LỜI CẢM ƠN Khóa luận hồn thành trường Đại học Hà Tĩnh, hướng dẫn tận tình Th.S Nguyễn Thị Minh Hưng Trước hết, xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới giáo hướng dẫn, người định hướng nghiên cứu tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thiện luận văn Đồng thời qua xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, cô giáo khoa Sư phạm Tự nhiên, đặc biệt thầy tổ Tốn giúp tơi sớm hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng song khóa luận khơng thể tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn học THPT tốn liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích lớp 11, học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải tốn liên quan đến dãy số đặc biệt toán xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Hơn nữa, số lớp toán xác định cơng thức tổng qt dãy số nội dung toán gần giải Do xác định cơng thức tổng qt dãy số chiếm vị trí định toán dãy số Nhằm chia sẻ vài phương pháp cụ thể để xác định công thức tổng quát dãy số, chọn đề tài “ Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số” Mục đích nghiên cứu Khóa luận thực với mục đích trình bày phương pháp để tì m cơng thức tổng qt dãy số: Sử dụng phương trình sai phân, Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân, Sử dụng phép lượng giác Trong phương pháp trình bày cách có hệ thống dạng thường gặp để nhằm giúp bạn đọc tìm thấy cách giải nhanh cho tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số Đối tượng nghiên cứu Tìm hiểu cách xác định công thức tổng quát dãy số Giả thuyết khoa học Nếu trình dạy học giáo viên học sinh phân dạng có phương pháp giải cho dạng toán cụ thể việc xác định cơng thức tổng qt dãy số việc giải tốn đạt kết cao Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: - Thu thập báo khoa học, tài liệu tác giả nghiên cứu liê n quan đến việc xác định công thức tổng quát dãy số Dự kiến đóng góp khóa luận - Hệ thống lý thuyết phân dạng tốn tìm cơng thức tổng qt dãy số - Giúp học sinh giáo viên dạy tốn có thêm tài liệu để nghiên cứu dãy số nói chung việc xác định cơng thức tổng quát dãy số nói riêng Cấu trúc khóa luận tốt nghiệp Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương 2: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Chương CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1: Dãy số hàm số từ vào tập hợp số ( , , , ) hay tập tập hợp Các số hạng dãy số thường kí hiệu un, vn, xn, yn thay u(n), v(n), x(n), y(n) Bản thân dãy số kí hiệu {x n} Vì dãy số trường hợp đặc biệt hàm số nên có tính chất hàm số Định nghĩa 2: Dãy số {xn} gọi dãy tăng (giảm) n ta có x n +1 ≥ x n ( x n +1 ≤ x n ) Dãy số tăng dãy số giảm gọi chung dãy đơn điệu Dãy số {x n} gọi bị chặn tồn số thực M cho với n ta có xn ≤ M Dãy số {x n} gọi bị chặn tồn số thực m cho