Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi ÁP DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông có tác dụng phát triển tư duy hàm cho học sinh. Đó là một phương thức tư duy đòi hỏi phải biết nhận thức các đối tượng toán học trong sự chuyển động, thay đổi, phụ thuộc lẫn nhau và biết sự dụng các quan hệ nhân quả ấy. Hơn nữa, học sinh được học phép biến hình với những điểm, những hình, liên hệ giữa ảnh và tạo ảnh, nghiên cứu các quan hệ biến thiên trong mối liên hệ nhân quả, nghiên cứu hình học trong trạng thái động. Điều đó góp phần bồi dưỡng quan điểm duy vật biện chứng cho học sinh. Các phép biến hình còn mang lại một công cụ hiệu quả để giải quyết bài toán, đặc biệt là loại toán dựng hình, tìm quỹ tích. Kiến thức về phép biến hình cần thiết cho nhiều hoạt động thực tế cũng như cho một số ngành khoa học khác như hội họa, kiến trúc và các ngành kĩ thuật. II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận: Lịch sử hình thành khái niệm phép biến hình gắn liền với những giai đoạn khác nhau của sự tiến triển trong quan niệm về các đối tượng hình học. Như chúng ta đã biết, lí thuyết nhóm ra đời từ những nghiên cứu của Galois(1811-1832) về vấn đề giải các phương trình đại số. Với khái niệm nhóm, Galois đã phân loại các phương trình đại số và thiết lập nên những điều kiện để chúng có thể giải được bằng căn thức. Chính từ công trình của Galois mà nhà toán Đức Felix Klein (1849-1925) đã nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm các phép biến hình. Trong tác phẩm “chương trình Erlangen” xuất bản năm 1872 ông đã trình bày mỗi nhóm biến hình trong hình học gắn liền với hình học của nhóm đó. Ở bậc trung học cơ sở học sinh đã học các phép biến hình: đối xứng trục, đối xứng tâm, tuy nhiên chương trình không giới thiệu các phép đối xứng trục, đối xứng tâm như các phép biến hình mà chỉ được giới thiệu gắn với một số hình hình học: hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, đường tròn, ở bậc trung học cơ sở biến hình không phải 1 Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi là kiến thức trọng tâm, chưa được xem là công cụ giải toán. Ở bậc trung học phổ thông, các phép biến hình trong mặt phẳng được trình bày ở lớp 11 gồm: các phép dời hình (phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến), các phép biến hình đồng dạng (phép vị tự, phép đồng dạng) với những định hướng chính: loại những kiến thức không cơ bản, giảm những yếu tố kinh viện, học thuật và tăng cường yếu tố thực hành, bỏ qua những chứng minh phức tạp, phương pháp tiếp cận khái niệm đơn giản hơn, không dùng thuật ngữ biến hình định nghĩa khái niệm mà sử dụng các thuật ngữ như ”phép đặt tương ứng, quy tắc…” Khi nghiên cứu tính chất của phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, quay, vị tự, đồng dạng cần phải hình thành cho học sinh một số tri thức về phương pháp để ứng dụng vào giải toán. Trong quá trình giải bài tập cần củng cố những tri thức đó, đúc kết thành những phương pháp chung cho từng lớp bài toán. Chẳng hạn: - Muốn chứng minh sự bằng nhau của hai hình, thì có thể tìm một phép dời biến hình này thành hình kia. Nếu chỉ cần chứng minh hai góc bằng nhau thì có thể nghĩ đến cả phép đồng