Víi biểu thức A, B, C mà A 0, B ≥ vµ A ≠ B , ta cã C ( A ± B) C = A− B A± B A.1.6 Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba số a sè x cho x3 = a - Víi mäi a th× ( a )3 = a3 = a b TÝnh chÊt - Víi a < b th× a < b - Víi mäi a, b th× ab = a b - Với a b a 3a = b 3b A.2 KiÕn thøc bæ xung (*) Dành cho học sinh giỏi, học sinh ôn thi chuyên A.2.1 Căn bậc n a Căn bậc n ( ≤ n ∈ N ) cđa sè a lµ số mà lũy thừa n a b Căn bậc lẻ (n = 2k + 1) ã Mọi số có bậc lẻ ã Căn bậc lẻ số dơng số dơng ã Căn bậc lẻ số âm số âm ã Căn bậc lẻ số số Toỏn PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Toỏn THCS THPT: PhanAnh c Căn bậc chẵn (n = 2k ) ã Số âm bậc chẵn ã Căn bậc chẵn số số ã Số dơng có hai bậc chẵn hai số đối kí hiệu 2k a 2k a d Các phép biến đổi thức ã A xác định với A A xác định víi ∀A ≥ k +1 A2 k +1 = A víi ∀ A k +1 2k • 2k • A.B = k A k B víi ∀ A, B mµ A.B ≥ A2 k +1.B = A.2 k +1 B víi ∀ A, B k +1 2k • A.B = k +1 A.2 k +1 B víi ∀ A, B k +1 2k • A2 k = A víi ∀ A A2 k B = A k B víi ∀ A, B mµ B ≥ A = B k +1 2k A = B • m n • m k +1 A víi ∀ A, B mµ B ≠ k +1 B 2k A 2k B víi ∀ A, B mµ B ≠ 0, A.B ≥ A = mn A víi ∀ A, mµ A ≥ m An = A n víi ∀ A, mµ A ≥ B MỘT SỐ BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI Bài 1: Tính: 3- a A = - +2 b B = + c C = + + + +3 2+ - 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: a A = 3- 2- +2 + +3 2+ - 2 Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh = 2( - 3) 2( + 3) + 4- +4 +2 - 2( - 3) 2( + 3) = + - 1+ +1- 2( - 3) + 2( + 3) = 3- 24 = =- - b B = + = = = =3 c C = + + = + + = + + =3  Bài 2: Cho biểu thức A =   x− x +  :  x −1 ( x +1 ) x −1 a) Nêu điều kiện xác định rút biểu thức A b) Tim giá trị x để A = c) Tìm giá trị lớn cua biểu thức P = A - x HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Điều kiện < x ≠ Với điều kiện đó, ta có: A = x b) Để A = Vậy x = x −1 x = ( x +1 : ) ( x −1 x +1 ) x −1 = x −1 x ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) A = c) Ta có P = A - x =   − x = −9 x + ÷+ x x  x −1 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số dương ta có: x + Suy ra: P ≤ −6 + = −5 Đẳng thức xảy x = x ⇔x= x ≥ x x =6 Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh Vậy giá trị lớn biểu thức P = −5 x = x +4 Tính giá trị A x = 36 x +2 Bài 3: 1) Cho biểu thức A =  x  x + 16 + (với x ≥ 0; x ≠ 16 ) ÷: x −4÷ x +2  x +4  2) Rút gọn biểu thức B =   3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị x nguyên để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI: 36 + 10 = = 36 + 1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A = 2) Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có :  x( x − 4) 4( x + 4)  x + (x + 16)( x + 2) x +2 + ÷ ÷ x + 16 = (x − 16)(x + 16) = x − 16 x − 16   x − 16 B=   3) Ta có: B( A − 1) = x +2  x +4  x +2 2   x + − ÷ = x − 16 x + = x − 16 ÷ x − 16   Để B( A − 1) nguyên, x nguyên x − 16 ước 2, mà Ư(2) = { ±1; ±2 } Ta có bảng giá trị tương ứng: x − 16 −1 −2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x ≥ 0, x ≠ 16 , để B( A − 1) nguyên x ∈ { 14; 15; 17; 18 } Bài 4: Cho biÓu thøc: P= x ( x + y )(1 − y ) − y x + ( xy − ) ( y) x +1 )( x + 1 y ) a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mÃn phơng trình P = HNG DN GII: a) Điều kiện để P xác định :; x ; y ; y ≠ ; x + y ≠ P= x(1 + ( x ) − y (1 − x + y y ) − xy ) (1 + x ( x + ) (1 − y ) y ) = ( ) ( x − y ) + x x + y y − xy ( x + )( y 1+ )( ( x 1− Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin x + y ) y ) TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN ( = = = x + y ( )( x − xy + y − xy ) )( y) x ( x + 1) − y ( x + 1) + y ( + x ) ( − x ) (1 + x ) (1 − y ) x (1 − y ) (1 + y ) − y (1 − y ) x − y + y − y x = (1 − y ) (1 − y ) x + )( y +x− Toán THCS – THPT: PhanAnh y 1+ x 1− = x + xy − y VËy P = x + xy − y b) ĐKXĐ: x ≥ ; y ≥ ; y ≠ ; x + y ≠ P = ⇔ x + xy − y = ⇔ ⇔ ( ( x1+ ) ( y − )( x −1 + ) ) y +1 =1 y =1 Ta cã: + y ≥ ⇒ x − ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⇒ x = 0; 1; 2; ; Thay x = 0; 1; 2; 3; vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 x=2, y=2 (thoả mÃn) x Bài 5:Cho biÓu thøc M = x−5 x +6 + x +1 x −3 + x+3 2− x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z HNG DẪN GIẢI: M= x −9 x−5 x +6 + x +1 x −3 + x +3 2− x a.§K x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Rót gän M = x −9 − ( 0,5® )( ) ( )( x + x − + x +1 x − x −3 ( Biến đổi ta có kết quả: M = M= ( ( ( )( ) x −2 ) x − x −2 )( x −3) x +1)( x − ) ⇔M x −3)( x − ) x −2 = x +1 x −3 Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh x −1 b M =5 ⇔ ( x −3 =5 ) ⇒ x +1 =5 x −3 ⇔ x +1 =5 x −15 ⇔ =4 x 16 16 ⇒ x = =4 ⇒x =16 §èi chiÕu §K: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ c M = x +1 x −3 = x −3 + x −3 VËy x = 16 th× M = =1 + Do M ∈ z nªn x − ớc Lập bảng giá trị ta đợc: x x nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; x ∈ {1;4;16;25;49} v× x ≠ ⇒ x ∈ {1;16;25;49} Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 ( - ) Với a > a ≠ a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a để P < HƯỚNG DẪN GIẢI: a) P = ( - )2 ( - ) Với a > a ≠ P =( a a −1 a +1 − ) ( − ) 2 a a +1 a −1 P =( a a − ( a − 1)2 − ( a + 1)2 ) a ( a + 1)( a − 1) P =( a −1 a − a +1− a − a −1 ) a −1 a P= −(a − 1)4 a − a = 4a a Vậy P = 1− a Víi a > a ≠ a b) Tìm a để P < Với a > a ≠ nên > Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh  P = <  - a <  a > ( TMĐK) Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( + ) : a) Rút gọn Q b) Xác định giá trị Q a = 3b HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Rút gọn: Q= -(1+): = - = - = = = b) Khi có a = 3b ta có: Q= = = Bài 8: Cho biểu thức  1   A =  + + + y x+ y x  x   3 1 x + y x + x y + y : y x y + xy  a ) Rút gọn A; b) Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > , y >  1   A =  + + + a) y x+ y x  x   1 : y   x+ y x+ y : = +  xy  xy x+ y    x+ y : = +  xy