SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI *************************** CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10 Giáo Viên: VÕ THANH LONG Năm Học 2013 – 2014 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG CÁ NHÂN Họ tên VÕ THANH LONG Ngày tháng năm sinh: 02 / 01 / 1977 Giới tính: Nam Địa chỉ: B9/10, Tổ 4, khu phố 1, Phường Tân Hiệp, Biên Hoà, Đồng Nai Điện thoại Di động: 0918806566 Chức vụ: Không Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi, Biên Hồ, Đồng Nai II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO • Trình độ chun mơn cao nhất: Đại học Sư phạm • Năm nhận bằng: 1999 • Chuyên ngành đào tạo: Tốn III KINH NGHIỆM KHOA HỌC • Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Dạy Tốn bậc THPT • Số năm có kinh nghiệm: 13 năm  SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THPT Nguyễn Trãi Độc lập Tự Hạnh phúc PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI Năm học 2013 - 2014 Tên đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10 Họ tên tác giả: VÕ THANH LONG Lĩnh vực: Quản lý giáo dục Tổ Toán Tin học Phương pháp dạy học mơn Tốn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác Tính  Có giải pháp hồn tồn  Có cải tiến, đổi từ giải pháp có Hiệu  Hồn tồn triển khai, áp dụng tồn ngành có hiệu cao  Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai, áp dụng tồn ngành có hiệu cao  Hoàn toàn triển khai, áp dụng đơn vị có hiệu cao  Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai, áp dụng đơn vị có hiệu cao Khả áp dụng  Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách Tốt Khá Đạt  Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống Tốt Khá Đạt  Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng Tốt Khá Đạt Xếp loại Tốt Khá XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUN MƠN Tổ trưởng chun mơn Đạt THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký, ghi rõ họ tên đóng dấu) Trương Ngọc Dũng Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10 Võ Thanh Long A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi thực hành giảng dạy cho học sinh tốn hình học phẳng, em tiếp xúc vấn đề cách khó khăn, lại phần kiến thức quan trọng để em bắt đầu vào chương trình phổ thông; phần kiến thức để em tiếp tục học hai năm lại chương trình phổ thơng Các tốn liên quan đến đường thẳng: Lập phương trình đường thẳng, tìm tọa độ đỉnh tam giác, xác định khoảng cách góc đường thẳng … vấn đề mà thấy em cần thiết phải nhớ, thấu hiểu áp dụng cho toán liên quan để học tốt hơn, em ôn thi đại học đạt kết tốt, lý tơi viết Trong q trình giảng dạy, tơi có tổng hợp lại, hệ thống lại tập theo hướng từ dễ đến khó, từ đến nâng cao, dễ áp dung cho học sinh với giáo viên tốn để tham khảo thêm Một số phương pháp giải toán cách nhẹ nhàng, dễ áp dụng tốn giải nhanh chóng Tơi xin mạo muội viết lại “một số tốn đường thẳng mặt phẳng dành cho học sinh lớp 10”, nhằm hỗ trợ cho học sinh có thêm tài liệu bổ sung, giúp em học tốt hơn, nhẹ nhàng q trình học tốn Để thực viết này, tơi có tham khảo tài liệu “ Truyển tập chuyên đề luyện thi Đại học mơn tốn Hình Giải tích” tác giả Trần Phương – Lê Hồng Đức, toán đề thi tuyển sinh năm học gần Thực viết này, xin cảm ơn BGH trường, tổ trưởng tổ tốn thầy đồng nghiệp tạo điều kiện cho thực viết Trong viết cịn khiếm khuyết, xin thầy ban giám khảo, đồng nghiệp đánh giá, nhận xét đóng góp ý kiến để viết tốt Xin chân thành cảm ơn Bài viết gồm phần sau: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG TAM GIÁC KHOẢNG CÁCH VÀ GĨC CÁC BÀI TỐN VỀ ĐIỂM VÀ TẬP HỢP ĐIỂM Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long A – Kiến thức cần nhớ Vectơ phương đường thẳng r r Vectơ u ≠ gọi vectơ phương (VTCP) đường thẳng ∆ giá song song trùng với ∆ r r Nhận xét: – Nếu u VTCP ∆ ku (k ≠ 0) VTCP ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTCP Vectơ pháp tuyến đường thẳng r r Vectơ n ≠ gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) đường thẳng ∆ giá vng góc với ∆ r r Nhận xét: – Nếu n VTPT ∆ kn (k ≠ 0) VTPT ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTPT r r r r – Nếu u VTCP n VTPT ∆ u ⊥ n Phương