dạng. - Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng có thể chứng minh chúng là ảnh của ba điểm thẳng hàng đã biết qua một phép biến hình nào đó, hoặc chứng minh có một điểm là ảnh của điểm thứ hai qua một phép vị tự (mà đối xứng tâm được xem là trường hợp đặc biệt) nhận điểm thứ ba làm tâm. - Muốn chứng minh sự đồng quy của ba đường thẳng có thể tìm một phép biến hình thích hợp nhận chúng làm ảnh của các đường thẳng đồng quy đã biết hoặc tìm một phép vị tự có ba cặp điểm tạo ảnh -ảnh thuộc ba đường thẳng đang xét. - Muốn chứng minh sự song song của hai đường thẳng có thể tìm một phép tịnh tiến hay phép vị tự biến đường thẳng này thành đường thẳng kia. - Muốn tìm tập hợp các điểm M có tính chất nào đó ta tìm mối quan hệ ảnh- tạo ảnh qua một phép biến hình giữa M với điểm A nào đó mà tập hợp các điểm A đã biết (hoặc dễ tìm hơn). Tập hợp các điểm M sẽ là ảnh của tập hợp các điểm A qua phép biến hình đã chọn. 2 Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi - Để dựng hình H có thể dựng hình H’ thỏa mãn các điều kiện của bài toán, trừ một điều kiện nào đó, rồi tìm phép biến hình biến hình H’ thành một hình H thỏa mãn thêm điều kiện này. Khi giải một bài toán bằng công cụ biến hình thì khâu khó nhất là lựa chọn phép biến hình có thể sử dụng. Chính ở khâu này ta có thể rèn luyện tư duy logic và tư duy hàm cho học sinh. Xuất phát từ giả thiết đã cho và yêu cầu của bài toán, ta hướng dẫn học sinh tìm cách trả lời cho các câu hỏi: những yến tố nào có thể là ảnh và tạo ảnh của nhau qua một phép biến hình nào đó, phép biến hình ấy có những bất biến gì, trong bài toán cần giải các bất biến ấy được thể hiện ra sao, chúng có quan hệ thế nào với điều cần giải quyết? Những câu hỏi đó sẽ giúp học sinh tìm ra phép biến hình có thể sử dụng để giải toán. 2. Nội dung: Ở dây ta chỉ xét những phép biến hình được nghiên cứu ở trường phổ thông: phép dời hình và phép đồng dạng. 2.1. Định nghĩa phép dời hình Quy tắc đặt tương ứng một điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì 2.2.Tính chất của phép dời hình - Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm: AB=A’B’ với mọi điểm A,B (A’,B’ là ảnh của A,B) - Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm trên một đường thẳng. Biến đường thẳng d thành đường d’ song song hoặc trùng với nó. - Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’, A’B’=AB, biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’: ' ' 'ABC A B C ∆ = ∆ - Biến đường tròn (O, r) thành đường tròn (O’, r) với O’ là ảnh của O qua phép biến hình. - Biến hình H thành hình H’ bằng nó - Biến góc thành góc bằng nó 2.3.Các phép dời hình trong mặt phẳng 3 Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi a) Phép đối xứng trục:Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’, được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d. Kí hiệu Đ d , d gọi là trục đối xứng - Biểu thức tọa độ: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho Ox trùng với đường thẳng d. ( ) ( , )' ' ' d M Đ M x y== với M(x,y) ta có ' ' x x y y =   = −  b) Phép đối xứng tâm : Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I. Kí hiệu Đ I , I gọi là tâm đối xứng - Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ O : Trong hệ tọa độ Oxy cho M=(x ; y), ( ) ( ; )' ' ' O M Đ M x y== . Khi đó : ' ' x x y y = −   = −  c) Phép tịnh tiến : - Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ v r . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho 'MM v= uuuuur r được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v r - Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ( ; )v a b= r , ' ( ) ( '; ') v M T M x y= = r với M(x;y). Khi đó ' ' ' x x a MM v y y b = +  = ⇔  = +  uuuuur r d) Phép quay: - Cho điểm O và góc lượng giác α . Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho OM’=OM và góc lượng giác (OM; OM’) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α 2.4.Khái niệm hai hình bằng nhau Hai hình gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. 2.5.Định nghĩa phép đồng dạng: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu với hai điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có:M’N’=kMN 4 Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi 2.6.Tính chất: - Bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa hai điểm. - Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm trên một đường thẳng. Biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song hoặc trùng với d. - Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’, A’B’=kAB - Biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’: ' ' 'ABC A B C ∆ ∆ ∽ - Biến đường tròn (O, r) thành (O’, kr) với O’ là ảnh của O - Biến hình H thành hình H’ ,H’∽H -Biến góc thành góc bằng nó 2.7. Phép vị tự: Cho điểm O và số 0k ≠ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho ' .OM k OM= uuuuur uuuur được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k 3. Sử dụng phép biến hình để giải các bài toán hình học 3.1. Xác định ảnh của một hình qua phép biến hình Phương pháp chung - Sử dụng định nghĩa - Sử dụng biểu thức tọa độ của phép biến hình - Sử dụng các tính chất của phép biến hình Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng '∆ là ảnh của đường thẳng : 2 3 0x y∆ + − = qua mỗi phép biến hình sau: a) Phép tịnh tiến theo vectơ (3; 2)v = − r b) Phép đối xứng tâm I với (2; 1)I − c) Phép đối xứng trục d với : 3 0d x y− − = Giải: a) Cách 1: '∆ là ảnh của ∆ qua phép tịnh tiến vectơ (3; 2)v = − r nên phương trình '∆ có dạng 2 0x y c+ + = .Lấy (1;1)M ∈∆ .Gọi M’(x;y) là ảnh của M qua v T r , khi đó 1 3 4 ' 1 2 1 x x MM v y y − = =   = ⇔ ⇔   − = = −   uuuuur r Vậy '(4; 1), '(4; 1) 'M M− − ∈∆ nên 2c = − .Vậy ': 2 2 0x y∆ + − = Cách 2: Gọi '( '; ')M x y là ảnh của ( ; )M x y qua v T r . Khi đó ' 3 ' 3 ' (*) ' 2 ' 2 x x x x MM v y y y y = + = −   = ⇔ ⇔   = − = +   uuuuur r Thay (*) vào phương trình của ∆ ta được ' 3 2( ' 2) 3 0 ' 2 ' 2 0x y x y− + + − = ⇔ + − = Vậy phương trình đường thẳng ': 2 2 0∆ + − =x y 5 Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi Cách 3:Lấy hai điểm A, B phân biệt trên đường thẳng ∆ , ta tìm tọa độ các ảnh A’, B’ tương ứng của chúng qua v T r , khi đó '∆ là đường thẳng A’B’ b) '∆ là ảnh của ∆ qua Đ I nên phương trình '∆ có dạng 2 0x y c+ + = . Lấy (1;1)M ∈∆ .Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua Đ I , khi đó ' 1 2 ' 3 2 ' 1 ' 3 1 2 x x y y +  =  =   ⇔   + = −   − =   Vậy '(3; 3)−M . ' 'M ∈∆ nên 3 2( 3) 0 3c c+ − + = ⇔ = Vậy phương trình ': 2 3 0x y∆ + + = c) Ta có ∆ cắt d tại (3;0)I .Lấy (1;1)M ∈∆ .Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d ta có : 0, 1 1 0 2⊥ ⇒ + + = ∈ ⇔ + + = ⇒ = −MH d MH x y c M MH c c Vậy phương trình : 2 0MH x y+ − = . Khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ: 5 3 0 2 2 0 1 2 x x y x y y  =  − − =   ⇔   + − = −   =   . Vậy 5 1 ( ; ) 2 2 H − Gọi M 1 là điểm đối xứng của M qua d, suy ra H là trung điểm MM 1 1 (4; 2)M⇒ − Đường thẳng '∆ đi qua (3;0)I và 1 (4; 2)M − có phương trình 2x 6 0y+ − = Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( )C có phương trình: 2 2 2x 2 2 0x y y+ − − − = . Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 45 0 và phép vị tự tâm O tỉ số 2k = Giải: Đường tròn (C) có tâm (1;1)I , bán kính 2R = Gọi I 1 là ảnh của I qua phép quay tâm O, góc quay 45 0 thì 1 (0; 2)I Gọi 'I là ảnh của I 1 qua phép vị tự tâm O, tỉ số 2k = khi đó 1 ' 2 '(0;2)= ⇒ uuur uur OI OI I Do đó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay 45 0 và phép vị tự tâm O tỉ số 2k = thì I có ảnh là '(0;2)I Gọi ( ')C là ảnh của ( )C qua phép đồng dạng nói trên thì ( ')C có tâm 'I và bán kính ' 2 2R k R= = . Vậy phương trình 2 2 ( ') : ( 2) 8+ − =C x y Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 5x 3 15 0y− + = .Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O, góc quay 90 0 Giải : Cách 1: Phép quay tâm O, góc quay 90 0 biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ có phương trình 3x 5 0y c+ + = . Lấy (0;5)M d∈ .Khi đó đường thẳng d’ đi qua ảnh '( 5;0)M − của M qua 0 ( ;90 )O Q ' ' 3( 5) 5.0 0 15M d c c∈ ⇒ − + + = ⇔ = . Vậy phương trình d ': 3x 5 15 0y+ + = Cách 2: Đường thẳng d qua (0;5), ( 3;0)A B − . 0 0 ( ;90 ) ( ;90 ) ( ) '( 5;0); ( ) '(0; 3) O O Q A A Q B B= − = − Đường thẳng d’ là đường thẳng A' 'B có phương trình 3x 5 15 0y+ + = 6 Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x+ 4 0y − = . Hãy viết phương trình đường thẳng d 1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm I (-1;2), tỷ số 2k = − Giải Cách 1: d 1 là ảnh của d qua ( ; 2)I V − nên phương trình đường thẳng d 1 có dạng 2x 0y c+ + = . Lấy A(0;4) d∈ . Gọi ( ; 2) '( '; ') ( ) − = I A x y V A ta có : ' 3 ' 2 ' 2 x IA IA y = −  = − ⇔  = −  uuur uur Vậy A'( 3; 2)− − Do 1 A'( 3; 2) 2( 3) 2 0 8− − ∈ ⇒ − − + = ⇒ =d c c Vậy 1 d : 2x 8 0y+ + = Cách 2 : Gọi '( '; ')M x y là ảnh của ( ; )M x y qua ( ; 2)I V − ta có ' 3 ' 1 2( 1) 2 ' 2 ' 2 2( 2) ' 6 2 x x x x IM IM y y y y +  = −  + = − +   = − ⇔ ⇔   − = − − −   = −   uuuur uuur Điểm M thuộc d nên ' 3 ' 6 2 4 0 2x ' ' 8 0 2 2 x y y + −   − − − = ⇔ + + =  ÷   Vậy 1 d : 2x 8 0+ + =y Cách 3 : Lấy M, N bất kỳ trên d. Tìm ảnh của M’, N’ qua phép vị tự tâm I, tỷ số -2. Khi đó d’ là đường thẳng M’N’ 3.2 Sử dụng phép biến hình để giải các bài toán quỹ tích Giả sử cần tìm quỹ tích những điểm M có tính chất α . Từ các dữ kiện của bài toán ta cần xem xét điểm M là ảnh của một điểm chuyển động N nào đó qua một phép biến hình f (M= f (N)). Nếu N thuộc vào một hình H thì 'M H∈ là ảnh của H qua phép biến hình đó. Sử dụng phép biến hình giải bài toán quỹ tích cần chú ý hướng dẫn học sinh lựa chọn các phép biến hình. Phép biến hình được sử dụng để giải toán quỹ tích khi trong giả thiết của bài toán