xy    ( = x+ y xy ) ( x+ x y + xy )( ) x + y x − xy + y + xy xy ) ( x+ y ) ( x+ y ) y ( x + y) xy ( x + y ) xy x+ ( x3 + y x + x y + y3 y = x+ xy y Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh b) Ta có    y  ≥0 ⇔ x + y −2   x− ⇔ Do A= x+ y xy ≥ xy xy = x+ xy ≥ y ≥2 16 =1 16 xy ( xy = 16 )  x= y  ⇔ x = y =  xy =16  Vậy A = Bài 9: Cho biểu thức:  x −  x+ 2  P= −  −   x − x−1 x − −  − x 2x − x     a) Tìm điều kiện để P có nghĩa c) Tính giá trị P với x = − 2 b) Rút gọn biểu thức P HƯỚNG DẪN GIẢI:    a Biểu thức P có nghĩa :     x > x ≥1 x ≥1   ⇔ ⇔x ≠ x ≠ x ≠  x ≠  b) Đkxđ : x ≥ 1; x ≠ 2; x ≠  P = −   x − x −1  =  ( ( x + x −1 x − x −1 )( x >0 x −1 ≥ − x ≠0 x −1 − ≠   −  x −1 −  − x x −3 ) x + x −1 ( − ) ( ( x − 3) ( )  −  x −1 +  − x x −1 + x −1 − ) x+ 2  2x − x   )( )  x + x − ( x − 3) x − +  x − x − = −  x − ( x − 1) ( x − 1) − x 2− x   ( x (   2− x  x+ ) ) Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh KỲ THI TUYỂN SINH THPT MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ -*** Câu (2,0 điểm)  x +2 Cho biểu thức Q =    x + x +1 − x −2  ÷ x + x , với x > 0, x ≠ x −1 ÷  ( ) a Rút gọn biểu thức Q b Tìm giá trị nguyên x để Q nhận giá trị nguyên Câu (1,5 điểm) Cho phương trình x − 2(m + 1)x + m − = , với x ẩn số, m ∈ R a Giải phương trình cho m = – b Giả sử phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 x Tìm hệ thức liên hệ x1 x mà không phụ thuộc vào m Câu (2,0 điểm) (m + 1)x − (m + 1)y = 4m , với m ∈ R x + (m − 2)y = Cho hệ phương trình  a Giải hệ cho m = –3 b Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = −x có đồ thị (P) Gọi d đường thẳng qua điểm M(0;1) có hệ số góc k a Viết phương trình đường thẳng d b Tìm điều kiện k để đt d cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt Câu (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi H giao điểm hai đường cao BD CE tam giác ABC (D ∈ AC, E ∈ AB) a Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn b Gọi I điểm đối xứng với A qua O J trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, J, I thẳng hàng c Gọi K, M giao điểm AI với ED BD Chứng minh 1 = + 2 DK DA DM Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 114 TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ Câu  x +2 x −2  − x+ x a Q =   x + x +1 x −1 ÷ ÷   ( )   =   ( x +2 − ) ( x +1  ÷ ÷ x x +1 ÷  x −2 )( x −1 ) ( ) x +1  x +2  x +1+1 x −2  x −1−1  1   = − − −1+ ÷ x = ÷ x = 1 + ÷ x  x +1  x +1 x −1 ÷ x −1 ÷ x +1 x −1         2x x −1+ x +1 x = + x = x = ÷ x = x −1 x −1  x −1 x −1  x +1 2x Vậy Q = x −1 b Q nhận giá trị nguyên 2x 2x − + 2 = =2+ x −1 x −1 x −1 Q ∈ ¢ ∈ ¢ chia hết cho x − x −1 x = x =  x − = ±1 x = ⇔ ⇔ đối chiếu điều kiện  x = −1  x − = ±2 x =  x = Q= Câu Cho pt x − 2(m + 1)x + m − = , với x ẩn số, m ∈ R a Giải phương trình cho m = – Ta có phương trình x + 2x − = x + 2x − = ⇔ x + 2x + = ⇔ ( x + 1) = = ( 5) x + = −  x = −1 − ⇔ ⇔ x +1 = ⇔  x + =  x = −1 +   Vậy phương trinh có hai