trình tham số đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTCP u = (u1; u2 )  x = x0 + tu1 Phương trình tham số ∆:  (1) ( t tham số)  y = y0 + tu2  x = x0 + tu1 Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R:   y = y0 + tu2 – Gọi k hệ số góc ∆ thì: + k = tanα,với α = ·xAv , α ≠ 900 +k= u2 u1 u1 ≠ , với Phương trình tắc đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có véc tơ phương u = (u1; u2 ) Phương trình tắc ∆: x − x0 u1 = y − y0 u2 (2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng khơng có phương trình tắc Phương trình tổng quát đường thẳng PT ax + by + c = với a2 + b2 ≠ gọi phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax + by + c = ∆ có: r r r Véc tơ pháp tuyến n = (a; b) VTCP u = (− b; a) u = (b; −a) r – Nếu ∆ qua M0 ( x0 ; y0 ) có véc tơ pháp tuyến n = (a; b) phương trình ∆ là: a( x − x0 ) + b(y − y0 ) = Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long Các trường hợp đặc biệt: Các hệ số c=0 a=0 b=0 Phương trình đường thẳng ∆ ax + by = by + c = ax + c = Tính chất đường thẳng ∆ ∆ qua gốc toạ độ O ∆ // Ox ∆ ≡ Ox ∆ // Oy ∆ ≡ Oy • ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình ∆: x y + = a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) • ∆ qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: Phương trình ∆: y = k ( x − x0 ) + y0 (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = a x + b1y + c1 = Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình:  a2 x + b2 y + c2 = a1 b1 ≠ • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm ⇔ (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔ a1 b1 c1 = ≠ (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 c2 • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vơ số nghiệm ⇔ a1 b1 c1 = = (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 c2 Góc hai đường thẳng r Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = (có VTPT n1 = (a1; b1 ) ) r ∆2: a2 x + b2 y + c2 = (có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) ) r r r r (n1 , n2 ) ≤ 90  ·∆ , ∆ ) = (n1 , n2 ) (  r r r r 180 − (n1, n2 ) (n1 , n2 ) > 90  r r a1b1 + a2 b2 r r ·∆ , ∆ ) = cos(·n , n ) = n1.n2 = cos( r r 2 2 n1 n2 a1 + b1 a2 + b2 • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1: y = k1 x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 + Ta sử dụng cho góc hai véc tơ phương Chú ý: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (1) Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = điểm M0 ( x0 ; y0 ) : d ( M0 , ∆) = ax0 + by0 + c a2 + b2 • Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN ) ∉ ∆ – M, N nằm phía ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + by N + c) > – M, N nằm khác phía ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c) < • Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 là: a1 x + b1y + c1 a x + b2 y + c2 =± 2 2 a1 + b1 a2 + b2 B – Nội Dung I – Lập Phương Trình Đường Thẳng Kiến thức cần nhớ để lập phương trình đường thẳng • Để lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng ∆ ta cần xác định r điểm M0 ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ véc tơ phương u = (u1; u2 ) ∆ x − x y − y0  x = x0 + tu1 = Phương trình tham số ∆:  ;PTCT ∆: (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) y = y0 + tu2 u1 u2  • Để lập phương trình tổng qt đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm M0 ( x0 ; y0 ) r thuộc ∆ Véc tơ pháp tuyến n = (a; b) ∆ Phương trình tổng quát ∆: a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = • Một số toán thường gặp: + ∆ qua hai điểm A( x A ; y A ) , B( x B ; yB ) (với x A ≠ x B , y A ≠ yB ): x − xA y − yA = Phương trình đường thẳng ∆: xB − x A y B − y A + ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): x y Phương trình đường thẳng ∆: + = (Phương trình đoạn chắn) a b + ∆ qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: PT ∆: y − y0 = k ( x − x0 ) Chú ý: Ta chuyển đổi phương trình tham số, tắc, tổng qt đường thẳng Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long • Để tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta thực sau: Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng góc với d – Xác định I = d ∩ ∆ (I hình chiếu M d) – Xác định M′ cho I trung điểm MM′ Cách 2: Gọi I trung điểm MM′ Khi đó: uuu u ur r  MM ′ ⊥ u  d (sử dụng toạ độ) M′ đối xứng M qua d ⇔  I ∈ d  • Để viết phương trình đường thẳng d ′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, ta thực sau: – Nếu d // ∆: + Lấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua ∆ + Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ song song với d – Nếu d ∩ ∆ = I: + Lấy A ∈ d (A ≠ I) Xác định A′ đối xứng với A qua ∆ + Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ I • Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ∆, ta thực sau: – Lấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua I – Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ song song với d Các ví dụ Bài 1) Lập phương trình tham số, phương trình tổng quát đường thẳng Δ trường hợp sau: r a) Đi qua điểm M(1;− 2) có véc tơ phương a = (2; −1) b) Đi qua điểm A(3;2) song song với đường thẳng (d ) : x − y − = c) Đi qua điểm A(3;2) vng góc với đường thẳng (d ) : x − y − = Giải a) + Phương trình tham số đường thẳng Δ : Đường thẳng Δ qua M(1;− 2) có véc r  x = + 2t ( t ∈ R) tơ phương a = (2; −1) nên có phương trình tham số là:   y = −2 − t + Phương trình tổng quát đường thẳng Δ: Δ quarđiểm A(3;2) có véc tơ r phương a = (2; −1) nên có véc tơ pháp tuyến n = (1; 2) nên có phương trình tổng quát là: ( x − 2) + 2( y − 3) = ⇔ x + y − = b) +rVì đường thẳng Δ song song với đường thẳng (d) nên có véc tơ pháp tuyến n = (2; −3) qua điểm A(3;2) nên có phương trình tổng qt: ∆ : 2( x − 3) − 3( y − 2) = ⇔ x − y = r + Khi đường thẳng Δ có véc tơ phương a = (3; 2) qua A(3;2) nên có Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long  x = + 2t ( t ∈ R) phương trình tham số:   y = + 2t r ∗ Nếu đường thẳng có véc tơ pháp tuyến n = ( a; b) có véc tơ phương r r r r rr a = (b; −a ) hay a = ( −b; a) n ⊥ a ⇒ n.a = c) Đường thẳng r vng góc với đường thẳng (d) nên nhận véc tơ pháp tuyến đường Δ thẳng (d) n = (2; −1) làm véc tơ phương qua điểm nên có phương trình tham  x = − 2t (t ∈ R ) số ( ∆)  y y = −t Và đường thẳng (Δ) có véc tơ pháp r tuyến n ∆ = (1; 2) qua A(3;2) nên có phương trình tổng qt là: ( x − 2) + 2( y − 3) = ⇔ x + y − = Δ (d) O x Bài 2) Viết phương trình đường thẳng (d) trường hợp sau: a) Đi qua A(1;1) có hệ số góc k = b) Đi qua hai điểm M(1;-3) N(0,2) c) Đi qua B(1;2) tạo với hướng dương trục Ox góc 300 d) Đi qua điểm C(3;4) tạo với trục Ox góc 450 Giải a) Đường thẳng (d) qua điểm A(1;1) có hệ số góc k = nên có phương trình y = 2( x − 1) + hay (d) y = x − b) Đường thẳng (d) qua hai điểm M(1;-3) N(0,2) nên ta lập phương trình đường thẳng (d) nhiều cách sau: Cách 1: Đường thẳng MN qua hai điểm M(1;-3) N(0,2) nên có phương trình x −1 y + = ⇔ 5x + y − = 0 −1 + uu uu r Cách 2: Đường thẳng MN nhận véc tơ MN = (−1;5) làm véc tơ phương qua x = 1− t điểm M nên có phương trình tham số   y = −3 + 5t Học sinh tự làm tự làm theo nhiều cách khác c) Đường thẳng (d) qua điểm C(3;4) tạo với hướng dương trục Ox góc 45 nên ta có hệ số góc tạo đường thẳng (d) trục Ox: k = tan45 = ⇒ phương trình đường thẳng (d): y = ( x − 3) + hay y = x + d) Đường thẳng (d) qua điểm C(3;4) tạo với trục Ox góc 300 nên k = tan 300 = k = tan1500 = − + Với k = ⇒ (d ) : y = 3( x − 3) + ⇔ y = 3x + − 3 + Với k = − ⇒ (d ) : y = − 3( x − 3) + ⇔ y = − 3x + + 3 Vậy có hai đường thẳng (d) thỏa yêu cầu đề 10 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long Đáp số: Phần xin để bạn đọc tự giải 15 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long II - CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG TRONG TAM GIÁC Đó toán xác định toạ độ đỉnh phương trình cạnh tam giác biết số yếu tố tam giác Để giải loại toán ta thường sử dụng đến cách dựng tam giác Sau số dạng: Dạng 1: Dựng tam giác ABC, biết đường thẳng chứa cạnh BC hai đường cao BB′, CC′ Cách dựng: – Xác định B = BC ∩ BB′, C = BC ∩ CC′ – Dựng AB qua B vng góc với CC′ – Dựng AC qua C vng góc với BB′ – Xác định A = AB ∩ AC Dạng 2: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đường thẳng chứa hai đường cao BB ′, CC′ Cách dựng: – Dựng