với n ta có xn ≥ m Một dãy số vừa bị chặn vừa bị chặn gọi dãy bị chặn Dãy số xn gọi tuần hoàn với chu kỳ k x n+k = xn với n ∈ Dãy số tuần hoàn với chu kì gọi dãy số Định nghĩa 3: Ta nói dãy số {x n} có giới hạn hữu hạn a n dẫn đến vô với  > , tồn số tự nhiên N ( phụ thuộc vào dãy số {x n}  ) cho với n> N ta có xn − a <  lim xn = a ⇔  > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N , xn − a <  n →∞ Ta nói dãy số {xn} dần đến vô n dần đến vô với số thục dương M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên N (phụ thuộc vào dãy số x n M) cho với n > N ta có xn lớn M lim xn → ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N ∈ N : ∀n > N , xn > M n →∞ Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi dãy số hội tụ Dãy số khơng có giới hạn dần đến vơ n dần đến vô gọi dãy phân kì Định nghĩa 4: Dãy {xn} gọi Cauchy ∀ > 0, ∃N ∈ : ∀m, n > N , xm − xn <  Định nghĩa : ( Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn dãy Cauchy 1.1.2 Một số tính chất dãy số Định lý : ( Tổng, hiệu, tích thương dãy hội tụ) Nếu {x n}, {yn}là dãy hội tụ có giới hạn tương ứng a,b dãy số {xn+yn}, {xn-yn}, {xn.yn}, {xn/yn}cũng hội tụ có giới hạn tương ứng a+b, a -b, a.b,và a/b ( Trong trường hợp dãy số thương, ta giả sử y n b khác khơng) Định lí 2: ( Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức ) Cho dãy số {x n} giới hạn hữu hạn 1, ∃N ∈ : ∀n > N ta có a ≤ xn ≤ b a ≤ xn ≤ b Định lí 3: (Định lí kẹp) Cho ba dãy số {x n},{yn}{zn} {xn} {xn} có giới hạn l, ∃N ∈ : ∀n > N ta có xn ≤ yn ≤ zn Khi yn có giới hạn Định lí 4: ( Về dãy đoạn thẳng lồng nhau) Cho hai dãy số {a n},{bn} cho: a) ∀n ∈ , an ≤ bn ; b) ∀n ∈ , [ an +1 , bn +1 ] ⊂ [ an , bn ] ; c) bn − an  n → ∞ Khi tồn số thực l cho : ∩ [ an , bn ] = l 1.2 Cấp số cộng, cấp số nhân 1.2.1 Cấp số cộng 1.2.1.1.Định nghĩa : Dãy số {xn} gọi cấp số cộng tồn d cho ∀n ∈ , xn +1 = xn + d d gọi công sai cấp số cộng, x số hạng đầu, xn số hạng thứ n 1.2.1.2 Tính chất Ta có cơng thức sau: xn = x0 + nd S n = x0 + x1 + + xn−1 nx0 + n(n − 1)d n( x0 + xn −1 ) = = 1.2.2 Cấp số nhân 1.2.2.1.Định nghĩa: Dãy số {xn} gọi cấp số nhân tồn q cho ∀n ∈ , xn +1 = qxn d gọi công bội cấp số nhân, x số hạng đầu, xn số hạng thứ n 1.2.2.2 Tính chất: Ta có cơng thức sau: xn = q n x0 S n = x0 + x1 + + xn −1 = (q n − 1) x0 (q − 1) Nếu q < {xn} gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn tính theo cơng thức S= x0 (1 − q ) 1.3 Phương trình sai phân 1.3.1 Sai phân 1.3.1.1 Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định , đặt xk = x0 + kh ( k ∈ , cho trước * ) với x0 ∈ , h ∈ , Gọi y k=f(yk) giá trị hàm số f(x) x=x k Khi đó, hiệu số ∆yk := yk +1 − yk ( k ∈ * ) gọi sai phân cấp hàm số f(x) Hiệu số ∆ yk := ∆yk +1 − ∆yk = ∆ (∆yk ) ( k ∈ * ) gọi sai phân cấp hàm số f(x) Tổng quát, ∆ i yk := ∆ i −1 yk +1 − ∆ i −1 yk = ∆ (∆ i −1 yk ) ( k ∈ * ) gọi sai phân cấp i hàm số f(x) (i=1;2;…;n;….) 