nghiệm x = −1 − x = −1 + b  x1 + x = 2m + (1)  x + x = 2m + ⇔ (2)  x1x = m −  m = x1 x +  x + x = ( x1 x + ) +  ⇔  m = x1 x +  Suy x1 + x = ( x1x + ) + ⇔ x1 + x − 2x1x − = Theo Vi-et, ta có  Tốn PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Toán THCS – THPT: PhanAnh Câu (m + 1)x − (m + 1)y = 4m , với m ∈ R x + (m − 2)y = Cho hệ phương trình  a Giải hệ cho m = –3  −2x + 2y = −12 − x + y = −6 x = ⇔ ⇔  x − 5y =  x − 5y = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) với ( 7;1) Ta hệ phương trình  b Điều kiện có nghiệm phương trình m + − ( m + 1) ⇔ ( m + 1) ( m − ) ≠ − ( m + 1) ≠ m−2 ⇔ ( m + 1) ( m − ) + ( m + 1) ≠ ⇔ ( m + 1) ( m − 1) ≠ m + ≠ m ≠ −1 ⇔ ⇔ m − ≠ m ≠ Vậy phương trình có nghiệm m ≠ −1 m ≠ (m + 1)x − (m + 1)y = 4m  m ≠ −1  x + (m − 2)y = m ≠ Giải hệ phương trình  4m   4m  x = y + m + x = (m + 1)x − (m + 1)y = 4m x − y =   ⇔ ⇔ ⇔ m +1  x + (m − 2)y = x + (m − 2)y =  y = −2 y =    m +1    4m − 4m − m +1 −2 m +1 −2  ; Vậy hệ có nghiệm (x; y) với  ÷  m +1 m +1  Câu a Viết phương trình đường thẳng d Đường thẳng d với hệ số góc k có dạng y = kx + b Đường thẳng d qua điểm M(0; 1) nên = k.0 + b ⇔ b = d : y = kx + Vậy b Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d − x = kx + ⇔ x + kx + = , có ∆ = k − d cắt (P) hai điểm phân biệt ∆ >  k < −2 k − > ⇔ k > ⇔ k > 22 ⇔ k > ⇔  k > Câu a BCDE nội tiếp · · BEC = BDC = 900 Suy BCDE nội tiếp đường trịn đường kính BC b H, J, I thẳng hàng Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh IB ⊥ AB; CE ⊥ AB (CH ⊥ AB) Suy IB // CH IC ⊥ AC; BD ⊥ AC (BH ⊥ AC) Suy BH // IC Như tứ giác BHCI hình bình hành J trung điểm BC ⇒ J trung điểm IH Vậy H, J, I thẳng hàng c 1» · · ACB = AIB = AB · · · ACB = DEA bù với góc DEB tứ giác nội tiếp BCDE · · BAI + AIB = 900 ∆ABI vuông B · · · · Suy BAI + AED = 900 , hay EAK + AEK = 900 Suy ∆AEK vuông K Xét ∆ADM vuông M (suy từ giả thiết) DK ⊥ AM (suy từ chứng minh trên) Như 1 = + 2 DK DA DM Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 117 TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Toán THCS – THPT: PhanAnh KỲ THI TUYỂN SINH THPT MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – khơng kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ -*** Bài 1: (3, điểm) Học sinh khơng sử dụng máy tính bỏ túi a) Giải phương trình: 2x – = y − x = 5x − 3y = 10 b) Giải hệ phương trình:  c) Rút gọn biểu thức A = a −3 a −2 + a +1 a2 + a + − với a ≥ 0, a ≠ a−4 a +2 d) Tính giá trị biểu thức B = + + − Bài 2: (2, điểm) Cho parabol (P) đường thẳng (d) có phương trình y = mx y = ( m − ) x + m − (m tham số, m ≠ 0) a) Với m = –1 , tìm tọa độ giao điểm (d) (P) b) Chứng minh với m ≠ đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt Bài 3: (2, điểm) Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km Cùng lúc, xe máy khởi hành từ Quy Nhơn Bồng Sơn xe ô tô khởi hành từ Bồng Sơn Quy Nhơn Sau hai xe gặp nhau, xe máy 30 phút đến Bồng Sơn Biết vận tốc hai xe không thay