AB qua A vng góc với CC′ – Dựng AC qua A vng góc với BB′ – Xác định B = AB ∩ BB′, C = AC ∩ CC′ Dạng 3: Dựng tam giác ABC, biết đỉnh A hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM, CN Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM ∩ CN – Xác định A′ đối xứng với A qua G (suy BA′ // CN, CA′ // BM) – Dựng dB qua A′ song song với CN – Dựng dC qua A′ song song với BM – Xác định B = BM ∩ dB, C = CN ∩ dC Dạng 4: Dựng tam giác ABC, biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC trung điểm M cạnh BC Cách dựng: – Xác định A = AB ∩ AC – Dựng d1 qua M song song với AB – Dựng d2 qua M song song với AC – Xác định trung điểm I AC: I = AC ∩ d1 – Xác định trung điểm J AB: Ju= ABr∩ d2 ur u r u u u u r u – Xác định B, C cho JB = AJ , IC = AI uu ur uu ur Cách khác: Trên AB lấy điểm B, AC lấy điểm C cho MB = − MC Các Ví dụ Bài 1) (ĐHKT – 2001) Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết B(−4;−5) hai đường cao có phương trình là: (d1): 5x + 3y − = (d2): 3x + 8y +13 = Giải 16 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long Nhận xét: Điểm B(−4;−5) ∉ (d1) B(−4;−5) ∉ (d2) Vậy giả sử (d1) (d2) phương trình hai đường cao xuất phát từ A C tam giác ABC • Phương trình cạnh AB: Vì AB ⊥ (d2) ⇒ AB: 8x – 3y + C = Vì B(−4;−5) ∈ AB ⇒ 8(–4) –3(–5) + C = ⇒ C = 17 Vậy phương trình cạnh AB: 8x – 3y + 17 = • Phương trình cạnh BC: Vì BC ⊥ (d1) ⇒ BC: 3x – 5y + D = Vì B(−4;−5) ∈ BC ⇒ 3(–4) –5(–5) + D = ⇒ D = − 13 Vậy phương trình cạnh AB: 3x – 5y − 13 = • Phương trình cạnh AC: 5 x + y − = Điểm A = (d ) ∩ AB ⇒ tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình 8 x − y + 17 =  ⇒ A(−1;3) 3 x + y + 13 = Tương tự tọa độ điểm C = (d ) ∩ BC ⇒ 3 x − y − 13 = ⇒ C (1; −2)  Đường thẳng AC qua hai điểm A C nên có véc tơ phương uu ur r AC = (2; −5) ⇒ n = (5; 2) ⇒ AC : 5( x + 1) + 2( y − 3) = hay x + y − = Bài 2) Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB 5x – 3y + = 0, đường cao qua đỉnh A B (d1): 4x − 3y + = (d2): 7x + 2y − 22 = Lập phương trình hai cạnh AC BC đường cao thứ ba Giải • Phương trình cạnh AC: + Điểm A = AB ∩ (d1) 5 x − y + = ⇒ Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình 4 x − y + = ⇒ A( −1; −1)  Do AC ⊥ (d ) : x + y − 22 = ⇒ ( AC ) : x − y + C = + Vì A(− 1;− 1) ∈ AC ⇒ 2( −1) − 7(−1) + C = ⇒ C = −5 Vậy phương trình cạnh AC: : x − y − = • Phương trình cạnh BC: Điểm B = AB ∩ (d2) 5 x − y + = Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: 7 x + y − 22 = ⇒ B(2; 4) ⇒  17 Đường thẳng mặt phẳng • Võ Thanh Long Do BC ⊥ ( d1 ) : x − y + = ⇒ ( BC ) :3x + y + D = + Vì B(2;4) ∈ AC ⇒ 3.2 + 4.4 + D = ⇒ D = −22 Vậy phương trình cạnh BC: 3x + y − 22 = Phương trình đường cao hạ từ đỉnh C, CH, với H ∈ BC + Do CH ⊥ AB: 5x – 3y + = nên CH có phương trình: 3x + 5y + E = + C = AC ∩ BC ⇒ tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình 2 x − y − = ⇒ C (6;1)  3 x + y − 22 = + Vì C(6;1) ∈ CH ⇒ 3.6 + 5.1 + E = ⇒ E = −23 Vậy phương trình cạnh CH: 3x + y − 23 = Bài 3) Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(4;−1), đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh có phương trình tương ứng là: (d1): 2x – 3y +12 = (d2): 2x + 3y = Giải • Phương trình cạnh BC: Vì (BC) ⊥ (d1): 2x – 3y +12 = ⇒ (BC):3x + 2y +C = Vì C(4;−1) ∈ (BC) ⇒ 3.4 + 2(-1) + C = ⇒ C = 10 Vậy phương trình đường thẳng (BC): 3x + 2y +10 = • Phương trình cạnh AC: Ta có A = (d1) ∩ (d2) ⇒ tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình 2 x − y + 12 = ⇒ A(−3; 2) Khi (AC) qua hai điểm A C nên có véc tơ  2 x + y = r uu ur phương AC = (7; −3) nên có véc tơ pháp tuyến n = (3;7) ⇒ ( AC ) : 3( x − 4) + 7( y + 1) = ⇔ x + y − = • Phương trình cạnh AB: + Gọi M trung điểm AB ⇒ M = (d ) ∩ BC 3 x + y − 10 = ⇒ M (6; −4) ⇒ tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình:  2 x + y =  xB = xM − xC = + Do M trung điểm BC ⇒ B   yB = yM − yC = −7 uu ur + Phương trình cạnh AB qua điểm A B có véc tơ phương AB = (11; −9) có  x = + 11t (t ∈ R ) phương trình tham số đường thẳng AB là:   y = −7 − 9t 18 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long Bài 4) Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết A(1;3) hai