SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Người thực hiện: Phạm Hữu Danh Lĩnh vực nghiên cứu: Tốn Học Năm học: 2013-2014 BÀI TỐN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: PHẠM HỮU DANH Ngày tháng năm sinh: 01/02/1986 Nam, nữ: Nam Địa chỉ: 177/2 Nguyễn Ái Quốc, phường Tân Biên, Biên Hòa, Đồng Nai Điện thoại: 0904470753 E-mail: phithienlangtu2002@gmail.com Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc Sỹ - Năm nhận bằng: 2013 - Chuyên ngành đào tạo: Toán học III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Tốn học Số năm có kinh nghiệm: - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: “Một số vấn đề lý thuyết chia hết, đồng dư” “Một số ứng dụng lượng giác đại số hình học” “Một số vấn đề phương trình vơ tỉ” BÀI TỐN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh Tên SKKN BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đa thức lớp hàm quan trọng đại số Từ cấp học sinh biết cộng, trừ, nhân, chia hai đa thức Lên cấp em tiếp cận với phương trình đa thức bậc nhất, bậc hai số phương trình bậc cao Các kiến thức giải tích sau giới hạn, đạo hàm, tích phân có liên quan nhiều đến đa thức Phương trình hàm dạng tốn đặc trưng cho chương trình tốn chun trung học phổ thông Trong đề thi học sinh giỏi khu vực, quốc gia, quốc tế có mặt nội dung Các em làm quen với dạng phương trình hàm tập số thực, tập số nguyên, tập hàm số liên tục… Trong phương trình hàm lớp hàm đa thức có tính chất thú vị Chun đề Bài toán xác định đa thức nhằm giúp em học sinh có nhìn sâu phương trình hàm đa thức Tài liệu nói chung khơng phù hợp với em học sinh thơng thường, chương trình phổ thơng đề cập đến đa thức, cịn phương trình hàm khơng có Tuy nhiên tham khảo hữu ích với em học sinh chun tốn Hi vọng tài liệu giúp ích cho thầy em học sinh có điều kiện nghiên cứu sâu phương trình hàm đa thức Dù cố gắng lực có hạn nên chuyên đề chắn tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp, chia sẻ quý thầy cô em II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Những vấn đề ban đầu đa thức đề cập tới từ chương trình cấp Học sinh biết nhân, chia hai đa thức, dùng sơ đồ Hoorne… Tuy nhiên thời lượng có hạn nên số phương pháp hay chưa có điều kiện đề cập tới Chuyên đề viết nhằm giúp độc giả thấy phương pháp để giải phương trình hàm đa thức Các em học sinh lớp 10 chưa tiếp cận với phương trình hàm nói chung tham khảo Tài liệu có nhắc lại số kiến thức đa thức, đồng thời cung cấp nội dung định lý Vi-et cho phương trình bậc cao, tính chất nghiệm đa thức hệ số nguyên Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài Trong chương I, tác giả trình bày định nghĩa tính chất đa thức Qua làm sở cho phần BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh Chương II đề cập đến toán xác định đa thức Tác giả chia làm ba phần: đồng thức biến, đồng thức nhiều biến số toán khác Các phương pháp độc giả tìm thấy so sánh bậc hai vế, dùng tính chất nghiệm đa thức, giá trị đặc biệt… III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Chuyên đề áp dụng việc giảng dạy cho học sinh khối 10 đội tuyển học sinh giỏi Đây cẩm nang để em tra cứu cần thiết, qua phát triển thêm tư