đổi suốt quãng đường vận tốc xe máy kém vận tốc xe ô tô 20 km/h Tính vận tốc xe Bài 4: (3, điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C trung điểm OA, qua C kẻ dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 118 TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Toán THCS – THPT: PhanAnh b) Chứng minh AK.AH = R Trên KN lấy điểm I cho KI = KM, chứng minh NI = KB ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ Bài 1: y − x =  −5x + 5y = 10 2y = 20  y = 10 ⇔ ⇔ ⇔ b)  5x − 3y = 10 5x − 3y = 10 y − x = x = a) 2x – = x − = ⇔ x = ⇔ x = c) ( a − 3 a +1 a2 + a + a − A= + − = a−4 a −2 a +2 = )( ) ( ) ( a − 2) − ( a ( a − 2) ( a + 2) a + + a +1 5a + 10 a − a − + 3a − a + a − − a − a − ( a −2 )( − ( a − 4) = = − ( a − 4) = − a a−4 a +2 ) = ( −a + 8a − 16 a −2 )( a +2 = ) ( + a +8 ) − ( a − 8a + 16 ) a −2 )( a +2 ) d) B = + + − = ( ) +1 + ( − 3) = +1 + − = +1+ − = Bài 2: a) Với m = −1 ( P ) ( d ) trở thành y = − x ; y = x − Lúc phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: − x = x − ⇔ x + x − = có a + b + c = + − = nên có hai nghiệm x1 = 1; x2 = −2 Với x1 = ⇒ y1 = −1 Với x2 = −2 ⇒ y2 = −4 Vậy tọa độ giao điểm ( P ) ( d ) ( 1; −1) ( −2; −4 ) b) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: mx = ( m − ) x + m − ⇔ mx − ( m − ) x − m + = ( *) Với m ≠ ( *) phương trình bậc hai ẩn x có ∆ = ( m − ) − 4m ( −m + 1) = m − 4m + + 4m − 4m = 5m + > với m Suy ( *) ln có hai nghiệm phân biệt với m Hay với m ≠ đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt Bài 3: Đổi 1h30' = 1,5h Đặt địa điểm : - Quy Nhơn A 100-1,5x A - Hai xe gặp C C - Bồng Sơn B Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 1,5x B 119 TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TOÁN Gọi vận tốc xe máy x ( km / h ) ĐK : x > Toán THCS – THPT: PhanAnh Suy : Vận tốc ô tô x + 20 ( km / h ) Quãng đường BC : 1,5x ( km ) Quãng đường AC : 100 − 1,5x ( km ) 100 − 1,5x ( h) x 1,5 x ( h) Thời gian ô tô máy từ B đến C : x + 20 Thời gian xe máy từ A đến C : Vì hai xe khởi hành lúc, nên ta có phương trình : Giải pt : 100 − 1,5 x 1,5 x = x x + 20 100 − 1,5 x 1,5 x = ⇒ ( 100 − 1,5 x ) ( x + 20 ) = 1,5 x ⇒ 100 x + 2000 − 1,5 x − 30 x = 1,5 x x x + 20 ⇒ 3x − 70 x − 2000 = ∆ ' = 35 + 3.2000 = 1225 + 6000 = 7225 > ⇒ ∆ ' = 7225 = 85 35 + 85 = 40 (thỏa mãn ĐK) Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = 35 − 85 50 x2 = =− (không thỏa mãn ĐK) 3 Vậy vận tốc xe máy 40 km / h K Vận tốc ô tô 40 + 20 = 60 ( km / h ) Bài 4: a) Tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp Ta có : · AKB = 900 (góc nội tiếp chắn đường tròn) · · hay HKB = 900 ; HCB = 900 ( gt ) · · Tứ giác BCHK có HKB + HCB = 900 + 900 = 1800 ⇒ tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) AK AH = R Dễ thấy ΔACH ∽ ΔAKB ( g.g ) ⇒ M E H I A C B O N AC AH R = ⇒ AK AH = AC AB = ×2 R = R AK AB c) NI = KB ∆OAM có OA = OM = R ( gt ) ⇒ ∆OAM cân O ( 1) ∆OAM có MC đường cao đồng thời đường