trung tuyến có phương trình x − y + = 0, y − = Giải Nhận xét: Để lập phương trình cạnh tam giác, ta cần tìm tọa độ đỉnh B C + Gọi A’ điểm đối xứng A qua trọng tâm G tam giác  BA '/ /( d ) ABC, ta có:   A ' C / /(d1 ) Suy điểm B = A’B ∩ (d2) C = A’C ∩ (d1) Vậy ta thực theo bước sau: • Gọi G trọng tâm tam giác ABC ⇒ G = (d1) ∩ (d2) ⇒ Tọa độ điểm G nghiệm x − y +1 = ⇒ G (1;1) hệ phương trình   y −1 =  xA ' = xG − xA = • Điểm A’ đối xứng với A qua G ⇒  y = y − y = −1 ⇒ A '(1; −1) G A  A' • Tọa độ điểm B: đường thẳng A’B qua A’(1;− 1) song song với (d1) nên có phương trình: ( x − 1) − 2( y + 1) = ⇔ x − y − = + Khi B = A’B ∩ (d2) nên tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình x − y − = ⇒ B (5;1)  y −1 =  • Tương tự ta có tọa độ điểm C(−3;−1) uu ur  x = − 4t Phương trình cạnh AC qua A(1;3) có véc tơ phương AC = (−4; −4) :  •  y = − 4t uu ur  x = + 4t Phương trình cạnh AB qua A(1;3) có véc tơ phương AB = (4; −2) :  •  y = − 2t uu ur  x = − 8t Phương trình cạnh BC qua B(5;1) có véc tơ phương BC = (−8; −2) :  •  y = − 2t Bài 5) Cho tam giác ABC biết A(2;−1) hai đường phân giác góc B C có phương trình (d B ) : x − y + = , (d C ) : x + y + = Lập phương trình cạnh BC Giải Nhận xét: Gọi E điểm đối xứng A qua đường phân giác (dB): Khi tam giác ABE cân B hay E ∈ BC, tương tự gọi H điểm đối xứng A qua (d C) ⇒ H ∈ BC Vậy phương trình cạnh BC phương trình cạnh EH Vậy ta tìm tọa độ hai điểm E H 19 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long •Xác định tọa độ điểm E: + Gọi đường thẳng (a) qua A(2;-1) vng góc với (dB): có véc tơ pháp tuyến r a = (2;1) , có phương trình x + y − = + Gọi I = (a) ∩ (d B ) x − y +1 = ⇒ I (1;1) ⇒ Tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình  2x + y − =   xE = xI − x A = ⇒ E (0;3) + E điểm đối xứng A qua I nên ta có:  y E = yI − y A =  •Xác định H ta làm tương tự trên, tìm H(−2;−5) uu ur •Đường thẳng BC qua hai điểm EH, nhận EH = ( −2; −8) làm véc tơ phương nên có véc tơ pháp tuyến (4;−1), có phương trình x − ( y − 3) = ⇔ x − y + = Bài 6) Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác mặt phẳng tọa độ, biết phương trình hai là: x − y + = , x + y − 21 = trực tâm H tam giác trùng với gốc tọa độ O Giải Giả sử phương trình hai cạnh AB AC x − y + = x + y − 21 = Ta cần xác định tọa độ đỉnh B y + Hai đường thẳng AB AC có hai véc tơ pháp tuyến A u r u u r n1 = (5; −2), n2 = (4; 7) + Lập phương trình đường cao BO: Qua O vng góc u u r với AC nên có véc tơ phương n2 = (4;7) nên có u u r O x véc tơ pháp tuyến u2 = (7; −4) ⇒ BO: x − y = B C + B = BO ∩ AB ⇒ Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình 7 x − y = ⇒ B (−4; −7)  5 x − y + = + Xác định tọa độ điểm C: Lập phương trình đường cao CO: Qua O vng góc u u r r với AB nên có véc tơ phương n1 = (5; −2), nên có véc tơ pháp tuyến u1 = (2,5) ⇒ CO: x + y =  x + y − 21 = 35 ⇒ C ( ; − 7) + C = CO∩AC⇒ Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình   2x + y = u u 52 ur + Vậy phương trình đường thẳng BC qua B ( −4; −7) có véc tơ phương BC = ( ;0) ⇒ Véc tơ pháp tuyến (0;1) ⇒ BC : y + = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1) Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh A(2;2) hai đường cao có phương trình là: (d1 ) : x + y − = , (d ) : x − y − = 20 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long Bài 2) Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x + y − = , đường cao qua đỉnh A B (d1 ) : x + y − 13 = , (d ) : x + y − 49 = Lập phương trình cạnh AC, BC đường cao thứ Bài 3) Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(3;5), đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh có phương trình tương ứng là: (d1 ) : x + y − = , (d ) : x + y − = Bài 4) Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết A(3;1) hai đường trung tuyến có phương trình : (d1 ) : x − y − = , (d ) : x − = Bài 5) Phương trình hai cạnh tam giác x − y + 24 = , x + y − 96 =  32  Lập phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm tam giác H  0; ÷   Bài 6) Cho đường thẳng (d): x + y − 12 = a) Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng (d) với hai trục tọa độ Ox, Oy b) Tìm tọa độ hình