quỹ tích điểm cần tìm thuộc vào điểm chuyển động trên một tập hợp xác định. BÀI TẬP ÁP DỤNG 7 Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi Bài 1: Cho nửa đường tròn (O, R), đường kính AB cố định. Điểm C di động trên nửa đường tròn. Dựng về phía ngoài đường tròn (O, R) hình vuông BCDE. Tìm quỹ tích điểm E Giải Vì BCDE là hình vuông nên BC=BE, µ 0 90B = Xét phép quay 0 ( ; 90 )B Q − : B Ba C Ea Mà » C AB∈ do đó ¼ 'E A B∈ là ảnh của » AB qua 0 ( ; 90 )B Q − Bài 2: Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên đường tròn đó. Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D. Giải Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho AM=AB=AD Khi đó, ta có 2 2 AM AB AC AC = = Ngoài ra, ( ) ( ) 0 0 , 45 , , 45AM AB AM AD= = − Suy ra phép vị tự V tâm A, tỉ số 2 2 k = biến điểm C thành điểm M và phép quay Q tâm A, góc quay 45 0 biến điểm M thành điểm B. Vậy nếu gọi F là phép hợp thành của V và Q thì F biến C thành B. Vì quỹ tích của điểm C là đường tròn (O), nên quỹ tích của B là ảnh của đường tròn đó qua phép đồng dạng F. Đường tròn quỹ tích B có thể xác định như sau: Gọi AR là đường kính của đường tròn (O) và PQ là đường kính của đường tròn (O) vuông góc với AR(ta kí hiệu các điểm P,Q sao cho (AR,AP)=45 0 ). Khi đó ta thấy phép đồng dạng F biến AR thành AP. Vậy quỹ tích điểm B là đường tròn đường kính AP. Tương tự ta có quỹ tích điểm D là đường tròn đường kính AQ. Bài 3: Cho hai đường tròn (O,R) và (O’, R’) (R>R’) tiếp xúc trong tại A. Đường kính AB của (O) cắt (O’) tại điểm C khác A. Đường thẳng d di động qua A cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N. Tìm tập hợp các giao điểm I của CM và BN Giải 8 Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi Ta có · · 0 90ANC AMB= = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên CN//MB ' ' ' IC NC AC R CI R k IM MB AB R CM R R ⇒ = = = ⇒ = = + (không đổi) Vì ,CM CI uuuur uur cùng hướng nên CI kCM= uur uuuur . Vậy I là ảnh của M qua phép vị tự tâm C, tỉ số ' ' R k R R = + . Ta lại có tập hợp điểm M là đường tròn (O) (bỏ điểm A), nên tập hợp điểm I là đường tròn (O 1 ) là ảnh của (O) qua ( ) ;C k V , bỏ đi điểm ( ; ) ' ( ) C k A V A= Bài 4:Cho hai điểm M và N chuyển động trên đường thẳng chứa cạnh AB của tam giác ABC sao cho MN=AB, tia MN và tia AB cùng chiều. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M lên BC và của N lên CA. Gọi S là trung điểm của AN và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE. Chứng minh rằng a/ OS có độ dài không đổi b/ O thuộc một đường thẳng cố định Giải Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Ta có MN AB MB BN AM MB BN AM v= ⇒ + = + ⇒ = = uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur r Xét phép tịnh tiến v T r , ta có: : v T A M r a B Na Mà AH//MD, BH//NE nên v T r biến đường thẳng AH thành MD, biến BH thành NE. Do đó v T r biến H thành giao điểm K của MD và NE. Vậy HK v AM MK AH= = ⇒ = uuur r uuuur uuuur uuur Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE có đường kính CK nên có tâm O là trung điểm của đoạn CK. Mà S là trung điểm của AN nên cũng là trung điểm của BM. Vậy ( ) ( ) 1 1 2 2 SO BC MK BC AH= + = + uuur uuur uuuur uuur uuur không đổi. Do đó SO có độ dài không đổi. Đặt 9 Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi ( ) 1 2 w BC AH= + ur uuur uuur . O là ảnh của S qua phép tịnh tiến w T ur . Do đó O thuộc đường thẳng ∆ cố định là ảnh của AB qua w T ur Bài 5: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác khi đỉnh A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Có thể hướng dẫn học sinh giải bằng những câu hỏi như: H thuộc ba đường cao của tam giác vậy H có quan hệ gì với các đỉnh của tam giác ABC? B,C cố định nên vị trí của H phụ thuộc vào vị trí của A. Quỹ tích của điểm A đã biết(là đường tròn tâm O). Vậy để giải bài toán cần phải tìm mối liên hệ ảnh-tạo ảnh giữa H và A. H và A có thể liên hệ với nhau qua phép biến hình nào? Đối với bài tập này, ta có các cách giải sau - Sử dụng phép đối xứng trục Gọi H’ là giao điểm của AH với đường tròn ngoại tiếp ABC ∆ Ta có µ µ 1 1 A C= (cùng phụ với góc B) µ ¶ 1 2 A C= (cùng chắn cung ¼ 'BH ) ⇒ µ ¶ 1 2 C C= Từ đây suy ra H là ảnh của H’ qua phép đối xứng trục BC. Khi A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp ABC ∆ thì H’ cũng di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp ABC∆ . Suy ra tập hợp các điểm H là đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) ngoại tiếp ABC∆ qua phép đối xứng trục BC. Từ những yếu tố cố định đã cho có thể tìm thêm những yếu tố cố định nào khác để tìm mối liên hệ giữa A và H? Trả lời cho câu hỏi này sẽ dẫn đến chỗ kẻ các đường kính BB’ (hoặc CC’), AA’ và lấy trung điểm I của đoạn thẳng BC. Các yếu tố mới tạo nên có cho biết gì về mối liên hệ giữa H và A không? Và từ đường kính AA’ sẽ có thêm một số góc vuông mà giả thiết ban đầu đã có ba đường cao, vì thế còn có thêm những cặp đoạn thẳng song song , rồi còn có hai trung điểm I và O. Trong các yếu tố mới vẽ thêm chỉ có A’ thay đổi khi A thay đổi. Nhưng quỹ tích điểm A’ là đường tròn nên còn có thể tìm mối liên hệ ảnh-tạo ảnh giữa H và A’. Cứ phân tích như vậy sẽ dẫn đến chỗ tìm ra phép đối xứng tâm I biến A’ thành 10 [...]... toán hình học 5 3.1.Xác định ảnh của một hình qua ph p biến hình 5 Bài toán 1 .5 Bài toán 2 .6 Bài toán 3 6 Bài toán 4 .7 3.2.Sử dụng ph p biến hình để giải các bài toán quỹ tích 7 Bài toán 1 .8 Bài toán 2 .8 Bài toán 3 .9 Bài toán 4 .9 Bài toán 5 10 Bài toán 6 11 3.3 Sử dụng ph p biến. .. ph p biến hình để giải bài toán dựng hình 12 Bài toán 1 12 Bài toán 2 13 Bài toán 3 14 Bài toán 4 15 Bài toán 5 15 3.4.Sử dụng ph p biến hình giải bài toán cực trị .16 Bài toán 1 16 Bài toán 2 17 Bài toán 3 18 3.5.Sử dụng ph p biến hình để giải các dạng toán khác 18 Bài toán 1 18 Bài toán 2 ... qua ph p đồng dạng F Ta có B là giao điểm của b và a’’ - Cách dựng: • Dựng a’ là ảnh của a qua ph p quay tâm C, góc quay -450 • Dựng a’’ là ảnh của a’ qua ph p vị tự tâm C tỉ số 2 15 p dụng ph p biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi B là giao điểm của a’’và b • Dựng B’ là ảnh của B qua ph p quay tâm C, góc quay 450 • Dựng A là ảnh của B’ qua ph p vị tự tâm C, tỉ số 1 2 Theo cách dựng trên c p. .. • Các ph p biến hình trong mặt phẳng-Nguyễn Mộng Hy-NXB Giáo dục • Tài liệu giáo khoa chuyên toán hình học 11-Đoàn Quỳnh (chủ biên)NXB Giáo dục NGƯỜI THỰC HIỆN Nguyễn Thị Hương Thi MỤC LỤC I Lý do chọn đề tài 1 22 p dụng ph p biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi II.Nội dung đề tài .1 1 Cơ sở lý luận 1 2 Nội dung 3 3 Sử dụng ph p biến hình để giải các... sinh phương ph p học t p bộ môn Nhà sinh lý học Ph p –Penna : ‘’phương ph p học t p tốt gi p ta phát huy được tài năng vốn có, phương ph p học dở sẽ cản trở phát triển tài năng’’ IV Tài liệu tham khảo • Hình học 11(sách giáo khoa)- Văn Như Cương (chủ biên)-NXB Giáo dục,2000 • Bài t p hình học nâng cao 11- Văn Như Cương(chủ biên)-NXB Giáo dục • Phương ph p dạy- học hình học ở trường trung học phổ thông... ảnh của đường tròn ngoại ti p ∆ ABC qua ph p đối xứng trục AB, hoặc qua ph p đối xứng tâm J là trung điểm của AB và đối với đường tròn ngoại ti p ∆ HCA cũng tương tự Bài 6: Cho ∆ ABC đều Tìm t p h p các điểm M nằm trong tam giác sao cho MA2 + MB 2 = MC 2 Giải ∆ ABC đều nên BA = BC và · ABC = 600 , xét ph p quay Q( B ; −600 ) : M a M ' Aa C 11 p dụng ph p biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi Do... Ta có GM = ph p vị tự V tâm G, tỉ số −1 biến điểm A thành điểm M và V( S ;2) biến điểm M 2 thành điểm I Tương tự V −1  G; ÷ 2   ur u u u ur −1 u u ur GA, SI = 2SM nên 2 :B a N Ca P V( S ;2) : N a J Pa K 19 p dụng ph p biến hình để giải toán Ta thấy k1k2 = ph p vị tự V Nguyễn Thị Hương Thi −1 2 = −1 ≠ 1 nên nếu gọi F là h p thành của hai 2 −1  G; ÷ 2   và V( S ;2) thì F gọi là ph p vị tự tâm... F 2 − EF 2 = a 2 − b 2 Vậy AH = A ' E = a 2 − b 2 18 p dụng ph p biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi Bài 2 : Cho hai ph p vị tự V1 có tâm O1, tỉ số k1 và V2 có tâm O2 tỉ số k2 Gọi F là h p thành của V1 và V2 Chứng minh rằng F là một ph p vị tự nếu k1.k2 ≠ 1 Hãy xác định tâm và tỉ số của ph p vị tự đó p dụng : Cho tam giác ABC M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB S là điểm... môn toán ở trường trung học phổ thông Trong hình học, quan điểm hàm thể hiện tường minh qua chủ đề “ ph p biến hình ” Với các ph p biến hình, học sinh được biết một quan hệ hàm không phải là hàm số Đây cũng là một cơ hội cho học sinh thấy tính thống nhất của toán học Việc đưa nội dung các ph p biến hình vào chương trình toán ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông không những chỉ nhằm cung c p cho... p dụng ph p biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi H (I là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành A’BHC) và ph p tịnh tiến ur u theo vectơ 2OI biến A thành H Như thế đã có thể giải bài toán bằng hai cách nữa: - Sử dụng ph p đối xứng tâm Kẻ đường kính AA’ Dễ thấy A’B//HC, BH//A’C nên tứ giác A’BHC là hình bình hành, suy ra H và A’ đối xứng với nhau . qua ph p biến hình. - Biến hình H thành hình H’ bằng nó - Biến góc thành góc bằng nó 2.3.Các ph p dời hình trong mặt phẳng 3 p dụng ph p biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi a) Ph p đối. được trình bày ở l p 11 gồm: các ph p dời hình (ph p đối xứng trục, đối xứng tâm, ph p quay, ph p tịnh tiến), các ph p biến hình đồng dạng (ph p vị tự, ph p đồng dạng) với những định hướng chính: loại. p dụng ph p biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi P DỤNG PH P BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Việc đưa nội dung các ph p biến hình vào chương trình toán ở bậc trung học