trung tuyến (gt) ⇒ ∆OAM cân M ( 2) ( 1) & ( ) ⇒ ∆OAM tam giác · · · ⇒ MOA = 600 ⇒ MON = 1200 ⇒ MKI = 600 · ∆KMI tam giác cân (KI = KM) có MKI = 600 nên tam giác ⇒ MI = MK ( 3) Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Toán THCS – THPT: PhanAnh 1· · 120 Dễ thấy ∆BMK cân B có MBN = MON = × = 600 nên tam giác 2 ⇒ MN = MB ( ) Gọi E giao điểm AK MI · · NKB = NMB = 600   · · Dễ thấy ·  ⇒ NKB = MIK ⇒ KB // MI (vì có cặp góc vị trí so le MIK = 60   · · nhau) mặt khác AK ⊥ KB ( cmt ) nên AK ⊥ MI E ⇒ HME = 900 − MHE ·  HAC = 900 − · AHC   · · · · · · HME = 900 − MHE ( cmt )  ⇒ HAC = HME mặt khác HAC = KMB (cùng chắn Ta có :  · · AHC = MHE ( dd )   » KB ) · · · · ⇒ HME = KMB hay NMI = KMB ( ) ( 3) , ( ) & ( 5) ⇒ ∆IMN = ∆KMB ( c.g.c ) ⇒ NI = KB (đpcm) Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 121 TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh KỲ THI TUYỂN SINH THPT MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – khơng kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ -*** Câu (2 điểm) 1.Tính 2- 2 Xác định giá trị a,biết đồ thị hàm số y = ax - qua điểm M(1;5) Câu 2: (3 điểm) 1.Rút gọn biểu thức: A = ( a - a +2 ).( +1) với a>0,a ¹ a - a- a a- ì 2x - y = ï í 2.Giải hệ pt: ï ï ï 3x + y = ỵ Chứng minh pt: x + mx + m - = ln có nghiệm với giá trị m Giả sử x1,x2 nghiệm pt cho,tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x 21 + x 2 - 4.( x1 + x2 ) Câu 3: (1,5 điểm) Một ôtô tải từ A đến B với vận tốc 40km/h Sau 30 phút ơtơ taxi xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 km/h đến B lúc với xe ơtơ tải.Tính độ dài quãng đường AB Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn (O) điểm A cho OA=3R Qua A kẻ tiếp tuyến AP AQ đường tròn (O),với P Q tiếp điểm.Lấy M thuộc đường tròn (O) cho PM song song với AQ.Gọi N giao điểm thứ đường thẳng AM đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ K 1.Chứng minh APOQ tứ giác nội tiếp 2.Chứng minh KA2=KN.KP 3.Kẻ đường kính QS đường tròn (O).Chứng minh tia NS tia phân giác · góc PNM Gọi G giao điểm đường thẳng AO PK Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R Câu 5: (0,5điểm) Cho a,b,c số thực khác không thoả mãn: ì a (b + c ) + b (c + a ) + c ( a + b) + 2abc = ï ï í 2013 ïa + b 2013 + c 2013 = ï î 1 Hãy tính giá trị biểu thức Q = 2013 + 2013 + 2013 a b c Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 122 TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh Câu Ý 1 ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ Nội dung 2- 2= +1 ( - 1).( +1) 2= +1 ( 2) - 1) = +1- =1 Điểm KL: 2 Do đồ thị hàm số y = ax-1 qua M(1;5) nên ta có a.1-1=5 Û a=6 KL: a a ( a - 2) A=( ( a - 1).( a - 2) ).( +1) = a ( a - 2) a- a- ).( a - +1) = a =1 a ( a - 2) a =( 0,5 0,5 KL: ì 2x - y = ï ï Û í ï 3x + y = ï î KL: ì 2x - y = ï ï Û í ï 15 x + y = 25 ï ỵ ì 2x - y = ï ï Û í ï 17 x = 34 ï ỵ ì y =- ï ï í ï x =2 ï ỵ 0,25 Xét Pt: x + mx + m - = 2 Δ = m - 4(m - 1) = m - 4m + = ( m - 2) ³ Vậy pt ln có nghiệm với m ì x1 + x2 =- m ï ï x1 x2 = m - ỵ í Theo hệ thức Viet ta có ï ï 0,25 Theo đề B = x 21 + x 2 - 4.( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) - x1 x2 - 4.( x1 + x2 ) = m - 2( m - 1) - 4(- m) = m - 2m + + 4m = m + 2m +1 +1 = (m +1) +1 ³ Vậy minB=1 m = -1 KL: Gọi độ dài quãmg đường AB x (km) x>0 x h 40 x Thời gian xe Taxi từ A đến B : h 60 Do xe tải xuất phát trước 2h30phút = nên ta có pt Thời gian xe tải từ A đến B Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 0,5 0,25 0,25 0,25 123 TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Toán THCS – THPT: PhanAnh 0,25 x x = 40 60 Û 3x - x = 300 Û x = 300 0,25 Giá trị x = 300 có thoả mãn ĐK 0,25 Vậy độ dài quãng đường AB 300 km Xét tứ giác APOQ có · APO = 900 (Do AP tiếp tuyến (O) P) · AQO = 900 (Do AQ tiếp tuyến (O) Q) Þ · APO + · AQO = 1800 ,mà hai góc góc đối nên tứ giác APOQ tứ giác nội tiếp P 0,75 S M N A I G O K Q Xét Δ AKN Δ PAK có · AKP góc chung · APN = · AMP ( Góc nt……cùng chắn cung NP) · Mà NAK = · AMP (so le PM //AQ Δ AKN ~ Δ PKA (gg) Þ 0,75 AK NK = Þ AK = NK KP (đpcm) PK AK Kẻ đường kính QS đường trịn (O) Ta có AQ ^ QS (AQ tt (O) Q) Mà PM//AQ (gt) nên PM ^ QS Đường kính QS ^ PM nên QS qua điểm cung PM nhỏ » ¼ · · sd PS = sd SM Þ PNS = SNM (hai góc nt chắn cung nhau) 0,75 Hay NS tia phân giác góc PNM Chứng minh Δ AQO vng Q, có QG ^ AO(theo Tính chất tiếp tuyến cắt nhau) 0,75 Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có Tốn PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 124 TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh 2 OQ R = = R OA 3R Þ AI = OA - OI = 3R - R = R 3 Do Δ KNQ ~ Δ KQP (gg) Þ KQ = KN KP mà AK = NK KP nên OQ = OI OA Þ OI = AK=KQ Vậy Δ APQ có trung tuyến AI PK cắt G nên G trọng tâm Þ AG = 2 16 AI = R = R 3 Ta có: a (b + c ) + b (c + a ) + c (a + b) + 2abc = Û a 2b + a c + b c + b a + c a + c 2b + 2abc = Û ( a 2b + b a ) + (c a + c 2b ) + (2abc + b 2c + a 2c ) = Û ab(a + b) + c (a + b) + c(a + b) = Û ( a + b)(ab + c + ac + bc ) = Û ( a + b).(a + c ).(b + c ) = 0,25 *TH1: a+ b=0 ì a =- b ï í Ta có ï 2013 ï 2013 2013 ì a =- b ï Û ï í =1 ï c =1 ï î +b + c 1 Q = 2013 + 2013 + 2013 = a b c ïa ỵ ta có 0,25 Các trường hợp cịn lại xét tương tự Vậy Q = a 2013 + b 2013 + c 2013 =1 KỲ THI TUYỂN SINH THPT Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 125 TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – khơng kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 10 -*** - Bµi 1: Cho biĨu thøc: P = ( )   x x −1 x x +1  x − x +1     x− x − x+ x : x −1      a,Rót gän P b,T×m x nguyên để P có giá trị nguyên Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm b.Tìm m để phơng trình (*) cã nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n x1 − x2 =50 Cõu 3: Quảng đờng AB dài 156 km Một ngời xe máy tử A, ngời xe đạp từ B Hai xe xuất phát lúc sau gặp Biết vận tốc ngời xe máy nhanh vận tốc ngời xe đạp 28 km/h Tính vận tốc xe? Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dµi lín nhÊt ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ S 10 Bài 1: (2 điểm) ĐK: x 0; x ≠ a, Rót gän: P = x( x − 1) : 2( x − x( x − 1) x −1 z ) P= x −1 ( x − 1) = x +1 x −1 Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 126 TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh x −1 = ⇒ b P = x +1 = 1+ x −1 x =2⇒ x=4 x − = −1 ⇒ x = ⇒ x = §Ĩ P nguyên x x = x = ⇒ x = x − = −2 ⇒ x = −1( Loai ) VËy víi x= { 0;4;9} P có giá trị nguyên Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì: ( ) ∆ = ( 2m + 1) − m + m − ≥    x1 x = m + m − >  x + x = 2m + <    ∆ = 25 >  ⇔ (m − 2)(m + 3) > ⇔ m < −3  m < b Giải phơng trình: ( m 2) − (m + 3) = 50 ⇔ 5(3m + 3m + 7) = 50 ⇔ m + m − =  −1+ m1 =  ⇔ m = − −  2  Bµi Gọi vân tốc xe đạp x (km/h), điều kiện x > Thì vận tốc xe máy x + 28 (km/h) Trong giờ: + Xe đạp quãng đường 3x (km), + Xe máy quãng đường 3(x + 28) (km), theo ta có phương trình: 3x + 3(x + 28) = 156 Giải tìm x = 12 (TMĐK) Trả lời: Vận tốc xe đạp 12 km/h vận tốc xe máy 12 + 28 = 40 (km/h) A Bµi a Giả sử đà tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Q Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên CH AB BH ⊥ AC => BD ⊥ AB vµ CD ⊥ AC H O Do ®ã: ∠ ABD = 900 vµ ∠ ACD = 900 P C B Tốn PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin D 127 TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh VËy AD lµ đờng kính đờng tròn tâm O Ngợc lại D đầu đờng kính AD đờng tròn tâm O tứ giác BHCD hình bình hành b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ∠ ADB nhng ∠ ADB = ∠ ACB nhng ∠ ADB = ∠ ACB Do ®ã: ∠ APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => ∠ APB + ∠ AHB = 1800 Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = ∠ PHB Mµ ∠ PAB = ∠ DAB đó: PHB = DAB Chứng minh tơng tù ta cã: ∠ CHQ = ∠ DAC VËy ∠ PHQ = ∠ PHB + ∠ BHC + ∠ CHQ = ∠ BAC + ∠ BHC = 1800 Ba ®iĨm P; H; Q thẳng hàng c) Ta thấy APQ tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn AP vµ AQ lµ lín nhÊt hay  AD lµ lớn D đầu đờng kính kẻ từ A đờng tròn tâm O PHN III: MT S ĐỀ TỰ LUYỆN (THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI THƯỜNG GẶP) KỲ THI TUYỂN SINH THPT MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ -*** - Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 128 ... 2m +  x1 = −3m vào (b) ta có phơng trình : x = 2m + Thay  Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO ƠN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN (−3m −5)(2m +5) = m +3 Toán THCS – THPT:... y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = C MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: PhanAnh Bài 1Cho phơng... a  1  − : + Bài 19: Cho biểu thức P =  ÷  a + a −1 a −1   a +1 a −1   Toán PhanAnh – Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin ( )( ) 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN TẬP VÀ LUYỆN THI TỐN Tốn THCS – THPT: