SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI _______________ Mã số : SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌ NH LƯỢNG GIÁC Người thực hiện : PHẠM THUÝ HẠNH Lĩnh vực nghiên cứu : Phương pháp dạy học bộ môn: Toán Năm học : 2013 – 2014 2 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên : PHẠM THUÝ HẠNH 2. Ngày tháng năm sinh: 28/11/1984 3. Nam, nữ : Nữ. 4. Địa chỉ: 39/4, khu phố 7, phường Tân Biên, Biên Hoà, Đồng Nai. 5. Điện thoại: 0933304908. 6. Email: hanh281184@yahoo.com.vn 7. Chức vụ: giáo viên 8. Nhiệm vụ được giao : giảng dạy môn Toán lớp 12A6, 11A2, 11A5, 11A8. 9. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi, Biên Hoà, Đồng Nai. II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Trình độ chuyên môn cao nhất: Cử nhân Đại học Sư phạm TP.HCM. - Năm nhận bằng: 2006. - Chuyên ngành đào tạo: Toán. III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy Toán bậc THPT. - Số năm có kinh nghiệm: 6 năm. - Sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: Phương trình mũ và logarit (năm 2013). 3 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình lượng giác là một phần quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11 và có trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hằng năm. Quá trình giải một phương trình lượng giác thường gồm các bước: biến đổi phương trình về dạng cơ bản, tìm nghiệm của phương trình cơ bản và so sánh với điều kiện xác định (nếu có) rồi kết luận nghiệm của phương trình. Việc biến đổi phương trình lượng giác đòi hỏi học sinh không những nắm vững công thức lượng giác mà còn biết cách vận dụng linh hoạt các công thức đó. Tuy nhiên, vì các công thức lượng giác được học ở lớp 10 nên phần nhiều học sinh lớp 11 thấy khó khăn khi tự củng cố các kiến thức về công thức lượng giác. Do đó, hoạt động củng cố về công thức lượng giác cho học sinh là rất cần thiết. Khi biến đổi phương trình lượng giác, một số học sinh dù đã học thuộc các công thức lượng giác nhưng vẫn lúng túng trong việc lựa chọn công thức lượng giác để áp dụng hoặc biết công thức lượng giác cần áp dụng nhưng không biết cách áp dụng công thức sao cho hợp lý. Những khó khăn này phần nhiều là do học sinh chưa biết cách vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác. Còn đối với các phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức, sau khi biến đổi phương trình về dạng cơ bản, nhiều học sinh thấy khó khăn trong việc so sánh nghiệm của phương trình cơ bản này với điều kiện xác định của phương trình. Học sinh thường gặp khó khăn ở ít nhất một trong các bước giải phương trình lượng giác. Vì thế, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác” để nêu ra một số kinh nghiệm đóng góp cho việc dạy và học về phương trình lượng giác trong chương trình Toán lớp 11 hiệu quả hơn. II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Để giải được một phương trình lượng giác, học sinh cần nắm vững công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản và biết cách biến đổi phương trình về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; dạng bậc nhất đối với sin x và cos x ; dạng thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x . Các phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác được biến đổi về dạng cơ bản mà không cần áp dụng công thức lượng giác. Còn hầu hết các phương trình lượng giác khác đòi hỏi học sinh phải áp dụng một hoặc nhiều công thức lượng giác để biến đổi phương trình về dạng cơ bản, hoặc dạng tích, dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. 4 Chẳng hạn, học sinh áp dụng công thức cộng để biến đổi phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x về dạng cơ bản; áp dụng công thức hạ bậc để biến đổi phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x về dạng bậc nhất đối với sin 2x và cos2x . Vì vậy, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác chủ yếu là rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải. Ngoài ra, nếu phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức thì sau khi biến đổi phương trình về dạng cơ bản, phải so sánh nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản này với điều kiện xác định để kết luận nghiệm của phương trình ban đầu. Học sinh cần một hệ thống bài tập vừa củng cố kiến thức về công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu có). Nội dung đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác” nêu một số kinh nghiệm tích lũy trong quá trình dạy học phương trình lượng giác như sau: 1. Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức về công thức lượng giác và nêu các ví dụ về cách vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác. 2. Các bài tập giúp học sinh vừa củng cố kiến thức về công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về các dạng đã biết cách giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu có). III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP 1. Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức về công thức lượng giác và nêu các ví dụ về cách vận dụng linh hoạt công thức lượng giác khi biến đổi phương trình lượng giác Các công thức lượng giác : 1) Công thức cơ bản 2) Công thức cộng 3) Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc 4) Công thức biến đổi tổng thành tích 5) Công thức biến đổi tích thành tổng Mỗi công thức lượng giác có dạng A B= . Khi vận dụng công thức dạng này vào biến đổi phương trình lượng giác, nếu có A thì đa số học sinh thường nhận biết ngay việc thay A bằng B, nhưng ngược lại, nếu có B thì không ít học sinh thấy khó nhận ra việc thay B bằng A. 5 Hoạt động 1 và ví dụ 1 sau đây giúp cho học sinh củng cố và vận dụng công thức lượng giác theo hai chiều A B= và B A= . Lưu ý rằng vì có khá nhiều công thức lượng giác nên có thể hướng dẫn cho học sinh tự thực hiện hoạt động 1 ở nhà rồi kiểm tra các công thức học sinh đã viết được trên lớp. Hoạt động 1. Viết mỗi công thức lượng giác theo chiều ngược lại là từ vế phải sang bằng vế trái, chẳng hạn, viết lại công thức cộng ( ) sin sin cos cos sina b a b a b+ = + theo chiều ngược lại là : ( ) sin cos cos sin sina b a b a b+ = + . Ví dụ 1. Giải các phương trình sau a) 2sin 3sin 1 6 x x π   + − =  ÷   (1a) b) sin .cos4 cos .sin 4 sin2x x x x x+ = (1b) Hướng dẫn : Áp dụng công thức cộng : ( ) sin sin cos cos sina b a b a b+ = + (*) - Đối với phương trình (1a), áp dụng công thức (*) ta có: sin sin .cos cos .sin 6 6 6 x x x π π π   + = +  ÷   . - Đối với phương trình (1b), áp dụng công thức (*) theo chiều ngược lại là : ( ) sin cos cos sin sina b a b a b+ = + , ta có: ( ) sin .cos4 cos .sin 4 sin 4x x x x x x+ = + Lời giải ví dụ 1: a) 2sin 3sin 1 6 x x π   + − =  ÷   2 sin .cos cos .sin 3sin 1 6 6 x x x π π   ⇔ + − =  ÷   cos 1x⇔ = 2x k π ⇔ = , k ∈Z b) sin .cos4 cos .sin 4 sin2x x x x x+ = ( ) sin 4 sin 2x x x⇔ + = sin5 sin 2x x⇔ = 5 2 2 , 5 2 2 x x k k x x k π π π = +  ⇔ ∈  = − +  Z 6 2 3 , 2 7 7 x k k x k π π π  =  ⇔ ∈   = +   Z Một công thức lượng giác có thể áp dụng cho nhiều góc khác nhau. Đa số học sinh trung bình, yếu không nhận ra được công thức lượng giác cần áp dụng hoặc không biết áp dụng công thức sao cho hợp lý khi biến đổi phương trình lượng giác là vì chưa từng viết lại công thức lượng giác bằng cách thay góc trong công thức bởi một góc khác. Nếu cho học sinh viết lại mỗi công thức lượng giác dưới nhiều hình thức khác nhau ứng với các góc khác nhau thì các em sẽ không thấy khó khăn khi vận dụng các công thức này vào biến đổi phương trình lượng giác. Hoạt động 2 và ví dụ 2 sau đây giúp cho học sinh nhận biết công thức lượng giác cần áp dụng và áp dụng một công thức lượng giác cho các góc khác nhau. Hoạt động 2. Viết lại các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc khi thay góc x trong các công thức bởi một góc khác như 2x, 2 x , 4 x π − , …, chẳng hạn, thay góc x trong công thức nhân đôi sin2 2sin .cosx x x= bởi góc 2 x ta được sin 2sin .cos 2 2 x x x = . Ví dụ 2. Giải phương trình 2 2 2cos .sin cos sin 2 2 4 4 x x x x π π     = − − −  ÷  ÷     Hướng dẫn: Áp dụng các công thức nhân đôi biến đổi phương trình về dạng cơ bản. - Thay góc x trong công thức sin 2 2sin .cosx x x= bởi góc 2 x , ta được: sin 2sin .cos 2 2 x x x = - Thay góc x trong công thức 2 2 cos2 cos sinx x x= − bởi góc 4 x π   −  ÷   , ta được : 2 2 cos 2 cos sin 2 4 4 x x x π π π       − = − − −  ÷  ÷  ÷       Lời giải ví dụ 2. 2 2 2cos .sin cos sin 2 2 4 4 x x x x π π     = − − −  ÷  ÷     7 sin cos 2 2 x x π   ⇔ = −  ÷   sin sin2x x⇔ = 2 2 2 2 x x k x x k π π π = +  ⇔  = − +  , k ∈Z 2 2 3 3 x k x k π π π =   ⇔  = +  , k ∈Z 2 , 3 3 x k k π π ⇔ = + ∈Z 2. Các bài tập giúp học sinh vừa củng cố kiến thức về công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu có). Các bài tập sau đây giúp học sinh vừa củng cố kiến thức về mỗi công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; dạng bậc nhất đối với sin x và cos x ; dạng thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x . Lưu ý các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức: biến đổi phương trình về dạng cơ bản, tìm nghiệm của phương trình dạng cơ bản rồi so sánh với điều kiện xác định của phương trình, từ đó kết luận nghiệm của phương trình. a) Các bài tập áp dụng công thức cơ bản Bài 1. Giải các phương trình : a) 3 2 cos sin .cos 1x x x+ = (1a) b) 2 2 2sin sin .cos 3cos 2x x x x+ + = (1b) Hướng dẫn: Dùng công thức 2 2 cos sin 1x x+ = , biến đổi phương trình (1a) về dạng cơ bản, phương trình (1b) về dạng tích. Lời giải: a) 3 2 cos sin .cos 1x x x+ = ( ) 2 2 cos cos sin 1x x x ⇔ + = cos 1x⇔ = 2x k π ⇔ = , k ∈Z b) 2 2 2sin sin .cos 3cos 2x x x x+ + = ( ) 2 2 2 2 2sin sin .cos 3cos 2 sin cosx x x x x x⇔ + + = + 2 sin .cos cos 0x x x⇔ + = ( ) cos sin cos 0x x x⇔ + = 8 cos 0 sin cos 0 x x x =  ⇔  + =  cos 0 tan 1,cos 0 x x x =  ⇔  = − ≠  2 , 4 x k k x k π π π π  = +  ⇔ ∈   = − +   ¢ Bài 2. Giải các phương trình : 2 1 tan 3 cos x x + = Hướng dẫn: Dùng công thức 2 2 1 tan 1 cos x x = + , với cos 0x ≠ , biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối với tan x . Lời giải: 2 1 tan 3 cos x x + = ( ) 2 tan 1 tan 3x x⇔ + + = 2 tan tan 2 0x x⇔ + − = tan 1 tan 2 x x =  ⇔  = −  ( ) 4 arctan 2 x k x k π π π  = +  ⇔  = − +   , k ∈Z Nhận xét: Nếu thay 2 1 cos x bằng 2 tan 1x + thì được phương trình tương đương vì không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình. Bài 3. Giải phương trình : 2 1 sin 0 cot 1 x x + = + Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, dùng công thức 2 2 1 cot 1 sin x x + = , với sin 0x ≠ , biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối với sin x , so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình. Lời giải: Điều kiện xác định: sin 0x ≠ . Với điều kiện trên, ta có : (1) 2 sin sin 0x x⇔ + = ⇔ sin 0x = (loại) hoặc sin 1x = − 9 2 , 2 x k k π π ⇔ = − + ∈Z Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 2 , 2 x k k π π = − + ∈Z 10 [...]... củng cố kiến thức về công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải, biết cách so sánh nghiệm với điều kiện xác định của các phương trình chứa ẩn ở mẫu Từ đó, học sinh tự tin hơn khi giải phương trình lượng giác, tránh được kiểu học công thức lượng giác cách máy móc, không đạt hiệu... vào biến đổi phương trình lượng giác Người thực hiện Phạm Thúy Hạnh 24 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Nguyễn Trãi CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập Tự do Hạnh phúc PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI Năm học 2013 2014 Tên đề tài: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Họ và tên tác giả: PHẠM THÚY HẠNH Lĩnh vực: Quản lý giáo dục Tổ Toán Tin học Phương pháp dạy học bộ môn Toán Phương pháp... Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = π + kπ , với k ∈ Z ; 2 x = arctan ( −2 ) + lπ , với l ∈ Z Bài 22 Giải phương trình: cos 4 x − cos 2 x = 6cos x + sin x (22) sin x Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, quy đồng mẫu thức, áp dụng công thức nhân đôi, công thức lượng giác cơ bản đưa về phương trình bậc hai đối với sin 2x , so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình Lời giải: Điều kiện... áp dụng công thức cộng Bài 4 Giải phương trình : π π   3 sin  x + ÷ = cos  x − ÷ 6 6   (4) Hướng dẫn: Dùng các công thức sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b và cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b biến đổi phương trình về dạng cơ bản Lời giải:  3  1 3 1 sin x + cos x ÷ = cos x + sin x (4) ⇔ 3  2 2  2  2 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ Z Bài 5 Giải phương trình: sin 3 x.cos x −... sin 2 x = − 3  2 π , k ∈Z 2 Kết hợp với điều kiện xác định, ta có nghiệm của phương trình (22) là ⇔x=k x= π + kπ , k ∈ Z 2 22 Chú ý : Các cách so sánh họ nghiệm x = k phương trình (22) : π , k ∈ Z với điều kiện xác định của 2 - Cách 1: biểu diễn nghiệm và điều kiện trên đường tròn lượng giác yπ Trên đường tròn lượng giác, họ B.2 π nghiệm x = k , k ∈ Z được biểu 1 2 diễn bởi bốn điểm : A(1;0), A’(-1;0),... l ∈ Z, k ∈ Z ) 2 π Vậy nghiệm của phương trình (22) là: x = k ,với k ≠ 2l , l ∈ Z, k ∈ Z 2 Ta có: k Bài 23 Giải phương trình: cos 4 x − 2cos 2 2 x + cos x = sin x.cot 5 x (23) Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định, nhân hai vế với sin 5x , áp dụng công thức nhân đôi, công thức cộng đưa về phương trình cơ bản, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình Lời giải: Điều kiện xác định: sin 5 x... 2π , k ∈ Z  x = kπ π ⇔ π , k ∈Z ⇔ x = k , k ∈Z x = k 2  2 18 vii) Các bài tập áp dụng nhiều công thức lượng giác π  Bài 17 Giải phương trình: 2cos3 x sin 2 x = cos  x + ÷ 6  Hướng dẫn: Áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng và công thức cộng đưa phương trình về dạng cơ bản Lời giải: π  2cos3 x sin 2 x = cos  x + ÷ 6  3 1 ⇔ sin 5 x − sin x = cos x − sin x 2 2 3 1 ⇔ sin 5 x = cos... 3  Bài 18 Giải phương trình: cos 2 x + 2sin 2 x = 3 ( cos 2 x + sin 2 x ) 2 Hướng dẫn: Áp dụng công thức cơ bản, công thức nhân đôi và công thức hạ bậc đưa phương trình về dạng bậc hai đối với cos x Lời giải: cos 2 x + 2sin 2 x = 3 ( cos 2 x + sin 2 x ) 2 ⇔ 2cos 2 x − 1 + ( 1 − cos x ) = 3.1 ⇔ 2cos 2 x − cos x − 3 = 0 cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z ⇔ cos x = 3  2 19 Bài 19 Giải phương trình:... 2 + kπ , k ∈ Z π  tan  − x ÷+ tan x tan x − 3 6  = Bài 8 Giải phương trình: (8) 1 + 3 tan x 1 − tan  π − x  tan x  ÷ 6  Hướng dẫn: Tìm điều kiện xác định của phương trình, dùng các công thức tan a − tan b tan a + tan b = tan ( a − b ) và = tan ( a + b ) biến đổi 1 + tan a.tan b 1 − tan a.tan b phương trình về dạng cơ bản Lời giải: cos x ≠ 0  Điều kiện xác định :   1 + 3 tan x  ( ) 1... kπ , k ∈ Z (không thỏa điều kiện cos x ≠ 0 ) 2 Vậy phương trình (8) vô nghiệm ⇔x= iii) Các bài tập áp dụng công thức nhân đôi, hạ bậc x x x x 2π Bài 9 Giải phương trình: 2sin cos cos = 2cos  − ÷− 1 (9) 4 4 2  4 2 Hướng dẫn: Áp dụng các công thức nhân đôi 2sin a.cos a = sin 2a và 2cos 2 a − 1 = cos 2a , biến đổi phương trình về dạng cơ bản Lời giải: x x π  (9) ⇔ sin cos = cos  − x ÷ 2 2 2  . định của phương trình. Học sinh thường gặp khó khăn ở ít nhất một trong các bước giải phương trình lượng giác. Vì thế, tôi chọn đề tài Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác để nêu. đổi phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x về dạng bậc nhất đối với sin 2x và cos2x . Vì vậy, việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác chủ yếu là rèn luyện kỹ. thức về công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải, so sánh nghiệm