chiếu H điểm O đường thẳng (d) c) Viết phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với (d) qua O Đáp Số AB : x + y − = 0, BC :2 x − y + = 0, AC : x − y = AC : x − y + = 0, BC :2 x − y + = đường cao thứ 3: x − y + = AB : x + y + = 0, BC :4 x − y + 13 = 0, AC :3 x − y − = AB : x − y − = 0, BC :4 x − y + = 0, AC :2 x + y − = Phương trình cạnh thứ ba: y =  36 48  Bài 6) a) A(4;0), B(0;3) b) H  ; ÷ c) (d1 ) : x + y + 12 =  25 25  Bài 1) Bài 2) Bài 3) Bài 4) Bài 5) III - KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC Kiến thức cần nhớ Vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = a x + b1y + c1 = Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình:  a2 x + b2 y + c2 = a1 b1 ≠ • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm ⇔ (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 21 (1) Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vơ nghiệm ⇔ • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ a1 a2 = b1 b2 ≠ c1 c2 (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a1 b1 c1 = = (nếu a2 , b2 , c2 ≠ ) a2 b2 c2 Góc hai đường thẳng r Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = (có véc tơ pháp tuyến n1 = (a1; b1 ) ) r ∆2: a2 x + b2 y + c2 = (có véc tơ pháp tuyến n2 = (a2 ; b2 ) ) r r r r (n1 , n2 ) ≤ 90  ·∆ , ∆ ) = (n1, n2 ) (  r r r r 180 − (n1 , n2 ) (n1 , n2 ) > 90  r r n1.n2 a1b1 + a2 b2 r r cos(·∆1 , ∆2 ) = cos(·n1, n2 ) = r r = 2 2 n1 n2 a1 + b1 a2 + b2 Chú ý: • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1: y = k1 x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 + Ta sử dụng cho góc hai véc tơ phương Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = điểm M0 ( x0 ; y0 ) : d ( M0 , ∆) = ax0 + by0 + c a2 + b2 • Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = hai điểm M ( x M ; yM ), N ( x N ; yN ) ∉ ∆ – M, N nằm phía ∆ ⇔ (ax M + by M + c)(ax N + byN + c) > – M, N nằm khác phía ∆ ⇔ (ax M + byM + c)(ax N + byN + c) < • Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 là: a1x + b1y + c1 2 a1 + b1 =± Các Ví dụ 22 a2 x + b2 y + c2 2 a2 + b2 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long Bài 1) Xét vị trí tương đối hai đường thẳng trường hợp sau; a) ∆1: x + y + = ∆2: x + y + = b) ∆1: x + y + = ∆2: x + y + = c) ∆1: 2x + 3y + = ∆2: 4x + 6y + = Giải x + y +1 = a) Lập hệ phương trình tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 ta có:  2x + 2x + =  Hệ phương trình vơ nghiệm nên hai đường thẳng song song x + y +1 = b) Lập hệ phương trình tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 ta có:   x + 4x + = có nghiệm I(1;-1) nên hai đường thẳng cắt I(1;−1) 2 x + y + = c) Lập hệ phương trình tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 ta có:  4 x + x + = Hệ phương trình có vơ số nghiệm (x;y) có tọa độ nằm đường thẳng ∆1 ∆2 Vậy hai đường thẳng trùng  x = −2t  x = + 3u Bài 2) Cho hai đường thẳng (d1):  y = −3t (t ∈ R ) (d2):  y = + 6u (u ∈ R )   a) Xác định giao điểm (d1) (d2) b) Tính cosin góc tạo (d1) (d2) Giải a) Xét hệ phương trình tạo hai đường thẳng (d1) (d2): −2t = + 3u t = ⇔ ⇒ (d1 ) ∩ ( d ) = A( −2; −3)  −3t = + 6u u = −1 r r b) Gọi a = (−2; −3), b = (1; 2) hai véc tơ phương hai đường thẳng (d1) (d2) Khi cosin góc nhọn α tạo hai đường thẳng (d1) (d2) xác định bởi: rr a.b − 2.1 − 3.2 cos α = r r = = 2 2 65 a b (−2) + (−3) + Bài 3) Cho hai điểm P(2;5) Q(5;1) Lập phương trình đường thẳng qua P cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng Giải Gọi (d): Ax + By − A − 5B = đường thẳng qua P cần tìm A − 4B = ⇔ A − B = A2 + B Do d (Q, (d )) = ⇔ 2 A +B Ta có phương trình (3 A − B) = 9( A2 + B ) Phương trình có hai nghiệm 23 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long  B = ⇒ A = ⇒ (d ) : x − = ⇔  B = 24 A : cho A = ⇒ B = 24 ⇒ (d ) : x + 24 y − 134 =  Vậy có hai đường thẳng cần tìm là: x – = 7x + 24y – 134 = x = t Bài 4) Cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: (d1 ) :  , (d ) : x + y − =  y = + 2t a) Tính khoảng cách từ điểm M(2;1) đến đường thẳng (d1) b) Lập phương trình đường phân giác tạo hai đường thẳng (d 1) (d2) c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(2;1) tạo