tốn học Đối với học sinh lớp 11, 12 xem thêm liên quan đến đạo hàm hay liên tục Nội dung truyền đạt tới học sinh khoảng 10 tiết Các tập trình bày chi tiết tiến trình lên lớp số luyện tập để học sinh nghiên cứu nhà Sau thực sáng kiến kinh nghiệm này, học sinh có nhìn sâu đa thức phương trình hàm Các em biết thêm phương pháp hay áp dụng trường hợp cụ thể IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề tài áp dụng cho học sinh giỏi toán Giáo viên sử dụng chuyên đề độc lập với chuyên đề đa thức hay phương trình hàm Tốt giáo viên nên dạy học sinh chuyên đề đa thức, sau lồng tốn xác định đa thức vào chương cuối Chương trình dạy cho học sinh lớp 10 V TÀI LIỆU THAM KHẢO Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học sở, Đa thức – Phan Huy Khải – Nhà xuất giáo dục Việt Nam – 2009 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông, Đa thức đại số Phân thức hữu tỉ – Nguyễn Văn Mậu - NXB Giáo Dục - 2006 Chuyên khảo Phương trình hàm - Nguyễn Tài Chung, Lê Hồnh Phị – NXB Đại học quốc gia Hà Nội – 2013 Tuyển tập Đề thi Olympic 30/4 - NXB Đại Học Sư Phạm – 2009, 2010, 2011, 2012 NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên ghi rõ họ tên) BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc , ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Họ tên tác giả: Chức vụ: Đơn vị: Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học môn: - Phương pháp giáo dục - Lĩnh vực khác: Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị Trong Ngành Tính (Đánh dấu X vào ô đây) - Có giải pháp hồn tồn - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Hoàn toàn triển khai áp dụng tồn ngành có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng tồn ngành có hiệu cao - Hồn tồn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu Khả áp dụng (Đánh dấu X vào dịng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt Khá Đạt - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt Khá Đạt - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt Phiếu đánh dấu X đầy đủ ô tương ứng, có ký tên xác nhận người có thẩm quyền, đóng dấu đơn vị đóng kèm cuối sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên ghi rõ họ tên) (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu) BÀI TỐN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN I Các Định Nghĩa Cho K tập hợp số ( K = ℤ, ℚ, ℝ ) Đa thức (trên K) bậc n biến x biểu thức có dạng P ( x ) = an x n + an−1 x n −1 + + a1 x + a0 ( an ≠ ) Trong đó: • a0 , a1 , , an −1 , an ∈ K gọi hệ số • an gọi hệ số bậc cao nhất, a0 hệ số tự • n gọi bậc đa thức, kí hiệu n=degP(x) Nếu a0 ≠ 0, = 0; ∀i ∈1, n degP(x)=0 Nếu = 0; ∀i ∈ 0, n , P ( x ) ≡ gọi đa thức không, ta không định nghĩa bậc Tập hợp tất đa thức K kí hiệu K[x] Ta có ℤ [ x ] , ℚ [ x ] , ℝ [ x ] tập hợp đa thức hệ số nguyên, hệ số hữu tỉ, hệ số thực Về bản, ta xét đa thức hệ số thực (nếu tốn khơng có thích thêm) Số x0 gọi nghiệm đa thức P(x) P ( x0 ) = II Các Tính Chất Cơ Bản Bậc đa thức Cho hai đa thức P(x), Q(x) có bậc m, n a) Đặt R(x)=P(x)+Q(x) R(x) đa thức có bậc thỏa deg R ( x ) ≤ max {m, n} Trong trường hợp m ≠ n , ta có deg R ( x ) = max {m, n} b) Đặt T(x)=P(x)Q(x) T(x) đa thức có bậc degT ( x ) = m + n c) Đặt S(x)=P[Q(x)] S(x) đa thức có bậc deg S ( x ) = mn Phép chia hai đa thức a) Định lý phép chia đa thức: Cho hai đa thức P(x) Q(x) (khác đa thức không) Tồn hai đa thức T(x) R(x) cho P ( x ) = Q ( x ) T ( x ) + R ( x ) ;deg R ( x ) < deg Q ( x ) T(x) gọi thương, R(x) gọi dư phép chia P(x) cho Q(x) Nếu R ( x ) ≡ ta nói đa thức P(x) chia hết cho Q(x) (hay đa thức Q(x) ước P(x)) b) Định lý thương phép chia hết đa thức: Cho hai đa thức P ( x ) , Q ( x ) ∈ ℚ [ x ] Nếu P(x) chia hết cho Q(x) đa thức thương T ( x ) ∈ ℚ[ x] BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh *Chú ý: • Hiển nhiên định lý thay Q [ x ] ℝ [ x ] • Trong trường hợp P ( x ) , Q ( x ) ∈ ℤ [ x ] , ta cần thêm điều kiện hệ số bậc cao Q(x) -1 để thương phép chia hết P(x) cho Q(x) T ( x ) ∈ ℤ [ x ] Nghiệm đa thức a) Định lý Bezout: Khi chia đa thức P(x) cho x-c, ta phần dư P(c) Đặc biệt, P(x) chia hết cho x-c c nghiệm đa thức P(x) b) Sơ đồ Horner: Cho P ( x ) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 ; an ≠ Giả sử đa thức thương chia P(x) cho (x-c) Q ( x ) = bn x n −1 + bn −1 x n − + + b2 x + b1 Các hệ số bi xác định sau: bn = an b = b c + a n −1  n −1 n  bn − = bn −1c + an −   b1 = b2c + a1  đồng thời P ( c ) = b1c + a0 c) Hệ quả: • Mọi đa thức bậc n có khơng q n nghiệm • Nếu đa thức bậc khơng q mà có n+1 nghiệm đa thức khơng • Nếu hai đa thức bậc không n lại lấy giá trị n+1 điểm khác hai đa thức đồng • Nếu P(x) đa thức đồng thời hàm số tuần hồn P(x) đa thức d) Định lý Vi-et: Giả sử đa thức P ( x ) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 ; an ≠ có nghiệm x1 , x2 , , xn Khi a  x1 + x2 + + xn = − n−1  an  an−   x1 x2 + x1 x3 + + x1 xn + x2 x3 + + x2 xn + + xn−1 xn = an    n a  x1 x2 xn = ( −1)  an  BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh III Đa Thức Hệ Số Nguyên Định lý (nghiệm hữu tỉ đa thức hệ số nguyên) Cho đa thức P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 ∈ ℤ, ∀i, an ≠ Nếu r ; ( r , s ) = nghiệm hữu tỉ P(x) r | a0 , s | an s Nhận xét a) Trong trường hợp an = , nghiệm hữu tỉ đa thức (nếu có) nghiệm ngun b) Mọi phương trình hệ số hữu tỉ đưa phương trình hệ số nguyên (chỉ cần quy đồng khử mẫu) c) Một phương trình hệ số nguyên đưa phương trình hệ số ngun với hệ số bậc cao an=1 cách đặt ẩn phụ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh CHƯƠNG II: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC I Đồng Nhất Thức Một Biến Để xác định đa thức thỏa mãn đồng thức, ta dùng đến kĩ thuật sau: So sánh bậc đa thức hai vế Cân hệ số đặc biệt hai vế, chẳng hạn hệ số bậc cao hệ số tự Thay giá trị đặc biệt x vào đồng thức Tìm nghiệm x0 P(x) P ( x ) = ( x − x0 ) Q ( x ) Đa thức bậc n có khơng q n nghiệm thực Nếu P(x) có vơ số nghiệm P ( x) ≡ Biến đổi ẩn số Biến đổi ẩn số phương pháp hay dùng phương trình hàm nói chung tốn xác định đa thức nói riêng Thơng thường ta biểu diễn đa thức ban đầu theo đa thức khác có tính chất đặc biệt • Nếu đa thức P(x) có nghiệm x0 P ( x ) = ( x − x0 ) Q ( x ) ,deg Q < deg P • Nếu đa thức P(x) hàm số tuần hồn P(x) đa thức Bài 1: Tìm tất đa thức hệ số thực P(x) thỏa P ( x + ) = P ( x ) + 70 Giải Đặt P ( x ) = Q ( x ) + 35 x; Q ( x ) ∈ ℝ [ x ] Thay vào đồng thức ban đầu: 35 ( x + ) + Q ( x + ) = 35 x + Q ( x ) + 70 ⇔ Q ( x + ) = Q ( x ) Do Q(x) hàm số tuần hồn, suy Q(x)=c, với c số Lúc P(x)=35x+c Dễ thấy P(x) thỏa toán Vậy P(x)=35x+c, c số *Nhận xét: a) Ở ta đặt P ( x ) = Q ( x ) + 35 x để đưa đa thức Q(x) tuần hoàn b) Có thể giải tốn sau P ( x + ) = P ( x ) + 70 Lần lượt cho x=0, 2, 4, , 2n ta được: P ( ) = P ( ) + 70 P ( ) = P ( ) + 70 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh P ( ) = P ( ) + 70 P ( 2n ) = P ( 2n − ) + 70 Cộng tất lại: P ( 2n ) = P ( ) + 70n Suy P ( n ) = 35n + c; ∀n ∈ ℕ* , với c số Do đa thức P ( x ) − 35 x − c có vô số nghiệm nên P ( x ) − 35 x − c ≡ Vậy P(x) =35x+c Bài 2: Tìm tất đa thức P(x) thỏa đồng thức ( x − 1) P ( x + 1) − ( x + ) P ( x ) ≡ Giải Cho x=1: 3P (1) = ⇔ P (1) = Cho x=0: P ( ) = ⇔ P ( ) = Cho x=-2: P ( ) = P(x) nhận 0; 1; -1 nghiệm nên P ( x ) = ( x3 − x ) Q ( x ) Thay vào đồng thức, ta được: ( x − 1) ( x3 + 3x + x ) Q ( x + 1) − ( x + ) ( x3 − x ) Q ( x ) ≡ Rút gọn, ta có Q ( x + 1) = Q ( x ) ; ∀x Do Q ( x ) ≡ a ( const ) Vậy P ( x ) = a ( x3 − x ) , thử lại thấy thỏa *Nhận xét: Ở ta thay x giá trị đặc biệt để tìm nghiệm P(x) Từ có biểu diễn P ( x ) = ( x3 − x ) Q ( x ) với Q(x) đa thức tuần hoàn Bài 3: Tìm đa thức P ( x ) ∈ ℝ [ x ] thỏa xP ( x − ) = ( x − 2015 ) P ( x ) Giải Lần lượt thay x 2015, 2011, , 2015-4n với n số nguyên, ta thấy 2011, 2007, , 2015-4(n+1) nghiệm P(x) Điều chứng tỏ P(x) có vơ số nghiệm Vậy P ( x ) ≡ *Nhận xét: a) Ta thấy kĩ thuật tương tự Tuy nhiên đa thức P(x) có vơ số nghiệm 10 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh b) Nếu ta thay số 2015 giả thiết 2016 nghiệm tốn đa thức P(x) khác khơng Bài 4: Tìm đa thức P(x) thỏa đẳng thức sau với x: (x + x + 3x + ) P ( x − 1) = ( x3 − x + 3x − ) P ( x ) Giải Đẳng thức viết lại thành: ( x + ) ( x + x + 1) P ( x − 1) = ( x − ) ( x − x + 1) P ( x ) (*) Thay x giá trị: x = −2 ⇒ P ( −2 ) = x = −1 ⇒ P ( −1) = x = ⇒ P (0) = x = ⇒ P (1) = P(x) có bốn nghiệm -2; -1; 0; nên viết dạng: P ( x ) = x ( x − 1)( x + 1)( x + ) Q ( x ) Thay vào (*), ta được: (x + x + 1) Q ( x − 1) = ( x − x + 1) Q ( x ) Q ( x − 1) Q ( x) = 2 x − x +1 x + x +1 Q ( x − 1) Q ( x) ⇔ = 2 ( x − 1) + ( x − 1) + x + x + ⇔ Q ( x) R ( x − 1) = R ( x ) ; ∀x ≠ −2; −1;0;1 x + x +1 R(x) đa thức tuần hoàn nên Đặt R ( x ) = R ( x ) = C ( const ) ⇒ Q ( x ) = C ( x + x + 1) ⇒ P ( x ) = Cx ( x − 1)( x + 1)( x + ) ( x + x + 1) Thử lại, ta thấy P(x) thỏa toán Vậy P ( x ) = Cx ( x − 1)( x + 1)( x + ) ( x + x + 1) , với C số tùy ý *Nhận xét: Bài kết hợp Trong có việc tìm nghiệm P(x) xây dựng hàm số tuần hoàn So sánh bậc hệ số đặc biệt Đa thức lớp hàm đặc biệt, khác biệt với lớp hàm khác chúng có bậc Ngồi chúng cịn có hệ số, ứng với lũy thừa biến Hiển nhiên có nhận xét sau • Hai đa thức đồng có bậc 11 BÀI TỐN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh • Các hệ số tương ứng chúng (thường ta sử dụng hệ số bậc cao hệ số tự do) Bài 5: Tìm tất đa thức P(x) cho P ( P ( x ) + x ) = P ( x ) P ( x + 1) ; ∀x ∈ ℝ Giải n = Gọi n=degP(x) So sánh bậc hai vế đồng thức, ta