1.3.1.2 Một số tính chất Mệnh đề 1: ( Sai phân số) Sai phân số Mệnh đề 2: ( Tính chất tuyến tính sai phân) Sai phân cấp toán tử tuyến tính tập hàm số Tức là: ∀i ∈ * , ∀ ,  ∈ , ∀f ( x); g ( x) : → , ta ln có: ∆ i ( f ( x ) +  g ( x ) ) =  ∆ i f ( x ) +  ∆ i g ( x ) Mệnh đề 3: ( Sai phân đa thức) Sai phân cấp I đa thức bậc n: +) Là đa thức bậc n-i in; Mệnh đ ề 4: (Công thức sai phân phần) ∆ ( f k g k ) = f k ∆g k + g k +1∆f k Mệnh đề 5: (Tổng sai phân) n ∑ ∆y k =1 k 1.3.2 Phương trình sai phân 1.3.2.1.Định nghĩa: = yn +1 − y1 Phương trình sai phân (cấp k) hệ thức tuyến tính chứa sai phân cấp tới k f ( yn ; ∆yn ; ∆ yn ; ; ∆ k yn ) = (1) Vì sai phân cấp biểu diễn theo giá trị hàm số nên (1) có dạng: a0 yn + k + a1 yn + k −1 + + ak yn = f ( n ) (2) Trong a0 ; a1 ; ; ak ; f (n) biết yn , yn +1 , , yn + k giá trị chưa biết Phương trình (2) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp k Nếu f(n) =0 phương trình (2) có dạng a0 yn + k + a1 yn + k −1 + + ak yn = Và gọi phương trình sai phân tuyến tính thu ần cấp k Nếu f(n)=0 (2) gọi phương trình sai phân tuyến tính khơng 1.3.2.2 Nghiệm Hàm số yn biến n thỏa mãn (2) gọi nghiệm phương trình sai phân tuyến tính (2) Hàm số yn phụ thuộc k tham số thỏa mãn (3) gọi nghiệm tổng quát (3) Một nghiệm y n* thỏa mãn (2) gọi nghiệm riêng (2) 1.3.2.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc a Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính bậc (cấp một) phương trình sai phân dạng: u1 =  , aun +1 + bun = f (n), n ∈ * (1) Trong  ; a=0; b=0 số f(n) biểu thức n cho trước b Phương pháp giải - Giải phương trình sai phân tương ứng + Giải phương trình đặc trưng a + b = để tìm  + Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân tuyến tính tương ∧ ứng aun +1 + bun = dạng u n = c n (c số) - Tìm nghiệm riêng u n* phương trình hơng - Tìm nghiệm tổng qt phương trình (1): ∧ * un = un + u n 1.3.2.4 Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai a Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai (cấp hai) phương trình sai phân dạng: u1 =  , u2 =  , aun + + bun +1 + cun = f (n), n ∈ * (1) Trong  ,  , a, b, c ; số, a=0; b=0 f(n) biểu thức n cho trước b Phương pháp giải - Giải phương trình sai phân tương ứng - Tìm nghiệm riêng u n* phương trình khơng - Tìm nghiệm tổng qt phương trình (1) dạng: ∧ * un = un + u n 1.3.2.4 Phương trình sai phân tuyến tính bậc ba a Định nghĩa Cho a,b,c,  ,  ,  số thuộc , a=0, d=0 f (n) hàm biến số n Phương trình: u1 =  ; u2 =  ; u3 =   aun +3 + bun + + cun +1 + dun = f (n) Được gọi phương trình sai phân tuyến tính bậc ba (cấp ba) b Phương pháp giải Phương trình sai phân tuyến tính bậc ba ln giải Nghiệm tổng qt có dạng: ∧ * un = un + u n ∧ Trong đó, u n nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính * nhất, cịn un nghiệm riêng phương trình cho 1.3.2.4 Phương trình sai phân tuyến tính bậc k a Định nghĩa Phương trình: a0 yn + k + a1 yn + k −1 + + ak yn = f ( n ) (1) Được gọi phương trình sai phân tuyến tính bậc k (cấp k) b Phương pháp giải - Giải phương trình đặc trưng a0  k + a1 k −1 + + ak −1 + ak = (2) Để tìm k - Tìm nghiệm tổng quát phương trình tương ứng + Nếu (2) có k nghiệm thực khác 1 , 2 , , k nghiệm tổng quát ∧ y n = c11n + c2 2n + + ck kn (3)  x1 =   2) Áp dụng kết ta tìm đ ược CTTQ dãy ( xn ) :  x2 + a x2 = n −1  xn −1  2 un = un −1 + a.vn −1 ; u1 =   Xét hai dãy (un ), (vn ) :  ; v1 = vn = 2vn −1un −1  n −1 n −1 u ( + a )2 + ( − a )2 Khi xn = n = a n −1 n −1 ( + a )2 − ( − a )2 u1 =  un = 5un −1 + 24un −1 − ∀n ≥  Ví dụ : Cho dãy (un ) :  Tìm CTTQ un ? Giải: Ta có u2 = 9; u3 = 89; u4 = 881 Giả sử un = xun −1 + yun − 9 x + y = 89  x = 10 ⇒ ⇔ 89 x + y = 881  y = −1 Ta chứng minh : un = 10un −1 − un − ∀n ≥ Từ cơng thức truy hồi dãy ta có : (un − 5un−1 )2 = 24un−1 − 2 ⇔ un − 10un un−1 + un−1 + = (1) thay n n-1 , ta : 2 un − − 10un − 2un −1 + un −1 − = (2) Từ (1),(2) ⇒ un − , un hai nghiệm phương trình : t − 10un −1t + un2−1 − = Áp dụng định lý Viet, ta có: un + un − = 10un −1 Vậy un = −2 6+2 (5 − 6) n −1 + (5 + 6) n −1 6 Dạng 12: u1 =  dãy nguyên ⇔ a = 24 un = 5un −1 + aun −1 − ∀n ≥  1) Dãy (un ) :  50 Thật vậy: u2 = + a − = + t (t = a − ∈ ) ⇒ u3 = + (t + 8)(t + 5) − ⇒ u3 ∈ ⇔ f (t ) = (t + 8)(t + 5) − = m (m ∈ ) Mà (t + 5t + 4) < f (t ) < (t + 5t + 14) kết hợp với f (t ) số chẵn ta suy ra: m = t + 5t + x với x ∈ {6,8,10,12} Thử trực tiếp ta thấy t = ⇒ a = 24 u1 =   un = aun −1 + bun −1 + c ∀n ≥  2) Với dãy số (un ) :  Với a − b = ta xác định CTTQ sau: Từ dãy truy hồi suy ra: 2 (un − aun−1 )2 = bu n−1 + c ⇔ u n − 2au nu n−1 + u n−1 − c = 2 Thay n n − , ta có: un − − 2aun −1un − + un −1 − c = ⇒ un + un − = 2aun −1 u1 =   un −1 3)Với dãy số (un ) :  ,trong dó  > 0; a > 1; a − b = un = ∀n ≥ 2  a + cun −1 + b  ta xác định CTTQ sau: Ta viết lại công thức truy hồi dạng : Đặt xn = a b = + c+ un un −1 un −1 un Ta có un = aun −1 + bxn −1 + c dãy ta xét u1 = u2 =  Ví dụ: Dãy số (un ) :  u2 + un = n −1 ∀n ≥  un −  Tìm CTTQ un Giải: 51 Ta có: u3 = 3; u4 = 11; u5 = 41 Ta giả sử un = xun −1 + yun − + z Từ u3 = 3; u4 = 11; u5 = 41 ta có hệ phương trình : x + y + z = x =   3 x + y + z = 11 ⇔  y = −1 ⇒ un = 4un −1 − un − 11x + y + z = 41  z =   u1 = u2 = un = 4un −1 - un − ∀n ≥ Ta chứng minh (un ) :  Với n = ⇒ u3 = 4u2 − u1 = ⇒ n = Giả sử uk = 4uk −1 − uk − Ta có: uk +1 = = uk2 + (4uk −1 − uk − ) + 16uk2−1 − 8uk −1uk − + uk2− + = = uk −1 uk −1 uk −1 16uk2−1 − 8uk −1uk − + uk −1uk −3 = 16uk −1 − 8uk − + uk −3 uk −1 = 4(uk −1 − uk − ) − (4uk − − uk −3 ) = 4uk − uk −1 Theo nguyên lý quy nạp ta có đ pcm ⇒ un = +1 −1 (2 − 3) n −1 + (2 + 3) n −1 3 Bài tập tương tự Bài 1: Tìm CTTQ dãy số sau: 1) u1 = 1; u2 = 0; un +1 − 2un + un −1 = n + 1; n ≥ 2) u1 = 0; u2 = 0; un +1 − 2un + un −1 = 3.2n ; n ≥ 3) u1 = 0; u2 = 0; un +1 − 2un − 3un −1 = n + 2n ; n ≥ 4) u1 = 0; u2 = 1; u3 = 3; un = 7un −1 − 11un − + 5.un −3 ; n ≥  u1 =  5) u1 = 2; un = 2un −1 + n + 2, ∀n ≥  u +2− un = n −1 , ∀n ≥  − − un −1  ( 52 ) Bài 2: Tìm CTTQ dãy (u n) xác định:  u1 =  a ( un ) :  u +2− un = n −1 , ∀n ≥  − − un −1  ( ) u1 =  , ∀n ≥ n un = 3un −1 +  b ( un ) :  u1 = u2 =  c ( un ) :  u2 + un = n −1 , ∀n ≥  un −  Bài 3: Cho dãy số xác định : u1 = ( un ) :  un−1 + , ∀n ≥  un =  Chứng minh un = 2n −1 + với số nguyên dương n 2n −1 Bài 4: Cho dãy số ( un ) thỏa mãn sau: u0 = 1, u1 =  un = 10.un −1 − un − , ∀n ∈ , n ≥  + un ∈ , ∀n ∈ Chứng minh: ∀k ∈ , k ≥ 1) uk2 + uk2−1 − 10uk uk −1 = −8 2) 5.uk − uk −1  3.uk2 − 1 u1 =  un = 3un −1 + 2n − 9n + 9n − 3, ∀n ≥  Bài 5: Xét dãy ( un ) :  p −1 Chứng minh rằng: Mỗi số nguyên tố p 2000∑ ui chia hết cho p i =1 53 2.3 Sử dụng phép lượng giác để xác định CTTQ dãy số Nhiều dãy số có cơng th ức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép lượng giác Khi b ài toán xuất yếu tố gợi cho ta nhớ đến cơng thức lượng giác ta thử với phương pháp lượng giác u1 Dạng 1: Để xác định CTTQ dãy số (un ) :  un = 2un −1 -1 ∀n ≥ , Ta làm sau: Nếu u1 ≤ ,ta đặt u1 = cos Khi ta có un = cos2n −1 a Nếu u1 > ,ta đặt u1 = ( a + ) (trong a ≠ dấu với u1 ) u2 = Khi 1 1 ( a + + ) − = ( a + ) ⇒ u1 = ( a + ) 2 a a a Ta chứng minh u = (a n n −1 + a n −1 ) ∀ n ≥ Trong a nghiệm (cùng dấu với u1 ) phương trình : a − 2u1 a + = Vì phương trình có hai nghiệm có tích nên ta viết CTTQ dãy sau : 2n −1 2n −1  1 2 un =  u1 − u1 − + u1 + u1 −  2    ( ) ) (  u1 = Ví dụ : Cho dãy (un ) :  2 u = 2u -1 ∀n ≥ n −1  n Xác định CTTQ dãy (un ) Giải: Từ công thức truy hồi dãy , ta liên tưởng đến côn g thức nhân đôi hàm số cos 54 Ta có : u1 =   2 = cos ⇒ u2 = cos − = cos 3 ⇒ u3 = 2cos 2 4 8 − = cos ⇒ u4 = cos 3 Ta chứng minh un = cos 2n −1 Thật Với n = ⇒ u2 = cos Giả sử un −1 = cos 22−1 2 (đúng) = cos 3 2n −  2n −1 2n −1 ⇒ un = 2un −1 − = cos − = cos 3 Dạng 2: u1 = p 1) Để xác định CTTQ dãy số (un ) :  un = 4un −1 - 3u n −1 ∀n ≥ Ta làm sau: Nếu p ≤ ⇒ ∃ ∈ [ 0;  ] : cos = p Khi quy nạp ta chứng minh : un = cos3n −1  a Nếu p > ,ta đặt u1 = ( a + ) ( a dấu với u1 )  Bằng quy nạp ta chứng minh : un =  a3 2  1 Hay un =  u1−     u1 −   3n −1 +  u1+ u1 −      n −1 + a3 n −1     3n −1     2) Từ trường hợp thứ hai tốn trên, ta có cách tìm CTTQ dãy số u1 = p 1 cách đặt u1 = (a − ) (un ) :  a un = 4un −1 - 3u n −1 ∀n ≥ 55 Khi quy nạp ta chứng minh :  n −1 u =  a3 n 2  − a3 n −1    =  u +       u1 +   3n −1 +  u1 −     u1 +   3n −1     u = Ví dụ : Xác định CTTQ dãy số (un ) :  u = 4u - 3u ∀n ≥ n −1 n −1  n Giải: Ta có: u1 =     32  = cos ⇒ u2 = cos3 − 3cos = cos ⇒ u3 = cos 6 6 Bằng quy nạp ta chứng minh được: un = cos 3n −1  Chú ý: Trong số trường hợp ta xác dịnh CTTQ dãy (un ) cho : u1  un = un −1 + aun −1 + bu n −1 + c, ∀ n ≥ Bằng cách đưa vào dãy phụ để chuyển dãy cho hai dạng Ví dụ 1: Xác định CTTQ dãy số (un ) : u1 = un = 24u3 −1 − 12 6un −1 + 15un −1 − , ∀ n ≥ n Giải: Đặt un = x.vn + y Thay vào công thức truy hồi dãy, biến đổi rút gọn ta x.vn + y = 24 x3vn−1 + 12(6 x y − x )vn−1 + 3(24 xy − xy + x)vn−1 + 24 y − 12 y + 15 y − 6 x y − x =  Ta chọn y :  24 y − 12 y + 15 y − = y  ⇔ y= 3 Khi đó: x.vn = 24 x3 −1 + 3x.vn −1 ⇔ = 24 x −1 + 3vn −1 56 Ta chọn x = ⇒ = 4vn−1 + 3vn−1 v1 = ⇒ = Vậy un = n −1 n −1 1 (2 + 5)3 + (2 − 5)3     2 n−1 n−1  (2 + 5)3 + (2 − 5)3  + , ∀ n = 1, 2,     6  u1 = Ví dụ 2: Xác định CTTQ dãy số (un ) :  u = − u ∀n ≥ n −1  n Giải:   Đặt − = cos ,  ∈  ;   , đó: 2  u1 = −2 cos  ⇒ u2 = 2(1 − cos  ) = −2 cos 2 Bằng quy nạp ta chứng minh : un = −2 cos 2n −1   u1 =  Ví dụ : Xác định CTTQ dãy số (un ) :  2 − − un −1  ∀n ≥ un =  Giải: Từ công thức truy hồi dãy , gợi ta nhớ đến công thức lượng giác sin  + cos 2 = ⇔ − sin  = cos 2 Ta có : u1 =  = sin ⇒ u2 = − − sin 2  Bằng quy nạp ta chứng minh : un = sin 57  2(1 − cos )  6 = = sin 2.6  n −1 Ví dụ : Cho a,b hai số thực dương không đổi thỏa mãn a < b hai a+b  a1 = ; b1 = b.a1  dãy (an ), (bn ) xác định  a = an −1 + bn −1 ; b = a b ∀n ≥ n n n −1  n  Tìm an bn Giải: Ta có : o < a a   < nên ta đặt = cos với  ∈  0;  b b  2 Khi đó: a1 = a +b a2 = 1 =   b cos  + b b(1 + cos )  b1 = b.b cos = b cos = = b cos 2 2 2 b cos  + b cos  = b cos  cos  b = b cos  cos  2 22 22 Bằng quy nạp ta chứng minh : an = b cos  cos  2 .cos  n bn = b cos  cos u1 =  Ví dụ : Cho dãy (un ) :  un −1 + − ∀n ≥ un = + (1 − 2)un −1  Tính u2003 (trích đề thi Olympic 30-4-2003 khối 11) Giải: Ta có tan  = − ⇒ un = Mà u1 = = tan  ⇒ u2 = un −1 + tan − tan tan    un −1 + tan  = tan(  +  )   − tan tan 58  2 .cos  2n   Bằng quy nạp ta chứng minh : un = tan  + ( n − 1)  3  Vậy u2003 = tan   3 + 8 2002      = tan  +  = −( + 2)  3 4 Chú ý: u1 = a  Để tìm CTTQ dãy số dãy (un ) :  un −1 + b ∀n ≥ un = − bu n −1  Ta đặt a = tan  ; b = tan  ,khi chứng minh : un = tan [ + (n − 1)  ] u1 =  Ví dụ 2.8 : Tìm CTTQ dãy số (un ) :  un −1 un = , ∀n ≥  + + un −1  Giải: Ta có 1 = + 1+ un un −1 un −1 Đặt xn = 1 ta dãy ( xn ) xác định sau: x1 = un xn = xn −1 + + xn −1 Vì x1 = = cot  ⇒ x2 = cot  + + cot  = + cos = cot   2.3 sin Bằng quy nạp ta chứng minh được: xn = cot  n −1 ⇒ un = tan  n −1 , ∀n = 1, 2, Bài tập tương tự x = a Bài 1: Cho dãy số thực {x n } :   x n +1 = 2x n − 1, ∀n > Tìm tất giá trị a để xn