với đường thẳng (d 1) góc 450 Giải a) Ta đưa phương trình đường thẳng (d1) phương trình tổng quát (d1 ) : x − y + = ⇒ d ( M , d1 ) = 2.1 − 2.1 + =2 12 + (−1) b) Phương trình hai đường phân giác tạo hai đường thẳng (d1) (d2) có dạng:  ∆1 : y − 11 = x − 2y + x+ y−7 =± ⇔ 1+1 1+1 ∆2 : x − y − = y c) Đường thẳng (d) qua A(2;1) có véc tơ ∆1 r pháp tuyến n = ( a; b), ( a + b2 > 0), có phương d1 trình dạng: ax + by – (2a + b) = + Đường thẳng (d1 ) có véc tơ pháp tuyến u r n1 = (2; −1) + Gọi α góc tạo hai đường thẳng (d) (d1 ) ⇒ cos α = cos450 ru r n n1 ⇔ r ⇔ cos α = r u = n n1 ⇔ ( 2a − b ) ( = 2a − b 22 + 12 a + b a + b ) = d2 O ∆2 P 2 ⇔ 3a − 8ab − 3b = Ta xem phương trình bậc hai theo biến a, b tham số Giải phương trình ta hai nghiệm phân biệt: b + a = − , chọn b = − ⇒ a = ⇒ (d): x − y + = a + a = 3b, chọn b = ⇒ a = ⇒ (d): x + y − = Bài 5) Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2;−1) cho đường thẳng với hai đường thẳng (d1 ) : x − y + = , (d ) : x + y − = tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng (d1 ) ( d ) Giải 24 x Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long  29 17  Cách 1: Tam giác cân có đỉnh I  − ; ÷ giao điểm (d1 ) ( d )  15 15  ⇒ cạnh cịn lại qua P vng góc với hai đường phân giác tạo ( d1 ) ( d ) Phương trình hai đường phân giác hai đường thẳng ( d1 ) ( d ) : 2x − y + 22 + (−1) =± 3x + y − 32 + 62  ∆ : x − y + 16 = ⇔  ∆ : x + y + 14 = +u (a) đường thẳng qua P(2;− 1) vng góc với ∆1: có véc tơ pháp tuyến Gọi u r na = (3;1) có phương trình 3( x − 2) + ( y + 1) = ⇔ x − y − = +uGọi (b) đường thẳng qua P(2;− 1) vng góc với ∆2 có véc tơ pháp tuyến u r nb = (1; −3) có phương trình ( x − 2) − 3( y + 1) = ⇔ x − y − = Cách 2: Ta thiết lập theo kiện sau: Tam giác ABC cân A = (d1 ) ∩ (d ) Với B ( xB ; y B )∈ (d1 ), C ( xC ; yC )∈ (d ), AB = AC ba điểm B, P C thẳng hàng Cách 3: Ta dùng hệ số góc để lập phương trình đường thẳng cần tìm BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(5;1)và tạo với đường thẳng (d): y = 2x + góc 450 Bài 2) Viết phương trình đường phân giác góc hợp hai đường thẳng (d 1) (d2) trường hợp sau: x = t a) (d1 ) :  , (d ) : x + y − = b) (d1 ) : 3x + y + = , (d ) : x + y + =  y = 1+ t Bài 3) Cho hai điểm A(1;3) B(3;1) Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A cách B khoảng Bài 4) Cho P(1;1) hai đường thẳng (d1 ) : x + y = , (d ) : x − y + = Gọi (d) đường thẳng qua P cắt hai đường thẳng ( d1 ) ( d ) A B Viết phương trình (d) biết PA = 2PB Bài 5) Cho hai hai đường thẳng ( d1 ) : x + y = , (d ) : x − y + = Lập phương trình đường thẳng (d) qua gốc tọa độ cho đường thẳng (d) tạo với (d1 ) , ( d ) tam giác cân có đỉnh giao điểm (d1 ) , ( d ) Tính diện tích tam giác cân Đáp Số Bài 1) ∆ : x − y − = hay ∆ : x + y − 16 = Bài 2) a) ∆ : ( − 2) x + ( − 2) y + − = & ∆ : ( + 2) x + ( + 2) y − − = 25 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long r Bài 3) Gọi véc tơ pháp tuyến đường thẳng ∆ n = (a; b), (a + b > 0) Tìm hai giá trị a ⇒ có hai đường thẳng  4−  7−   4+  7+  ∆1 :  ÷x + y −  ÷= & ∆2 :  ÷x + y −   ÷  ÷  ÷  ÷= ÷         Bài 4) 3x – y = Bài 5) x = y = 0, diện tích S = 1/4 26 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long IV - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM VÀ TẬP HỢP ĐIỂM Kiến thức cần nhớ Tìm điểm thuộc đường thẳng (d) thỏa điều kiện K cho trước: Ta thường chọn hai hướng sau: Hướng 1: Tận dụng phương trình đường thẳng (d) cho trước:  x = x0 + at ,t ∈ R Cách 1: Nếu đường thẳng (d) cho dạng tham số: (d):   y = y0 + at Bước 1: Lấy M ∈ (d) ⇒ M ( x0 + at; y0 + at ) Bước 2: Dựa vào điều kiện K ta xác định t ⇒ kết Cách 2: Nếu đường thẳng (d) cho dạng tổng quát: (d): Ax + By + C = Bước 1: Lấy M ∈ (d) ⇒ M ( x M ; yM ) ∈ ( D) ⇒ Ax M + ByM + C = Bước 2: Dựa vào điều kiện K thiết lập thêm phương trình cho x M & y M Từ tìm tọa độ điểm M Hướng 2: Sử dụng điều kiện K khẳng định M thuộc đường (L) Khi (d ) ∩ ( L ) = M Tìm đường thẳng (d): Ax + By + C = điểm M cho MA + MB nhỏ với A, B ∉ (d) Ta thường thực bước sau: + Xác định hai điểm A B nằm phía hay khác phía đường thẳng (d) cách tính: t A tB = ( Ax A + By A + C )( Ax B + ByB + C ) + Nếu t A tB < ⇒ A B nằm khác phía đường thẳng (d), M giao điểm AB đường thẳng (d) + Nếu t A tB > ⇒ A B nằm phía đường thẳng (d), ta thực sau: * Gọi A’ đối xứng với A qua đường thẳng (d) * Ta có: MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B Dấu “ = “ xảy ⇔ điểm A’, M, B thẳng hàng Khi M = A’B ∩ (d) Nhận xét: Nếu hai điểm A B nằm phía đường thẳng (d), với (d) phương trình tham số ta thực cách khác nhanh Các ví dụ Bài 1) Cho đường thẳng (D): x − y + 15 = Tìm đường thẳng (D) điểm M ( x M ; yM ) 2 cho x M + yM nhỏ Giải Cách 1: Vì M ∈ (D) ⇒ x M − y M + 15 = ⇔ x M = yM − 15 27 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long 2 2 Khi x M + yM = (2 yM − 15)2 + y M = 5y M − 60 y M + 225 = 5( yM − 6)2 + 45 ≥ 45 2 Vậy MinxM + yM = 45 ⇔ y M = 6, x M = −3 Cách 2: Chuyển phương trình đường thẳng (D) dạng phương trình tham số:  x = 2t − 15 t∈R (D):  y = t 2 Điểm M ∈ (D) ⇒ M (2t − 15; t ) ⇒ x M + y M = (2t − 15)2 + t = 5t − 60t + 225 2 Vậy MinxM + yM = 45 ⇔ t = ⇒ x M = 5(t − 6)2 + 45 ≥ 45 = −3 & yM = ⇒ M (−3;6) Cách 3: Ta sử dụng bất dẳng thức Bunhiacopxki cho số: 2 2 Ta có: x M − y M + 15 = ⇔ 15 = y M − x M ≤ (4 + 1)( x M + y M ) ⇔ x M + y M ≥ 45 Dấu “ = “ xảy ⇔ yM = −2 x M ⇒ M (−3;6) Vậy Minx + y = 45 ⇔ M (−3;6) M M x = t Bài 2) Cho hai điểm A(1;2) B(0;− 1) đường thẳng (d) :  Tìm điểm M thuộc (d)  y = + 2t cho a) MA + MB nhỏ b) MA − MB lớn Giải a) Vì M ∈ (d) ⇒ M(t; + 2t) Khi MA + MB = (t − 1) + (2t − 1) + t + (2t + 2) = 5t − 6t + + 5t + 8t +   2   4  + t + ÷ + =  t − ÷ +    25   25    3 1  2 Xét điểm A '  ; − ÷, B '  − ; ÷, M ' ( t ;0 ) Khi MA + MB = ( M ' A '+ M ' B ' ) 5 5  5 Vì M’ ∈ Ox A’ , B’ nằm hai phía trục hồnh nên 2 19 ( MA + MB ) ⇔ ( M ' A '+ M ' B ') ⇔ M ' = A ' B '∩ Ox ⇔ M '  ;  ⇔ M  ;   ÷  ÷  15   15 15    2  4 + t + ÷ + b) Tương tự câu a) ta có: MA − MB =   t − ÷ +    25   25      3 1  2 Xét điểm A1  ; − ÷, B1  − ; ÷, M ( t ;0 ) Khi đó: MA − MB = M A1 − M 1B1 5 5  5 Do M1 ∈ Ox A1 , B1 nằm phía trục Ox nên MA − MB max ⇔ M A1 − M B1 max ⇔ M = A1 B1 ∩ Ox ⇔ M (2;0) ⇔ M (2;5) 28 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long Bài 3) Cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: (d1 ) : kx − y + k = , (d ) : (1 − k ) x + 2ky − (1 + k ) = a) Chứng minh k thay đổi, đường thẳng (d1) qua điểm cố định b) Với giá trị k, xác định giao điểm (d1) (d2) c) Tìm tập hợp giao điểm k thay đổi Giải a) Gọi M(x;y) điểm cố định mà đường thẳng (d1) qua với k ⇔ phương trình kx – y + k = có nghiệm với k x = phương trình k(x – 1) + y = có nghiệm với k ⇔  y = ⇔  Vậy đường thẳng (d1) qua điểm M(1;0) với k kx − y = −k b) Xét hệ phương trình tạo hai đường thẳng (d1) (d2):  2 (1 − k ) + 2ky = + k 2 Ta tính D = + k , Dx = − k , D y = 2k Vì D ≠ 0, ∀ k ∈ R nên hệ phương trình ln có nghiệm nhất, hai hai đường  − k 2k  ; thẳng cắt điểm I  2 ÷  1+ k 1+ k  c) Tìm tập hợp điểm I k thay đổi  1− k x= 2   + k ⇒ x + y =  − k  +  2k  = hay x + y = Từ hệ phương trình    ÷ ÷  1+ k  1+ k   y = 2k  1+ k  Vậy tập hợp điểm I đường trịn tâm O(0;0), bán kính R = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1) Cho tam giác ABC vuông C, với AC = 3, BC = Điểm A di động Ox, B di động Oy Tìm tập hợp điểm C Bài 2) Cho điểm A di động đường thẳng (d1): x = 2, B di động đường thẳng (d2): y = cho tam giác OAB vng O Tìm tập hợp hình chiếu vng góc O lên AB Bài 3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(1;1), B(3;3) C(2;0) a) Tính diện tích tam giác ABC b) Hãy tìm tất điểm M trục Ox cho góc AMB nhỏ 29 ... dấu) Trương Ngọc Dũng Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10 Võ Thanh Long A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi thực hành giảng dạy cho học... 0, I ≡ O(0;0) 14 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long Đáp số: Phần xin để bạn đọc tự giải 15 Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long II - CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG TRONG TAM GIÁC... CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG TAM GIÁC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM VÀ TẬP HỢP ĐIỂM Đường thẳng mặt phẳng Võ Thanh Long A – Kiến thức cần nhớ Vectơ phương đường