có: n = 2n ⇔  n = C = Nếu n=0: P(x)=C(const) Thay vào C = C ⇔  C = Do P ( x ) ≡ 0, P ( x ) ≡ thỏa toán Nếu n=2: Giả sử P ( x ) = ax + bx + c, a ≠ So sánh hệ số x2 hai vế: a = a ⇔ a = Ta chứng minh đa thức dạng P ( x ) = x + bx + c; b, c ∈ ℝ thỏa P ( x ) P ( x + 1) = P ( x ) ( x + x + + bx + b + c ) = P ( x ) ( P ( x ) + x + b + 1) =  P ( x )  + xP ( x ) + bP ( x ) + P ( x )   = P ( x ) + x + b  P ( x ) + x + c     = P ( P ( x) + x) Các đa thức thỏa: P ( x ) ≡ 0, P ( x ) ≡ 1, P ( x ) = x + bx + c *Nhận xét: a) Đầu tiên ta so sánh bậc hai vế để tìm bậc n P(x) b) Khi n có giá trị xác định ta biểu diễn P(x) theo tham số, P ( x ) = x + bx + c Đến ta thay vào đẳng thức ban đầu để đồng hệ số c) Ở ta so sánh hệ số bậc cao Bài toán so sánh hệ số khác Bài 6: Tìm đa thức khác khơng thỏa P ( x ) =  P ( x )  ; ∀x   Giải Đặt P ( x ) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 ; an ≠ Giả sử hệ số an −1 , , a1 , a0 khác Gọi k1: Gọi x1 , x2 , ,.xn n nghiệm thực P(x) Theo định lý Vi-ét:  n   ∏ xi  = a0 =  i =1  n ≤ ∑ xi2 = an−1 − 2an− = − 2an −2 i =1 Do ∈ {−1;1} , ∀i nên an-2=-1 n ∑x i =1 i = Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM-GM: n = ∑ xi ≥ n n i =1 n n ∏x i =1 i =1 Suy n ≤ Với n=2: có hai đa thức x + x − 1, x − x − Với n=3: có hai đa thức x3 + x − x − 1, x − x − x + Vậy có 12 đa thức thỏa yêu cầu: ± ( x + 1) , ± ( x − 1) , ± ( x + x − 1) , ± ( x − x − 1) , ± ( x3 + x − x − 1) , ± ( x3 − x − x + 1) *Nhận xét: 22 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh a) Đây tốn tìm đa thức hệ số ngun Đặc biệt hệ số -1 b) Ta tìm đa thức ứng với hệ số cao Các đa thức có hệ số -1 cần đổi dấu đa thức c) Mấu chốt toán chứng minh bậc P(x) khơng vượt q Bài 27: Tìm đa thức bậc dạng P ( x ) = x + bx + c ( b, c > ) cho phương trình P ( x ) = x vơ nghiệm cịn phương trình P  P ( x )  = x có nghiệm   Giải Nhận xét: P ( x ) > 0, P ( − x ) = P ( x ) ; ∀x Q ( x ) = P  P ( x )   có tính chất Q ( − x ) = Q ( x ) ; ∀x nên cần xét x ≥ Đa thức P ( x ) − x = x + ( b − 1) x + c vô nghiệm nên lấy giá trị dương với x P ( x ) > x2 ⇒ P  P ( x ) >  P ( x ) > x     Do phương trình P  P ( x )  = x vô nghiệm   Vậy không tồn đa thức thỏa toán *Nhận xét: Trên ta sử dụng tính chất liên tục hàm đa thức : Nếu đa thức Q(x) khơng có nghiệm thực Q(x) mang giá trị dương âm Bài 28: Tìm đa thức bậc dương thỏa ( x + 1) ( x − 3) P '' ( x ) − ( x + x ) P ' ( x ) + 3P ( x ) = 0; ∀x    P (1) =  Giải Đặt P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 Khi P ' ( x ) = nan x n−1 + ( n − 1) an −1 x n −2 + + a1 P '' ( x ) = n ( n − 1) an x n − + ( n − 1)( n − ) an−1 x n−3 + a2 Thay vào đồng thức quan sát hệ số x n +1 , ta được: n ( n − 1) an − nan = ⇔ n − 2n = ⇔ n = Do P ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) , P ' ( x ) = 2ax + b, P '' ( x ) = 2a Thay vào đồng hệ số, ta được: 3a − b = b = 3a   −6a + 2b = ⇔  c = 2a  −6a + 3c =  23 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh Với P(1)=6, ta tính a=1 Vậy P ( x ) = x + x + *Nhận xét: a) Bài tốn có liên quan đến đạo hàm đa thức, với công thức đơn giản ( x ) = nx n n −1 b) Việc phát bậc P(x) cho phép ta biểu diễn P ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) LUYỆN TẬP Bài 29: Tìm đa thức P(x) thỏa P ( x ) − P ( x ) = x ; ∀x Hướng dẫn • Đặt P ( x ) = ax k + R ( x ) ; a ≠ 0,deg R = r < k Ta có P ( x ) − P ( x ) = ( a − a ) x k + 2ax k R ( x ) + R ( x ) − R ( x ) • Chứng minh k ≤ Đáp số: P ( x ) = x + 1, P ( x ) = x3 + x, P ( x ) = x , P ( x ) = − x Bài 30: Tìm đa thức P(x) thỏa P ( x + y ) P ( x − y ) = P ( x ) − P ( y ) ; ∀x, y Hướng dẫn • Lấy đạo hàm hai vế theo biến x : P '( x + y ) P ( x − y ) + P '( x − y ) P ( x + y ) = 2P ( x ) P ' ( x ) • Trong đẳng thức cho y=x : P ' ( ) P ( x ) = P ( x ) P ' ( x ) • Nếu P’(0)=0 P(x) đa thức không Nếu P ' ( ) ≠ P(x) đa thức bậc Đáp số: P(x)=ax, với a số tùy ý Bài 31: a) Chứng minh: Nếu đa thức Q(x) thỏa Q ( x ) ≡ Q ( x )    Q ( x ) ≡ ∨ Q ( x ) ≡ ∨ Q ( x ) = x n ; n ∈ ℕ* b) Tìm đa thức P(x) thỏa P ( x ) + x 3 P ( x ) + P ( − x )  ≡  P ( x )  + x     Hướng dẫn a) Nếu Q(x) thức hằng, dễ dàng chứng minh Q ( x ) ≡ ∨ Q ( x ) ≡ Xét deg Q ( x ) = n ≥ với hệ số bậc cao a Đặt R ( x ) = Q ( x ) − ax n ,deg R ( x ) < n Q ( x ) ≡ Q ( x )  ⇔ ax n + R ( x ) ≡ a x n + 2ax n R ( x ) +  R ( x )      24 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh Ta chứng minh R ( x ) ≡ Q ( x ) = x n b) P ( x ) + x 3 P ( x ) + P ( − x )  ≡  P ( x )  + x     (1) Thay x –x, ta có: P ( x ) − x 3 P ( − x ) + P ( x )  ≡  P ( − x )  + x     (2) Từ (1) (2) suy 4x  P ( x ) + P ( − x )  =  P ( x )  −  P ( − x )        2 Do P ( x ) + P ( − x ) = 0; ∀x P ( x ) − P ( − x ) − x = 0; ∀x Đáp số: P(x) x, x, x + 1, x k +1 + x, x k + x ( k ∈ ℕ* ) Bài 32 : Chứng minh không tồn đa thức f(x) bậc với hệ số hữu tỉ cho f ( x ) = Hướng dẫn Giả sử tồn đa thức f(x) bậc với hệ số hữu tỉ cho f ( x ) = Khi ∃x0 : f ( x0 ) = 2, f ' ( x0 ) = Ta chứng minh x0 có biểu diễn dạng x0 = u + v 2; u, v ∈ ℚ Ta có f ( x ) = f ' ( x ) g ( x ) + h ( x ) ; g ( x ) , h ( x ) ∈ Q [ x ] Vì deg f ' ( x ) = 3, h ( x0 ) = nên ≤ deg h ( x ) ≤ a) Nếu deg h ( x ) = 1: h ( x ) = ax + b; a, b ∈ ℚ b = ax0 + b ⇔ x0 = − + =u+v a a b) Nếu deg h ( x ) = ta lại có biểu diễn f ' ( x ) = h ( x ) k ( x ) + r ( x ) ; k ( x ) , r ( x ) ∈ ℚ[ x] k ( x ) = ax + b, r ( x ) = cx + d ; a, b, c, d ∈ ℚ Khi đó: f ' ( x0 ) = h ( x0 ) k ( x0 ) + r ( x0 ) ⇒ = ( ax0 + b ) + cx0 + d −b + d =u+v a +c Ta có nhận xét: với f(x) đa thức hệ số hữu tỉ, u, v số hữu tỉ Từ tính x0 = ( ) ( ) f u +v = A+ B ⇒ f u −v = A− B ( ) ( ) Bây f ( x0 ) = f u + v = dẫn đến f u − v = − Nhưng điều trái với giả thiết f ( x ) = 25 ... đại số hình học” “Một số vấn đề phương trình vơ tỉ” BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh Tên SKKN BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đa thức lớp hàm quan trọng đại số... an=1 cách đặt ẩn phụ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Giáo viên: Phạm Hữu Danh CHƯƠNG II: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC I Đồng Nhất Thức Một Biến Để xác định đa thức thỏa mãn đồng thức, ta dùng đến kĩ thuật... giải phương trình an = n Sử dụng tính chất nghiệm đa thức Nghiệm đa thức có số tính chất đặc biệt: • Đa thức bậc n có tối đa n nghiệm • Nếu số nghiệm đa thức lớn bậc đa thức khơng • Mọi đa thức